Aufgaben:Aufgabe 4.9: Höherstufige Modulation: Unterschied zwischen den Versionen

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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F|Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].  
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F|Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].  
 
*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen,&nbsp; wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.  
 
*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen,&nbsp; wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.  
 
*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben.
 
*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben.
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Vorschlag 2</u>, wie die Rechnung für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ &nbsp;&nbsp;&#8658; &nbsp; $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$ zeigt:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Vorschlag 2</u>,&nbsp; wie die Rechnung für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ &nbsp;&nbsp;&#8658; &nbsp; $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$&nbsp; zeigt:
 
:$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +  2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$
 
:$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +  2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$
 
*Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:
 
*Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:
 
:$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \  =  \  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +  31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$
 
:$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \  =  \  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +  31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$
 
:$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \  =  \  C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \  =  \  C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$
*Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall ''Zweier unabhängiger Gaußkanäle'' mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.
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*Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall&nbsp; "Zweier unabhängiger Gaußkanäle"&nbsp; mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.
  
  
  
 
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'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
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*Würde man &nbsp;$E_{\rm S}$&nbsp; durch &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; ersetzen,&nbsp; so wäre auch die Aussage 3 richtig.  
*Würde man &nbsp;$E_{\rm S}$&nbsp; durch &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.  
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*Für &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$&nbsp; gilt nämlich &nbsp;$C_{\rm Gauß} &equiv; 0$&nbsp;  und damit auch &nbsp;$C_{\rm BPSK} &equiv; 0$.
*Für &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$&nbsp; gilt nämlich &nbsp;$C_{\rm Gauß} &equiv; 0$&nbsp;  und damit auch &nbsp;$C_{\rm BPSK} &equiv; 0$&nbsp;.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>:
 
*Der rote Kurvenzug &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; liegt stets oberhalb von &nbsp;$C_{\rm BPSK}$&nbsp;, aber unterhalb von &nbsp;$C_{\rm braun}$&nbsp; und der Shannon&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_{\rm Gauß}$.
 
*Die Aussagen gelten auch, wenn für gewisse &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
 
*Aus dem Grenzwert &nbsp;$C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$&nbsp; für &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}  &#8594; &#8734;$&nbsp; ergibt sich der Symbolumfang &nbsp;$M_X = |X| = 4$.
 
*Die rote Kurve beschreibt also die 4&ndash;ASK.&nbsp; $M_X = |X| = 2$&nbsp; würde für die BPSK gelten.
 
*Die 4&ndash;QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;2 bit/Kanalzugriff&rdquo;.&nbsp; Für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte liegt aber die Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; oberhalb der roten Kurve, da &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; von der Gauß&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_2$&nbsp; begrenzt wird, $C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; aber von &nbsp;$C_3$.
 
 
 
 
 
Die Bezeichnungen &nbsp;$C_2$&nbsp; und &nbsp;$C_3$&nbsp; beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
 
  
  
  
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>:
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*Der rote Kurvenzug &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; liegt stets oberhalb von &nbsp;$C_{\rm BPSK}$,&nbsp; aber unterhalb von &nbsp;$C_{\rm braun}$&nbsp; und der Shannon&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_{\rm Gauß}$.
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*Die Aussagen gelten auch, wenn  Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit für gewisse &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Wertenicht zu unterscheiden sind.
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*Aus dem Grenzwert &nbsp;$C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$&nbsp; für &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}  &#8594; &#8734;$&nbsp; ergibt sich der Symbolumfang &nbsp;$M_X = |X| = 4$.&nbsp; <br>Die rote Kurve beschreibt also die 4&ndash;ASK.&nbsp; $M_X = |X| = 2$&nbsp; würde für die BPSK gelten.
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*Die 4&ndash;QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;$\rm 2 \ bit/Kanalzugriff$&rdquo;.&nbsp; Für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte liegt aber die Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; oberhalb der roten Kurve,&nbsp; da &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; von der Gauß&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_2$&nbsp; begrenzt wird, $C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; aber von &nbsp;$C_3$.&nbsp; Die Bezeichnungen &nbsp;$C_2$&nbsp; und &nbsp;$C_3$&nbsp; beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
  
