Aufgaben:Aufgabe 4.14Z: Auffinden von Echos: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Zur Messung akustischer Echos in Räumen – zum Beispiel bedingt durch Reflexionen an einer Wand – kann die nebenstehende Anordnung verwendet werden. | + | Zur Messung akustischer Echos in Räumen – zum Beispiel bedingt durch Reflexionen an einer Wand – kann die nebenstehende Anordnung verwendet werden. |
*Der Rauschgenerator erzeugt ein „im relevanten Frequenzbereich Weißes Rauschen” $x(t)$ mit Leistungsdichte $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$. | *Der Rauschgenerator erzeugt ein „im relevanten Frequenzbereich Weißes Rauschen” $x(t)$ mit Leistungsdichte $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$. | ||
*Dieses ist bandbegrenzt auf $B_x = 20 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ und wird auf einen Lautsprecher gegeben. | *Dieses ist bandbegrenzt auf $B_x = 20 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ und wird auf einen Lautsprecher gegeben. | ||
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]]. | ||
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− | {Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion | + | {Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion $\varphi_{xy}(\tau)$ zwischen Sende– und Empfangssignal. <br>Welche Werte ergeben sich für $\tau = 0$, $\tau = t_1 = 200 \hspace{0.08cm} \rm ms$ und $\tau = t_2 = 250 \hspace{0.08cm} \rm ms$ ? |
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$\varphi_{xy}(\tau= 0) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$ | $\varphi_{xy}(\tau= 0) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$ | ||
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− | {Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum | + | {Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{xy}(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$? |
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${\it \Phi}_{xy}(f =0)\ = \ $ { 15 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$ | ${\it \Phi}_{xy}(f =0)\ = \ $ { 15 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$ | ||
− | {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn Sie anstelle der in '''(1)''' berechneten AKF die Näherung $\varphi_{ | + | {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn Sie anstelle der in '''(1)''' berechneten AKF die Näherung $\varphi_{x}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$ verwenden? |
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+ Das Rauschen ist nun „echt” weiß – also nicht bandbegrenzt. | + Das Rauschen ist nun „echt” weiß – also nicht bandbegrenzt. | ||
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− | {Berechnen Sie unter Verwendung der Näherung $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$ die AKF $\varphi_y(\tau)$. Welche Gewichte ergeben sich für $\tau = 0$ und $\tau = \Delta t = t_2 - t_1$ ? | + | {Berechnen Sie unter Verwendung der Näherung $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$ die AKF $\varphi_y(\tau)$. Welche Gewichte ergeben sich für $\tau = 0$ und $\tau = \Delta t = t_2 - t_1$ ? |
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$\varphi_{y}(\tau= 0) \ = \ $ { 0.13 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm W\hspace{-0.1cm}/Hz$ | $\varphi_{y}(\tau= 0) \ = \ $ { 0.13 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm W\hspace{-0.1cm}/Hz$ | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{x}(f)$ ist im Bereich $\pm B_x$ konstant gleich $N_0/2$. Dessen Fouriertransformierte ist die AKF: | + | '''(1)''' Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{x}(f)$ ist im Bereich $\pm B_x$ konstant gleich $N_0/2$. Dessen Fouriertransformierte ist die AKF: |
:$$\varphi_x (\tau) = {N_0}/{2} \cdot 2 B_x \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau) = 0.02 \hspace {0.08cm}{\rm W} \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$ | :$$\varphi_x (\tau) = {N_0}/{2} \cdot 2 B_x \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau) = 0.02 \hspace {0.08cm}{\rm W} \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$ | ||
− | *Umgerechnet von $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ auf $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ erhält man somit (Multiplikation mit $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ | + | *Umgerechnet von $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ auf $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ erhält man somit $($Multiplikation mit $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega)$: |
:$$\varphi_x (\tau) = 0.02 \hspace {0.05cm}{\rm VA} \cdot 50 \hspace {0.05cm}{\rm V/A}\cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau)= 1 \hspace {0.05cm}{\rm V}^2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$ | :$$\varphi_x (\tau) = 0.02 \hspace {0.05cm}{\rm VA} \cdot 50 \hspace {0.05cm}{\rm V/A}\cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau)= 1 \hspace {0.05cm}{\rm V}^2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$ | ||
− | *Der Effektivwert ist die Wurzel aus dem AKF-Wert bei $\tau = 0$: | + | *Der Effektivwert ist die Wurzel aus dem AKF-Wert bei $\tau = 0$: |
:$$\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \hspace {0.08cm}{\rm V}}.$$ | :$$\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \hspace {0.08cm}{\rm V}}.$$ | ||
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:$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_1+ \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_2+ \tau)} .$$ | :$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_1+ \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_2+ \tau)} .$$ | ||
− | *Unter Verwendung der AKF $\varphi_x(\tau)$ kann hierfür auch geschrieben werden: | + | *Unter Verwendung der AKF $\varphi_x(\tau)$ kann hierfür auch geschrieben werden: |
− | :$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot {\varphi_{x}(\tau- t_1)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2\cdot {\varphi_{x}(\tau- t_2)} = 1 \hspace {0.08cm}{\rm V}^2 \cdot \ | + | :$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot {\varphi_{x}(\tau- t_1)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2\cdot {\varphi_{x}(\tau- t_2)} = 1 \hspace {0.08cm}{\rm V}^2 \cdot \big[ \alpha_1 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_1)) + \alpha_2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_2)) \big].$$ |
