Applets:Periodendauer periodischer Signale: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
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{{LntAppletLinkDeEn|signalPeriod|signalPeriod_en}}
  
{{LntAppletLink|signalPeriod_en|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}}     {{LntAppletLink|signalPeriodS_en|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}
 
  
 
==Programmbeschreibung==
 
==Programmbeschreibung==
 
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Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion
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Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; der periodischen Funktion
 
:$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$
 
:$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$
  
 
Bitte beachten Sie:  
 
Bitte beachten Sie:  
*Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert: &nbsp; $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
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*Die Phasen&nbsp; $\varphi_i$&nbsp; sind hier im Bogenmaß einzusetzen.&nbsp; Umrechnung aus dem Eingabewert: &nbsp;  
*Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
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:$$\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi.$$
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*Ausgegeben werden auch der Maximalwert&nbsp; $x_{\rm max}$&nbsp; und ein Signalwert&nbsp; $x(t_*)$&nbsp; zu einer vorgebbaren Zeit&nbsp; $t_*$.
 
*Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.  
 
*Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.  
  
  
Die englische Beschreibung finden Sie unter [[Period Duration of Periodic Signals]] (derzeit noch nicht realisiert) .
 
  
 
==Theoretischer Hintergrund==
 
==Theoretischer Hintergrund==
 
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*Ein ''periodisches Signal'' $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt: &nbsp; $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die '''Periodendauer''' und  $f_0 = 1/T_0$ als die '''Grundfrequenz'''.
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Ein ''periodisches Signal''&nbsp; $x(t)$&nbsp; liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von&nbsp; $t$&nbsp; und alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $i$&nbsp; mit einem geeigneten&nbsp; $T_{0}$&nbsp; gilt: &nbsp; $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t).$  
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*Man bezeichnet&nbsp; $T_0$&nbsp; als die&nbsp; '''Periodendauer'''&nbsp; und&nbsp; $f_0 = 1/T_0$&nbsp; als die&nbsp; '''Grundfrequenz'''.
  
*Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.
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*Bei einer harmonischen Schwingung&nbsp; $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$&nbsp; gilt&nbsp; $f_0 = f_1$&nbsp; und&nbsp; $T_0 = 1/f_1$,&nbsp; unabhängig von der Phase&nbsp; $\varphi_1$&nbsp; und der Amplitude&nbsp; $A_1 \ne 0$.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp; Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und  $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:
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$\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp; Setzt sich das periodisches Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; wie in diesem Applet aus zwei Anteilen&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; zusammen, dann gilt mit&nbsp; $A_1 \ne 0$,&nbsp; $f_1 \ne 0$,&nbsp; $A_2 \ne 0$,&nbsp; $f_2 \ne 0$&nbsp; für Grundfrequenz und Periodendauer:
  
:$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$  
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:$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0.$$  
wobei &bdquo;ggT&rdquo; den ''größten gemeinsamen Teiler'' bezeichnet.}}
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Hierbei bezeichnet&nbsp; $\rm ggT$&nbsp; den '''größten gemeinsamen Teiler'''.}}
  
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiele:}$ &nbsp; Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:  
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$\text{Beispiele:}$ &nbsp; Im Folgenden bezeichnen&nbsp; $f_0'$,&nbsp; $f_1'$&nbsp; und $f_2'$&nbsp; jeweils auf $1\ \rm kHz$ normierte Signalfrequenzen:  
  
 
'''(a)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  1.0\ \rm ms$;
 
'''(a)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  1.0\ \rm ms$;
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'''(d)''' &nbsp; $f_1' = 0.9$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  10.0 \ \rm ms$;
 
'''(d)''' &nbsp; $f_1' = 0.9$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  10.0 \ \rm ms$;
  
'''(e)''' &nbsp; $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 \to \infty$&nbsp; &rArr; &nbsp; Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.}}
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'''(e)''' &nbsp; $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 \to \infty$&nbsp; &rArr; &nbsp; Das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist nicht periodisch.}}
  
  
$\text{Anmerkung:}$&nbsp; Die Periodendauer könnte auch als ''kleinstes gemeinsame Vielfache'' (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:
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$\text{Anmerkung:}$&nbsp; Die Periodendauer könnte auch als&nbsp; '''kleinstes gemeinsames Vielfaches'''&nbsp; $\rm (kgV)$&nbsp; entsprechend&nbsp; $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$&nbsp; ermittelt werden:
  
'''(c)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$, &nbsp; $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms =  2.0\ \rm ms$
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:'''(c)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$, &nbsp; $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms =  2.0\ \rm ms$
  
 
Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel  
 
Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel  
  
'''(a)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.  
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:'''(a)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.  
  