 
[[Datei:P_ID2954__Inf_A_4_9e.png|right|frame|Kanalkapazitätsgrenzen für <br>BPSK, 4–ASK und 8–ASK]]
 
[[Datei:P_ID2954__Inf_A_4_9e.png|right|frame|Kanalkapazitätsgrenzen für <br>BPSK, 4–ASK und 8–ASK]]
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:
 
*Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
 
*Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
 
*Die 8&ndash;PSK mit I&ndash; und Q&ndash;Komponente &ndash; also mit&nbsp; $K = 2$&nbsp; Dimensionen &ndash;  liegt für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte etwas oberhalb der braunen Kurve &nbsp; &rArr; &nbsp; die Antwort 3 ist falsch.
 
*Die 8&ndash;PSK mit I&ndash; und Q&ndash;Komponente &ndash; also mit&nbsp; $K = 2$&nbsp; Dimensionen &ndash;  liegt für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte etwas oberhalb der braunen Kurve &nbsp; &rArr; &nbsp; die Antwort 3 ist falsch.
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In der Grafik sind auch die beiden 8&ndash;ASK&ndash;Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.
 
In der Grafik sind auch die beiden 8&ndash;ASK&ndash;Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.
* Der violette Punkt liegt über der Kurve &nbsp;$C_{\rm 8&ndash;ASK}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ reichen nicht aus, um die  8&ndash;ASK  fehlerfrei decodieren zu können &nbsp; &#8658; &nbsp; $R > C$ &nbsp; &#8658; &nbsp; das Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp;  Antwort 4 ist falsch.
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* Der violette Punkt liegt über der &nbsp;$C_{\rm 8&ndash;ASK}$.&nbsp; $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$&nbsp; reichen nicht, um die  8&ndash;ASK  fehlerfrei zu decodieren &nbsp; &#8658; &nbsp; $R > C_{\rm 8&ndash;ASK}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp;  Antwort 4 ist falsch.
* Reduziert man aber die Coderate gemäß dem gelben Punkt bei gleichem $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ auf $R = 2 < C_{\rm 8&ndash;ASK}$, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt  &nbsp; &#8658; &nbsp; Antwort 5 ist richtig.
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* Reduziert man aber die Coderate bei gleichem&nbsp; $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$&nbsp; auf&nbsp; $R = 2 < C_{\rm 8&ndash;ASK}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  gelber Punkt,&nbsp; so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt  &nbsp; &#8658; &nbsp; Antwort 5 ist richtig.
  
 
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Aktuelle Version vom 4. November 2021, 14:44 Uhr

Einige Kanalkapazitätskurven

Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$:

  • $C_\text{Gauß}$:    Shannonsche Grenzkurve,
  • $C_\text{BPSK}$:    gültig für  "Binary Phase Shift Keying"  $\rm (BPSK)$.


Die beiden weiteren Kurvenverläufe  $C_\text{rot}$  und  $C_\text{braun}$  sollen in den Teilaufgaben  (3)  und  (4)  analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.



Hinweise:


Vorgeschlagene Signalraumkonstellationen

Anmerkungen zur Nomenklatur:

  • In der Literatur wird manchmal die „BPSK” auch mit „2–ASK” bezeichnet:
$$x ∈ X = \{+1,\ -1\}.$$
  • Dagegen verstehen wir hier als „ASK” den unipolaren Fall:
$$x ∈ X = \{0,\ 1 \}.$$
  • Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:
$$C_\text{ASK} < C_\text{BPSK}.$$
Dieser Sachverhalt ist allerdings unerheblich für die Lösung der vorliegenden Aufgabe.


Fragebogen

1

Welche Gleichung liegt der Shannon–Grenzkurve  $C_{\rm Gauß}$  zugrunde?

Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_1= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$,
Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_2= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot E_{\rm S}/{N_0})$,
Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_3= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$.

2

Welche Aussagen treffen für die grüne  $C_{\rm BPSK}$–Kurve zu?

