Aufgaben:Aufgabe 5.4Z: OVSF–Codes

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Zur Konstruktion
eines OVSF–Codes

Die Spreizcodes für  UMTS  sollen

• alle zueinander orthogonal sein,  um eine gegenseitige Beeinflussung der Teilnehmer zu vermeiden,
• zusätzlich eine flexible Realisierung unterschiedlicher Spreizfaktoren  $J$  ermöglichen.

Ein Beispiel hierfür sind die so genannten Codes mit variablem Spreizfaktor  $($englisch:  "Orthogonal Variable Spreading Factor",  $\rm OVSF)$,  die Spreizcodes der Längen von  $J = 4$  bis  $J = 512$  bereitstellen.

Diese können,  wie in der Grafik zu sehen ist,  mit Hilfe eines Codebaums erstellt werden.  Dabei entstehen bei jeder Verzweigung aus einem Code   $C$  zwei neue Codes  $(+C \ +C)$  und  $(+C \ -C)$.

Die Grafik verdeutlicht das hier angegebene Prinzip am Beispiel  $J = 4$: 

• Nummeriert man die Spreizfolgen von  $0$  bis  $J -1$  durch,  so ergeben sich hier die Spreizfolgen

$$\langle c_\nu^{(0)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \langle c_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$

$$\langle c_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \langle c_\nu^{(3)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$

• Entsprechend dieser Nomenklatur gibt es für den Spreizfaktor  $J = 8$  die Spreizfolgen  $\langle c_\nu^{(0)}\rangle $, ... , $\langle c_\nu^{(7)}\rangle $.

• Anzumerken ist, dass kein Vorgänger und Nachfolger eines Codes für einen anderen Teilnehmer benutzt werden darf.
• Im Beispiel könnten also vier Spreizcodes mit Spreizfaktor  $J = 4$  verwendet werden oder die drei gelb hinterlegten Codes – einmal mit  $J = 2$  und zweimal mit  $J = 4$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Spreizfolgen für CDMA.
• Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  Codes mit variablem Spreizfaktor  im Theorieteil.
• Wir möchten Sie gerne auch auf das kleine interaktive SWF–Applet  OVSF  hinweisen.

Fragebogen

1 Konstruieren Sie das Baumdiagramm für  $J = 8$.  Welche OVSF–Codes ergeben sich daraus?

	Codewort 1:   $ \langle c_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$
	Codewort 3:   $ \langle c_\nu^{(3)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}$ ,
	Codewort 5:   $ \langle c_\nu^{(5)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}$,
	Codewort 7:   $ \langle c_\nu^{(7)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}$.

2 Wieviele UMTS–Teilnehmer  $(K_{\rm max})$  können mit  $J = 8$  maximal bedient werden?

$K_{\rm max} \ = \ $

3 Wieviele Teilnehmer  $(K)$  können versorgt werden,  wenn drei dieser Teilnehmer einen Spreizcode mit  $J = 4$  verwenden sollen?

$K \ = \ $

4 Gehen Sie von einer Baumstruktur für  $J = 32$  aus.  Ist die folgende Zuweisung machbar:
Zweimal  $J = 4$,  einmal  $J = 8$,  zweimal  $J = 16$  und  achtmal  $J = 32$?

	Ja.
	Nein.

Musterlösung

Musterlösung

OVSF–Baumstruktur für  $J = 8$

(1)  Die Grafik zeigt die OVSF–Baumstruktur für  $J = 8$.  Daraus ist zu erkennen,  dass die  Lösungsvorschläge 1, 3 und 4  zutreffen,  nicht jedoch der zweite.

(2)  Wird jedem Nutzer ein Spreizcode mit  $J = 8$  zugewiesen,  so können  $K_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ = 8}$  Teilnehmer versorgt werden.

(3)  Wenn drei Teilnehmer mit  $J = 4$  versorgt werden,  können nur mehr zwei Teilnehmer durch eine Spreizfolge mit  $J = 8$  bedient werden  (siehe beispielhafte gelbe Hinterlegung in der Grafik)   ⇒   $K\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}$.

(4)  Wir bezeichnen mit

• $K_4 = 2$  die Anzahl der Spreizfolgen mit  $J = 4$,
• $K_8 = 1$  die Anzahl der Spreizfolgen mit  $J = 8$,
• $K_{16} = 2$  die Anzahl der Spreizfolgen mit  $J = 16$,
• $K_{32} = 8$  die Anzahl der Spreizfolgen mit  $J = 32$.

Dann muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$$K_4 \cdot \frac{32}{4} + K_8 \cdot \frac{32}{8} +K_{16} \cdot \frac{32}{16} +K_{32} \cdot \frac{32}{32} \le 32 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_4 \cdot8 + K_8 \cdot 4 +K_{16} \cdot 2 +K_{32} \cdot1 \le 32 \hspace{0.05cm}.$$

• Wegen   $2 · 8 + 1 · 4 + 2 · 2 + 8 = 32$   ist die gewünschte Belegung gerade noch erlaubt   ⇒   Antwort JA.
• Die zweimalige Bereitstellung des Spreizgrads  $J = 4$  blockiert zum Beispiel die obere Hälfte des Baums.
• Nach der Versorgung der einen Spreizung mit  $J = 8$,  bleiben auf der  $J = 8$–Ebene noch drei der acht Äste zu belegen, usw. und so fort.