==Vorschlag für die Versuchsdurchführung==
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==Versuchsdurchführung==
 
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Im Folgenden bezeichnen $A_1'$ und $A_2'$ die auf $1\ \rm V$ normierten  Signalamplituden und $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierte Frequenzen:
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*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; $(1,\ 2$, ... $)$&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.&nbsp; Die Nummer&nbsp; $0$&nbsp; entspricht &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart.
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*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.&nbsp; Parameterwerte sind angepasst.&nbsp; Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
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*$A_1'$&nbsp; und&nbsp; $A_2'$&nbsp;  bezeichnen hier die auf&nbsp; $1\ \rm V$&nbsp; normierten  Signalamplituden.&nbsp; $ f_0'$,&nbsp; $f_1'$&nbsp; und&nbsp; $f_2'$&nbsp; sind die auf&nbsp; $1\ \rm kHz$&nbsp; normierten Frequenzen.
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(1)''' &nbsp; nach Voreinstellung: &nbsp; &nbsp; $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ A_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{:}$}}
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'''(1)''' &nbsp; Es gelte&nbsp; $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{.}$&nbsp; Wie groß ist die Periodendauer&nbsp; $T_0$?}}  
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 2.5) = 0.5$.
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist&nbsp; $T_0 = 2.0 \ \rm ms$&nbsp; wegen&nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 2.5) = 0.5$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(2)''' &nbsp; Variieren Sie bei der bestehenden Einstellung $\varphi_1$ und $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{:}$}}
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'''(2)''' &nbsp; Variieren Sie&nbsp;  $\varphi_1$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2$&nbsp; im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{.}$&nbsp; Wie wirkt sich dies auf die Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; aus?}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten.
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer&nbsp; $T_0 = 2.0 \ \rm ms$&nbsp; bleibt für alle&nbsp;  $\varphi_1$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2$&nbsp; erhalten.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(3)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und variieren Sie $A_1'$ im gesamten möglichen Bereich $0 \le A_1' \le 1\text{:}$}}
+
'''(3)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo;.&nbsp; Variieren Sie&nbsp; $A_1'$&nbsp; im gesamten möglichen Bereich&nbsp; $0 \le A_1' \le 1$.}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten mit Ausnahme von $A_1' =0$. In diesem Fall ist $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer&nbsp; $T_0 = 2.0 \ \rm ms$&nbsp; bleibt erhalten mit Ausnahme von&nbsp; $A_1' =0$.&nbsp; In letzerem Fall ist&nbsp; $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(4)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.2\text{:}$}}
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'''(4)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und variieren Sie&nbsp; $f_2' $?&nbsp; Hat dies Auswirkungen auf&nbsp; $T_0$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $f_2' = 0.2$.}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer springt hin und her.&nbsp; Für&nbsp; $f_2' = 0.2$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(5)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $f_1' = 0.2$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store  Parameters&rdquo;:}}
+
'''(5)''' &nbsp; Es gelte&nbsp; $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 0.2, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{.}$&nbsp;  Wie groß ist&nbsp; $T_0$?&nbsp; Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store  Parameters&rdquo;.}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 10.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist&nbsp; $T_0 = 10.0 \ \rm ms$&nbsp; wegen&nbsp; ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(6)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store Parameters&rdquo;:}}
+
'''(6)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie&nbsp; $f_2' = 0.6$.&nbsp;  Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store Parameters&rdquo;:}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist&nbsp; $T_0 = 5.0 \ \rm ms$&nbsp; wegen&nbsp; ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(7)''' &nbsp; Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{?}$}}
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'''(7)''' &nbsp; Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert&nbsp; $x_{\rm max}\text{?}$}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.39 \ \rm V$ mit $t_* = 0.3 \ \rm ms$ und $T_0 = 5.0 \ \rm ms$
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$&nbsp;$x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.38 \ {\rm V} < A_1 + A_2$&nbsp; mit&nbsp; $t_* = 0.3 \ \rm ms$&nbsp; und&nbsp; $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(8)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall  Parameters&rdquo; und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:}}
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'''(8)''' &nbsp; Welcher Unterschied ergibt sich mit&nbsp; $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen?}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max}  =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $t_* = 0$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.
+
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$&nbsp;$t_* = 0$,&nbsp; $T_0 = 5.0 \ \rm ms$&nbsp; &rArr; &nbsp; $x_{\rm max}  =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ {\rm V}=A_1 + A_2$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(9)''' &nbsp; Wählen Sie die vorletzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall  Parameters&rdquo; und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:}}
+
'''(9)''' &nbsp; Nun gelte&nbsp; $\varphi_1 = \varphi_2 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen.&nbsp; Wie groß ist hier der maximale Signalwert&nbsp; $x_{\rm max}\text{?}$}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$&nbsp; &rArr; &nbsp; $t_* = 0.6 \ \rm ms$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.
+
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun&nbsp; $x_{\rm max} = 1.07 \ {\rm V} < A_1 + A_2$.&nbsp;Dieser Wert ergibt sich mit&nbsp; $T_0 = 5.0 \ \rm ms$&nbsp; sowie&nbsp; $t_* = 0.6 \ \rm ms$&nbsp; bzw.&nbsp; $t_* = 1.9 \ \rm ms$.
  
