Applets:Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
K (Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29“)
 
(35 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 +
{{LntAppletLinkDeEn|pseudoternarycodes|pseudoternarycodes_en}}
  
{{LntAppletLink|matchedFilter}}
 
 
 
==Programmbeschreibung==
 
==Programmbeschreibung==
 
<br>
 
<br>
Das Applet soll die Eigenschaften des so genannten &bdquo;Matched-Filters&rdquo;&nbsp; $({\rm MF})$&nbsp; verdeutlichen.&nbsp; Dieses dient zur optimalen Bestimmung des Vorhandenseins (Detektion) der Amplitude und/oder der Lage einer bekannten Signalform in einer stark verrauschten Umgebung.&nbsp; Oder allgemeiner gesprochen:&nbsp; Das Matched-Filter &ndash; manchmal auch als &bdquo;Optimalfilter&rdquo;&nbsp; oder als &bdquo;Korrelationsfilter&rdquo;&nbsp; bezeichnet &ndash; dient dem Nachweis der Signalexistenz.&nbsp;
+
Das Applet behandelt die Eigenschaften der bekanntesten Pseudoternärcodes, nämlich:
 +
#&nbsp; Bipolarcode erster Ordnung bzw.&nbsp; $\rm AMI$&ndash;Code&nbsp; (von: ''Alternate Mark Inversion''),&nbsp; gekennzeichnet durch die Parameter&nbsp; $N_{\rm C} = 1, \ K_{\rm C} = +1$,
 +
#&nbsp; Duobinärcode,&nbsp; $(\rm DUOB)$,&nbsp; Codeparameter:&nbsp; $N_{\rm C} = 1, \ K_{\rm C} = -1$,
 +
#&nbsp; Bipolarcode zweiter Ordnung&nbsp; $(\rm BIP2)$,&nbsp; Codeparameter:&nbsp; $N_{\rm C} = 2, \ K_{\rm C} = +1$.
  
[[Datei:P_ID568__Sto_T_5_4_S1_neu.png |right|frame| Blockschaltbild des Matched-Filter-Empfängers]]
 
  
Die Grafik zeigt den so genannten&nbsp; '''Matched-Filter-Empfänger''':  
+
Am Eingang liegt die redundanzfreie binäre bipolare Quellensymbolfolge&nbsp; $\langle \hspace{0.05cm}q_\nu  \hspace{0.05cm}\rangle  \ \in \{+1, -1\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Rechtecksignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; an.&nbsp; Verdeutlicht wird die Generierung
 +
*der binär&ndash;vorcodierten Folge&nbsp; $\langle \hspace{0.05cm}b_\nu  \hspace{0.05cm}\rangle \ \in \{+1, -1\}$,&nbsp; dargestellt durch das ebenfalls redundanzfreie binäre bipolare Rechtecksignal&nbsp; $b(t)$,
 +
*der pseudoternären Codefolge&nbsp; $\langle \hspace{0.05cm}c_\nu  \hspace{0.05cm}\rangle \ \in \{+1,\ 0,  -1\}$,&nbsp; dargestellt durch das redundante ternäre bipolare Rechtecksignal&nbsp; $c(t)$,
 +
*das gleichermaßen redundante ternäre Sendesignal&nbsp; $s(t)$, gekennzeichnet durch die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_\nu  $,&nbsp; und den (Sende&ndash;) Grundimpuls&nbsp; $g(t)$:
 +
:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
 +
       
 +
Der Grundimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; &ndash;&nbsp; im Applet&nbsp; &bdquo;Rechteck&rdquo;,&nbsp; &bdquo;Nyquist&rdquo; und&nbsp; &bdquo;Wurzel&ndash;Nyquist&rdquo;&nbsp; &ndash;&nbsp; bestimmt nicht nur die Form des Sendesignals, sondern auch den Verlauf
 +
* der Autokorrelationsfunktion&nbsp;  $\rm (AKF)$&nbsp;  $\varphi_s (\tau)$&nbsp; und
 +
* des zugehörigen Leistungsdichtespektrums&nbsp;  $\rm (LDS)$&nbsp; ${\it \Phi}_s (f)$.
  
*Dieser kann mit größtmöglicher Sicherheit – anders ausgedrückt: &nbsp; mit maximalem Signal&ndash;zu&ndash;Rausch&ndash;Verhältnis&nbsp; $($englisch:&nbsp; signal&ndash;to&ndash;noise&ndash;ratio,&nbsp; $\rm SNR)$&nbsp; – entscheiden, ob ein durch additives Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; gestörtes impulsförmiges Nutzsignal&nbsp; $g(t)$&nbsp; vorhanden ist oder nicht.
 
*Eine Anwendung ist die Radartechnik, bei der man zwar die Impulsform&nbsp; $g(t)$&nbsp; kennt, nicht aber, wann der Impuls gesendet wurde und mit welcher Stärke und Verzögerung dieser ankommt.
 
*Das Matched-Filter wird aber auch als Empfangsfilter in digitalen Übertragungssystemen (oder zumindest als Teil davon) eingesetzt, um die Fehlerwahrscheinlichkeit des Systems zu minimieren.
 
  
 +
Das Applet zeigt auch, dass das gesamte Leistungsdichtespektrum&nbsp;  ${\it \Phi}_s (f)$ aufgeteilt werden kann in den Anteil&nbsp; ${\it \Phi}_a (f)$, der die statistischen Bindungen der Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_\nu$ &nbsp; berücksichtigt, und das Energiedichtespektrum $ {\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)  = |G(f)|^2 $, gekennzeichnet durch die Impulsform&nbsp; $g(t)$.
  
Alle Parameter, Zeiten und Frequenzen sind als normierte Größen zu verstehen und damit dimensionslos.
+
''Anmerkung'': &nbsp; Im Applet wird kein Unterschied zwischen den Codersymbolen&nbsp; $c_\nu \in \{+1,\ 0,  -1\}$&nbsp; und den Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_\nu \in \{+1,\ 0,  -1\}$&nbsp; gemacht.&nbsp; Dabei sollte nicht vergessen werden, dass die&nbsp; $a_\nu$&nbsp; stets Zahlenwerte sind, während für die Codersymbole auch die Notation&nbsp; $c_\nu \in \{\text{Plus},\ \text{Null},\  \text{Minus}\}$&nbsp; zulässig wäre.
  
* Für den '''Eingangsimpuls'''&nbsp; $g(t)$&nbsp; sind&nbsp; &bdquo;Rechteck&rdquo;,&nbsp; &bdquo;Gauß&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;Exponential&rdquo;&nbsp; einstellbar, die jeweils durch die Impulsamplitude&nbsp; $A_g$,&nbsp; die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t_g$&nbsp; sowie die Verschiebung&nbsp; $\tau_g$&nbsp; gegenüber dem (hinsichtlich Zeit) symmetrischen Fall beschrieben werden.&nbsp; Weitere Informationen im Abschnitt&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters#Weitere_Angaben_zu_den_betrachteten_Eingangsimpulsen|Weitere Angaben zu den betrachteten Eingangsimpulsen]].
+
==Theoretischer Hintergrund==
* Für das '''Empfangsfilter'''&nbsp; kann zwischen den Alternativen&nbsp; &bdquo;Spalt&ndash;Tiefpass&rdquo;,&nbsp; &bdquo;Gauß&ndash;Tiefpass&rdquo;,&nbsp; &bdquo;Tiefpass erster Ordnung&rdquo;und&nbsp; &bdquo;extrem akausales Filter&rdquo;&nbsp; gewählt werden.&nbsp; Dargestellt werden die jeweiligen Impulsantworten&nbsp; $h(t)$,&nbsp; gekennzeichnet durch deren  Höhe&nbsp; $A_h$,&nbsp; die äquivalente Dauer&nbsp; $\Delta t_h$&nbsp; und die Verschiebung&nbsp; $\tau_h$.&nbsp; Weitere Informationen im Abschnitt&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters#Weitere_Angaben_zu_den_betrachteten_Impulsantworten|Weitere Angaben zu den betrachteten Impulsantworten]].
 
* Weitere Eingabeparameter sind der Detektionszeitpunkt&nbsp; $T_{\rm D}$&nbsp; sowie die ebenfalls normierte Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0$&nbsp; am Empfängereingang.
 
  
 +
=== Allgemeine Beschreibung der Pseudoternärcodes ===
  
Als Numerikwerte ausgegeben werden
+
Bei der symbolweisen Codierung wird mit jedem ankommenden Quellensymbol &nbsp;$q_\nu$&nbsp; ein Codesymbol &nbsp;$c_\nu$&nbsp; erzeugt, das außer vom aktuellen Eingangssymbol &nbsp;$q_\nu$&nbsp; auch von den &nbsp;$N_{\rm C}$&nbsp; vorangegangenen Symbolen &nbsp;$q_{\nu-1}$, ... , $q_{\nu-N_{\rm C}} $&nbsp; abhängt. &nbsp;$N_{\rm C}$&nbsp; bezeichnet man als die ''Ordnung''&nbsp; des Codes.
*die Energie&nbsp; $E_g$&nbsp; des Eingangsimpulses&nbsp; $g(t)$,&nbsp; der Nutzabtastwert&nbsp; $d_{\rm S} (T_{\rm D})$&nbsp; am Filterausgang sowie die Rauschvarianz&nbsp; $\sigma_d^2$&nbsp; am Filterausgang,
 
*das Signal&ndash;zu&ndash;Rausch&ndash;Verhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$&nbsp; $\rho_{d} (T_{\rm D})$&nbsp; am Filterausgang und die zugehörige dB&ndash;Angabe&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_{d} (T_{\rm D})$,
 
*der hierfür maximale Wert&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$.&nbsp;  
 
  
 
+
[[Datei:P_ID1343__Dig_T_2_4_S1_v1.png|right|frame|Blockschaltbild und Ersatzschaltbild eines Pseudoternärcodierers|class=fit]]
Erfüllt die eingegebene Konfiguration die Matched-Filter-Bedingungen, dann gilt: &nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_{d} (T_{\rm D,\ opt}) = 10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$.  
 
 
 
 
 
==Theoretischer Hintergrund==
 
<br>
 
=== Allgemeine Beschreibung der Pseudomehrstufencodes ===
 
 
 
Bei der symbolweisen Codierung wird mit jedem ankommenden Quellensymbol &nbsp;$q_\nu$&nbsp; ein Codesymbol &nbsp;$c_\nu$&nbsp; erzeugt, das außer vom aktuellen Eingangssymbol &nbsp;$q_\nu$&nbsp; auch von den &nbsp;$N_{\rm C}$&nbsp; vorangegangenen Symbolen &nbsp;$q_{\nu-1}$, ... , $q_{\nu-N_{\rm C}} $&nbsp; abhängt. &nbsp;$N_{\rm C}$&nbsp; bezeichnet man als die ''Ordnung''&nbsp; des Codes.<br><br>
 
  
 
Typisch für eine symbolweise Codierung ist, dass
 
Typisch für eine symbolweise Codierung ist, dass
Zeile 41: Zeile 36:
 
*Codierung und Decodierung nicht zu größeren Zeitverzögerungen führen, die bei Verwendung von Blockcodes unvermeidbar sind.<br><br>
 
*Codierung und Decodierung nicht zu größeren Zeitverzögerungen führen, die bei Verwendung von Blockcodes unvermeidbar sind.<br><br>
  
Besondere Bedeutung besitzen die ''Pseudomehrstufencodes''&nbsp; &ndash; besser bekannt unter der englischen Bezeichnung ''Partial Response Codes''.<br>
+
Besondere Bedeutung besitzen ''Pseudomehrstufencodes''&nbsp; &ndash; besser bekannt unter der englischen Bezeichnung ''Partial Response Codes''.&nbsp;
 
+
Im Folgenden werden ausschließlich ''Pseudoternärcodes'' &nbsp; &rArr; &nbsp;  Stufenzahl &nbsp;$M = 3$&nbsp; betrachtet, die durch das Blockschaltbild entsprechend der linken Grafik beschreibbar sind. In der rechten Grafik ist ein Ersatzschaltbild angegeben, das für eine Analyse dieser Codes sehr gut geeignet ist.
+
*Im Folgenden werden ausschließlich ''Pseudoternärcodes'' &nbsp; &rArr; &nbsp;  Stufenzahl &nbsp;$M = 3$&nbsp; betrachtet, die durch das Blockschaltbild entsprechend der linken Grafik beschreibbar sind.&nbsp;
 +
*In der rechten Grafik ist ein Ersatzschaltbild angegeben, das für eine Analyse dieser Codes sehr gut geeignet ist.
  
[[Datei:P_ID1343__Dig_T_2_4_S1_v1.png|center|frame|Blockschaltbild und Ersatzschaltbild eines Pseudoternärcoders|class=fit]]
 
  
 
Man erkennt aus den beiden Darstellungen:
 
Man erkennt aus den beiden Darstellungen:
*Der Pseudoternärcoder kann in den nichtlinearen Vorcodierer und ein lineares Codiernetzwerk aufgespalten werden, wenn man &ndash; wie im rechten  Ersatzschaltbild  dargestellt &ndash;  die Verzögerung um &nbsp;$N_{\rm C} \cdot T$&nbsp; und die Gewichtung mit &nbsp;$K_{\rm C}$&nbsp; zur Verdeutlichung zweimal zeichnet.<br>
+
*Der Pseudoternärcodierer kann in den nichtlinearen Vorcodierer und ein lineares Codiernetzwerk aufgespalten werden, wenn man &ndash; wie im rechten  Ersatzschaltbild  dargestellt &ndash;  die Verzögerung um &nbsp;$N_{\rm C} \cdot T$&nbsp; und die Gewichtung mit &nbsp;$K_{\rm C}$&nbsp; zur Verdeutlichung zweimal zeichnet.<br>
  
*Der ''nichtlineare Vorcodierer''&nbsp; gewinnt durch eine Modulo&ndash;2&ndash;Addition (''Antivalenz''&nbsp;) zwischen den Symbolen &nbsp;$q_\nu$&nbsp; und &nbsp;$K_{\rm C} \cdot b_{\nu-N_{\rm C}} $&nbsp; die  vorcodierten Symbole &nbsp;$b_\nu$, die ebenfalls binär sind:
+
*Der ''nichtlineare Vorcodierer''&nbsp; gewinnt durch eine Modulo&ndash;2&ndash;Addition&nbsp; (&bdquo;Antivalenz&rdquo;)&nbsp; zwischen den Symbolen &nbsp;$q_\nu$&nbsp; und &nbsp;$K_{\rm C} \cdot b_{\nu-N_{\rm C}} $&nbsp; die  vorcodierten Symbole &nbsp;$b_\nu$, die ebenfalls binär sind:
 
:$$q_\nu \in \{-1, +1\},\hspace{0.1cm} K_{\rm C} \in \{-1,
 
:$$q_\nu \in \{-1, +1\},\hspace{0.1cm} K_{\rm C} \in \{-1,
 
+1\}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}b_\nu \in \{-1,
 
+1\}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}b_\nu \in \{-1,
 
+1\}\hspace{0.05cm}.$$
 
+1\}\hspace{0.05cm}.$$
*Die Symbole &nbsp;$b_\nu$&nbsp; sind wie die Quellensymbole &nbsp;$q_\nu$&nbsp; statistisch voneinander unabhängig. Der Vorcodierer fügt also keine Redundanz hinzu. Er gestattet aber eine einfachere Realisierung des Decoders und verhindert eine Fehlerfortpflanzung nach einem Übertragungsfehler.<br>
+
*Die Symbole &nbsp;$b_\nu$&nbsp; sind wie die Quellensymbole &nbsp;$q_\nu$&nbsp; statistisch voneinander unabhängig.&nbsp; Der Vorcodierer fügt also keine Redundanz hinzu.&nbsp; Er gestattet aber eine einfachere Realisierung des Decoders und verhindert eine Fehlerfortpflanzung nach einem Übertragungsfehler.<br>
  
 
*Die eigentliche Umcodierung von binär &nbsp;$(M_q = 2)$&nbsp; auf ternär &nbsp;$(M = M_c = 3)$&nbsp; bewirkt das ''lineare Codiernetzwerk''&nbsp; durch die herkömmliche Subtraktion
 
*Die eigentliche Umcodierung von binär &nbsp;$(M_q = 2)$&nbsp; auf ternär &nbsp;$(M = M_c = 3)$&nbsp; bewirkt das ''lineare Codiernetzwerk''&nbsp; durch die herkömmliche Subtraktion
Zeile 60: Zeile 55:
 
C}\cdot T)\big]  \in \{-1, \ 0, +1\}\hspace{0.05cm},$$
 
C}\cdot T)\big]  \in \{-1, \ 0, +1\}\hspace{0.05cm},$$
  
:das durch folgende &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]]&nbsp; bzw. &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Übertragungsfunktion]]&nbsp; bezüglich dem Eingangssignal &nbsp;$b(t)$&nbsp; und dem Eingangssignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; beschrieben werden kann:
+
:das durch folgende &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]]&nbsp; bzw. &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Übertragungsfunktion]]&nbsp; bezüglich dem Eingangssignal &nbsp;$b(t)$&nbsp; und dem Ausgangssignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; beschrieben werden kann:
 
:$$h_{\rm C}(t) =  {1}/{2} \cdot \big [\delta(t) - K_{\rm C} \cdot \delta(t- N_{\rm
 
