Aufgaben:Exercise 1.3Z: Rayleigh Fading Revisited: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte des Rayleigh–Fadings}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte des Rayleigh–Fadings}}
  
[[Datei:P_ID2107__Mob_Z_1_3.png|right|frame|Zwei Kanäle, gekennzeichnet durch komplexen Faktor  $z(t)$]]
+
[[Datei:EN_Mob_A_1_3Z.png|right|frame|Two channels, characterized by complex factor  $z(t)$]]
Dargestellt ist der  multiplikative Faktor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$  zweier Mobilfunkkanäle (beide ohne Mehrwegeausbreitung) in 2D–Darstellung. Als gesichert wird vorgegeben:
+
The graph shows the multiplicative factor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$  of two mobile radio channels (both without multipath propagation) in 2D–representation. The following is assumed:
* Der Kanal  $\rm R$  (die Bezeichnung ergibt sich aus der Farbe „Rot” der Punktwolke) ist rayleighverteilt mit  $\sigma_{\rm R} = 0.5$.
+
* The channel  $\rm R$  (the designation results from the color „Red” of the point cloud) is Rayleigh distributed with  $\sigma_{\rm R} = 0.5$.
* Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) von Betrag  $a(t) = |z(t)|$  bzw.  Betragsquadrat $p(t) = |z(t)|^2$  gelten somit die folgenden Gleichungen $($mit  $\sigma = \sigma_{\rm R})$:
+
* The probability density functions (PDF) of the magnitude  $a(t) = |z(t)|$  or   the squared magnitude $p(t) = |z(t)|^2$  are $($with  $\sigma = \sigma_{\rm R})$:
 
:$$f_a(a) =
 
:$$f_a(a) =
 
\left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \\
 
\left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \\
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\\  {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p < 0 \\ \end{array}
 
\\  {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p < 0 \\ \end{array}
 
.$$
 
.$$
* Vom Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; („Blau”) ist nur die Punktwolke gegeben. Es ist abzuschätzen, ob hier ebenfalls <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&nbsp; vorliegt, und wenn JA, wie groß bei diesem Kanal die Kenngröße&nbsp; $\sigma = \sigma_{\rm B}$&nbsp; ist.
+
* For channel &nbsp;$\rm B$&nbsp; ("Blue") only the point cloud is given. It must be estimated whether Rayleigh fading is also present here, and if YES, how large the parameter&nbsp; $\sigma = \sigma_{\rm B}$&nbsp; is for this channel.
* In der Teilaufgabe '''(3)''' wird schließlich auch auf die WDF&nbsp; $f_{\it \phi}(\phi)$&nbsp; der Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; Bezug genommen. Diese ist wie folgt definiert:
+
* Finally, subtask '''(3)''' also refers to PDF&nbsp; $f_{\it \phi}(\phi)$&nbsp; of the phase function&nbsp; $\phi(t)$&nbsp;, which is defined as follows:
  
:$$\phi(t) = \arctan \hspace{0.15cm} \frac{y(t)}{x(t)}
+
$$\phi(t) = \arctan \hspace{0.15cm} \frac{y(t)}{x(t)}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
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''Hinweise:''  
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''Notes:''  
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings|Wahrscheinlichkeitsdichte des Rayleigh&ndash;Fadings]] dieses Buches.  
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* This task belongs to chapter&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings|Wahrscheinlichkeitsdichte des Rayleigh&ndash;Fadings]] of this book.  
* Eine ähnliche Thematik wird mit anderer Herangehensweise im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]]&nbsp; des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo; behandelt.
+
* A similar topic is treated with a different approach in chapter&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]]&nbsp; of the book &bdquo;Stochastic Signal Theory&rdquo;.
* Zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse können Sie das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:WDF_VTF|WDF, VTF und Momente]]&nbsp; benutzen.
+
* To check your results you can use the interactive applet&nbsp; [[Applets:WDF_VTF|WDF, VTF and Moments]]&nbsp; of the book &bdquo;Stochastic Signal Theory&rdquo;.
 
   
 
   
  
  
===Fragebogen===
+
===Questionnaire===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Lässt sich auch der Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; durch &bdquo;<i>Rayleigh</i>&rdquo; modellieren?
+
{Can the channel &nbsp;$\rm B$&nbsp; also be modeled as Rayleigh fading?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
+ Ja.
+
+ Yes.
- Nein.
+
- No.
  