  
  
 
==Zur Handhabung der Applet-Variante 1==
 
==Zur Handhabung der Applet-Variante 1==
[[Datei:Periodendauer_fertig_version1.png|left]]
 
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider
 
 
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung
 
  
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeit für die  graphische Darstellung
+
[[Datei:Anleitung_Periodendauer.png|right|frame|Bildschirmabzug der englischen Version]]
  
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen
+
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe für Schwingung 1
  
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie
+
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe für Schwingung 2 und der Zeit&nbsp; $t_*$.
  
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses&nbsp; $T_0$;&nbsp; graphische Verdeutlichung durch rote Linie
  
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte
+
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern von Parametersätzen
  
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Zurückholen von Parametersätzen
  
'''Details zum obigen Punkt (C)'''
+
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von&nbsp; $x_{\rm max}$&nbsp; und der Signalwerte&nbsp; $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
 
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Zoom&ndash;Funktionen &bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern), &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)
 
  
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts),  &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; und &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;
+
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Grafikfeld zur Darstellung der Signale
  
'''Andere Möglichkeiten''':
+
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Die Signalwerte&nbsp; $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$&nbsp; werden durch grüne Punkte markiert
 
 
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und Scrollen:  Zoomen im Koordinatensystem,
 
 
 
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
 
<br clear = all>
 
  
==Zur Handhabung der Applet-Variante 2==
+
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Am unteren rechten Grafikrand finden Sie folgende Buttos:
[[Datei:Periodendauer_SB_version2.png|left]]
 
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe
 
  
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung
+
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''(1)''' &nbsp; &nbsp; Zoom&ndash;Funktionen &bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern), &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)
  
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Größe der graphischen Darstellung
+
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''(2)''' &nbsp; &nbsp; Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; und &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;
  
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Speichern/Zurückholen von Eingaben
+
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Aufgabenauswahl entsprechend der Aufgabennummer
 +
<br><br>
 +
In allen Applets oben rechts:&nbsp; &nbsp; Veränderbare grafische Oberflächengestaltung  &nbsp; &rArr;  &nbsp; '''Theme''':
 +
* Dark: &nbsp; schwarzer Hintergrund&nbsp; (wird von den Autoren empfohlen)
 +
*  Bright: &nbsp; weißer Hintergrund&nbsp; (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
 +
*  Deuteranopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Grün&ndash;Sehschwäche
 +
*  Protanopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Rot&ndash;Sehschwäche
  
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; in Grafik: &nbsp; &nbsp; blaue Linien im Abstand $T_0$
 