:$$h_{\rm C}(t) =  {1}/{2} \cdot \big [\delta(t) - K_{\rm C} \cdot \delta(t- N_{\rm
 
C}\cdot T)\big] \ \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ H_{\rm C}(f) ={1}/{2} \cdot \left [1 - K_{\rm C} \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}N_{\rm C}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}\right]\hspace{0.05cm}.  $$
 
C}\cdot T)\big] \ \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ H_{\rm C}(f) ={1}/{2} \cdot \left [1 - K_{\rm C} \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}N_{\rm C}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}\right]\hspace{0.05cm}.  $$
Zeile 68: Zeile 63:
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Fazit:}$&nbsp; Wird für den Sendegrundimpuls $g_s(t)$ das NRZ&ndash;Rechteck vorausgesetzt, so lautet das '''Sendesignal aller Pseudoternärcodes''':
+
Das&nbsp; $\text{Sendesignal aller Pseudoternärcodes}$&nbsp; wird im Folgenden stets wie folgt dargestellt:
:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
Dieses ist sowohl ''ternär'' &nbsp; &rArr; &nbsp; $a_\nu \in \{-1, \ 0, +1\}$ als auch ''redundant'' &nbsp; &rArr; &nbsp; statistische Bindungen zwischen den $a_\nu$.}}
+
*Die Eigenschaft des aktuellen Pseudoternärcodes spiegelt sich in den statistischen Bindungen zwischen den&nbsp; $a_\nu$&nbsp; wider.&nbsp; In allen Fällen gilt&nbsp; $a_\nu \in \{-1, \ 0, +1\}$.
 +
*Der Sendegrundimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; stellt zum einen die erforderliche Energie bereit, hat aber auch Einfluss auf die statistischen Bindungen innerhalb des Signals.
 +
*Im Programm ausgewählt werden kann neben dem NRZ&ndash;Rechteckimpuls&nbsp; $g_{\rm R}(t)$:&nbsp;
 +
:*der Nyquistimpuls&nbsp;&nbsp; &rArr; &nbsp; Impulsantwort des Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpasses mit Rolloff&ndash;Faktor $r$:
 +
:$$g_{\rm Nyq}(t)={\rm const.} \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot t/T)}{1-(2\cdot r\cdot  t/T)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot  t/T) \ \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ G_{\rm Nyq}(f),$$
 +
 
 +
:*der Wurzel&ndash;Nyquistimpuls&nbsp;&nbsp; &rArr; &nbsp; Impulsantwort des  Wurzel&ndash;Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpasses mit Rolloff&ndash;Faktor $r$:
 +
:$$g_{\sqrt{\rm Nyq} }(t)\ \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ G_{\sqrt{\rm Nyq} }(f)={\rm const.} \cdot \sqrt{G_{\rm Nyq}(f)} .$$ }}
 +
<br><br>
  
 
=== Eigenschaften des AMI-Codes===
 
=== Eigenschaften des AMI-Codes===
  
Die einzelnen Pseudoternärcodes unterscheiden sich in den Parametern &nbsp;$N_{\rm C}$&nbsp; und &nbsp;$K_{\rm C}$.  
+
Die Pseudoternärcodes unterscheiden sich in den Parametern &nbsp;$N_{\rm C}$&nbsp; und &nbsp;$K_{\rm C}$.&nbsp; Der bekannteste Vertreter ist der&nbsp; '''Bipolarcode erster Ordnung'''&nbsp; mit den Codeparametern &nbsp;$N_{\rm C} = 1$&nbsp; und &nbsp;$K_{\rm C} = 1$, der auch unter der Bezeichnung&nbsp;  '''AMI&ndash;Code'''&nbsp;  (von: ''Alternate Mark Inversion'') bekannt ist.  
  
Der bekannteste Vertreter ist der '''Bipolarcode erster Ordnung''' mit den Codeparametern &nbsp;$N_{\rm C} = 1$&nbsp; und &nbsp;$K_{\rm C} = 1$, der auch unter der Bezeichnung  '''AMI&ndash;Code'''  (von: ''Alternate Mark Inversion'') bekannt ist. Dieser wird zum Beispiel bei &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]&nbsp; (''Integrated Services Digital Networks'') auf der so genannten  $S_0$&ndash;Schnittstelle eingesetzt.  
+
[[Datei:P_ID1346__Dig_T_2_4_S2a_v1.png|right|frame|AMI&ndash; und HDB3&ndash;Codierung, jeweils dargestellt mit Rechtecksignalen|class=fit]]
 +
Dieser wird zum Beispiel bei &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]&nbsp; (''Integrated Services Digital Networks'') auf der so genannten&nbsp; $S_0$&ndash;Schnittstelle eingesetzt.  
  
[[Datei:P_ID1346__Dig_T_2_4_S2a_v1.png|right|frame|Signale bei AMI- und HDB3-Codierung|class=fit]]
 
 
Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal &nbsp;$q(t)$. Im zweiten und dritten Diagramm sind dargestellt:
 
Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal &nbsp;$q(t)$. Im zweiten und dritten Diagramm sind dargestellt:
 
* das ebenfalls binäre Signal &nbsp;$b(t)$&nbsp; nach dem Vorcodierer, und  
 
* das ebenfalls binäre Signal &nbsp;$b(t)$&nbsp; nach dem Vorcodierer, und  
Zeile 85: Zeile 88:
  
 
Man erkennt das einfache AMI&ndash;Codierprinzip:
 
Man erkennt das einfache AMI&ndash;Codierprinzip:
*Jeder Binärwert &bdquo;&ndash;1&rdquo; von $q(t)$  &nbsp; &rArr; &nbsp;  Symbol &nbsp;$\rm L$&nbsp; wird durch den ternären Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_\nu = 0$&nbsp; codiert.<br>
+
*Jeder Binärwert &bdquo;-1&rdquo; von&nbsp; $q(t)$  &nbsp; &rArr; &nbsp;  Symbol &nbsp;$\rm L$&nbsp; wird durch den ternären Koeffizienten &nbsp;$a_\nu = 0$&nbsp; codiert.<br>
 
*Der Binärwert &bdquo;+1&rdquo; von &nbsp;$q(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Symbol &nbsp;$\rm H$&nbsp; wird alternierend mit &nbsp;$a_\nu = +1$&nbsp; und &nbsp;$a_\nu = -1$&nbsp; dargestellt.<br><br>
 
*Der Binärwert &bdquo;+1&rdquo; von &nbsp;$q(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Symbol &nbsp;$\rm H$&nbsp; wird alternierend mit &nbsp;$a_\nu = +1$&nbsp; und &nbsp;$a_\nu = -1$&nbsp; dargestellt.<br><br>
  
Damit wird sichergestellt, dass im AMI&ndash;codierten Signal keine langen &bdquo;+1&rdquo;&ndash; bzw. &bdquo;&ndash;1&rdquo;&ndash;Sequenzen enthalten sind, was bei einem gleichsignalfreien Kanal zu Problemen führen würde.  
+
Damit wird sichergestellt, dass im AMI&ndash;codierten Signal keine langen &bdquo;+1&rdquo;&ndash; und auch keine keine langen &bdquo;&ndash;1&rdquo;&ndash;Sequenzen enthalten sind, was bei einem gleichsignalfreien Kanal zu Problemen führen würde.  
  
 
Dagegen ist das Auftreten langer Nullfolgen durchaus möglich, bei denen über einen längeren Zeitraum keine Taktinformation übertragen wird.
 
Dagegen ist das Auftreten langer Nullfolgen durchaus möglich, bei denen über einen längeren Zeitraum keine Taktinformation übertragen wird.
<br clear = all>
+
 
 
Um dieses zweite Problem zu vermeiden, wurden einige modifizierte AMI&ndash;Codes entwickelt, zum Beispiel der ''B6ZS&ndash;Code''&nbsp; und der ''HDB3''&ndash;Code:
 
Um dieses zweite Problem zu vermeiden, wurden einige modifizierte AMI&ndash;Codes entwickelt, zum Beispiel der ''B6ZS&ndash;Code''&nbsp; und der ''HDB3''&ndash;Code:
 
*Beim '''HDB3&ndash;Code'''&nbsp; (grüne Kurve in obiger Grafik) werden vier aufeinanderfolgende Nullen im AMI&ndash;codierten Signal durch eine Teilsequenz ersetzt, die die AMI&ndash;Codierregel verletzt.<br>
 
*Beim '''HDB3&ndash;Code'''&nbsp; (grüne Kurve in obiger Grafik) werden vier aufeinanderfolgende Nullen im AMI&ndash;codierten Signal durch eine Teilsequenz ersetzt, die die AMI&ndash;Codierregel verletzt.<br>
Zeile 99: Zeile 102:
 
*Damit ist beim HDB3&ndash;Code die Anzahl aufeinanderfolgender Nullen auf &nbsp;$3$&nbsp; begrenzt und beim &nbsp;[https://www.itwissen.info/B6ZS-bipolar-with-six-zero-substitution-B6ZS-Codierung.html B6ZS&ndash;Code]&nbsp; auf &nbsp;$5$.  
 
*Damit ist beim HDB3&ndash;Code die Anzahl aufeinanderfolgender Nullen auf &nbsp;$3$&nbsp; begrenzt und beim &nbsp;[https://www.itwissen.info/B6ZS-bipolar-with-six-zero-substitution-B6ZS-Codierung.html B6ZS&ndash;Code]&nbsp; auf &nbsp;$5$.  
 
*Der Decoder erkennt diese Codeverletzung und ersetzt &bdquo;+ 0 0 +&rdquo; wieder durch &bdquo;0 0 0 0&rdquo;.<br>
 
*Der Decoder erkennt diese Codeverletzung und ersetzt &bdquo;+ 0 0 +&rdquo; wieder durch &bdquo;0 0 0 0&rdquo;.<br>
 +
<br><br>
 +
=== Zur AKF–Berechnung eines Digitalsignals ===
 +
In der Versuchsdurchführung werden einige Größen und Zusamenhänge verwendet, die hier kurz eräutert werden sollen:
 +
 +
*&nbsp; Das (zeitlich unbegrenzte) Digitalsignal beinhaltet sowohl die Quellenstatistik $($Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_\nu$)&nbsp; als auch die Sendeimpulsform &nbsp;$g(t)$:
 +
:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
 +
 +
*&nbsp; Ist&nbsp; $s(t)$&nbsp; die Musterfunktion eines stationären und ergodischen Zufallsprozesses, so gilt für die &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29|Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; $\rm (AKF)$:
 +
:$$\varphi_s(\tau) = {\rm E}\big [s(t) \cdot s(t + \tau)\big ] =  \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T}
 +
\cdot \varphi_a(\lambda)\cdot\varphi^{^{\bullet} }_{gs}(\tau -
 +
\lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
 +
 +
*&nbsp; Diese Gleichung beschreibt die Faltung der diskreten AKF&nbsp; $\varphi_a(\lambda) =  {\rm E}\big [ a_\nu \cdot a_{\nu + \lambda}\big]$&nbsp; der Amplitudenkoeffizienten mit der Energie&ndash;AKF des Grundimpulses:
 +
 +
:$$\varphi^{^{\bullet} }_{g}(\tau) =
 +
\int_{-\infty}^{+\infty} g ( t ) \cdot  g ( t +
 +
\tau)\,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$
 +
 +
*Der Punkt soll darauf hinweisen, dass&nbsp; $\varphi^{^{\bullet} }_{g}(\tau)$&nbsp; die Einheit einer Energie besitzt, während&nbsp; $\varphi_s(\tau)$&nbsp; eine Leistung angibt und&nbsp; $\varphi_a(\lambda)$&nbsp; dimensionslos ist.
 +
<br>
 +
=== Zur LDS-Berechnung eines Digitalsignals ===
 +
Die Entsprechungsgröße zur AKF ist im Frequenzbereich das [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; ${\it \Phi}_s(f)$, das mit&nbsp; $\varphi_s(\tau)$&nbsp; über das Fourierintegral fest verknüpft ist:<br>
 +
:$$\varphi_s(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}
 +
  {\it \Phi}_s(f)  =  \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_s(\tau) \cdot
 +
  {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi  f \hspace{0.02cm} \tau}
 +
  \,{\rm d} \tau  \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; kann unter Berücksichtigung der Dimensionsbereinigung&nbsp; $(1/T)$&nbsp; als Produkt zweier Funktionen dargestellt werden:
 +
:$${\it \Phi}_s(f) =  {\it \Phi}_a(f) \cdot  {1}/{T} \cdot
 +
|G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Der erste Term &nbsp;${\it \Phi}_a(f)$&nbsp; ist dimensionslos und beschreibt die spektrale Formung des Sendesignals durch die statistischen Bindungen der Quelle:<br>
 +
:$$\varphi_a(\lambda) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}{\it \Phi}_a(f) =  \sum_{\lambda =
 +
-\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm
 +
j}\hspace{0.05cm} 2 \pi  f \hspace{0.02cm} \lambda \hspace{0.02cm}T} =
 +
\varphi_a(0) + 2 \cdot \sum_{\lambda =
 +
1}^{\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot\cos ( 2 \pi  f
 +
\lambda T) \hspace{0.05cm}.$$
 +
*${\it \Phi^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}}(f)$&nbsp; berücksichtigt die spektrale Formung durch &nbsp;$g(t)$. Je schmaler dieser ist, desto breiter ist &nbsp;$\vert G(f) \vert^2$&nbsp; und um so größer ist damit der Bandbreitenbedarf:
 +
:$$\varphi^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{g}(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}
 +
  {\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)  = |G(f)|^2
 +
  \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Das Energiedichtespektrum ${\it \Phi^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}}(f)$&nbsp; hat die Einheit &nbsp;$\rm Ws/Hz$&nbsp; und  das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi_{s}}(f)$&nbsp; nach der Division durch den Symbolabstand &nbsp;$T$&nbsp; die Einheit &nbsp;$\rm W/Hz$.
 +
 +
 +
 +
  
 
===  Leistungsdichtespektrum des AMI-Codes===
 
===  Leistungsdichtespektrum des AMI-Codes===
Zeile 169: Zeile 217:
 
*Das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; des pseudoternären Duobinärcodes ist identisch mit dem LDS bei redundanzfreier Binärcodierung mit halber Rate $($Symboldauer &nbsp;$2T)$.<br>
 
*Das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; des pseudoternären Duobinärcodes ist identisch mit dem LDS bei redundanzfreier Binärcodierung mit halber Rate $($Symboldauer &nbsp;$2T)$.<br>
 
<br clear= all>
 
<br clear= all>
=== AKF–Berechnung eines Digitalsignals ===
 
  
Zur Vereinfachung der Schreibweise wird im Folgenden &nbsp;$M_c = M$&nbsp; und &nbsp;$T_c = T$&nbsp; gesetzt. Damit kann für das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; bei einer zeitlich unbegrenzten Nachrichtenfolge mit &nbsp;$a_\nu \in \{ a_1,$ ... , $a_M\}$&nbsp; geschrieben werden:
 
:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$
 
Diese Signaldarstellung  beinhaltet sowohl die Quellenstatistik $($Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_\nu$)&nbsp; als auch die Sendeimpulsform &nbsp;$g_s(t)$. Die Grafik zeigt zwei binäre bipolare Sendesignale &nbsp;$s_{\rm G}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm R}(t)$&nbsp; mit gleichen Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_\nu$, die sich somit  lediglich durch den Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; unterscheiden.
 
  
[[Datei:P_ID1305__Dig_T_2_1_S4_v2.png|right|frame|Zwei verschiedene binäre bipolare Sendesignale|class=fit]]
+
==Versuchsdurchführung==
  
Man erkennt aus dieser Darstellung, dass ein Digitalsignal im Allgemeinen nichtstationär ist:
+
[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]
*Beim Sendesignal &nbsp;$s_{\rm G}(t)$&nbsp; mit schmalen Gaußimpulsen ist die &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Station.C3.A4re_Zufallsprozesse|Nichtstationarität]]&nbsp; offensichtlich, da zum Beispiel bei Vielfachen von &nbsp;$T$&nbsp; die Varianz &nbsp;$\sigma_s^2 = s_0^2$&nbsp; ist, während genau dazwischen &nbsp; $\sigma_s^2 \approx 0$&nbsp; gilt.<br>
 
 
 
 
 
*Auch das Signal &nbsp;$s_{\rm R}(t)$&nbsp; mit NRZ&ndash;rechteckförmigen Impulsen ist im strengen Sinne nichtstationär, da sich hier die Momente an den Bitgrenzen gegenüber allen anderen Zeitpunkten unterscheiden. Beispielsweise gilt &nbsp;$s_{\rm R}(t = \pm T/2)=0$.
 
<br clear=all>
 
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Definition:}$&nbsp; Einen Zufallsprozess, dessen Momente &nbsp;$m_k(t) =  m_k(t+ \nu \cdot T)$&nbsp; sich periodisch mit &nbsp;$T$&nbsp; wiederholen, bezeichnet man als '''zyklostationär'''; &nbsp;$k$&nbsp; und &nbsp;$\nu$&nbsp; besitzen bei dieser impliziten Definition ganzzahlige Zahlenwerte.}}
 
 
 
 
 
Viele der für &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse |ergodische Prozesse]]&nbsp; gültigen Regeln kann man mit nur geringen Einschränkungen auch auf ''zykloergodische''&nbsp; (und damit auf ''zyklostationäre''&nbsp;) Prozesse anwenden.
 