{Schätzen Sie den Rayleigh&ndash;Parameter von Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; ab. Zur Erinnerung: &nbsp; Bei Kanal &nbsp;$\rm R$&nbsp; hat dieser Parameter den Wert&nbsp; $\sigma_{\rm R} = 0.5$.
+
{Estimate the Rayleigh parameter of channel $\rm B$. Reminder: &nbsp; For channel &nbsp;$\rm R$&nbsp; this parameter has the value&nbsp; $\sigma_{\rm R} = 0.5$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$\sigma_{\rm B}\ = \ $ { 0.707 3% }  
 
$\sigma_{\rm B}\ = \ $ { 0.707 3% }  
  
{Unterscheiden sich die Phasen&ndash;Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen&nbsp; $f_{\it \phi}(\phi)$ von Kanal &nbsp;$\rm R$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$&nbsp;, und wenn JA, wie?
+
{Are the probability density functions (PDFs) $f_{\it \phi}(\phi)$ of the phases different for channel &nbsp;$\rm R$&nbsp; and &nbsp;$\rm B$&nbsp; and if YES, how?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
- Ja.
+
- Yes.
+ Nein.
+
+ No.
  
{Welchen Verlauf hat in beiden Fällen die WDF&nbsp; $f_a(a)$&nbsp; mit&nbsp; $a(t) = |z(t)|$?
+
{What is the PDF&nbsp; $f_a(a)$&nbsp; with&nbsp; $a(t) = |z(t)|$ in both cases?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
- Der Betrag&nbsp; $a(t)$&nbsp; ist gaußverteilt.
+
- The amount&nbsp; $a(t)$&nbsp; is Gaussian distributed.
+ Der Betrag&nbsp; $a(t)$&nbsp; ist rayleighverteilt.
+
+ The amount&nbsp; $a(t)$&nbsp; is Rayleigh distributed.
- Der Betrag&nbsp; $a(t)$&nbsp; ist positiv&ndash;exponentialverteilt.
+
- The amount&nbsp; $a(t)$&nbsp; is positive and exponentially distributed.
  
{Welchen Verlauf hat in beiden Fällen die WDF&nbsp; $f_p(p)$&nbsp; mit &nbsp;$p(t) = |z(t)|^2$?
+
{What is the PDF&nbsp; $f_p(p)$&nbsp; in both cases with &nbsp;$p(t) = |z(t)|^2$?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
- Der Betrag&nbsp; $p(t)$&nbsp; ist gaußverteilt.
+
- The amount&nbsp; $p(t)$&nbsp; is Gaussian distributed.
- Der Betrag&nbsp; $p(t)$&nbsp; ist rayleighverteilt.
+
- The amount&nbsp; $p(t)$&nbsp; is Rayleigh distributed.
+ Der Betrag&nbsp; $p(t)$&nbsp; ist positiv&ndash;exponentialverteilt.
+
+ The amount&nbsp; $p(t)$&nbsp; is positive and exponentially distributed.
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; größer ist als ein vorgegebener Wert&nbsp; $A$?
+
{What is the probability that the magnitude&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; is greater than a given value&nbsp; $A$?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
- Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm ln}(A/\sigma).$
+
- ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm ln}(A/\sigma).$
+ Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm e}^{-A^2/2\sigma^2}.$
+
+ ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm e}^{-A^2/2\sigma^2}.$
- Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm e}^{-A/\sigma}.$
+
- ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm e}^{-A/\sigma}.$
  