  
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe $t_\star$, &nbsp; Ausgabe von $x(t_*)$ und $x_{\rm max}$
 
 
<br clear = all>
 
<br clear = all>
  
 
==Über die Autoren==
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.  
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Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.  
*Die erste Version wurde 2004 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).  
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*Die erste Version wurde 2004 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt&nbsp; (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).  
*2017 wurde dieses Programm  von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet &nbsp; &rArr; &nbsp; Applet-Variante 1.
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*2017 wurde dieses Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]]&nbsp; im Rahmen seiner Ingenieurspraxis&nbsp; (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]])&nbsp; auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet &nbsp; &rArr; &nbsp; Applet-Variante 1.&nbsp; Parallel dazu erarbeitete&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bastian_Siebenwirth_.28Bachelorarbeit_LB_2017.29|Bastian Siebenwirth]]&nbsp; im Rahmen seiner Bachelorarbeit&nbsp; (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]])&nbsp; die HTML5-Variante 2.
*Parallel dazu erarbeitete [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bastian_Siebenwirth_.28Bachelorarbeit_LB_2017.29|Bastian Siebenwirth]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]])  die HTML5-Variante 2.
 
  
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster==
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster==
 
Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
 
Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
  
{{LntAppletLink|signalPeriod_en|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}} &nbsp; &nbsp; {{LntAppletLink|signalPeriodS_en|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}
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{{LntAppletLink|signalPeriod|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}} &nbsp; &nbsp; {{LntAppletLink|signalPeriodS_en|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}

Aktuelle Version vom 26. Oktober 2023, 11:05 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version


Programmbeschreibung


Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer  $T_0$  der periodischen Funktion

$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Bitte beachten Sie:

  • Die Phasen  $\varphi_i$  sind hier im Bogenmaß einzusetzen.  Umrechnung aus dem Eingabewert:  
$$\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi.$$
  • Ausgegeben werden auch der Maximalwert  $x_{\rm max}$  und ein Signalwert  $x(t_*)$  zu einer vorgebbaren Zeit  $t_*$.
  • Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.


Theoretischer Hintergrund


Ein periodisches Signal  $x(t)$  liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von  $t$  und alle ganzzahligen Werte von  $i$  mit einem geeigneten  $T_{0}$  gilt:   $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t).$

  • Man bezeichnet  $T_0$  als die  Periodendauer  und  $f_0 = 1/T_0$  als die  Grundfrequenz.
  • Bei einer harmonischen Schwingung  $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$  gilt  $f_0 = f_1$  und  $T_0 = 1/f_1$,  unabhängig von der Phase  $\varphi_1$  und der Amplitude  $A_1 \ne 0$.


$\text{Berechnungsvorschrift:}$  Setzt sich das periodisches Signal  $x(t)$  wie in diesem Applet aus zwei Anteilen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  zusammen, dann gilt mit  $A_1 \ne 0$,  $f_1 \ne 0$,  $A_2 \ne 0$,  $f_2 \ne 0$  für Grundfrequenz und Periodendauer:

$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0.$$

Hierbei bezeichnet  $\rm ggT$  den größten gemeinsamen Teiler.


$\text{Beispiele:}$   Im Folgenden bezeichnen  $f_0'$,  $f_1'$  und $f_2'$  jeweils auf $1\ \rm kHz$ normierte Signalfrequenzen:

(a)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.0$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$   ⇒   $T_0 = 1.0\ \rm ms$;

(b)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(c)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(d)   $f_1' = 0.9$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$   ⇒   $T_0 = 10.0 \ \rm ms$;

(e)   $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$   ⇒   $T_0 \to \infty$  ⇒   Das Signal  $x(t)$  ist nicht periodisch.


$\text{Anmerkung:}$  Die Periodendauer könnte auch als  kleinstes gemeinsames Vielfaches  $\rm (kgV)$  entsprechend  $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$  ermittelt werden:

(c)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$,   $T_2 = 0.4\ \rm kHz$   ⇒   $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel

(a)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Versuchsdurchführung


  • Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht „Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
  • Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
  • $A_1'$  und  $A_2'$  bezeichnen hier die auf  $1\ \rm V$  normierten Signalamplituden.  $ f_0'$,  $f_1'$  und  $f_2'$  sind die auf  $1\ \rm kHz$  normierten Frequenzen.