 
 
Insbesondere gilt für die &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29|Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; (AKF) solcher Zufallsprozesse mit Mustersignal &nbsp;$s(t)$:
 
:$$\varphi_s(\tau) = {\rm E}\big [s(t) \cdot s(t + \tau)\big ] \hspace{0.05cm}.$$
 
Mit obiger Gleichung des Sendesignals kann die AKF als Zeitmittelwert auch wie folgt geschrieben werden:
 
:$$\varphi_s(\tau) =  \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}
 
\cdot  \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N +1} \cdot \sum_{\nu =
 
-N}^{+N} a_\nu \cdot a_{\nu + \lambda}  \cdot
 
\int_{-\infty}^{+\infty}  g_s ( t ) \cdot g_s ( t + \tau -
 
\lambda \cdot T)\,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$
 
 
 
Da die Grenzwert&ndash;, Integral&ndash; und Summenbildung miteinander vertauscht werden darf, kann mit den Substitutionen &nbsp;$N = T_{\rm M}/(2T)$, &nbsp;$\lambda = \kappa- \nu$&nbsp; und &nbsp;$t - \nu \cdot T \to T$&nbsp; hierfür auch geschrieben werden:
 
:$$\varphi_s(\tau) = \lim_{T_{\rm M} \to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}
 
  \cdot
 
\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}
 
\sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} \sum_{\kappa = -\infty}^{+\infty}
 
a_\nu \cdot  g_s ( t - \nu \cdot T ) \cdot
 
a_\kappa \cdot  g_s ( t + \tau - \kappa \cdot T )
 
\,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$
 
Nun werden zur Abkürzung folgende Größen eingeführt:
 
 
 
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten''' liefert Aussagen über die linearen statistischen Bindungen der Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\nu}$&nbsp; und &nbsp;$a_{\nu + \lambda}$&nbsp; und besitzt keine Einheit:
 
:$$\varphi_a(\lambda) =  \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N +1} \cdot
 
\sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot a_{\nu + \lambda}
 
\hspace{0.05cm}.$$}}
 
 
 
 
 
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Energie&ndash;AKF''' des Grundimpulses ist ähnlich definiert wie die allgemeine (Leistungs&ndash;)AKF. Sie wird mit einem Punkt gekennzeichnet. Da &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Energiebegrenzte_und_leistungsbegrenzte_Signale| energiebegrenzt]]&nbsp; ist, kann auf die Division durch &nbsp;$T_{\rm M}$&nbsp;  und den Grenzübergang verzichtet werden:
 
:$$\varphi^{^{\bullet} }_{gs}(\tau) =
 
\int_{-\infty}^{+\infty} g_s ( t ) \cdot  g_s ( t +
 
\tau)\,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$}}
 
 
 
 
 
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Definition:}$&nbsp; Für die '''Autokorrelationsfunktion eines Digitalsignals''' &nbsp;$s(t)$&nbsp; gilt allgemein:
 
:$$\varphi_s(\tau) =  \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T}
 
\cdot \varphi_a(\lambda)\cdot\varphi^{^{\bullet} }_{gs}(\tau -
 
\lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
 
Das Signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; kann dabei binär oder mehrstufig, unipolar oder bipolar sowie redundanzfrei oder redundant (leitungscodiert) sein. Die Impulsform wird durch die Energie&ndash;AKF berücksichtigt.}}
 
 
 
 
 
Beschreibt das Digitalsignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; einen Spannungsverlauf, so hat die Energie&ndash;AKF des Grundimpulses &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; die Einheit &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; und &nbsp;$\varphi_s(\tau)$&nbsp;  die Einheit &nbsp;$\rm V^2$, jeweils bezogen auf den Widerstand &nbsp;$1 \ \rm \Omega$.
 
 
 
 
 
<i>Anmerkung:</i> &nbsp; Im strengen Sinne der Systemtheorie müsste man die AKF der Amplitudenkoeffizienten wie folgt definieren:
 
:$$\varphi_{a , \hspace{0.08cm}\delta}(\tau) =  \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}
 
\varphi_a(\lambda)\cdot \delta(\tau - \lambda \cdot
 
T)\hspace{0.05cm}.$$
 
Damit würde sich die obige Gleichung wie folgt darstellen:
 
:$$\varphi_s(\tau) ={1}/{T} \cdot \varphi_{a , \hspace{0.08cm}
 
\delta}(\tau)\star \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau - \lambda \cdot
 
T) =  \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot
 
\varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau - \lambda
 
\cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
 
Zur einfacheren Darstellung wird im Folgenden die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten
 
&nbsp; &#8658; &nbsp; $\varphi_a(\lambda)$&nbsp;
 
ohne diese Diracfunktionen geschrieben.<br>
 
 
 
 
 
=== LDS–Berechnung eines Digitalsignals ===
 
 
 
Die Entsprechungsgröße zur Autokorrelationsfunktion (AKF) eines Zufallssignals &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi_s(\tau)$&nbsp; ist im Frequenzbereich das [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp; (LDS) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\it \Phi}_s(f)$, das mit der AKF über das Fourierintegral in einem festen Bezug steht:<br>
 
:$$\varphi_s(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}
 
  {\it \Phi}_s(f)  =  \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_s(\tau) \cdot
 
  {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi  f \hspace{0.02cm} \tau}
 
  \,{\rm d} \tau  \hspace{0.05cm}.$$
 
Berücksichtigt man den Zusammenhang zwischen Energie&ndash;AKF und Energiespektrum,
 
:$$\varphi^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{gs}(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}
 
  {\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{gs}(f)  = |G_s(f)|^2
 
  \hspace{0.05cm},$$
 
sowie den &nbsp;[[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]], so kann das Leistungsdichtespektrum des Digitalsignals &nbsp;$s(t)$&nbsp; in folgender Weise dargestellt werden:
 
:$${\it \Phi}_s(f)  =    \sum_{\lambda =
 
-\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot {\it
 
\Phi}^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{gs}(f) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}
 
2 \pi  f \hspace{0.02cm} \lambda T} =  {1}/{T} \cdot |G_s(f)|^2 \cdot \sum_{\lambda =
 
-\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot \cos (
 
2 \pi  f \lambda  T)\hspace{0.05cm}.$$
 
Hierbei ist berücksichtigt, dass &nbsp;${\it \Phi}_s(f)$&nbsp;  und &nbsp;$|G_s(f)|^2$&nbsp; reellwertig sind und gleichzeitig &nbsp;$\varphi_a(-\lambda) =\varphi_a(+\lambda)$&nbsp; gilt.<br><br>
 
Definiert man nun die '''spektrale Leistungsdichte der Amplitudenkoeffizienten''' zu
 
:$${\it \Phi}_a(f) =  \sum_{\lambda =
 
-\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm
 
j}\hspace{0.05cm} 2 \pi  f \hspace{0.02cm} \lambda \hspace{0.02cm}T} =
 
\varphi_a(0) + 2 \cdot \sum_{\lambda =
 
1}^{\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot\cos ( 2 \pi  f
 
\lambda T) \hspace{0.05cm},$$
 
so erhält man den folgenden Ausdruck:
 
:$${\it \Phi}_s(f) =  {\it \Phi}_a(f) \cdot  {1}/{T} \cdot
 
|G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$
 
 
 
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Fazit:}$&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; eines Digitalsignals &nbsp;$s(t)$&nbsp; kann als Produkt zweier Funktionen dargestellt werden::
 
*Der erste Term &nbsp;${\it \Phi}_a(f)$&nbsp; ist dimensionslos und beschreibt die spektrale Formung des Sendesignals durch ''die statistischen Bindungen der Quelle''.<br>
 
*Dagegen berücksichtigt &nbsp;$\vert G_s(f) \vert^2$&nbsp; die ''spektrale Formung durch den Sendegrundimpuls'' &nbsp;$g_s(t)$. Je schmaler dieser ist, desto breiter ist &nbsp;$\vert G_s(f) \vert^2$&nbsp; und um so größer ist damit der Bandbreitenbedarf.<br>
 
*Das Energiespektrum hat die Einheit &nbsp;$\rm V^2s/Hz$&nbsp; und  das Leistungsdichtespektrum &ndash; aufgrund der Division durch den Symbolabstand &nbsp;$T$&nbsp; &ndash; die Einheit &nbsp;$\rm V^2/Hz$. Beide Angaben gelten wieder nur  für den Widerstand &nbsp;$1 \ \rm \Omega$.}}
 
 
 
== Fehlerwahrscheinlichkeit der Pseudoternärcodes ==
 
 
<br>
 
<br>
[[Datei:P_ID1350__Dig_T_2_4_S4_v1.png|right|frame|Augendiagramme bei AMI&ndash;, Duobinär&ndash; und 4B3T&ndash;Codierung|class=fit]]
+
*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; ('''1''',&nbsp;'''2''', ... )&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
Die Grafik zeigt die &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms|Augendiagramme]]&nbsp; ('''ohne''' Rauschen)  bei Verwendung
+
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*von AMI&ndash;Code (links)
+
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
*und Duobinärcode (Mitte)
+
*Die Nummer&nbsp; '''0'''&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart.
*im Vergleich zum 4B3T&ndash;Code (rechts).  
+
<br><br>
  
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(1)'''&nbsp; Betrachten und interpretieren Sie die binäre Vorcodierung beim '''AMI&ndash;Code''' anhand der Quellensymbolfolge&nbsp; $\rm C$&nbsp; unter der Annahme&nbsp; $b_0 = +1$.  }}
 +
*Die Modulo–2–Addition kann auch als Antivalenz aufgefasst werden.&nbsp; Es gilt&nbsp; $b_{\nu} = +1$, falls sich&nbsp; $q_{\nu}$&nbsp; und&nbsp; $b_{\nu – 1}$&nbsp; unterscheiden, andernfalls ist&nbsp; $b_{\nu} = -1$&nbsp; zu setzen:
 +
:&nbsp; $b_1 = (q_1 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_0= +1) = -1,\ \ b_2 = (q_2 = -1)\ {\rm XOR}\ (b_1= -1) = -1,\ \ b_3 = (q_3 = -1)\ {\rm XOR}\ (b_2= -1) = -1,$
 +
:&nbsp; $b_4 = (q_4 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_3= -1) = +1,\ \ b_5 = (q_5 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_4= +1) = -1,\ \ b_6 = (q_6 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_5= -1) = +1,\ \ b_7 = b_8 = \text{...} = -1.$
 +
*Mit der Startbedingung&nbsp; $b_0 = -1$&nbsp; ergibt sich die negierte Folge:&nbsp; $b_4 = b_6 =-1$.&nbsp;  Alle anderen&nbsp; $b_\nu = +1$. 
  
Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie auf der Seite  &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes#Fehlerwahrscheinlichkeit_der_4B3T-Codes|Fehlerwahrscheinlichkeit der 4B3T-Codes]]. Insbesondere:
 
*Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Charakteristik des Gesamtfrequenzgangs (von Sender und Empfänger) mit dem Rolloff&ndash;Faktor $r = 0.8$.
 
<br clear=all>
 
Die Ergebnisse sind wie folgt zu interpretieren:
 
  
*Man erkennt in der linken Grafik, dass beim AMI&ndash;Code die horizontalen Linien bei &nbsp;$+s_0$&nbsp; und  &nbsp;$-s_0$&nbsp; fehlen (Gleichsignalfreiheit!), während beim Duobinärcode (mittlere Grafik) keine Übergänge von &nbsp;$+s_0$&nbsp; auf &nbsp;$-s_0$&nbsp; (und umgekehrt) möglich sind. Beim 4B3T&ndash;Code erkennt man im Augendiagramm deutlich mehr Linien als bei den beiden linken Bildern. Der redundanzfreie Ternärcode würde nahezu das gleiche Ergebnis liefern.<br>
+
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(2)'''&nbsp; Es gelte&nbsp; $b_0 = +1$.&nbsp; Betrachten Sie die AMI&ndash;Coderfolge&nbsp; $\langle c_\nu \rangle$&nbsp; der Quellensymbolfolge&nbsp; $\rm C$&nbsp; und geben Sie deren Ampltitudenkoeffizienten&nbsp; $a_\nu$&nbsp; an.}}
  
*Auf der oben zitierten Seite wurde die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des 4B3T&ndash;Codes für die Leistungskenngröße &nbsp;$10 \cdot \lg \hspace{0.05cm}(s_0^2 \cdot T/N_0) = 13 \ \rm dB$&nbsp; (gültig für Spitzenwertbegrenzung!) wie folgt berechnet:
+
*Es gilt:&nbsp; $a_1= 0.5 \cdot (b_1-b_0) = -1$,&nbsp; $a_2= 0.5 \cdot (b_2-b_1) =0$,&nbsp; $a_3= 0.5 \cdot (b_3-b_2) =0$,&nbsp; $a_4= +1$,&nbsp; $a_5= -1$,&nbsp; $a_6= +1$,&nbsp; $a_7= -1$,&nbsp; $a_8= a_9 = \text{...} = 0$.
:$${ \sigma_d}/{s_0} = 0.145 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+
*Im Gegensatz zur Vorcodierung ist hier die herkömmliche Addition (Subtraktion) anzuwenden und nicht die Modulo&ndash;2&ndash; Addition.
p_{\rm S} = {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{ \sigma_d} \right) \approx
 
{4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( 3.45 \right) = 3.7 \cdot 10^{-4}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
  
*Bei Verwendung eines Pseudoternärcodes ergibt sich eine größere Fehlerwahrscheinlichkeit, weil hier der Rauscheffektivwert gegenüber der redundanzfreien Binärcodierung nicht verringert wird:
 
:$${ \sigma_d}/{s_0} = 0.167 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
p_{\rm S} = {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{ \sigma_d} \right) \approx
 
{4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( 3 \right) = 1.8 \cdot 10^{-3}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
  
*Bei Erfüllung der Nyquistbedingung unterscheiden sich der AMI&ndash; und der Duobinärcode trotz völlig unterschiedlicher Augendiagramme  hinsichtlich der Fehlerwahrscheinlichkeit nicht.<br>
+
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(3)'''&nbsp; Betrachten Sie nun die AMI&ndash;Codierung für mehrere Zufallsfolgen.&nbsp; Welche Regeln lassen sich aus diesen Versuchen für die Ampltitudenkoeffizienten&nbsp; $a_\nu$&nbsp; ableiten?}}
  
*Wie aber im Abschnitt &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_Übertragung#Augen.C3.B6ffnung_bei_den_Pseudotern.C3.A4rcodes|Augenöffnung bei den Pseudoternärcodes]]&nbsp; noch gezeigt werden wird, ist das Fehlerverhalten der beiden Codes immer dann extrem unterschiedlich, wenn &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Impulsinterferenzen]]&nbsp; eine Rolle spielen.<br>===Detailbeschreibung des zugrunde liegenden Modells===
+
*Jeder Binärwert&nbsp; &bdquo;&ndash;1&rdquo;&nbsp; von&nbsp; $q(t)$  &nbsp; &rArr; &nbsp; Symbol &nbsp;$\rm L$&nbsp; wird durch den ternären Koeffizienten &nbsp;$a_\nu = 0$&nbsp; codiert.&nbsp; Es können beliebig viele &nbsp;$a_\nu = 0$&nbsp; aufeinanderfolgen.  
 +
*Der Binärwert&nbsp; &bdquo;+1&rdquo;&nbsp; von &nbsp;$q(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Symbol &nbsp;$\rm H$&nbsp; wird alternierend mit &nbsp;$a_\nu = +1$&nbsp; und &nbsp;$a_\nu = -1$&nbsp; dargestellt, beginnend mit&nbsp; $a_\nu = -1$, falls&nbsp; $b_0 = +1$.
 +
*Aus der Quellensymbolfolge&nbsp; $\rm A$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\langle \hspace{0.05cm}q_\nu \equiv +1 \hspace{0.05cm}\rangle$&nbsp; wird die Codesymbolfolge&nbsp; $+1, -1, +1, -1, \text{...}$&nbsp;. Lange Folgen&nbsp; $\langle \hspace{0.05cm}a_\nu \equiv +1 \hspace{0.05cm}\rangle$&nbsp; bzw. &nbsp; $\langle \hspace{0.05cm}a_\nu \equiv -1 \hspace{0.05cm}\rangle$&nbsp; sind ausgeschossen.
  
Für die einzelnen Komponenten des obigen Blockschaltbild gelten folgende Voraussetzungen:
 
*Der Nutzanteil&nbsp; $g(t)$&nbsp; des Empfangssignals&nbsp; $r(t)=g(t)+n(t)$&nbsp; sei impulsförmig und somit&nbsp; ''energiebegrenzt''.&nbsp; Das heißt: &nbsp; Das Integral über&nbsp; $ [g(t) ]^2$&nbsp; von&nbsp; $–∞$&nbsp; bis&nbsp; $+∞$&nbsp; liefert den endlichen Wert&nbsp; $E_g$.
 
*Das Störsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; sei&nbsp; ''Weißes Gaußsches Rauschen''&nbsp; mit der Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0$.
 
*Das Filterausgangssignal&nbsp; $d(t)= d_{\rm S}(t) + d_{\rm N}(t)$&nbsp; besteht additiv aus zwei Anteilen.&nbsp; Der Anteil&nbsp; $d_{\rm S}(t)$&nbsp; geht auf das&nbsp; $\rm S\hspace{0.04cm}$ignal&nbsp; $g(t)$&nbsp; zurück, &nbsp; $d_{\rm N}(t)$&nbsp; auf das&nbsp; $\rm N\hspace{0.04cm}$oise&nbsp; $n(t)$.
 
