Aufgaben:Aufgabe 4.3: WDF–Vergleich bezüglich differentieller Entropie

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$h(X)$  für vier Dichtefunktionen

Nebenstehende Tabelle zeigt das Vergleichsergebnis hinsichtlich der differentiellen Entropie  $h(X)$  für

• die  Gleichverteilung   ⇒   $f_X(x) = f_1(x)$:

$$f_1(x) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2A) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} |x| \le A \\ {\rm sonst} \\ \end{array},$$

• die  Dreieckverteilung   ⇒   $f_X(x) = f_2(x)$:

$$f_2(x) = \left\{ \begin{array}{c} 1/A \cdot \big [1 - |x|/A \big ] \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} |x| \le A \\ {\rm sonst} \\ \end{array},$$

• die  Laplaceverteilung   ⇒   $f_X(x) = f_3(x)$:

$$f_3(x) = \lambda/2 \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}|x|}\hspace{0.05cm}.$$

Die Werte für die  Gaußverteilung   ⇒   $f_X(x) = f_4(x)$  mit

$$f_4(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \cdot {\rm e}^{ - \hspace{0.05cm}{x ^2}/{(2 \sigma^2})}$$

sind hier noch nicht eingetragen.  Diese sollen in den Teilaufgaben  (1)  bis  (3)  ermittelt werden.

Alle hier betrachteten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen sind

• symmetrisch um  $x = 0$    ⇒   $f_X(-x) = f_X(x)$
• und damit mittelwertfrei   ⇒  $m_1 = 0$.

In allen hier betrachteten Fällen kann die differentielle Entropie wie folgt dargestellt werden:

• Unter der Nebenbedingung  $|X| ≤ A$   ⇒    Spitzenwertbegrenzung:

$$h(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm A} \cdot A) \hspace{0.05cm},$$

• Unter der Nebenbedingung  ${\rm E}\big [|X – m_1|^2 \big ] ≤ σ^2$   ⇒   Leistungsbegrenzung:

$$h(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm L} \cdot \sigma^2) \hspace{0.05cm}.$$

Je größer die jeweilige Kenngröße  ${\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm A}$  bzw.  ${\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm L}$  ist,  desto günstiger ist bei der vereinbarten Nebenbedingung die vorliegende WDF hinsichtlich der differentiellen Entropie.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Differentielle Entropie.
• Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe finden Sie insbesondere auf den Seiten

Differentielle Entropie einiger spitzenwertbegrenzter Zufallsgrößen  sowie

Differentielle Entropie einiger leistungsbegrenzter Zufallsgrößen.

Fragebogen

1 Welche Gleichung gilt für den Logarithmus der Gauß–WDF?

	Es gilt:   $\ln \big[f_X(x) \big] = \ln (A) - x^2/(2 \sigma^2)$   mit   $A = f_X(x=0)$.
	Es gilt:   $\ln \big [f_X(x) \big] = A - \ln (x^2/(2 \sigma^2)$   mit   $A = f_X(x=0)$.

2 Welche Gleichung gilt für die differentielle Entropie der Gauß–WDF?

	Es gilt:   $h(X)= 1/2 \cdot \ln (2\pi\hspace{0.05cm}{\rm e}\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm} \sigma^2)$  mit der Pseudoeinheit „nat”.
	Es gilt:   $h(X)= 1/2 \cdot \log_2 (2\pi\hspace{0.05cm}{\rm e}\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}\sigma^2)$  mit der Pseudoeinheit „bit”.

3 Ergänzen Sie den fehlenden Eintrag für die Gauß–WDF in obiger Tabelle.

${\it \Gamma}_{\rm L} \ = \ $

4 Welche Werte erhält man für die Gauß–WDF mit dem Gleichanteil  $m_1 = \sigma = 1$?

$P/\sigma^2 \ = \ $

$h(X) \ = \ $ $\ \rm bit$

5 Welche der Aussagen stimmen für die differentielle Entropie  $h(X)$  unter der Nebenbedingung „Leistungsbegrenzung” auf  ${\rm E}\big[|X – m_1|^2\big] ≤ σ^2$?