(1)   Es gelte  $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{.}$  Wie groß ist die Periodendauer  $T_0$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist  $T_0 = 2.0 \ \rm ms$  wegen  ${\rm ggt}(2.0, 2.5) = 0.5$.

(2)   Variieren Sie  $\varphi_1$  und  $\varphi_2$  im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{.}$  Wie wirkt sich dies auf die Periodendauer  $T_0$  aus?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer  $T_0 = 2.0 \ \rm ms$  bleibt für alle  $\varphi_1$  und  $\varphi_2$  erhalten.

(3)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   „Recall Parameters”.  Variieren Sie  $A_1'$  im gesamten möglichen Bereich  $0 \le A_1' \le 1$.

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer  $T_0 = 2.0 \ \rm ms$  bleibt erhalten mit Ausnahme von  $A_1' =0$.  In letzerem Fall ist  $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.

(4)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   „Recall Parameters” und variieren Sie  $f_2' $?  Hat dies Auswirkungen auf  $T_0$?  Welcher Wert ergibt sich für  $f_2' = 0.2$.

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer springt hin und her.  Für  $f_2' = 0.2$  ergibt sich  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.

(5)   Es gelte  $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 0.2, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{.}$  Wie groß ist  $T_0$?  Speichern Sie diese Einstellung mit „Store Parameters”.

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist  $T_0 = 10.0 \ \rm ms$  wegen  ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.

(6)   Wählen Sie die letzte Einstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie  $f_2' = 0.6$.  Speichern Sie diese Einstellung mit „Store Parameters”:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$  wegen  ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.

(7)   Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert  $x_{\rm max}\text{?}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$ $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.38 \ {\rm V} < A_1 + A_2$  mit  $t_* = 0.3 \ \rm ms$  und  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

(8)   Welcher Unterschied ergibt sich mit  $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$ $t_* = 0$,  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$  ⇒   $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ {\rm V}=A_1 + A_2$.

(9)   Nun gelte  $\varphi_1 = \varphi_2 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen.  Wie groß ist hier der maximale Signalwert  $x_{\rm max}\text{?}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun  $x_{\rm max} = 1.07 \ {\rm V} < A_1 + A_2$. Dieser Wert ergibt sich mit  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$  sowie  $t_* = 0.6 \ \rm ms$  bzw.  $t_* = 1.9 \ \rm ms$.


Zur Handhabung der Applet-Variante 1

Bildschirmabzug der englischen Version

    (A)     Parametereingabe für Schwingung 1

    (B)     Parametereingabe für Schwingung 2 und der Zeit  $t_*$.

    (C)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses  $T_0$;  graphische Verdeutlichung durch rote Linie

    (D)     Abspeichern von Parametersätzen

    (E)     Zurückholen von Parametersätzen

    (F)     Ausgabe von  $x_{\rm max}$  und der Signalwerte  $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

    (G)     Grafikfeld zur Darstellung der Signale

                  Die Signalwerte  $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$  werden durch grüne Punkte markiert

                  Am unteren rechten Grafikrand finden Sie folgende Buttos:

                  (1)     Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

                  (2)     Verschieben mit „$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), „$\uparrow$” „$\downarrow$” und „$\rightarrow$”

    (H)     Aufgabenauswahl entsprechend der Aufgabennummer

In allen Applets oben rechts:    Veränderbare grafische Oberflächengestaltung   ⇒   Theme:

  • Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
  • Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
  • Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
  • Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche



Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

  • Die erste Version wurde 2004 von  Ji Li  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt  (Betreuer:  Günter Söder ).
  • 2017 wurde dieses Programm von  David Jobst  im Rahmen seiner Ingenieurspraxis  (Betreuer:  Tasnád Kernetzky)  auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet   ⇒   Applet-Variante 1.  Parallel dazu erarbeitete  Bastian Siebenwirth  im Rahmen seiner Bachelorarbeit  (Betreuer:  Günter Söder)  die HTML5-Variante 2.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster

Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:

Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen     Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen