Aufgaben:Aufgabe 2.1: ZSB-AM mit Cosinus? Oder mit Sinus?: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals $q(t)$ mit dem Trägersignal $z(t)$. | + | Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals $q(t)$ mit dem Trägersignal $z(t)$. Die Signale sind wie folgt gegeben: |
:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$ | :$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$z(t) = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$ | :$$z(t) = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Bekannt ist die Trägerfrequenz mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$. Die weiteren Systemparameter $A_{\rm N}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $ϕ_{\rm T}$ sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden. | Bekannt ist die Trägerfrequenz mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$. Die weiteren Systemparameter $A_{\rm N}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $ϕ_{\rm T}$ sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden. | ||
− | Gegeben ist weiter das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ am Ausgang des Modulators. Dieses lautet (siehe Grafik): | + | Gegeben ist weiter das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ am Ausgang des Modulators. Dieses lautet (siehe Grafik): |
:$$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$ | :$$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Hierbei sind die Abkürzungen $f_{30} = 30\text{ kHz}$ und $f_{50} = 50\text{ kHz}$ verwendet. | + | Hierbei sind die Abkürzungen $f_{30} = 30\text{ kHz}$ und $f_{50} = 50\text{ kHz}$ verwendet. |
− | Zur Erinnerung: Das Spektrum $S_+(f)$ erhält man aus $S(f)$, indem man | + | Zur Erinnerung: Das Spektrum $S_+(f)$ erhält man aus $S(f)$, indem man |
*die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und | *die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und | ||
*bei positiven Frequenzen verdoppelt. | *bei positiven Frequenzen verdoppelt. | ||
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]. | ||
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Beschreibung im Frequenzbereich]] und [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Beschreibung im Zeitbereich]]. | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Beschreibung im Frequenzbereich]] und [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Beschreibung im Zeitbereich]]. | ||
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+ $S(f)$ besteht aus vier Diracfunktionen. | + $S(f)$ besteht aus vier Diracfunktionen. | ||
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+ Alle Diracgewichte sind imaginär. | + Alle Diracgewichte sind imaginär. | ||
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{Wie lautet das modulierte Signal $s(t)$? Welche Aussage trifft zu? | {Wie lautet das modulierte Signal $s(t)$? Welche Aussage trifft zu? | ||
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− | + Es handelt sich um ZSB–AM ohne Träger. | + | + Es handelt sich um ZSB–AM ohne Träger ⇒ "DSB-AM mit Trägerunterdrückung". |
- Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger. | - Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger. | ||
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− | '''(1)''' Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>: | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>: |
*Bei positiven Frequenzen erhält man $S_+(f)$ aus $S(f)$ durch Verdoppelung. | *Bei positiven Frequenzen erhält man $S_+(f)$ aus $S(f)$ durch Verdoppelung. | ||
− | *Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von $S(f)$ nur jeweils ${\rm j} · 1 \text{ V}$ sind. | + | *Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von $S(f)$ nur jeweils ${\rm j} · 1 \text{ V}$ sind. |
− | *Aufgrund des Zuordnungssatzes muss $S(f)$ eine ungerade Funktion sein. | + | *Aufgrund des Zuordnungssatzes muss $S(f)$ eine ungerade Funktion sein. |
− | *Deshalb besitzt $S(f)$ noch zwei weitere Diracfunktionen bei $f = -f_{30}$ und $f = -f_{50}$, jeweils mit dem Gewicht $-{\rm j} · 1 \text{ V}$: | + | *Deshalb besitzt $S(f)$ noch zwei weitere Diracfunktionen bei $f = -f_{30}$ und $f = -f_{50}$, jeweils mit dem Gewicht $-{\rm j} · 1 \text{ V}$: |
:$$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \big[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\big] \hspace{0.05cm}.$$ | :$$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \big[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\big] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | '''(2)''' Die Fourierrücktransformation von $S(f)$ führt mit $ω_{30} = 2π · f_{30}$ und $ω_{50} = 2πf_{50}$ zu folgendem Signal: | |
− | '''(2)''' Die Fourierrücktransformation von $S(f)$ führt mit | ||
:$$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$ | :$$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | *Dieses enthält keinen Anteil bei der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$, so dass die <u>erste Aussage</u> zutrifft. | |
− | '''(3)''' Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet $s(t)$ nur die beiden Frequenzen $f_{\rm T} | + | '''(3)''' Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet $s(t)$ nur die beiden Frequenzen $f_{\rm T} - f_{\rm N}$ und $f_{\rm T} + f_{\rm N}$. |
*Daraus folgt mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$ für die Nachrichtenfrequenz: $f_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 10\ \rm kHz}.$ | *Daraus folgt mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$ für die Nachrichtenfrequenz: $f_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 10\ \rm kHz}.$ | ||