	Die Gaußverteilung   ⇒   $f_4(x)$  führt zum maximalen  $h(X)$.
	Die Gleichverteilung   ⇒   $f_1(x)$  führt zum maximalen  $h(X)$.
	Die Dreieck–WDF   ⇒   $f_2(x)$  ist sehr ungünstig, da spitzenwertbegrenzt.
	Die Dreieck–WDF   ⇒   $f_2(x)$  ist günstiger als die Laplaceverteilung   ⇒   $f_3(x)$.

6 Welche der Aussagen stimmen bei „Spitzenwertbegrenzung” auf den Bereich  $|X| ≤ A$.  Die maximale differentielle Entropie  $h(X)$  ergibt sich für

	eine Gauß–WDF   ⇒   $f_4(x)$  mit anschließender Begrenzung   ⇒  $|X| ≤ A$,
	die Gleichverteilung   ⇒   $f_1(x)$,
	die Dreieckverteilung   ⇒   $f_2(x)$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Wir gehen von der mittelwertfreien Gauß–WDF aus:

$$f_X(x) = f_4(x) =A \cdot {\rm exp} [ - \hspace{0.05cm}\frac{x ^2}{2 \sigma^2}]\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}A = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\hspace{0.05cm}.$$

• Logarithmiert man diese Funktion, so erhält man als Ergebnis den Lösungsvorschlag 1:

$${\rm ln}\hspace{0.1cm} \big [f_X(x) \big ] = {\rm ln}\hspace{0.1cm}(A) +{\rm ln}\hspace{0.1cm}\left [{\rm exp} ( - \hspace{0.05cm}\frac{x ^2}{2 \sigma^2}) \right ] = {\rm ln}\hspace{0.1cm}(A) - \frac{x ^2}{2 \sigma^2}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Beide Lösungsvorschläge sind richtig.

• Mit dem Ergebnis aus  (1)  erhält man für die differentielle Entropie in „nat”:

$$h_{\rm nat}(X)= -\hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.15cm} f_X(x) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [f_X(x)] \hspace{0.1cm}{\rm d}x =- {\rm ln}\hspace{0.1cm}(A) \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.15cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x+ \frac{1}{2 \sigma^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.15cm} x^2 \cdot f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x = - {\rm ln}\hspace{0.1cm}(A) + {1}/{2}\hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei ist berücksichtigt, dass das erste Integral gleich  $1$  ist  (WDF–Fläche).
• Das zweite Integral gibt zugleich die Varianz  $\sigma^2$ an  (wenn wie hier der Gleichanteil  $m_1 = 0$  ist).
• Ersetzt man die Abkürzungsvariable  $A$, so erhält man:

$$h_{\rm nat}(X) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} - {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left (\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \right ) + {1}/{2} = {1}/{2}\cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ({2\pi \sigma^2} \right ) + {1}/{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( {\rm e} \right ) = {1}/{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ({{2\pi {\rm e} \cdot \sigma^2}} \right )\hspace{0.05cm}.$$

• Soll die differentielle Entropie  $h(X)$  nicht in „nat” angegeben werden, sondern in „bit”,  so ist für den Logarithmus die Basis  $2$  zu wählen:

$$h_{\rm bit}(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ({{2\pi {\rm e} \cdot \sigma^2}} \right )\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Nach der impliziten Definition  $h(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm L} \cdot \sigma^2)$  ergibt sich somit für die Kenngröße:

$${\it \Gamma}_{\rm L} = 2\pi {\rm e} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 17.08}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Wir betrachten nun eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit Mittelwert  $m_1$:

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \cdot {\rm exp}\left [ - \hspace{0.05cm}\frac{(x -m_1)^2}{2 \sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$

• Das zweite Moment  $m_2 = {\rm E}\big [X ^2 \big ]$  kann man auch als die Leistung  $P$  bezeichnen, während für die Varianz gilt (ist gleichzeitig das zweite Zentralmoment):

$$\sigma^2 = {\rm E}\big [|X – m_1|^2 \big ] = \mu_2.$$

• Nach dem Satz von Steiner gilt  $P = m_2 = m_1^2 + \sigma^2$.  Unter der Voraussetzung  $m_1 = \sigma = 1$  ist somit  $\underline{P/\sigma^2 = 2}$.