*Der Empfänger, bestehend aus einem linearen Filter &nbsp;  ⇒ &nbsp;  Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm MF}(f)$&nbsp; und dem Entscheider, ist so zu dimensionieren, dass das momentane S/N-Verhältnis am Ausgang maximal wird:
 
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {d_{\rm S} ^2 ( {T_{\rm D} } )} }{ {\sigma_d^2 } }\mathop  = \limits^{\rm{!} }\hspace{0.1cm} {\rm{Maximum} }.$$
 
*Hierbei bezeichnen &nbsp;${σ_d}^2$&nbsp; die&nbsp; ''Varianz''&nbsp; (Leistung) von $d_{\rm N}(t)$ und &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; den (geeignet gewählten)&nbsp; ''Detektionszeitpunkt.''
 
 
  
===Matched-Filter-Optimierung===
+
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(4)'''&nbsp; Weiterhin AMI&ndash;Codierung.&nbsp; Interpretieren Sie die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_a(\lambda)$&nbsp; der Amplitudenkoeffizienten und das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\Phi_a(f)$. }}
 +
*Die diskrete AKF&nbsp; $\varphi_a(\lambda)$&nbsp; der Amplitudenkoeffizienten ist nur für ganzzahlige&nbsp; $\lambda$&ndash;Werte definiert.&nbsp; Beim AMI&ndash;Code&nbsp; $(N_{\rm C}=1)$&nbsp; sind für&nbsp; $|\lambda| > 1$&nbsp; alle&nbsp; $\varphi_a(\lambda)= 0$.
 +
*$\varphi_a(\lambda = 0)$&nbsp; ist gleich dem quadratischen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi_a(\lambda = 0) = {\rm Pr}(a_\nu = +1) \cdot (+1)^2 + {\rm Pr}(a_\nu = -1) \cdot (-1)^2 = 0.5.$
 +
*Zum Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}\big [a_\nu \cdot a_{\nu+1}\big]$&nbsp; tragen nur die Kombinationen&nbsp; $(+1, -1)$&nbsp; und&nbsp; $(-1, +1)$&nbsp; bei.&nbsp; Ergebnis:&nbsp; $\varphi_a(\lambda = \pm 1)={\rm E}\big [a_\nu \cdot a_{\nu+1}\big]=-0.25.$
 +
*Das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_a(f)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte der diskreten AKF&nbsp; $\varphi_a(\lambda)$.&nbsp; Das Ergebnis ist&nbsp;  ${\it \Phi}_a(f)  =  {1}/{2} \cdot \big [1 - \cos (2\pi  f    T)\big ] = \sin^2
 +
  (\pi  f    T)\hspace{0.05cm}.$
 +
*Aus der Gleichsignalfreiheit &nbsp; &rArr; &nbsp;${\it \Phi}_a(f = 0)  = 0$&nbsp; folgt: &nbsp; Der AMI&ndash;Code ist insbesondere für Kanäle interessant, über die kein Gleichanteil übertragen werden kann.
  
Gegeben sei ein energiebegrenztes Nutzsignal&nbsp; $g(t)$&nbsp; mit dem zugehörigen Spektrum&nbsp; $G(f)$.&nbsp; Damit kann das Filterausgangssignal zum Detektionszeitpunkt&nbsp; $T_{\rm D}$&nbsp; für jedes beliebige Filter mit Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; und Frequenzgang&nbsp; $H(f) =\mathcal{ F}\{h(t)\}$ geschrieben werden&nbsp; (ohne Berücksichtigung des Rauschens &nbsp; ⇒ &nbsp; Index &nbsp;$\rm S$&nbsp; für „Signal”):
 
:$$d_{\rm S} ( {T_{\rm D} } ) = g(t) * h(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e}}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D}  }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f} .$$
 
  
Der&nbsp; „Rauschanteil”&nbsp; $d_{\rm N}(t)$&nbsp; des Filterausgangssignals&nbsp; (Index &nbsp;$\rm N$&nbsp; für „Noise”) rührt allein vom Weißen Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; am Eingang des Empfängers her.&nbsp; Für seine Varianz (Leistung) gilt unabhängig vom Detektionszeitpunkt&nbsp; $T_{\rm D}$:
+
{{BlaueBox|TEXT=
:$$\sigma _d ^2  = \frac{ {N_0 } }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$
+
'''(5)'''&nbsp; Wir betrachten weiter die AMI&ndash;Codierung und den Rechteckimpuls.&nbsp; Interpretieren Sie die AKF&nbsp; $\varphi_s(\tau)$&nbsp; des Sendesignals und das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_s(f)$. }}
Damit lautet das hier vorliegende Optimierungsproblem:
+
*$\varphi_s(\tau)$&nbsp; ergibt sich aus der Faltung der diskreten AKF&nbsp; $\varphi_a(\lambda)$&nbsp; mit&nbsp; $\varphi^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{g}(\tau)$.&nbsp;  Beim Rechteckimpuls&nbsp; $($Dauer $T)$&nbsp; ist die Energie&ndash;AKF&nbsp; $\varphi^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{g}(\tau)$&nbsp; ein Dreieck der Dauer&nbsp; $2T$.
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left| {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D}  }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right|^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } \stackrel{!}{=} {\rm{Maximum} }.$$
+
*Es gilt&nbsp; $\varphi_s(\tau = 0)= \varphi_a(\lambda = 0) =0.5, \ \varphi_s(\pm T)= \varphi_a( 1) =-0.25,\ , \ \varphi_s( \pm 2T)= \varphi_a(2) =0.$&nbsp;  Zwischen diesen diskreten Werten verläuft&nbsp; $\varphi_{s}(\tau)$&nbsp; stets linear.
 +
*Das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; ${\it \Phi}_a(f)  =  \sin^2(\pi  f    T)$&nbsp; durch Multiplikation mit ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f) = {\rm si}^2(\pi f T).$&nbsp; An den Nullstellen von&nbsp; ${\it \Phi}_a(f)$&nbsp; ändert sich dadurch nichts.
  
{{BlaueBox|TEXT= 
 
Dieser Quotient wird für den folgenden Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; am größten wird:
 
:$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF}  \cdot G^{\star}  (f) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D}  } . $$
 
*Damit erhält man für das Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis am Matched&ndash;Filter&ndash;Ausgang&nbsp; $($unabhängig von der dimensionsbehafteten Konstante&nbsp; $K_{\rm MF})$:
 
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \rho _{\rm MF}.$$
 
  
* $E_g$ bezeichnet die Energie des Eingangsimpulses, die man nach dem&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Parseval Satz von Parseval]&nbsp; sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich berechnen kann:
+
{{BlaueBox|TEXT=
:$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2 (t)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }t}  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right\vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm d}f} .$$}}
+
'''(6)'''&nbsp; Was ändert sich bezüglich&nbsp; $s(t)$,&nbsp; $\varphi_s(\tau)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; mit dem Nyquistimpuls?&nbsp; Variieren Sie hierbei den Rolloff&ndash;Faktor im Bereich&nbsp; $0 \le r \le 1$.}}
  
 +
*Ein einzelner Nyquistimpuls kann mit der Quellensymbolfolge&nbsp; $\rm B$&nbsp; im&nbsp; $s(t)$&ndash;Bereich dargestellt werden.&nbsp; Man erkennt die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand&nbsp; $T$. 
 +
*Auch bei jeder AMI&ndash;Zufallsfolge entsprechen die Signalwerte&nbsp; $s(t=\nu \cdot T)$&nbsp; für jedes&nbsp; $r$&nbsp; genau ihren Solllagen.&nbsp; Außerhalb dieser Punkte gibt es Abweichungen.
 +
*Im Sonderfall&nbsp; $r=0$&nbsp; ist das Energie&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)$&nbsp; im Bereich&nbsp; $|f|<1/2T$&nbsp; konstant.&nbsp; Dementsprechend hat die Energie&ndash;AKF&nbsp; ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$&nbsp; einen&nbsp; $\rm si$&ndash;förmigen Verlauf. 
 +
*Bei größerem&nbsp; $r$&nbsp; sind dagegen die Nullstellen von&nbsp; ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$&nbsp; nicht mehr äqidistant, da zwar&nbsp; $G(f)$&nbsp; das erste Nyquistkriterium erfüllt, aber nicht&nbsp;  ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)=  [G(f)]^2$.
 +
*Der wesentliche Vorteil des Nyquistimpulses ist die deutlich kleinere Bandbreite.&nbsp; Hier muss nur der Frequenzbereich&nbsp; $|f| < (1+r)/(2T)$&nbsp; bereitgestellt werden.
  
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Herleitung des Matched–Filter–Kriteriums:}$&nbsp;
 
 
$(1)$&nbsp; Die Schwarzsche Ungleichung lautet mit den beiden (im allgemeinen komplexen) Funktionen&nbsp; $A(f)$&nbsp; und&nbsp; $B(f)$:
 
:$$\left \vert  {\int_a^b {A(f) \cdot B(f)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right  \vert ^2  \le \int_a^b {\left \vert {A(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f}  \cdot \int_a^b {\left\vert {B(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} .$$
 
$(2)$&nbsp; Wir wenden nun diese Gleichung auf das Signal&ndash;zu&ndash;Rauschverhältnis an:
 
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left  \vert {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D}  } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right  \vert^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left  \vert {H(f)} \right  \vert^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } }.$$
 
$(3)$&nbsp; Mit&nbsp; $A(f) = G(f)$&nbsp; und&nbsp; $B(f) = H(f) · {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D}  }$&nbsp; ergibt sich somit die folgende Schranke:
 
:$$\rho_d ( {T_{\rm D} } ) \le \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert  {G(f)} \right \vert^{\rm{2} } }\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f .$$
 
$(4)$&nbsp; Wir setzen für den Filterfrequenzgang nun versuchsweise ein:
 
:$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF}  \cdot G^{\star}  (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D}  }.$$
 
$(5)$&nbsp; Dann erhält man aus der obigen Gleichung&nbsp; $(2)$&nbsp; folgendes Ergebnis:
 
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert  K_{\rm MF}\cdot {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert  {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right \vert ^2 } }{ {N_0 /2 \cdot K_{\rm MF} ^2  \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } = \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$
 
 
$\text{Das heißt:}$
 
*Mit dem Ansatz&nbsp; $(4)$&nbsp; für das Matched&ndash;Filter $H_{\rm MF}(f)$ wird in obiger Abschätzung tatsächlich der maximal mögliche Wert erreicht.
 
*Mit keinem anderen Filter&nbsp; $H(f) ≠ H_{\rm MF}(f)$&nbsp; kann man ein höheres Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis erzielen.
 
*Das Matched–Filter ist in Bezug auf das ihm zugrunde gelegte Maximierungskriterium optimal.
 
<div align="right">'''q.e.d.'''</div>
 
}}
 
 
 
{{GraueBox|TEXT= 
 
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; &nbsp;Ein rechteckförmiger Impuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $\rm 1\hspace{0.05cm}V$,&nbsp; Dauer&nbsp; $0.5\hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; und unbekannter Lage soll in einer verrauschten Umgebung aufgefunden werden.
 
*Somit ist die Impulsenergie&nbsp; $E_g = \rm 5 · 10^{–4} \hspace{0.05cm}V^2s$.
 
*Die Rauschleistungsdichte sei&nbsp; $N_0 = \rm 10^{–6} \hspace{0.05cm}V^2/Hz$.
 
 
 
Das beste Ergebnis  &nbsp; ⇒  &nbsp; das&nbsp; '''maximale S/N–Verhältnis'''&nbsp; erzielt man mit dem Matched-Filter:
 
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {2 \cdot E_g } }{ {N_0 } } =
 
\frac{ {2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\, {\rm V^2\,s} } }{ {10^{-6}\, {\rm V^2/Hz} } } = 1000
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 
10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = 30\,{\rm dB}= 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{\rm MF}.$$}}
 
 
 
===Interpretation des Matched-Filters===
 
 
Auf der letzten Seite wurde der Frequenzgang des Matched-Filters wie folgt hergeleitet:
 
:$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF}  \cdot G^{\star}  (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D}  } .$$
 
Durch&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]]&nbsp; erhält man die dazugehörige Impulsantwort:
 
:$$h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF}  \cdot g(T_{\rm D}  - t).$$
 
 
Diese beiden Funktionen lassen sich wie folgt interpretieren:
 
*Das&nbsp; ''Matched-Filter''&nbsp; ist durch den Term &nbsp;$G^{\star}(f)$&nbsp; an das Spektrum des aufzufindenden Impulses &nbsp;$g(t)$&nbsp; angepasst – daher sein Name (englisch: ''to match'' ≡ anpassen).
 
*Die&nbsp; ''Konstante'' &nbsp;$K_{\rm MF}$&nbsp; ist aus Dimensionsgründen notwendig.
 
*Ist&nbsp; $g(t)$&nbsp; ein Spannungsimpuls, so hat diese Konstante die Einheit „Hz/V”.&nbsp; Der Frequenzgang ist somit dimensionslos.
 
*Die&nbsp; ''Impulsantwort'' &nbsp;$h_{\rm MF}(t)$&nbsp; ergibt sich aus dem Nutzsignal &nbsp;$g(t)$&nbsp; durch Spiegelung &nbsp; ⇒ &nbsp; aus $g(t)$ wird $g(–t)$  &nbsp; &nbsp;  sowie einer Verschiebung um&nbsp; $T_{\rm D}$&nbsp; nach rechts.
 
*Der&nbsp; ''früheste Detektionszeitpunkt'' &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; folgt für realisierbare Systeme aus der Bedingung&nbsp; $h_{\rm MF}(t < 0)\equiv 0$ &nbsp; $($„Kausalität”,&nbsp; siehe Buch [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|Lineare zeitinvariante Systeme]]$)$.
 
*Der&nbsp; ''Nutzanteil'' &nbsp;$d_{\rm S} (t)$&nbsp; des Filterausgangssignals ist formgleich mit der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung#AKF.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals|Energie-AKF]] &nbsp; $\varphi^{^{\bullet} }_{g} (t )$&nbsp; und gegenüber dieser um &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; verschoben. Es gilt:
 
:$$d_{\rm S} (t) = g(t) * h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF}  \cdot g(t) * g(T_{\rm D}  - t) = K_{\rm MF}  \cdot \varphi^{^{\bullet} }_{g} (t - T_{\rm D} ).$$
 
 
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp;
 
Bei einem energiebegrenzten Signal&nbsp; $g(t)$&nbsp; kann man nur die&nbsp; ''Energie–AKF''&nbsp; angeben:
 
:$$\varphi^{^{\bullet} }_g (\tau ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t) \cdot g(t + \tau )\,{\rm{d} }t} .$$
 
Gegenüber der AKF-Definition eines leistungsbegrenzten Signals&nbsp; $x(t)$, nämlich
 
:$$\varphi _x (\tau ) = \mathop {\lim }_{T_{\rm M}  \to \infty } \frac{1}{ {T_{\rm M} } }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {x(t) \cdot x(t + \tau )\hspace{0.1cm}\,{\rm{d} }t} ,$$
 
wird bei der Berechnung der Energie-AKF auf die Division durch die Messdauer&nbsp; $T_{\rm M}$&nbsp; sowie auf den Grenzübergang&nbsp; $T_{\rm M} → ∞$&nbsp; verzichtet.}}
 
 
 
{{GraueBox|TEXT= 
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir gehen davon aus, dass der Rechteckimpuls zwischen &nbsp;$\rm 2\hspace{0.08cm}ms$&nbsp; und &nbsp;$\rm 2.5\hspace{0.08cm}ms$&nbsp; liegt und der Detektionszeitpunkt &nbsp;$T_{\rm D} =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$&nbsp; gewünscht wird.
 
 
Unter diesen Voraussetzungen gilt:
 
*Die Matched–Filter–Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm MF}(t)$&nbsp; muss im Bereich von &nbsp;$t_1 (= 4 - 2.5) =\rm 1.5\hspace{0.08cm}ms$&nbsp; bis&nbsp; $t_2 (= 4 - 2) =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$&nbsp; konstant sein.
 
*Für &nbsp;$t < t_1$&nbsp; sowie für &nbsp;$t > t_2$&nbsp; darf sie keine Anteile besitzen.
 
*Der Betragsfrequenzgang &nbsp;$\vert H_{\rm MF}(f)\vert$&nbsp; ist hier&nbsp; $\rm si$–förmig.
 
*Die Höhe der Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm MF}(t)$&nbsp; spielt für das S/N–Verhältnis keine Rolle, da dieses unabhängig von &nbsp;$K_{\rm MF}$&nbsp; ist.}}
 
<br clear=all>
 
 
===Weitere Angaben zu den betrachteten Eingangsimpulsen===
 
Alle Angaben sind ohne Berücksichtigung der Verzögerung&nbsp; $\tau_g$.
 
 
&nbsp; '''(1)&nbsp; Rechteckimpuls'''&nbsp; &rArr; &nbsp;  ''Rectangular  Impulse'' 
 
*Der Impuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; hat im Bereich&nbsp; $\pm \Delta t_g/2$&nbsp; die konstante Höhe&nbsp; $A_g$&nbsp; und ist außerhalb Null.
 