{Berechnen Sie für beide Kanäle die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(|z(t)| > 1)$.
+
{Calculate the probability&nbsp; ${\rm Pr}(|z(t)| > 1)$ for both channels.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
Kanal &nbsp;$\rm R$:$\hspace{0.4cm} {\rm Pr}(|z(t)| > 1)\ = \ $ { 0.135 3% }
+
Channel &nbsp;$\rm R$:$\hspace{0.4cm} {\rm Pr}(|z(t)| > 1)\ = \ $ { 0.135 3% }
Kanal &nbsp;$\rm B$:$\hspace{0.4cm} {\rm Pr}(|z(t)| > 1)\ = \ $ { 0.368 3% }
+
Channel &nbsp;$\rm B$:$\hspace{0.4cm} {\rm Pr}(|z(t)| > 1)\ = \ $ { 0.368 3% }
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Sample solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; <u>Richtig ist JA</u>:  
+
'''(1)'''&nbsp; <u>YES</u>:  
*Man erkennt auch hier die Rotationssymmetrie, wenn man berücksichtigt, dass hier nur $N = 10\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte in der komplexen Ebene dargestellt wurden.  
+
*You can see the rotational symmetry here, too, if you consider that only $N = 10\hspace{0.05cm}000$ samples were displayed in the complex plane.  
*Außerdem hätten bei NEIN die nachfolgenden Fragen keinen Sinn.
+
*Furthermore the following questions would not make sense if you answer NO.
  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Durch Vermessen der beiden eingezeichneten Kreise erkennt man, dass beim &bdquo;blauen&rdquo; Kanal die Streuungen von Real&ndash; und Imaginärteil um etwa den Faktor 1.4 (exakt: $\sqrt{2}$) größer sind als beim &bdquo;roten&rdquo; Kanal:
+
'''(2)'''&nbsp; By measuring the two drawn circles you can see that for the &bdquo;blue&rdquo; channel the scattering of real&ndash; and imaginary part are larger by a factor of about 1.4 (exactly: $\sqrt{2}$) than for the &bdquo;red&rdquo; channel:
:$$\sigma_{\rm B} = \sigma_{\rm R} \cdot \sqrt{2} = 0.5 \cdot \sqrt{2}= {1}/{\sqrt{2}}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.707}
+
$$\sigma_{\rm B} = \sigma_{\rm R} \cdot \sqrt{2} = 0.5 \cdot \sqrt{2}= {1}/{\sqrt{2}}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.707}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; <u>Richtig ist NEIN</u>:  
+
'''(3)'''&nbsp; <u>NO</u>:  
*In beiden Fällen beschreibt $f_{\it \phi}(\phi)$ eine Gleichverteilung zwischen $-\pi$ und $+\pi$.  
+
*In both cases $f_{\it \phi}(\phi)$ describes a uniform distribution between $-\pi$ and $+\pi$.  
*Die größeren Amplituden von Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; spielen für die Phasenfunktion $\phi(t)$ keine Rolle.
+
*The larger amplitudes of channel &nbsp;$\rm B$&nbsp; are not important for the phase function $\phi(t)$.
  
  
  
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:  
+
'''(4)'''&nbsp; <u>Solution 2</u> is correct:  
*Bei Rayleigh&ndash;Fading sind Realteil $x(t)$ und Imaginärteil $y(t)$ jeweils gaußverteilt.  
+
*With Rayleigh fading, the real part $x(t)$ and the imaginary part $y(t)$ are each Gaussian distributed.  
*Die Exponentialverteilung ergibt sich für das Betragsquadrat $p(t) = |z(t)|^2$.
+
*The exponential distribution results for the square of the absolute value $p(t) = |z(t)|^2$.
  
  
  
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 3</u>, wie bereits in der Musterlösung zu '''(4)''' begründet wurde.
+
'''(5)'''&nbsp; <u>Solution 3</u> is correct, as already explained in the sample solution for '''(4)'''.
  
  
  
'''(6)'''&nbsp; Der Betrag $a(t)$ ist rayleighverteilt. Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
+
'''(6)'''&nbsp; The magnitude $a(t)$ is Rayleigh distributed. Therefore, the following holds for the desired probability:
:$${\rm Pr}(a > A) = \int_{A}^{\infty}\frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}a \hspace{0.05cm}.$$
+
$${\rm Pr}(a > A) = \int_{A}^{\infty}\frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}a \hspace{0.05cm}.$$
  
*In einigen Formelsammlungen findet man die Lösung für dieses Integral, aber nicht in allen.  
+
*In some formula collections you can find the solution for this integral, but not in all.  
*Es gilt aber auch mit der einseitig&ndash;exponentialverteilten Zufallsgröße $p = a^2$:
+
*But it is also valid with the one-sided&ndash;exponentially distributed random variable $p = a^2$:
:$${\rm Pr}(a > A) = {\rm Pr}(p > A^2) = \frac{1}{2\sigma^2} \cdot\int_{A^2}^{\infty} {\rm e}^{ -{p}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}p \hspace{0.05cm}.$$
+
$${\rm Pr}(a > A) = {\rm Pr}(p > A^2) = \frac{1}{2\sigma^2} \cdot\int_{A^2}^{\infty} {\rm e}^{ -{p}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}p \hspace{0.05cm}.$$
  