• Durch den Gleichanteil wird zwar die Leistung verdoppelt.  An der differentiellen Entropie ändert sich dadurch aber nichts.  Es gilt somit weiterhin:

$$h(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ({{2\pi {\rm e} \cdot \sigma^2}} \right )= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm} (17.08)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2.047\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$

Vervollständigte Ergebnistabelle für  $h(X)$

(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge  (1)  und  (4).  In der vervollständigten Tabelle rechts sind auch die numerischen Werte der Kenngrößen  ${\it \Gamma}_{\rm L}$  und  ${\it \Gamma}_{\rm A}$  eingetragen.

Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_X(x)$  ist bei Leistungsbegrenzung immer dann besonders günstig, wenn der Wert  ${\it \Gamma}_{\rm L}$  (rechte Spalte)  möglichst groß ist.  Dann ist die differentielle Entropie  $h(X)$  ebenfalls groß.

Die numerischen Ergebnisse lassen sich wie folgt interpretieren:

• Wie imTheorieteil bewiesen wird, führt die Gaußverteilung  $f_4(x)$  hier zum größtmöglichen  ${\it \Gamma}_{\rm L} ≈ 17.08$   ⇒   der Lösungsvorschlag 1 ist richtig (der Wert in der letzten Spalte ist rot markiert).
• Für die Gleichverteilung  $f_1(x)$  ist die Kenngröße ${\it \Gamma}_{\rm L} = 12$  die kleinste in der gesamten Tabelle   ⇒   der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
• Die Dreieckverteilung  $f_2(x)$  ist mit  ${\it \Gamma}_{\rm L} = 16.31$  günstiger als die Gleichverteilung   ⇒   der Lösungsvorschlag 3 ist falsch.
• Die Dreieckverteilung  $f_2(x)$  ist auch besser als die Laplaceverteilung  $f_2(x) \ \ ({\it \Gamma}_{\rm L} = 14.78)$   ⇒   der Lösungsvorschlag 4 ist richtig.

(6)  Richtig ist der Lösungsvorschlag  (2). 

Eine WDF  $f_X(x)$  ist unter der Nebenbedingung der Spitzenwertbegrenzung   ⇒   $|X| ≤ A$ günstig hinsichtlich der differentiellen Entropie  $h(X)$, wenn der Bewertungsfaktor  ${\it \Gamma}_{\rm A}$  (mittlere Spalte)  möglichst groß ist:

• Wie im Theorieteil gezeigt wird, führt die Gleichverteilung  $f_1(x)$  hier zum größtmöglichen  ${\it \Gamma}_{\rm A}= 2$   ⇒   der Lösungsvorschlag 2 ist richtig (der Wert in der mittleren Spalte ist rot markiert).
• Die ebenfalls spitzenwertbegrenzte Dreieckverteilung  $f_2(x)$  ist durch ein etwas kleineres  ${\it \Gamma}_{\rm A}= 1.649$  gekennzeichnet   ⇒   der Lösungsvorschlag 3 ist falsch.
• Die Gaußverteilung  $f_4(x)$  ist unendlich weit ausgedehnt.  Eine Spitzenwertbegrenzung auf  $|X| ≤ A$ führt hier zu Diracfunktionen in der WDF   ⇒   $h(X) \to - \infty$, siehe Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z, Teilaufgabe (4).
• Gleiches würde auch für die Laplaceverteilung  $f_3(x)$  gelten.