*Die Spektralfunktion&nbsp; $G(f)=A_g\cdot \Delta t_g \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t_g \cdot f)$&nbsp;  besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t_g$.
 
*Die Impulsenergie ist&nbsp; $E_g=A_g^2\cdot \Delta t_g$. 
 
 
 
&nbsp; '''(2)&nbsp; Gaußimpuls'''&nbsp; &rArr; &nbsp;  ''Gaussian  Impulse'' 
 
*Der Impuls&nbsp; $g(t)=A_g\cdot {\rm e}^{-\pi\cdot(t/\Delta t_g)^2}$&nbsp; ist unendlich weit ausgedehnt.&nbsp; Das Maximum ist&nbsp; $g(t= 0)=A_g$.
 
*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer&nbsp; $\Delta t_g$&nbsp; ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum &nbsp; $G(f)=A_g \cdot \Delta  t_g \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(f\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \Delta t_g)^2}$.&nbsp;
 
*Die Impulsenergie ist&nbsp; $E_g=A_g^2\cdot \Delta t_g/\sqrt{2}$.
 
 
 
&nbsp; '''(3)&nbsp; Exponentialimpuls'''&nbsp; &rArr; &nbsp;  ''Exponential  Impulse'' 
 
*Der Impuls ist für&nbsp; $t<0$&nbsp; identisch Null und für positive Zeiten unendlich weit ausgedehnt &nbsp; &rArr; &nbsp; $g(t)=A_g\cdot {\rm e}^{-t/\Delta t_g}$.
 
*$g(t)$&nbsp; ist (stark) unsymmetrisch &nbsp; &rArr; &nbsp; das Spektrum &nbsp; $G(f)=A_g \cdot \Delta  t_g/( 1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot f \cdot \Delta t_g)$&nbsp; ist komplexwertig;
 
*Die Impulsenergie ist&nbsp; $E_g=A_g^2\cdot \Delta t_g/2$.
 
<br><br>
 
===Weitere Angaben zu den betrachteten Impulsantworten===
 
 
Die verschiedenen Empfangsfilter&nbsp; $H(f)$&nbsp; werden durch ihre Impulsantworten&nbsp; $h(t)$&nbsp; beschrieben.&nbsp;
 
 
Diese werden ähnlich wie die Eingangsimpulse&nbsp; $g(t)$&nbsp; durch die Impulshöhe&nbsp; $A_h$, die äquivalente Impulsdauer&nbsp;&nbsp; $\Delta t_h$&nbsp; sowie die Verzögerung&nbsp; $\tau_h$&nbsp; gegenüber dem symmetrischen Fall gekennzeichnet.&nbsp;  Die folgenden Kurzbeschreibungen gelten stets für &nbsp; $\tau_h= 0$.
 
 
&nbsp; '''(1)&nbsp; Spalt&ndash;Tiefpass'''&nbsp; &rArr; &nbsp;  ''Rechteckförmige  Impulsantwort'' 
 
*Die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; hat im Bereich&nbsp; $\pm \Delta t_h/2$&nbsp; die konstante Höhe&nbsp; $A_h$&nbsp; und ist außerhalb Null.
 
*Der Frequenzgang&nbsp; $H(f)=K \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t_g \cdot f)$&nbsp;  besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t_h$.
 
*Bei Weißem Rauschen ist die Rauschvarianz am Filterausgang:&nbsp; $\sigma_d^2= N_0/2 \cdot A_h^2 \cdot  \Delta t_h$. 
 
  
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(7)'''&nbsp; Wiederholen Sie den letzten Versuch mit dem Wurzel&ndash;Nyquistimpuls anstelle des Nyquistimpulses und interpretieren Sie die Ergebnisse. }}
  
&nbsp; '''(2)&nbsp; Gauß&ndash;Tiefpass'''&nbsp; &rArr; &nbsp;  ''Gaußsche  Impulsantwort'
+
*Im Sonderfall&nbsp; $r=0$&nbsp; sind die Ergebnisse wie in&nbsp; '''(6)'''.&nbsp;${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)$&nbsp; ist im Bereich&nbsp; $|f|<1/2T$&nbsp; konstant, außerhalb Null;&nbsp; ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$&nbsp; hat einen&nbsp; $\rm si$&ndash;förmigen Verlauf.
*Die Impulsantwort&nbsp; $h(t)=A_h\cdot {\rm e}^{-\pi\cdot(t/\Delta t_h)^2}$&nbsp; ist unendlich weit ausgedehnt.&nbsp; Das Maximum ist&nbsp; $h(t= 0)=A_h$.
+
*Auch bei größerem&nbsp; $r$&nbsp; sind die Nullstellen von&nbsp; ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$&nbsp; äqidistant&nbsp; (aber nicht $\rm si$&ndash;förmig) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)= [G(f)]^2$&nbsp; erfüllt das erste Nyquistkriterium.
*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer&nbsp; $\Delta t_h$&nbsp; ist, um so breiter und niedriger ist der Frequenzgang&nbsp; $H(f)=K \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(f\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \Delta t_h)^2}$.&nbsp;  
+
*Dagegen erfüllt&nbsp; $G(f)$&nbsp; das erste Nyquistkriterium nicht&nbsp; $($außer für&nbsp; $r=0)$.&nbsp; Es kommt vielmehr bereits beim Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; zu Impulsinterferenzen.
*Bei Weißem Rauschen ist die Rauschvarianz am Filterausgang:&nbsp; $\sigma_d^2= N_0/2 \cdot A_h^2 \cdot  \Delta t_h/\sqrt{2}$.
+
*Dies ist aber auch kein grundlegendes Problem.&nbsp; Durch ein formgleiches Empfangsfilter wie&nbsp; $G(f)$&nbsp; werden Impulsinterferenzen vor dem Entscheider vermieden.
 
 
 
 
&nbsp; '''(3)&nbsp; Tiefpass 1. Ordnung'''&nbsp; &rArr; &nbsp;  ''Exponentiell abfallende  Impulsantwort'' 
 
*Die Impulsantwort ist für&nbsp; $t<0$&nbsp; identisch Null und für positive Zeiten unendlich weit ausgedehnt &nbsp; &rArr; &nbsp; $h(t)=A_h\cdot {\rm e}^{-t/\Delta t_h}$.
 
*$h(t)$&nbsp; ist kausal und (stark) unsymmetrisch.&nbsp; Der Frequenzgang $H(f)=A_g \cdot \Delta  t_g/( 1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot f \cdot \Delta t_g)$&nbsp; ist komplexwertig.
 
*Bei Weißem Rauschen ist die Rauschvarianz am Filterausgang:&nbsp; $\sigma_d^2= N_0/4 \cdot A_h^2 \cdot \Delta t_h$.
 
 
 
 
 
&nbsp; '''(4)&nbsp; Extrem akausales Filter'''&nbsp; &rArr; &nbsp; ''Impulsantwort spiegelbildlich zu''&nbsp; '''(3)''' 
 
*Die Impulsantwort ist für&nbsp; $t>0$&nbsp; identisch Null und für negative Zeiten unendlich weit ausgedehnt &nbsp; &rArr; &nbsp; $h(t)=A_h\cdot {\rm e}^{t/\Delta t_h}$&nbsp; für&nbsp; $t<0$.  
 
*Der Frequenzgang $H(f)$&nbsp; ist konjugiert komplex zum Frequenzgang des Tiefpasses 1. Ordnung. 
 
*Die Rauschvarianz am Filterausgang ist bei Weißem Rauschen genau so groß wie beim Tiefpass 1. Ordnung:&nbsp; $\sigma_d^2= N_0/4 \cdot A_h^2 \cdot  \Delta t_h$.
 
 
 
 
 
 
 
==Versuchsdurchführung==
 
<br>
 
[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]
 
 
 
*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; ('''1''', ... , '''11''')&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
 
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
 
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
 
*Die Nummer&nbsp; '''0'''&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
 
*Alle Zeiten, Frequenzen, Signalwerte und Leistungen sind normiert zu verstehen.
 
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''&nbsp; Der Eingangsimpuls sei gaußförmig mit&nbsp; $A_g=1,\ \Delta t_g=1,\ \tau_g=1$.&nbsp; Welche Einstellung führt zum &bdquo;Matched&ndash;Filter&rdquo;?&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$&nbsp; mit&nbsp; $N_0=0.01$? }}
+
'''(8)'''&nbsp; Betrachten und kontrollieren Sie die Vorcodierung&nbsp; $(b_\nu)$&nbsp; und die Amplitudenoeffizienten&nbsp; $a_\nu$&nbsp;  beim '''Duobinärcode''' &nbsp; $($Quellensymbolfolge&nbsp; $\rm C$,&nbsp; $b_0 = +1)$.  }}
 +
*$b_1 = (q_1 = +1)\ {\rm XOR}\ (\overline{b_0}= -1) = +1,\ \ b_2 = (q_2 = -1)\ {\rm XOR}\ (\overline{b_1}= -1) = -1,\ \ b_3 = \text{...} =b_7 = +1,$&nbsp; $b_8 = b_{10} = \text{...} =-1$,&nbsp; $b_9 =b_{11} = \text{...}= +1$.
 +
*$a_1= 0.5 \cdot (b_1+b_0) = +1$,&nbsp; $a_2= 0.5 \cdot (b_2+b_1) =0$,&nbsp; $a_3= 0.5 \cdot (b_3+b_2) = 0$,&nbsp; $a_4=  \text{...}= a_7=+1$,&nbsp; $a_8=a_9=  \text{...}= 0$.
 +
*Mit der Startbedingung&nbsp; $b_0 = -1$&nbsp; ergibt sich wieder die negierte Folge: &nbsp; &nbsp; $a_1= -1$,&nbsp; $a_2= a_3= 0$,&nbsp; $a_4=  \text{...}= a_7=-1$,&nbsp;  $a_8=a_9=  \text{...}= 0$.
  
:*&nbsp;Das Matched&ndash;Filter muss ebenfalls einen gaußförmigen Verlauf haben und es muss gelten:&nbsp; $\Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h =\tau_g=1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_{\rm D} = \tau_h +\tau_g=2$.
 
:*&nbsp;Das (momentane) Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis am Filterausgang ist&nbsp; $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } \approx 141.4$&nbsp; &rArr; &nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF}  \approx 21.5$&nbsp; dB.
 
:*&nbsp;Mit keinem anderen Filter als dem Matched&ndash;Filter ist dieses&nbsp;  $\rm SNR$&nbsp; (oder ein noch besseres)&nbsp; zu erreichen.
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''&nbsp; Das Matched&ndash;Filter bei rechteckförmigen Eingangsimpuls mit&nbsp; $A_g=1,\ \Delta t_g=1,\ \tau_g=0$&nbsp; ist ein Spalt&ndash;Tiefpass &nbsp; &rArr; &nbsp; rechteckförmige Impulsantwort. <br> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Wie groß ist hier &nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$&nbsp; mit&nbsp; $N_0=0.01$? Interpretieren Sie alle dargestellten Grafiken und die numerischen  Ergebnisse auf verschiedene Art und Weise.}}
+
'''(9)'''&nbsp; Betrachten Sie nun die Duobinärodierung für mehrere Zufallsfolgen.&nbsp; Welche Regeln lassen sich aus diesen Versuchen für die Ampltitudenkoeffizienten&nbsp; $a_\nu$&nbsp; ableiten?}}
  
:*&nbsp;Die eingestellten Filterparameter sind&nbsp; $A_h=A_g=1, \ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h =\tau_g=0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_{\rm D} = \tau_h +\tau_g=0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rho _{\rm MF} = 200$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} \approx 23$&nbsp; dB.
+
*Die diskreten AKF&ndash;Werte sind&nbsp; $\varphi_a(\lambda = 0) = +0.5$,&nbsp; $\varphi_a(\lambda = 1) = +0.25$,&nbsp; $\varphi_a(\lambda = 2) = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\it \Phi}_a(f)  =   {1}/{2} \cdot \big [1 + \cos (2\pi  f    T)\big ] = \cos^2
:*&nbsp;Die Impulsenergie ist das Integral über $g^2(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_g = A_g^2 \cdot \Delta t_g=1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rho _{\rm MF} = 2 \cdot E_g /N_0 =200$.&nbsp; $T_{\text{D, opt}=0$&nbsp; ist hier implizit berücksichtigt.
+
  (\pi f    T)\hspace{0.05cm}.$
:*&nbsp;Eine andere Gleichung lautet:&nbsp; $\rho_d (T_{\rm D}) =d_{\rm S}^2 (T_{\rm D})/\sigma_d^2$.&nbsp; Die Rauschvarianz kann z. B. als Integral über&nbsp; $h^2(t)$&nbsp; berechnet werden:&nbsp; $\sigma_d^2= N_0 \cdot \Delta t_h/2 = 0.005$.
+
*Im Gegensatz zur AMI&ndash;Codierung sind hier längere&nbsp; $+1$&ndash;Folgen und&nbsp; $-1$&ndash;Folgen möglich &nbsp; &rArr; &nbsp; der Duobinärcode ist nicht gleichsignalfrei:&nbsp; ${\it \Phi}_a(f= 0) = 1 \ (\ne 0).$
:*&nbsp;Das Nutzsignal&nbsp; $d_{\rm S} (t)= g(t) * h(t)$&nbsp; hat einen dreieckförmigen Verlauf mit dem Maximum&nbsp; $d_{\rm S} (T_{\rm D, \ opt} = 0 )= 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) = 200= \rho _{\rm MF}$.
+
*Ebenso wie beim AMI&ndash;Code sind auch hier längere Nullfolgen möglich, was wieder zu Synchronisationsproblemen führen kann.
 +
*Ausgeschlossen sind jedoch die Kombinationen&nbsp; $a_\nu = +1, \ a_{\nu+1} = -1$&nbsp; und &nbsp; $a_\nu = -1, \ a_{\nu+1} = +1$,&nbsp; erkennbar am LDS&ndash;Wert&nbsp; ${\it \Phi}_a(f= 1/(2T))  = 0.$  
 +
*Solche direkten Übergänge&nbsp; $a_\nu = +1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $a_{\nu+1} = -1$&nbsp; bzw. &nbsp; $a_\nu = -1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $a_{\nu+1} = +1$&nbsp; führen zu großen Impulsinterferenzen und damit zu einer höheren Fehlerrate.
  
{{BlaueBox|TEXT=
 
'''(3)'''&nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen von&nbsp; '''(2)'''&nbsp; mit Ausnahme von&nbsp; $N_0=0.02 $&nbsp; statt&nbsp; $N_0=0.01$.&nbsp; Welche Veränderungen sind erkennbar? }}
 
:*&nbsp;Der einzige Unterschied ist die doppelt so große Rauschvarianz&nbsp; $\sigma_d^2=  0.01$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) = 100= \rho _{\rm MF}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $10 \cdot \lg \rho_{\rm MF} =20$&nbsp; dB.
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''&nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen von&nbsp; '''(3)'''&nbsp; mit Ausnahme von&nbsp; $T_{\rm D} = 0.1 $&nbsp; statt&nbsp; $T_{\rm D, \ opt} = 0$.&nbsp; Wie wirkt sich dieser nichtoptimale Detektionszeitpunkt aus? }}
+
'''(10)'''&nbsp; Vergleichen Sie die Codierergebnisse von Bipolarcode zweiter Ordnung&nbsp; $\rm (BIP2)$&nbsp; und AMI&ndash;Code für verschiedene Quellensymbolfolgen. }}
:*&nbsp;Nun ist der Nutzabtastwert&nbsp; $d_{\rm S} (T_{\rm D} = 0.1 )= 0.9$&nbsp; kleiner &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rho_d (T_{\rm D} = 0.1 ) =0.9^2/0.01= 81< \rho _{\rm MF}$.&nbsp; Es ergibt sich eine Verschlechterung um knapp ein dB.
+
*Bei einem einzelnen&nbsp; $+1$&ndash;Impuls &nbsp; &rArr; &nbsp; Quellensymbolfolge&nbsp; $\rm B$&nbsp;  führen beide Codes zum gleichen Codersignal.&nbsp; Es ergibt sich jeweils ebenfalls  ein Einzelimpuls.
:*&nbsp;Für die weiteren Aufgaben wird vom optimalen Detektionszeitpunkt&nbsp; $T_{\rm D, \ opt}$&nbsp; ausgegangen, wenn nicht explizit etwas anderes angegeben wird.
+
*Bei der Dauer&ndash;Eins&ndash;Folge&nbsp; $\rm A$&nbsp; ergibt sich nun die Coderfolge&nbsp; $\langle c_\nu \rangle = \langle -1,  -1,  +1,  +1,  -1,  -1,  +1,  +1,  \text{...}\rangle $&nbsp; statt &nbsp; $\langle c_\nu \rangle = \langle -1,  +1,  -1,  +1,  -1,  +1,  -1, +1, \text{...}\rangle $.
 +
*Der einfache Decodieralgorithmus des AMI&ndash;Codes&nbsp; $($die ternäre&nbsp; $0$&nbsp; wird zur binären&nbsp; $-1$,&nbsp; die ternären&nbsp; $\pm 1$&nbsp; zur binären&nbsp; $+1)$&nbsp; lässt sich bei&nbsp; $\rm BIP2$&nbsp; nicht anwenden.
  