$C_{\rm BPSK}$  kann nicht in geschlossener Form angegeben werden.
$C_{\rm BPSK}$  ist größer als Null,  wenn  $E_{\rm S}/{N_0} > 0$  vorausgesetzt wird.
Für  $E_{\rm S}/{N_0} < \ln (2)$  ist  $C_{\rm BPSK} ≡ 0$.
Im gesamten Bereich gilt  $C_{\rm BPSK} < C_{\rm Gauß} $.

3

Welche Aussagen treffen für die rote Kurve  $C_{\rm rot}$  zu?

Für die zugehörige Zufallsgröße  $X$  gilt  $M_X = |X| = 2$.
Für die zugehörige Zufallsgröße  $X$  gilt  $M_X = |X| = 4$.
$C_{\rm rot}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–ASK.
$C_{\rm rot}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–QAM.
Für alle  $E_{\rm S}/{N_0} > 0$  liegt  $C_{\rm rot}$  zwischen „grün” und „braun”.

4

Welche Aussagen treffen für die braune Kurve  $C_{\rm braun}$  zu?
Hinweis:  $p_{\rm B}$  bezeichnet hierbei die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.

Für die zugehörige Zufallsgröße  $X$  gilt  $M_X = |X| = 8$.
$C_{\rm braun}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–ASK.
$C_{\rm braun}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–PSK.
$p_{\rm B} ≡ 0$  ist mit 8–ASK,  $R = 2.5$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$  möglich.
$p_{\rm B} ≡ 0$  ist mit 8–ASK,  $R = 2$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$  möglich.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der  Vorschlag 2,  wie die Rechnung für  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$   ⇒   $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$  zeigt:

$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$
  • Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:
$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$
$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall  "Zweier unabhängiger Gaußkanäle"  mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.


(2)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

  • Würde man  $E_{\rm S}$  durch  $E_{\rm B}$  ersetzen,  so wäre auch die Aussage 3 richtig.
  • Für  $E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$  gilt nämlich  $C_{\rm Gauß} ≡ 0$  und damit auch  $C_{\rm BPSK} ≡ 0$.


(3)  Richtig sind die  Aussagen 2, 3 und 5:

  • Der rote Kurvenzug  $C_{\rm rot}$  liegt stets oberhalb von  $C_{\rm BPSK}$,  aber unterhalb von  $C_{\rm braun}$  und der Shannon–Grenzkurve  $C_{\rm Gauß}$.
  • Die Aussagen gelten auch, wenn Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit für gewisse  $E_{\rm S}/{N_0}$–Wertenicht zu unterscheiden sind.
  • Aus dem Grenzwert  $C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$  für  $E_{\rm S}/{N_0} → ∞$  ergibt sich der Symbolumfang  $M_X = |X| = 4$. 
    Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK.  $M_X = |X| = 2$  würde für die BPSK gelten.
  • Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert „$\rm 2 \ bit/Kanalzugriff$”.  Für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte liegt aber die Kanalkapazität  $C_{\rm 4–QAM}$  oberhalb der roten Kurve,  da  $C_{\rm rot}$  von der Gauß–Grenzkurve  $C_2$  begrenzt wird, $C_{\rm 4–QAM}$  aber von  $C_3$.  Die Bezeichnungen  $C_2$  und  $C_3$  beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe  (1).
Kanalkapazitätsgrenzen für
BPSK, 4–ASK und 8–ASK



(4)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1, 2 und 5:

  • Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
  • Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit  $K = 2$  Dimensionen – liegt für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve   ⇒   die Antwort 3 ist falsch.


In der Grafik sind auch die beiden 8–ASK–Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.

  • Der violette Punkt liegt über der  $C_{\rm 8–ASK}$.  $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$  reichen nicht, um die 8–ASK fehlerfrei zu decodieren   ⇒   $R > C_{\rm 8–ASK}$   ⇒   Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt   ⇒   Antwort 4 ist falsch.
  • Reduziert man aber die Coderate bei gleichem  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$  auf  $R = 2 < C_{\rm 8–ASK}$   ⇒   gelber Punkt,  so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt   ⇒   Antwort 5 ist richtig.