*Dieses Integral ist elementar und liefert das Ergebnis:
+
*This integral is elementary and gives the result:
:$${\rm Pr}(a > A) = {\rm e}^{ -{A^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm}.$$
+
$${\rm Pr}(a > A) = {\rm e}^{ -{A^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm}.$$
  
Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+
The correct answer is therefore <u>solution 2</u>.
  
  
  
'''(7)'''&nbsp; Für den Kanal &nbsp;$\rm R$&nbsp; gilt mit $\sigma = 0.5$:
+
'''(7)'''&nbsp; For the channel &nbsp;$\rm R$&nbsp; and $\sigma = 0.5$, we have
:$${\rm Pr}(|z(t)| > 1) = {\rm e}^{-2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.135}
+
$${\rm Pr}(|z(t)| > 1) = {\rm e}^{-2} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.135}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
*In der oberen Grafik entspricht das der Anzahl aller Punkte, die außerhalb des eingezeichneten Kreises liegen, bezogen auf die Anzahl $N = 10.000$ aller Punkte.
+
*In the upper graph this corresponds to the number of all points outside the circle drawn, based on the number $N = 10,000$ of all points.
  
*Für den Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; gilt wegen der doppelten Varianz $\sigma^2 = 0.5$ dagegen ${\rm Pr}(|z(t)|>1) = {\rm e}^{\rm &ndash;1} \ \underline {\approx \ 0.368}$.  
+
*For the channel &nbsp;$\rm B$&nbsp; because of the double variance $\sigma^2 = 0.5$, we have ${\rm Pr}(|z(t)|>1) = {\rm e}^{-1}. \ \underline {\approx \ 0.368}$.  
  
*Der (nicht eingezeichnete) Bezugskreis hätte auch auch in der unteren Grafik den Radius 1.  
+
*The (not drawn) reference circle would also have radius 1 in the bottom graph.  
*Der im unteren Bild eingezeichnete Kreis hat einen größeren Radius als $A = 1$, nämlich $A = \sqrt{2}\approx 1.414$.
+
*The circle drawn in the bottom graph has a larger radius than $A = 1$, namely $A = \sqrt{2}\approx $1,414$.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
 
[[Category:Exercises for Mobile Communications|^1.2 PDF of Rayleigh Fading^]]
 
[[Category:Exercises for Mobile Communications|^1.2 PDF of Rayleigh Fading^]]

Aktuelle Version vom 11. Mai 2020, 13:56 Uhr

Two channels, characterized by complex factor  $z(t)$

The graph shows the multiplicative factor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$  of two mobile radio channels (both without multipath propagation) in 2D–representation. The following is assumed:

  • The channel  $\rm R$  (the designation results from the color „Red” of the point cloud) is Rayleigh distributed with  $\sigma_{\rm R} = 0.5$.
  • The probability density functions (PDF) of the magnitude  $a(t) = |z(t)|$  or   the squared magnitude $p(t) = |z(t)|^2$  are $($with  $\sigma = \sigma_{\rm R})$:
$$f_a(a) = \left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a \ge 0 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a < 0 \\ \end{array} \hspace{0.05cm},$$
$$f_p(p) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2\sigma^2) \cdot {\rm e}^{ -{p}/(2\sigma^2)} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p \ge 0 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p < 0 \\ \end{array} .$$
  • For channel  $\rm B$  ("Blue") only the point cloud is given. It must be estimated whether Rayleigh fading is also present here, and if YES, how large the parameter  $\sigma = \sigma_{\rm B}$  is for this channel.
  • Finally, subtask (3) also refers to PDF  $f_{\it \phi}(\phi)$  of the phase function  $\phi(t)$ , which is defined as follows:

$$\phi(t) = \arctan \hspace{0.15cm} \frac{y(t)}{x(t)} \hspace{0.05cm}.$$




Notes:


Questionnaire

1

Can the channel  $\rm B$  also be modeled as Rayleigh fading?

Yes.
No.