{{BlaueBox|TEXT=
 
'''(5)'''&nbsp; Es gelten wieder die Einstellungen von&nbsp; '''(3)'''&nbsp; mit Ausnahme einer niedrigeren Impulsantwort&nbsp; $A_h = 0.8 $&nbsp; statt&nbsp; $A_h = 1$.&nbsp; Interpretieren Sie die Veränderungen. }} 
 
:*&nbsp;Es handelt sich auch mit&nbsp; $A_h \ne A_g$&nbsp; um ein Matched-Filter, solange&nbsp; $h(t)$&nbsp; formgleich mit&nbsp; $g(t)$&nbsp; ist &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } =100$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $10 \cdot \lg \rho_{\rm MF} =20$&nbsp; dB.
 
:*&nbsp;Die Gleichung&nbsp; $\rho_d (T_{\rm D}=0) =d_{\rm S}^2 (T_{\rm D}=0)/\sigma_d^2$&nbsp; führt zum gleichen Ergebnis, da&nbsp; ${d_{\rm S}}^2 (T_{\rm D})$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_d^2$&nbsp; gegenüber&nbsp; '''(3)'''&nbsp; jeweils um den Faktor&nbsp; $0.8^2$&nbsp; vermindert wird.
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''&nbsp; Gegenüber&nbsp; '''(5)'''&nbsp; wird nun die Höhe des Eingangsimpulses&nbsp; $g(t)$&nbsp; von &nbsp;$A_g = 1$&nbsp; auf&nbsp; $A_g = 1.25$&nbsp; erhöht.&nbsp; Beschreibt hier&nbsp; $h(t)$&nbsp; ein Matched-Filter?&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $\rho_{\rm MF}$? }}
+
'''(11)'''&nbsp; Betrachten und interpretieren Sie die verschiedenen AKF&ndash; und LDS&ndash;Grafiken des&nbsp; $\rm BIP2$&nbsp; im Vergleich zum AMI&ndash;Code. }} 
:*&nbsp;Auch hier liegt ein Matched-Filter vor, da&nbsp; $h(t)$&nbsp; und&nbsp; $g(t)$&nbsp; formgleich sind.&nbsp; Mit&nbsp; $E_g = 1.25^2$: &nbsp; &nbsp; $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot 1.25^2 } }/{ 0.02 } =156.25$&nbsp; &rArr; &nbsp;$10 \cdot \lg \rho_{\rm MF} \approx 21.9$ dB.
+
*Bei&nbsp; $\rm AMI$&nbsp; ist&nbsp; $\varphi_a(\lambda = \pm 1) = -0.25, \ \varphi_a(\lambda = \pm 2) = 0$.&nbsp; Für&nbsp; $\rm BIP2$&nbsp; gilt&nbsp; $\varphi_a(\lambda = \pm 1) = 0, \ \varphi_a(\lambda = \pm 2) = -0.25$.&nbsp; In beiden Fällen ist&nbsp; $\varphi_a(\lambda = 0) = 0.5$.
:*&nbsp;Der höhere Wert&nbsp; $21.9$ dB gegenüber&nbsp; '''(5)'''&nbsp; lässt sich dadurch erklären, dass bei gleicher Rauschvarianz&nbsp; $\sigma_d^2= 0.0064$&nbsp; der Nutzabtastwert wieder&nbsp; ${d_{\rm S}} (T_{\rm D}) = 1$&nbsp; ist.
+
*Aus dem&nbsp; $\rm AMI$&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}_a(f) = \sin^2  (\pi \cdot  f  T)$&nbsp; folgt das&nbsp; $\rm BIP2$&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}_a(f) = \sin^2 (2\pi \cdot f    T)$&nbsp; durch Stauchung hinsichtlich&nbsp; $f$&ndash;Achse.
 +
* Nullstelle bei&nbsp; $f=0$:&nbsp; Es folgen höchstens zwei&nbsp; $+1$&nbsp; direkt aufeinander, und auch maximal nur zwei&nbsp; $-1$.&nbsp; Beim AMI&ndash;Code treten&nbsp; $+1$&nbsp; und&nbsp; $-1$&nbsp; nur isoliert auf.  
 +
*Nächste Nullstelle bei&nbsp; $f=1/(2T)$:&nbsp; Die unendlich lange&nbsp; $(+1, -1)$&ndash;Folge ist bei diesem Code ebenso wie beim Duobinärcode ausgeschlossen.
 +
*Betrachten und interpretieren Sie auch die Funktionen&nbsp; $\varphi_s(\tau)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; für die Impulse &bdquo;Rechteck&rdquo;, &bdquo;Nyquist&rdquo; und &bdquo;Wurzel&ndash;Nyquist&rdquo;.  
  
{{BlaueBox|TEXT=
+
== Zur Handhabung des Applets==
'''(7)'''&nbsp; Wir gehen weiter von der Rechteck&ndash;Rechteck&ndash;Kombination aus mit&nbsp; $A_h=A_g=1,\ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h=\tau_g=0,\ N_0 =0.02,\ T_{\rm D}=0$.&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Interpretieren Sie die Ergebnisse nach Variation der äquivalenten Impulsdauer&nbsp; $\Delta t_h$&nbsp; von&nbsp; $h(t)$&nbsp; im Bereich&nbsp; $0.6$ ... $1.4$.&nbsp; Nutzen Sie die Grafikdarstellung über&nbsp; $\Delta t_h$. }}
+
[[Datei:BS_Pseudoternär.png|right|600px|frame|Bildschirmabzug (deutsche Version, heller Hintergrund)]]
 +
<br>
 +
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
 +
:* Dark: &nbsp; schwarzer Hintergrund&nbsp; (wird von den Autoren empfohlen)
 +
:* Bright: &nbsp; weißer Hintergrund&nbsp; (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
 +
:*  Deuteranopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Grün&ndash;Sehschwäche
 +
:*  Protanopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Rot&ndash;Sehschwäche
  
:*&nbsp;Das Optimum ergibt sich erwartungsgemäß für die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t_h=\Delta t_g=1$.&nbsp; Dann ist&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 )  =20$ dB&nbsp; $\big(= 10 \cdot \lg \rho_{\rm MF}\big)$.
+
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Zugrundeliegendes Blockschaltbild
:*&nbsp;Ist&nbsp; $\Delta t_h<\Delta t_g=1$, so ist das Nutzsignal trapezförmig.&nbsp; Für&nbsp; $\Delta t_h=0.6$: &nbsp; $d_{\rm S} (T_{\rm D}=0)= 0.6$ und&nbsp; $\sigma_d^2\approx0.006$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 )  \approx 17.8$ dB.
 
:*&nbsp;Auch für&nbsp; $\Delta t_h>1$&nbsp; ist das Nutzsignal trapezförmig, aber trotzdem&nbsp; $d_{\rm S} (T_{\rm D}=0)= 1$.&nbsp; Die Rauschvarianz&nbsp; $\sigma_d^2$&nbsp; nimmt kontinuierlich mit&nbsp; $\Delta t_h$&nbsp; zu.
 
:*&nbsp;Für&nbsp; $\Delta t_h=1.4$&nbsp; ist&nbsp;  $\sigma_d^2=0.0140$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 )  \approx 18.5$ dB.&nbsp; Gegenüber dem Matched&ndash;Filter&nbsp; $(\Delta t_h=1)$&nbsp; beträgt die Verschlechterung ca.&nbsp; $1.5$&nbsp; dB.
 
  
{{BlaueBox|TEXT=
+
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl des Pseudoternörcodes:
'''(8)'''&nbsp; Interpretieren Sie nun die Ergebnisse für verschiedene&nbsp; $\Delta t_g$&nbsp; des Eingangsimpulses&nbsp; $g(t)$&nbsp; im Bereich&nbsp; $0.6$ ... $1.4$.&nbsp; Nutzen Sie die Grafikdarstellung über&nbsp; $\Delta t_g$. }}
+
<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; AMI&ndash;Code, Duobinärcode, Bipolarcode 2. Ordnung  
:*&nbsp;Beachten Sie:&nbsp; Die blaue Kurve&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$&nbsp; ist die Differenz aus&nbsp;  $20\cdot \lg \ \big [{K \cdot d_{\rm S}} (T_{\rm D,\ opt}) \big ]$&nbsp;&nbsp; (violette Kurve)&nbsp; und&nbsp;  $20\cdot \lg \ \big [K \cdot \sigma_d \big ]$&nbsp; (grüne Kurve).
 
:*&nbsp;Beim betrachteten Parametersatz und&nbsp; $K=10$&nbsp; ist der grüne Term&nbsp;  $20\cdot \lg \ \big [K \cdot \sigma_d \big ] = 0$&nbsp;dB&nbsp; für alle&nbsp; $\Delta t_g$ &nbsp; &rArr; &nbsp; die blaue und die violette Kurve sind identisch.
 
:*&nbsp;Die blaue Kurve&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$&nbsp; steigt von&nbsp; $15.6$&nbsp; dB&nbsp; $($für&nbsp; $\Delta t_g = 0.6)$&nbsp; bis&nbsp; $20$&nbsp; dB&nbsp; $($für&nbsp; $\Delta t_g = 1)$&nbsp; kontinuierlich an und bleibt für&nbsp; $\Delta t_g > 1$&nbsp; dann konstant.
 
:*&nbsp;Die Einstellung&nbsp; $\Delta t_g = 1.4,\ \Delta t_h = 1$&nbsp; ergibt aber kein Matched-Filter.&nbsp; Vielmehr gilt mit&nbsp; $\Delta t_h = \Delta t_g = 1.4$:&nbsp; &nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}=10 \cdot \lg \ (2 \cdot E_g/N_0) \approx 21.5$ dB.
 
:*&nbsp;Die Grafikdarstellung über&nbsp; $\Delta t_h$&nbsp; mit der Grundeinstellung&nbsp; $\Delta t_g = 1.4,\ \Delta t_h = 1$&nbsp; zeigt nun einen monotonen Anstieg der blauen Kurve &nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$.
 
:*&nbsp;Für&nbsp; $\Delta t_h = 0.6$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )\approx 17.8$ dB,&nbsp;für&nbsp; $\Delta t_h = 1.4$&nbsp; dagegen&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )\approx 21.5$ dB&nbsp; $=10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$.
 
 
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
'''(9)'''&nbsp; Wir betrachten den Exponentialimpuls&nbsp; $g(t)$ und den Tiefpass erster Ordnung sowie&nbsp; $A_h=A_g=1,\ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h=\tau_g=0,\ N_0 =0.02,\ T_{\rm D}=1$.&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Erfüllt diese Einstellung den Matched-Filter-Kriterien?&nbsp; Begründen Sie Ihre Antworten mit möglichst vielen Argumenten.  }} 
 
:*&nbsp;Hier gilt&nbsp; $h(t)=g(t)$.&nbsp; Bei einer Matched-Filter-Konfiguration müsste&nbsp; $h(t)={\rm const.} \cdot g(T_{\rm D}-t)$&nbsp; gelten.
 
:*&nbsp;Das Detektionsnutzsignal&nbsp; $d_{\rm S}(t)$&nbsp; hat keinen symmetrischen Verlauf um das Maximum.&nbsp;Beim Matched-Filter müsste&nbsp; $d_{\rm S}(T_{\rm D}-t) = d_{\rm S}(T_{\rm D}+t) $&nbsp; gelten.   
 
:*&nbsp;Trotz&nbsp; $\Delta t_h=\Delta t_g$&nbsp; ist&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt}) \approx 14.3$ dB &nbsp;  kleiner als&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} = 10 \cdot \lg \ 2 \cdot E_g/N_0 \approx 17$ dB.
 
 
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
'''(10)'''&nbsp; Was ändert sich bei sonst gleichen Einstellungen mit dem &bdquo;extrem akausalen Filter&rdquo;?&nbsp; Erfüllt die Einstellung die Matched-Filter-Kriterien?&nbsp; Begründung. }} 
 
:*&nbsp;Hier gilt nun&nbsp; $h(t)=g(-t)$&nbsp; und das Detektionsnutzsignal&nbsp; $d_{\rm S}(t)$&nbsp; ist symmetrisch um $t=0$.&nbsp; Sinnvollerweise sollte hier&nbsp; $T_{\rm D} = 0 $&nbsp; gewählt werden.   
 
:*&nbsp;Damit erhält man für&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt}) =10 \cdot \lg \ d_{\rm S}^2 (T_{\rm D,\ opt})/\sigma_d^2 = 17$ dB &nbsp; den gleichen Wert wie für&nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} = 10 \cdot \lg \ 2 \cdot E_g/N_0 = 17$ dB.
 
:*&nbsp;Das Nutzsignal&nbsp; $d_{\rm S}(t)$&nbsp; ist formgleich mit der Energie&ndash;AKF des Sendeimulses&nbsp; $g(t)$.&nbsp; Das Matched-Filter bündelt die Energie um den geeigneten Zeitpunkt&nbsp; $T_{\rm D,\ opt}$.
 
 
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
'''(11)'''&nbsp; Mit welchem Rechteckimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; erreicht man mit dem entsprechend angepassten Filter das gleiche&nbsp; $\rho _{\rm MF}=50$&nbsp; wie in Aufgabe&nbsp; '''(10)'''?&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Mit  &nbsp;$A_h=A_g=1,\ \Delta t_h=\Delta t_g=0.5$&nbsp; oder mit&nbsp;$A_h=A_g=0.5,\ \Delta t_h=\Delta t_g=1$&nbsp;? }}
 
:*&nbsp;Aus der Gleichung&nbsp; $\rho _{\rm MF} = 2 \cdot E_g/N_0$&nbsp; geht bereits hervor, dass das SNR nur von der Energie&nbsp; $E_g$&nbsp; des Eingangsimpulses abhängt und nicht von dessen Form.
 
:*&nbsp;Der Exponentialimpuls mit&nbsp; $A_g=1,\ \Delta t_g=1$&nbsp; hat die Energie&nbsp; $E_g=0.5$.&nbsp; Der Rechteckimpuls mit&nbsp; $A_g=1,\ \Delta t_g=0.5$&nbsp; ebenfalls &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rho _{\rm MF}=50$.
 
:*&nbsp;Dagegen besitzt der Rechteckimpuls mit&nbsp; $A_g=0.5,\ \Delta t_g=1$&nbsp; eine kleinere Energie &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_g=0.25$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rho _{\rm MF}=25$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} = 14$ dB. 
 
  
==Zur Handhabung des Applets==
+
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl des Grundimpulses&nbsp; $g(t)$:
<br>
+
<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Rechteckimpuls, Nyquistimpuls, Wurzel&ndash;Nyquistimpuls  
[[Datei:Anleitung_abtast.png|right|600px]]
 
<br><br><br><br>
 
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl eines von vier Quellensignalen  
 
  
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Parameterwahl für Quellensignal&nbsp; $1$&nbsp; (Amplitude, Frequenz, Phase)
+
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Rolloff&ndash;Faktor (Frequenzbereich) für &bdquo;Nyquist&rdquo; und &bdquo;Wurzel&ndash;Nyquist&rdquo;  
  
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe der verwendeten Programmparameter 
+
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung von&nbsp; $3 \cdot 4 = 12$&nbsp; Bit der Quellensymbolfolge
  
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Parameterwahl für Abtastung&nbsp; $(f_{\rm G})$&nbsp; und <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Signalrekonstruktion&nbsp; $(f_{\rm A},\ r)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl einer drei voreingestellten Quellensymbolfolgen
  
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Skizze des Empfänger&ndash;Frequenzgangs&nbsp; $H_{\rm E}(f)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Zufällige binäre Quellensymbolfolge
  
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Numerische Ausgabe&nbsp; $(P_x, \ P_{\rm \varepsilon}, \ 10 \cdot \lg(P_x/ P_{\rm \varepsilon})$ 
+
&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Schrittweise Verdeutlichung der Pseudoternärcodierung
  
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsauswahl für Zeitbereich
+
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Ergebnis der Pseudoternärcodierung:&nbsp; Signale&nbsp; $q(t)$,&nbsp; $b(t)$,&nbsp; $c(t)$,&nbsp; $s(t)$
  
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Grafikbereich für Zeitbereich
+
&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Löschen der Signalverläufe im Grafikbereich&nbsp; $\rm M$
  
&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsauswahl für Frequenzbereich 
+
&nbsp; &nbsp; '''(L)''' &nbsp; &nbsp; Skizzen für Autokorrelationsfunktion & Leistungsdichtespektrum
  
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Grafikbereich für Frequenzbereich
+
&nbsp; &nbsp; '''(M)''' &nbsp; &nbsp; Grafikbereich:&nbsp; Quellensignal&nbsp; $q(t)$, Signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; nach Vorcodierung, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Codersignal&nbsp; $c(t)$&nbsp; mit Rechtecken, Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; gemäß&nbsp; $g(t)$
  
&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für Übungen:&nbsp; Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösung
+
&nbsp; &nbsp; '''(N)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für Übungen:&nbsp; Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösung
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
 
==Über die Autoren==
 
==Über die Autoren==
 
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.  
 
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.  
*Die erste Version wurde 2006 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit (LB) mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).  
+
*Die erste Version wurde 2010 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Stefan_M.C3.BCller_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Stefan Müller]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit (LB) mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).  
* 2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+
* 2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).
  