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:$$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$ | :$$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} s(t) = \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} s(t) = \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | *Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' zeigt, dass gelten muss: | + | *Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' zeigt, dass gelten muss: |
:$$\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$ | :$$\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$\cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | *Beide Gleichungen sind gleichzeitig nur mit der Phase $ϕ_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 0}$ zu erfüllen. | + | *Beide Gleichungen sind gleichzeitig nur mit der Phase $ϕ_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 0}$ zu erfüllen. |
− | *Aus der letzten angegebenen trigonometrischen Beziehung folgt außerdem $ϕ_{\rm T} \hspace{0.05cm}\underline {= 90^\circ} = π/2$. | + | *Aus der letzten angegebenen trigonometrischen Beziehung folgt außerdem $ϕ_{\rm T} \hspace{0.05cm}\underline {= 90^\circ} = π/2$. |
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+ | '''(5)''' Ein Vergleich der Ergebnisse aus '''(2)''' und '''(4)''' führt auf $A_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 4 \ \rm V}$. | ||
− | + | Damit lauten die Gleichungen der an der Modulation beteiligten Signale: | |
− | :$$q(t ) = 4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm}, | + | :$$q(t ) = 4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$ |
+ | :$$z(t) = 1 \cdot \cos (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t + 90^{\circ}) = -\sin (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Aktuelle Version vom 29. November 2021, 15:21 Uhr
Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals $q(t)$ mit dem Trägersignal $z(t)$. Die Signale sind wie folgt gegeben:
- $$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$
- $$z(t) = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
Bekannt ist die Trägerfrequenz mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$. Die weiteren Systemparameter $A_{\rm N}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $ϕ_{\rm T}$ sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden.
Gegeben ist weiter das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ am Ausgang des Modulators. Dieses lautet (siehe Grafik):
- $$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei sind die Abkürzungen $f_{30} = 30\text{ kHz}$ und $f_{50} = 50\text{ kHz}$ verwendet.
Zur Erinnerung: Das Spektrum $S_+(f)$ erhält man aus $S(f)$, indem man
- die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und
- bei positiven Frequenzen verdoppelt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Beschreibung im Frequenzbereich und Beschreibung im Zeitbereich.
- Gegeben sind folgende trigonometrischen Zusammenhänge:
- $$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \big[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\big ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha) = \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha) = -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- Bei positiven Frequenzen erhält man $S_+(f)$ aus $S(f)$ durch Verdoppelung.
- Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von $S(f)$ nur jeweils ${\rm j} · 1 \text{ V}$ sind.
- Aufgrund des Zuordnungssatzes muss $S(f)$ eine ungerade Funktion sein.
- Deshalb besitzt $S(f)$ noch zwei weitere Diracfunktionen bei $f = -f_{30}$ und $f = -f_{50}$, jeweils mit dem Gewicht $-{\rm j} · 1 \text{ V}$:
- $$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \big[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\big] \hspace{0.05cm}.$$
(2) Die Fourierrücktransformation von $S(f)$ führt mit $ω_{30} = 2π · f_{30}$ und $ω_{50} = 2πf_{50}$ zu folgendem Signal:
- $$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$
- Dieses enthält keinen Anteil bei der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$, so dass die erste Aussage zutrifft.
(3) Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet $s(t)$ nur die beiden Frequenzen $f_{\rm T} - f_{\rm N}$ und $f_{\rm T} + f_{\rm N}$.
- Daraus folgt mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$ für die Nachrichtenfrequenz: $f_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 10\ \rm kHz}.$
(4) Bei ZSB–AM ohne Träger gilt:
- $$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.5cm} s(t) = \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.$$
- Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) zeigt, dass gelten muss:
- $$\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
- $$\cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
- Beide Gleichungen sind gleichzeitig nur mit der Phase $ϕ_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 0}$ zu erfüllen.
- Aus der letzten angegebenen trigonometrischen Beziehung folgt außerdem $ϕ_{\rm T} \hspace{0.05cm}\underline {= 90^\circ} = π/2$.
(5) Ein Vergleich der Ergebnisse aus (2) und (4) führt auf $A_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 4 \ \rm V}$.
Damit lauten die Gleichungen der an der Modulation beteiligten Signale:
- $$q(t ) = 4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$
- $$z(t) = 1 \cdot \cos (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t + 90^{\circ}) = -\sin (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$