2

Estimate the Rayleigh parameter of channel $\rm B$. Reminder:   For channel  $\rm R$  this parameter has the value  $\sigma_{\rm R} = 0.5$.

$\sigma_{\rm B}\ = \ $

3

Are the probability density functions (PDFs) $f_{\it \phi}(\phi)$ of the phases different for channel  $\rm R$  and  $\rm B$  and if YES, how?

Yes.
No.

4

What is the PDF  $f_a(a)$  with  $a(t) = |z(t)|$ in both cases?

The amount  $a(t)$  is Gaussian distributed.
The amount  $a(t)$  is Rayleigh distributed.
The amount  $a(t)$  is positive and exponentially distributed.

5

What is the PDF  $f_p(p)$  in both cases with  $p(t) = |z(t)|^2$?

The amount  $p(t)$  is Gaussian distributed.
The amount  $p(t)$  is Rayleigh distributed.
The amount  $p(t)$  is positive and exponentially distributed.

6

What is the probability that the magnitude  $a(t) = |z(t)|$  is greater than a given value  $A$?

${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm ln}(A/\sigma).$
${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm e}^{-A^2/2\sigma^2}.$
${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm e}^{-A/\sigma}.$

7

Calculate the probability  ${\rm Pr}(|z(t)| > 1)$ for both channels.

Channel  $\rm R$:$\hspace{0.4cm} {\rm Pr}(|z(t)| > 1)\ = \ $

Channel  $\rm B$:$\hspace{0.4cm} {\rm Pr}(|z(t)| > 1)\ = \ $


Sample solution

(1)  YES:

  • You can see the rotational symmetry here, too, if you consider that only $N = 10\hspace{0.05cm}000$ samples were displayed in the complex plane.
  • Furthermore the following questions would not make sense if you answer NO.


(2)  By measuring the two drawn circles you can see that for the „blue” channel the scattering of real– and imaginary part are larger by a factor of about 1.4 (exactly: $\sqrt{2}$) than for the „red” channel: $$\sigma_{\rm B} = \sigma_{\rm R} \cdot \sqrt{2} = 0.5 \cdot \sqrt{2}= {1}/{\sqrt{2}}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.707} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  NO:

  • In both cases $f_{\it \phi}(\phi)$ describes a uniform distribution between $-\pi$ and $+\pi$.
  • The larger amplitudes of channel  $\rm B$  are not important for the phase function $\phi(t)$.


(4)  Solution 2 is correct:

  • With Rayleigh fading, the real part $x(t)$ and the imaginary part $y(t)$ are each Gaussian distributed.
  • The exponential distribution results for the square of the absolute value $p(t) = |z(t)|^2$.


(5)  Solution 3 is correct, as already explained in the sample solution for (4).


(6)  The magnitude $a(t)$ is Rayleigh distributed. Therefore, the following holds for the desired probability: $${\rm Pr}(a > A) = \int_{A}^{\infty}\frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}a \hspace{0.05cm}.$$

  • In some formula collections you can find the solution for this integral, but not in all.
  • But it is also valid with the one-sided–exponentially distributed random variable $p = a^2$:

$${\rm Pr}(a > A) = {\rm Pr}(p > A^2) = \frac{1}{2\sigma^2} \cdot\int_{A^2}^{\infty} {\rm e}^{ -{p}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}p \hspace{0.05cm}.$$

  • This integral is elementary and gives the result:

$${\rm Pr}(a > A) = {\rm e}^{ -{A^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm}.$$

The correct answer is therefore solution 2.


(7)  For the channel  $\rm R$  and $\sigma = 0.5$, we have $${\rm Pr}(|z(t)| > 1) = {\rm e}^{-2} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.135} \hspace{0.05cm}.$$

  • In the upper graph this corresponds to the number of all points outside the circle drawn, based on the number $N = 10,000$ of all points.
  • For the channel  $\rm B$  because of the double variance $\sigma^2 = 0.5$, we have ${\rm Pr}(|z(t)|>1) = {\rm e}^{-1}. \ \underline {\approx \ 0.368}$.
  • The (not drawn) reference circle would also have radius 1 in the bottom graph.
  • The circle drawn in the bottom graph has a larger radius than $A = 1$, namely $A = \sqrt{2}\approx $1,414$.