  
Zeile 586: Zeile 372:
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
  
{{LntAppletLink|matchedFilter}}
+
{{LntAppletLinkDeEn|pseudoternarycodes|pseudoternarycodes_en}}

Aktuelle Version vom 26. Oktober 2023, 11:14 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version

Programmbeschreibung


Das Applet behandelt die Eigenschaften der bekanntesten Pseudoternärcodes, nämlich:

  1.   Bipolarcode erster Ordnung bzw.  $\rm AMI$–Code  (von: Alternate Mark Inversion),  gekennzeichnet durch die Parameter  $N_{\rm C} = 1, \ K_{\rm C} = +1$,
  2.   Duobinärcode,  $(\rm DUOB)$,  Codeparameter:  $N_{\rm C} = 1, \ K_{\rm C} = -1$,
  3.   Bipolarcode zweiter Ordnung  $(\rm BIP2)$,  Codeparameter:  $N_{\rm C} = 2, \ K_{\rm C} = +1$.


Am Eingang liegt die redundanzfreie binäre bipolare Quellensymbolfolge  $\langle \hspace{0.05cm}q_\nu \hspace{0.05cm}\rangle \ \in \{+1, -1\}$   ⇒   Rechtecksignal  $q(t)$  an.  Verdeutlicht wird die Generierung

  • der binär–vorcodierten Folge  $\langle \hspace{0.05cm}b_\nu \hspace{0.05cm}\rangle \ \in \{+1, -1\}$,  dargestellt durch das ebenfalls redundanzfreie binäre bipolare Rechtecksignal  $b(t)$,
  • der pseudoternären Codefolge  $\langle \hspace{0.05cm}c_\nu \hspace{0.05cm}\rangle \ \in \{+1,\ 0, -1\}$,  dargestellt durch das redundante ternäre bipolare Rechtecksignal  $c(t)$,
  • das gleichermaßen redundante ternäre Sendesignal  $s(t)$, gekennzeichnet durch die Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu $,  und den (Sende–) Grundimpuls  $g(t)$:
$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

Der Grundimpuls  $g(t)$  –  im Applet  „Rechteck”,  „Nyquist” und  „Wurzel–Nyquist”  –  bestimmt nicht nur die Form des Sendesignals, sondern auch den Verlauf

  • der Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  $\varphi_s (\tau)$  und
  • des zugehörigen Leistungsdichtespektrums  $\rm (LDS)$  ${\it \Phi}_s (f)$.


Das Applet zeigt auch, dass das gesamte Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_s (f)$ aufgeteilt werden kann in den Anteil  ${\it \Phi}_a (f)$, der die statistischen Bindungen der Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu$   berücksichtigt, und das Energiedichtespektrum $ {\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f) = |G(f)|^2 $, gekennzeichnet durch die Impulsform  $g(t)$.

Anmerkung:   Im Applet wird kein Unterschied zwischen den Codersymbolen  $c_\nu \in \{+1,\ 0, -1\}$  und den Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu \in \{+1,\ 0, -1\}$  gemacht.  Dabei sollte nicht vergessen werden, dass die  $a_\nu$  stets Zahlenwerte sind, während für die Codersymbole auch die Notation  $c_\nu \in \{\text{Plus},\ \text{Null},\ \text{Minus}\}$  zulässig wäre.

Theoretischer Hintergrund

Allgemeine Beschreibung der Pseudoternärcodes

Bei der symbolweisen Codierung wird mit jedem ankommenden Quellensymbol  $q_\nu$  ein Codesymbol  $c_\nu$  erzeugt, das außer vom aktuellen Eingangssymbol  $q_\nu$  auch von den  $N_{\rm C}$  vorangegangenen Symbolen  $q_{\nu-1}$, ... , $q_{\nu-N_{\rm C}} $  abhängt.  $N_{\rm C}$  bezeichnet man als die Ordnung  des Codes.

Blockschaltbild und Ersatzschaltbild eines Pseudoternärcodierers

Typisch für eine symbolweise Codierung ist, dass

  • die Symboldauer  $T$  des Codersignals (und des Sendesignals) mit der Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals übereinstimmt, und
  • Codierung und Decodierung nicht zu größeren Zeitverzögerungen führen, die bei Verwendung von Blockcodes unvermeidbar sind.

Besondere Bedeutung besitzen Pseudomehrstufencodes  – besser bekannt unter der englischen Bezeichnung Partial Response Codes

  • Im Folgenden werden ausschließlich Pseudoternärcodes   ⇒   Stufenzahl  $M = 3$  betrachtet, die durch das Blockschaltbild entsprechend der linken Grafik beschreibbar sind. 
  • In der rechten Grafik ist ein Ersatzschaltbild angegeben, das für eine Analyse dieser Codes sehr gut geeignet ist.


Man erkennt aus den beiden Darstellungen:

  • Der Pseudoternärcodierer kann in den nichtlinearen Vorcodierer und ein lineares Codiernetzwerk aufgespalten werden, wenn man – wie im rechten Ersatzschaltbild dargestellt – die Verzögerung um  $N_{\rm C} \cdot T$  und die Gewichtung mit  $K_{\rm C}$  zur Verdeutlichung zweimal zeichnet.
  • Der nichtlineare Vorcodierer  gewinnt durch eine Modulo–2–Addition  („Antivalenz”)  zwischen den Symbolen  $q_\nu$  und  $K_{\rm C} \cdot b_{\nu-N_{\rm C}} $  die vorcodierten Symbole  $b_\nu$, die ebenfalls binär sind:
$$q_\nu \in \{-1, +1\},\hspace{0.1cm} K_{\rm C} \in \{-1, +1\}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}b_\nu \in \{-1, +1\}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Symbole  $b_\nu$  sind wie die Quellensymbole  $q_\nu$  statistisch voneinander unabhängig.  Der Vorcodierer fügt also keine Redundanz hinzu.  Er gestattet aber eine einfachere Realisierung des Decoders und verhindert eine Fehlerfortpflanzung nach einem Übertragungsfehler.
  • Die eigentliche Umcodierung von binär  $(M_q = 2)$  auf ternär  $(M = M_c = 3)$  bewirkt das lineare Codiernetzwerk  durch die herkömmliche Subtraktion
$$c(t) ={1}/{2} \cdot \big [b(t) - K_{\rm C} \cdot b(t- N_{\rm C}\cdot T)\big] \in \{-1, \ 0, +1\}\hspace{0.05cm},$$
das durch folgende  Impulsantwort  bzw.  Übertragungsfunktion  bezüglich dem Eingangssignal  $b(t)$  und dem Ausgangssignal  $c(t)$  beschrieben werden kann:
$$h_{\rm C}(t) = {1}/{2} \cdot \big [\delta(t) - K_{\rm C} \cdot \delta(t- N_{\rm C}\cdot T)\big] \ \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ H_{\rm C}(f) ={1}/{2} \cdot \left [1 - K_{\rm C} \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}N_{\rm C}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}\right]\hspace{0.05cm}. $$
  • Die relative Coderedundanz ist für alle Pseudoternärcodes gleich. Setzt man in die  allgemeine Definitionsgleichung  $M_q=2$,  $M_c=3$  und  $T_c =T_q$  ein, so erhält man
$$r_c = 1- \frac{R_q}{R_c} = 1- \frac{T_c}{T_q} \cdot \frac{{\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M_q)}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)} = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} r_c = 1 -1/\log_2\hspace{0.05cm}(3) \approx 36.9 \%\hspace{0.05cm}.$$

Das  $\text{Sendesignal aller Pseudoternärcodes}$  wird im Folgenden stets wie folgt dargestellt:

$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Eigenschaft des aktuellen Pseudoternärcodes spiegelt sich in den statistischen Bindungen zwischen den  $a_\nu$  wider.  In allen Fällen gilt  $a_\nu \in \{-1, \ 0, +1\}$.
  • Der Sendegrundimpuls  $g(t)$  stellt zum einen die erforderliche Energie bereit, hat aber auch Einfluss auf die statistischen Bindungen innerhalb des Signals.
  • Im Programm ausgewählt werden kann neben dem NRZ–Rechteckimpuls  $g_{\rm R}(t)$: 
  • der Nyquistimpuls   ⇒   Impulsantwort des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses mit Rolloff–Faktor $r$:
$$g_{\rm Nyq}(t)={\rm const.} \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot t/T)}{1-(2\cdot r\cdot t/T)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot t/T) \ \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ G_{\rm Nyq}(f),$$
  • der Wurzel–Nyquistimpuls   ⇒   Impulsantwort des Wurzel–Cosinus–Rolloff–Tiefpasses mit Rolloff–Faktor $r$:
$$g_{\sqrt{\rm Nyq} }(t)\ \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ G_{\sqrt{\rm Nyq} }(f)={\rm const.} \cdot \sqrt{G_{\rm Nyq}(f)} .$$



Eigenschaften des AMI-Codes

Die Pseudoternärcodes unterscheiden sich in den Parametern  $N_{\rm C}$  und  $K_{\rm C}$.  Der bekannteste Vertreter ist der  Bipolarcode erster Ordnung  mit den Codeparametern  $N_{\rm C} = 1$  und  $K_{\rm C} = 1$, der auch unter der Bezeichnung  AMI–Code  (von: Alternate Mark Inversion) bekannt ist.

AMI– und HDB3–Codierung, jeweils dargestellt mit Rechtecksignalen

Dieser wird zum Beispiel bei  ISDN  (Integrated Services Digital Networks) auf der so genannten  $S_0$–Schnittstelle eingesetzt.

Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal  $q(t)$. Im zweiten und dritten Diagramm sind dargestellt:

  • das ebenfalls binäre Signal  $b(t)$  nach dem Vorcodierer, und
  • das Codersignal  $c(t) = s(t)$  des AMI–Codes.


Man erkennt das einfache AMI–Codierprinzip:

  • Jeder Binärwert „-1” von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm L$  wird durch den ternären Koeffizienten  $a_\nu = 0$  codiert.
  • Der Binärwert „+1” von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm H$  wird alternierend mit  $a_\nu = +1$  und  $a_\nu = -1$  dargestellt.

Damit wird sichergestellt, dass im AMI–codierten Signal keine langen „+1”– und auch keine keine langen „–1”–Sequenzen enthalten sind, was bei einem gleichsignalfreien Kanal zu Problemen führen würde.

Dagegen ist das Auftreten langer Nullfolgen durchaus möglich, bei denen über einen längeren Zeitraum keine Taktinformation übertragen wird.

Um dieses zweite Problem zu vermeiden, wurden einige modifizierte AMI–Codes entwickelt, zum Beispiel der B6ZS–Code  und der HDB3–Code:

  • Beim HDB3–Code  (grüne Kurve in obiger Grafik) werden vier aufeinanderfolgende Nullen im AMI–codierten Signal durch eine Teilsequenz ersetzt, die die AMI–Codierregel verletzt.
  • Im grau hinterlegten Bereich ist dies die Folge „+ 0 0 +”, da das letzte Symbol vor der Ersetzung ein „Minus” war.
  • Damit ist beim HDB3–Code die Anzahl aufeinanderfolgender Nullen auf  $3$  begrenzt und beim  B6ZS–Code  auf  $5$.
  • Der Decoder erkennt diese Codeverletzung und ersetzt „+ 0 0 +” wieder durch „0 0 0 0”.



Zur AKF–Berechnung eines Digitalsignals

In der Versuchsdurchführung werden einige Größen und Zusamenhänge verwendet, die hier kurz eräutert werden sollen:

  •   Das (zeitlich unbegrenzte) Digitalsignal beinhaltet sowohl die Quellenstatistik $($Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu$)  als auch die Sendeimpulsform  $g(t)$:
$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
  •   Ist  $s(t)$  die Musterfunktion eines stationären und ergodischen Zufallsprozesses, so gilt für die  Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$:
$$\varphi_s(\tau) = {\rm E}\big [s(t) \cdot s(t + \tau)\big ] = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot\varphi^{^{\bullet} }_{gs}(\tau - \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
  •   Diese Gleichung beschreibt die Faltung der diskreten AKF  $\varphi_a(\lambda) = {\rm E}\big [ a_\nu \cdot a_{\nu + \lambda}\big]$  der Amplitudenkoeffizienten mit der Energie–AKF des Grundimpulses:
$$\varphi^{^{\bullet} }_{g}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} g ( t ) \cdot g ( t + \tau)\,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$
  • Der Punkt soll darauf hinweisen, dass  $\varphi^{^{\bullet} }_{g}(\tau)$  die Einheit einer Energie besitzt, während  $\varphi_s(\tau)$  eine Leistung angibt und  $\varphi_a(\lambda)$  dimensionslos ist.


Zur LDS-Berechnung eines Digitalsignals

Die Entsprechungsgröße zur AKF ist im Frequenzbereich das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$  ${\it \Phi}_s(f)$, das mit  $\varphi_s(\tau)$  über das Fourierintegral fest verknüpft ist:

$$\varphi_s(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} {\it \Phi}_s(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_s(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \tau} \,{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}.$$
  • Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_s(f)$  kann unter Berücksichtigung der Dimensionsbereinigung  $(1/T)$  als Produkt zweier Funktionen dargestellt werden:
$${\it \Phi}_s(f) = {\it \Phi}_a(f) \cdot {1}/{T} \cdot |G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Der erste Term  ${\it \Phi}_a(f)$  ist dimensionslos und beschreibt die spektrale Formung des Sendesignals durch die statistischen Bindungen der Quelle:
$$\varphi_a(\lambda) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}{\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda \hspace{0.02cm}T} = \varphi_a(0) + 2 \cdot \sum_{\lambda = 1}^{\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot\cos ( 2 \pi f \lambda T) \hspace{0.05cm}.$$
  • ${\it \Phi^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}}(f)$  berücksichtigt die spektrale Formung durch  $g(t)$. Je schmaler dieser ist, desto breiter ist  $\vert G(f) \vert^2$  und um so größer ist damit der Bandbreitenbedarf:
$$\varphi^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{g}(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} {\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f) = |G(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Das Energiedichtespektrum ${\it \Phi^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}}(f)$  hat die Einheit  $\rm Ws/Hz$  und das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi_{s}}(f)$  nach der Division durch den Symbolabstand  $T$  die Einheit  $\rm W/Hz$.



Leistungsdichtespektrum des AMI-Codes

Der Frequenzgang des linearen Codiernetzwerks eines Pseudoternärcodes lautet allgemein:

$$H_{\rm C}(f) = {1}/{2} \cdot \big [1 - K_{\rm C} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} N_{\rm C}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}T} \big] ={1}/{2} \cdot \big [1 - K \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \alpha} \big ]\hspace{0.05cm}.$$

Damit ergibt sich für das Leistungsdichtespektrum (LDS) der Amplitudenkoeffizienten  $(K$  und  $\alpha$  sind Abkürzungen entsprechend obiger Gleichung$)$:

$$ {\it \Phi}_a(f) = | H_{\rm C}(f)|^2 = \frac{\big [1 - K \cos (\alpha) + {\rm j}\cdot K \sin (\alpha) \big ] \big [1 - K \cos (\alpha) - {\rm j}\cdot K \sin (\alpha) \big ] }{4} = \text{...} = {1}/{4} \cdot \big [2 - 2 \cdot K \cdot \cos (\alpha) \big ] $$
Leistungsdichtespektrum des AMI-Codes
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi}_a(f) = | H_{\rm C}(f)|^2 = {1}/{2} \cdot \big [1 - K_{\rm C} \cdot \cos (2\pi f N_{\rm C} T)\big ] \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} \varphi_a(\lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere erhält man für das Leistungsdichtespektrum (LDS) des AMI–Codes $(N_{\rm C} = K_{\rm C} = 1)$:

$${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} \cdot \big [1 - \cos (2\pi f T)\big ] = \sin^2 (\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt

  • das LDS  ${\it \Phi}_a(f)$  der Amplitudenkoeffizienten (rote Kurve), und
  • das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$  des gesamten Sendesignals (blau), gültig für NRZ–Rechteckimpulse.


Man erkennt aus dieser Darstellung

  • die Gleichsignalfreiheit des AMI–Codes, da  ${\it \Phi}_a(f = 0) = {\it \Phi}_s(f = 0) = 0$  ist,
  • die Leistung  $P_{\rm S} = s_0^2/2$  des AMI–codierten Sendesignals (Integral über  ${\it \Phi}_s(f)$  von  $- \infty$  bis  $+\infty$).


Hinweise:

  • Das LDS von HDB3– und B6ZS–Code weicht von dem des AMI–Codes nur unwesentlich ab.
  • Die hier behandelte Thematik können Sie sich mit dem interaktiven Applet  Signale, AKF und LDS der Pseudoternärcodes  verdeutlichen.


Eigenschaften des Duobinärcodes

Leistungsdichtespektrum des Duobinärcodes

Der Duobinärcode ist durch die Codeparameter  $N_{\rm C} = 1$  und  $K_{\rm C} = -1$  festgelegt. Damit ergibt sich für das Leistungsdichtespektrum (LDS) der Amplitudenkoeffizienten bzw. für das LDS des Sendesignals:

$${\it \Phi}_a(f) ={1}/{2} \cdot \big [1 + \cos (2\pi f T)\big ] = \cos^2 (\pi f T)\hspace{0.05cm},$$
$$ {\it \Phi}_s(f) = s_0^2 \cdot T \cdot \cos^2 (\pi f T)\cdot {\rm si}^2 (\pi f T)= s_0^2 \cdot T \cdot {\rm si}^2 (2 \pi f T) \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt das Leistungsdichtespektrum

  • der Amplitudenkoeffizienten   ⇒   ${\it \Phi}_a(f)$  als rote Kurve,
  • des gesamten Sendsignals   ⇒   ${\it \Phi}_s(f)$  als blaue Kurve.

In der zweiten Grafik sind die Signale  $q(t)$,  $b(t)$  und  $c(t) = s(t)$  skizziert. Wir verweisen hier wieder auf das Applet  Signale, AKF und LDS der Pseudoternärcodes, das auch die Eigenschaften des Duobinärcodes verdeutlicht.

Signale bei Duobinärcodierung



Aus diesen Darstellungen geht hervor:

  • Beim Duobinärcode können beliebig viele Symbole mit gleicher Polarität („+1” bzw. „–1”) direkt aufeinanderfolgen.
  • Deshalb gilt  ${\it \Phi}_a(f = 0)=1$  und  ${\it \Phi}_s(f = 0) = 1/2 \cdot s_0^2 \cdot T$.
  • Dagegen tritt beim Duobinärcode die alternierende Folge „ ... , +1, –1, +1, –1, +1, ... ” nicht auf, die hinsichtlich Impulsinterferenzen besonders störend ist.
  • Deshalb gilt beim Duobinärcode:  ${\it \Phi}_s(f = 1/(2T) = 0$.
  • Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_s(f)$  des pseudoternären Duobinärcodes ist identisch mit dem LDS bei redundanzfreier Binärcodierung mit halber Rate $($Symboldauer  $2T)$.



Versuchsdurchführung

Aufgaben 2D-Gauss.png


  • Wählen Sie zunächst die Nummer  (12, ... )  der zu bearbeitenden Aufgabe.
  • Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
  • Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
  • Die Nummer  0  entspricht einem „Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.



(1)  Betrachten und interpretieren Sie die binäre Vorcodierung beim AMI–Code anhand der Quellensymbolfolge  $\rm C$  unter der Annahme  $b_0 = +1$.

  • Die Modulo–2–Addition kann auch als Antivalenz aufgefasst werden.  Es gilt  $b_{\nu} = +1$, falls sich  $q_{\nu}$  und  $b_{\nu – 1}$  unterscheiden, andernfalls ist  $b_{\nu} = -1$  zu setzen:
  $b_1 = (q_1 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_0= +1) = -1,\ \ b_2 = (q_2 = -1)\ {\rm XOR}\ (b_1= -1) = -1,\ \ b_3 = (q_3 = -1)\ {\rm XOR}\ (b_2= -1) = -1,$
  $b_4 = (q_4 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_3= -1) = +1,\ \ b_5 = (q_5 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_4= +1) = -1,\ \ b_6 = (q_6 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_5= -1) = +1,\ \ b_7 = b_8 = \text{...} = -1.$
  • Mit der Startbedingung  $b_0 = -1$  ergibt sich die negierte Folge:  $b_4 = b_6 =-1$.  Alle anderen  $b_\nu = +1$.


(2)  Es gelte  $b_0 = +1$.  Betrachten Sie die AMI–Coderfolge  $\langle c_\nu \rangle$  der Quellensymbolfolge  $\rm C$  und geben Sie deren Ampltitudenkoeffizienten  $a_\nu$  an.

  • Es gilt:  $a_1= 0.5 \cdot (b_1-b_0) = -1$,  $a_2= 0.5 \cdot (b_2-b_1) =0$,  $a_3= 0.5 \cdot (b_3-b_2) =0$,  $a_4= +1$,  $a_5= -1$,  $a_6= +1$,  $a_7= -1$,  $a_8= a_9 = \text{...} = 0$.
  • Im Gegensatz zur Vorcodierung ist hier die herkömmliche Addition (Subtraktion) anzuwenden und nicht die Modulo–2– Addition.


(3)  Betrachten Sie nun die AMI–Codierung für mehrere Zufallsfolgen.  Welche Regeln lassen sich aus diesen Versuchen für die Ampltitudenkoeffizienten  $a_\nu$  ableiten?

  • Jeder Binärwert  „–1”  von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm L$  wird durch den ternären Koeffizienten  $a_\nu = 0$  codiert.  Es können beliebig viele  $a_\nu = 0$  aufeinanderfolgen.
  • Der Binärwert  „+1”  von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm H$  wird alternierend mit  $a_\nu = +1$  und  $a_\nu = -1$  dargestellt, beginnend mit  $a_\nu = -1$, falls  $b_0 = +1$.
  • Aus der Quellensymbolfolge  $\rm A$   ⇒   $\langle \hspace{0.05cm}q_\nu \equiv +1 \hspace{0.05cm}\rangle$  wird die Codesymbolfolge  $+1, -1, +1, -1, \text{...}$ . Lange Folgen  $\langle \hspace{0.05cm}a_\nu \equiv +1 \hspace{0.05cm}\rangle$  bzw.   $\langle \hspace{0.05cm}a_\nu \equiv -1 \hspace{0.05cm}\rangle$  sind ausgeschossen.


(4)  Weiterhin AMI–Codierung.  Interpretieren Sie die Autokorrelationsfunktion  $\varphi_a(\lambda)$  der Amplitudenkoeffizienten und das Leistungsdichtespektrum  $\Phi_a(f)$.

  • Die diskrete AKF  $\varphi_a(\lambda)$  der Amplitudenkoeffizienten ist nur für ganzzahlige  $\lambda$–Werte definiert.  Beim AMI–Code  $(N_{\rm C}=1)$  sind für  $|\lambda| > 1$  alle  $\varphi_a(\lambda)= 0$.
  • $\varphi_a(\lambda = 0)$  ist gleich dem quadratischen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten   ⇒   $\varphi_a(\lambda = 0) = {\rm Pr}(a_\nu = +1) \cdot (+1)^2 + {\rm Pr}(a_\nu = -1) \cdot (-1)^2 = 0.5.$
  • Zum Erwartungswert  ${\rm E}\big [a_\nu \cdot a_{\nu+1}\big]$  tragen nur die Kombinationen  $(+1, -1)$  und  $(-1, +1)$  bei.  Ergebnis:  $\varphi_a(\lambda = \pm 1)={\rm E}\big [a_\nu \cdot a_{\nu+1}\big]=-0.25.$
  • Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_a(f)$  ist die Fouriertransformierte der diskreten AKF  $\varphi_a(\lambda)$.  Das Ergebnis ist  ${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} \cdot \big [1 - \cos (2\pi f T)\big ] = \sin^2 (\pi f T)\hspace{0.05cm}.$
  • Aus der Gleichsignalfreiheit   ⇒  ${\it \Phi}_a(f = 0) = 0$  folgt:   Der AMI–Code ist insbesondere für Kanäle interessant, über die kein Gleichanteil übertragen werden kann.


(5)  Wir betrachten weiter die AMI–Codierung und den Rechteckimpuls.  Interpretieren Sie die AKF  $\varphi_s(\tau)$  des Sendesignals und das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$.

  • $\varphi_s(\tau)$  ergibt sich aus der Faltung der diskreten AKF  $\varphi_a(\lambda)$  mit  $\varphi^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{g}(\tau)$.  Beim Rechteckimpuls  $($Dauer $T)$  ist die Energie–AKF  $\varphi^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{g}(\tau)$  ein Dreieck der Dauer  $2T$.
  • Es gilt  $\varphi_s(\tau = 0)= \varphi_a(\lambda = 0) =0.5, \ \varphi_s(\pm T)= \varphi_a( 1) =-0.25,\ , \ \varphi_s( \pm 2T)= \varphi_a(2) =0.$  Zwischen diesen diskreten Werten verläuft  $\varphi_{s}(\tau)$  stets linear.
  • Das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$  ergibt sich aus  ${\it \Phi}_a(f) = \sin^2(\pi f T)$  durch Multiplikation mit ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f) = {\rm si}^2(\pi f T).$  An den Nullstellen von  ${\it \Phi}_a(f)$  ändert sich dadurch nichts.


(6)  Was ändert sich bezüglich  $s(t)$,  $\varphi_s(\tau)$  und  ${\it \Phi}_s(f)$  mit dem Nyquistimpuls?  Variieren Sie hierbei den Rolloff–Faktor im Bereich  $0 \le r \le 1$.

  • Ein einzelner Nyquistimpuls kann mit der Quellensymbolfolge  $\rm B$  im  $s(t)$–Bereich dargestellt werden.  Man erkennt die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand  $T$.
  • Auch bei jeder AMI–Zufallsfolge entsprechen die Signalwerte  $s(t=\nu \cdot T)$  für jedes  $r$  genau ihren Solllagen.  Außerhalb dieser Punkte gibt es Abweichungen.
  • Im Sonderfall  $r=0$  ist das Energie–LDS  ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)$  im Bereich  $|f|<1/2T$  konstant.  Dementsprechend hat die Energie–AKF  ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$  einen  $\rm si$–förmigen Verlauf.
  • Bei größerem  $r$  sind dagegen die Nullstellen von  ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$  nicht mehr äqidistant, da zwar  $G(f)$  das erste Nyquistkriterium erfüllt, aber nicht  ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)= [G(f)]^2$.
  • Der wesentliche Vorteil des Nyquistimpulses ist die deutlich kleinere Bandbreite.  Hier muss nur der Frequenzbereich  $|f| < (1+r)/(2T)$  bereitgestellt werden.


(7)  Wiederholen Sie den letzten Versuch mit dem Wurzel–Nyquistimpuls anstelle des Nyquistimpulses und interpretieren Sie die Ergebnisse.

  • Im Sonderfall  $r=0$  sind die Ergebnisse wie in  (6). ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)$  ist im Bereich  $|f|<1/2T$  konstant, außerhalb Null;  ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$  hat einen  $\rm si$–förmigen Verlauf.
  • Auch bei größerem  $r$  sind die Nullstellen von  ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$  äqidistant  (aber nicht $\rm si$–förmig)   ⇒   ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)= [G(f)]^2$  erfüllt das erste Nyquistkriterium.
  • Dagegen erfüllt  $G(f)$  das erste Nyquistkriterium nicht  $($außer für  $r=0)$.  Es kommt vielmehr bereits beim Sendesignal  $s(t)$  zu Impulsinterferenzen.
  • Dies ist aber auch kein grundlegendes Problem.  Durch ein formgleiches Empfangsfilter wie  $G(f)$  werden Impulsinterferenzen vor dem Entscheider vermieden.


(8)  Betrachten und kontrollieren Sie die Vorcodierung  $(b_\nu)$  und die Amplitudenoeffizienten  $a_\nu$  beim Duobinärcode   $($Quellensymbolfolge  $\rm C$,  $b_0 = +1)$.

  • $b_1 = (q_1 = +1)\ {\rm XOR}\ (\overline{b_0}= -1) = +1,\ \ b_2 = (q_2 = -1)\ {\rm XOR}\ (\overline{b_1}= -1) = -1,\ \ b_3 = \text{...} =b_7 = +1,$  $b_8 = b_{10} = \text{...} =-1$,  $b_9 =b_{11} = \text{...}= +1$.
  • $a_1= 0.5 \cdot (b_1+b_0) = +1$,  $a_2= 0.5 \cdot (b_2+b_1) =0$,  $a_3= 0.5 \cdot (b_3+b_2) = 0$,  $a_4= \text{...}= a_7=+1$,  $a_8=a_9= \text{...}= 0$.
  • Mit der Startbedingung  $b_0 = -1$  ergibt sich wieder die negierte Folge:     $a_1= -1$,  $a_2= a_3= 0$,  $a_4= \text{...}= a_7=-1$,  $a_8=a_9= \text{...}= 0$.


(9)  Betrachten Sie nun die Duobinärodierung für mehrere Zufallsfolgen.  Welche Regeln lassen sich aus diesen Versuchen für die Ampltitudenkoeffizienten  $a_\nu$  ableiten?

  • Die diskreten AKF–Werte sind  $\varphi_a(\lambda = 0) = +0.5$,  $\varphi_a(\lambda = 1) = +0.25$,  $\varphi_a(\lambda = 2) = 0$   ⇒   ${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} \cdot \big [1 + \cos (2\pi f T)\big ] = \cos^2 (\pi f T)\hspace{0.05cm}.$
  • Im Gegensatz zur AMI–Codierung sind hier längere  $+1$–Folgen und  $-1$–Folgen möglich   ⇒   der Duobinärcode ist nicht gleichsignalfrei:  ${\it \Phi}_a(f= 0) = 1 \ (\ne 0).$
  • Ebenso wie beim AMI–Code sind auch hier längere Nullfolgen möglich, was wieder zu Synchronisationsproblemen führen kann.
  • Ausgeschlossen sind jedoch die Kombinationen  $a_\nu = +1, \ a_{\nu+1} = -1$  und   $a_\nu = -1, \ a_{\nu+1} = +1$,  erkennbar am LDS–Wert  ${\it \Phi}_a(f= 1/(2T)) = 0.$
  • Solche direkten Übergänge  $a_\nu = +1$   ⇒   $a_{\nu+1} = -1$  bzw.   $a_\nu = -1$   ⇒   $a_{\nu+1} = +1$  führen zu großen Impulsinterferenzen und damit zu einer höheren Fehlerrate.


(10)  Vergleichen Sie die Codierergebnisse von Bipolarcode zweiter Ordnung  $\rm (BIP2)$  und AMI–Code für verschiedene Quellensymbolfolgen.

  • Bei einem einzelnen  $+1$–Impuls   ⇒   Quellensymbolfolge  $\rm B$  führen beide Codes zum gleichen Codersignal.  Es ergibt sich jeweils ebenfalls ein Einzelimpuls.
  • Bei der Dauer–Eins–Folge  $\rm A$  ergibt sich nun die Coderfolge  $\langle c_\nu \rangle = \langle -1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, \text{...}\rangle $  statt   $\langle c_\nu \rangle = \langle -1, +1, -1, +1, -1, +1, -1, +1, \text{...}\rangle $.
  • Der einfache Decodieralgorithmus des AMI–Codes  $($die ternäre  $0$  wird zur binären  $-1$,  die ternären  $\pm 1$  zur binären  $+1)$  lässt sich bei  $\rm BIP2$  nicht anwenden.


(11)  Betrachten und interpretieren Sie die verschiedenen AKF– und LDS–Grafiken des  $\rm BIP2$  im Vergleich zum AMI–Code.

  • Bei  $\rm AMI$  ist  $\varphi_a(\lambda = \pm 1) = -0.25, \ \varphi_a(\lambda = \pm 2) = 0$.  Für  $\rm BIP2$  gilt  $\varphi_a(\lambda = \pm 1) = 0, \ \varphi_a(\lambda = \pm 2) = -0.25$.  In beiden Fällen ist  $\varphi_a(\lambda = 0) = 0.5$.
  • Aus dem  $\rm AMI$–LDS  ${\it \Phi}_a(f) = \sin^2 (\pi \cdot f T)$  folgt das  $\rm BIP2$–LDS  ${\it \Phi}_a(f) = \sin^2 (2\pi \cdot f T)$  durch Stauchung hinsichtlich  $f$–Achse.
  • Nullstelle bei  $f=0$:  Es folgen höchstens zwei  $+1$  direkt aufeinander, und auch maximal nur zwei  $-1$.  Beim AMI–Code treten  $+1$  und  $-1$  nur isoliert auf.
  • Nächste Nullstelle bei  $f=1/(2T)$:  Die unendlich lange  $(+1, -1)$–Folge ist bei diesem Code ebenso wie beim Duobinärcode ausgeschlossen.
  • Betrachten und interpretieren Sie auch die Funktionen  $\varphi_s(\tau)$  und  ${\it \Phi}_s(f)$  für die Impulse „Rechteck”, „Nyquist” und „Wurzel–Nyquist”.

Zur Handhabung des Applets

Bildschirmabzug (deutsche Version, heller Hintergrund)


    (A)     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)

  • Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
  • Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
  • Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
  • Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    (B)     Zugrundeliegendes Blockschaltbild

    (C)     Auswahl des Pseudoternörcodes:
                   AMI–Code, Duobinärcode, Bipolarcode 2. Ordnung

    (D)     Auswahl des Grundimpulses  $g(t)$:
                   Rechteckimpuls, Nyquistimpuls, Wurzel–Nyquistimpuls

    (E)     Rolloff–Faktor (Frequenzbereich) für „Nyquist” und „Wurzel–Nyquist”

    (F)     Einstellung von  $3 \cdot 4 = 12$  Bit der Quellensymbolfolge

    (G)     Auswahl einer drei voreingestellten Quellensymbolfolgen

    (H)     Zufällige binäre Quellensymbolfolge

    ( I )     Schrittweise Verdeutlichung der Pseudoternärcodierung

    (J)     Ergebnis der Pseudoternärcodierung:  Signale  $q(t)$,  $b(t)$,  $c(t)$,  $s(t)$

    (K)     Löschen der Signalverläufe im Grafikbereich  $\rm M$

    (L)     Skizzen für Autokorrelationsfunktion & Leistungsdichtespektrum

    (M)     Grafikbereich:  Quellensignal  $q(t)$, Signal  $b(t)$  nach Vorcodierung,
                   Codersignal  $c(t)$  mit Rechtecken, Sendesignal  $s(t)$  gemäß  $g(t)$

    (N)     Bereich für Übungen:  Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösung

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

  • Die erste Version wurde 2010 von  Stefan Müller  im Rahmen seiner Diplomarbeit (LB) mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  Günter Söder).
  • 2020 wurde das Programm von  Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  Tasnád Kernetzky).


Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch die  Exzellenzinitiative  der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.



Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version