− | *Die si-Funktion weist äquidistante Nulldurchgänge bei | + | *Die si-Funktion weist äquidistante Nulldurchgänge bei Vielfachen von $1/(2B_x) = 25 \hspace{0.08cm} µ \rm s$ auf, bezogen auf die Mitten bei $t_1 = 200 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$ bzw. $t_2 = 250 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$. |
*Daraus ergeben sich die KKF-Werte zu: | *Daraus ergeben sich die KKF-Werte zu: | ||
:$$\varphi_{xy} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}\varphi_{xy} (\tau = t_1)= \alpha_1 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm V}^2} ,\hspace{0.5cm} \varphi_{xy} (\tau = t_2)= \alpha_2 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm V}^2} .$$ | :$$\varphi_{xy} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}\varphi_{xy} (\tau = t_1)= \alpha_1 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm V}^2} ,\hspace{0.5cm} \varphi_{xy} (\tau = t_2)= \alpha_2 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm V}^2} .$$ | ||
− | '''(3)''' Das Kreuzleistungsdichtespektrum | + | '''(3)''' Das Kreuzleistungsdichtespektrum ist die Fouriertransformierte der KKF, ebenso wie das Leistungsdichtespektrum (LDS) die Fouriertransformierte der AKF angibt. Für dieses gilt: |
:$${\it \Phi}_{xy} (f) = \alpha_1 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2}. $$ | :$${\it \Phi}_{xy} (f) = \alpha_1 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2}. $$ | ||
− | *Außerhalb des Bereichs $|f| \le B_x$ ist das | + | *Außerhalb des Bereichs $|f| \le B_x$ ist das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{x}(f)$ – und entsprechend auch das Kreuzleistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{xy}(f)$ – identisch Null. |
− | *Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$. Daraus folgt in diesem Bereich: | + | *Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$. Daraus folgt in diesem Bereich: |
− | [[Datei:P_ID450__Sto_Z_4_14_d.png|right|frame|AKF und KKF bei weißem Rauschen]] | + | [[Datei:P_ID450__Sto_Z_4_14_d.png|right|frame|AKF und KKF bei <br>weißem Rauschen]] |
:$${\it \Phi}_{xy} (f) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2} \right). $$ | :$${\it \Phi}_{xy} (f) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2} \right). $$ | ||
− | *Es ist ersichtlich, dass ${\it \Phi}_{xy}(f)$ im Gegensatz zu ${\it \Phi}_{x}(f)$ eine komplexe Funktion ist. Bei $f = 0$ gilt: | + | *Es ist ersichtlich, dass ${\it \Phi}_{xy}(f)$ im Gegensatz zu ${\it \Phi}_{x}(f)$ eine komplexe Funktion ist. Bei $f = 0$ gilt: |
:$${\it \Phi}_{xy} (f = 0) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \right) = 0.3 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}{\rm W/Hz} \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \cdot 10^{-6}\hspace{0.07cm}{\rm V^2/Hz}} . $$ | :$${\it \Phi}_{xy} (f = 0) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \right) = 0.3 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}{\rm W/Hz} \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \cdot 10^{-6}\hspace{0.07cm}{\rm V^2/Hz}} . $$ | ||
+ | |||
'''(4)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | '''(4)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | ||
− | *Die Fouriertransformierte einer diracförmigen AKF führt zu einem für alle Frequenzen $f$ konstanten | + | *Die Fouriertransformierte einer diracförmigen AKF führt zu einem für alle Frequenzen $f$ konstanten Leistungsdichtespektrum, das heißt tatsächlich zu „echt Weißem Rauschen”. |
− | *Dieses besitzt eine unendlich große Leistung, und für die KKF kann dann | + | *Dieses besitzt eine unendlich große Leistung, und für die KKF kann dann gemäß der oberen Grafik geschrieben werden: |
:$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_1) \hspace {0.1cm}+ \hspace {0.1cm} \alpha_2 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_2) .$$ | :$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_1) \hspace {0.1cm}+ \hspace {0.1cm} \alpha_2 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_2) .$$ | ||
− | *Im Frequenzbereich ist für $|f| \le B_x$ tatsächlich kein Unterschied gegenüber der Teilaufgabe '''(3)''' feststellbar. | + | *Im Frequenzbereich ist für $|f| \le B_x$ tatsächlich kein Unterschied gegenüber der Teilaufgabe '''(3)''' feststellbar. |
− | *Da nun aber echt weißes Rauschen vorliegt, ist | + | *Da nun aber echt weißes Rauschen vorliegt, ist hier das Kreuzleistungsdichtespektrum nicht auf diesen Bereich beschränkt. |
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− | '''(5)''' Für die AKF des echobehafteten Signals gilt: $\varphi_{y} (\tau) = \overline {y(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)}$. Diese AKF $\varphi_{y} (\tau)$ lässt sich demzufolge als die folgende Summe darstellen: | + | '''(5)''' Für die AKF des echobehafteten Signals gilt: $\varphi_{y} (\tau) = \overline {y(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)}$. |
+ | *Diese AKF $\varphi_{y} (\tau)$ lässt sich demzufolge als die folgende Summe darstellen: | ||
:$$\alpha_1^2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_1+ \tau)} \hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_1\hspace{0.02cm}\alpha_2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_2+ \tau)} + \hspace{0.05cm} \alpha_2\hspace{0.02cm}\alpha_1 \cdot \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_1+ \tau)}\hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_2^2 \cdot \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_2+ \tau)}. $$ | :$$\alpha_1^2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_1+ \tau)} \hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_1\hspace{0.02cm}\alpha_2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_2+ \tau)} + \hspace{0.05cm} \alpha_2\hspace{0.02cm}\alpha_1 \cdot \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_1+ \tau)}\hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_2^2 \cdot \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_2+ \tau)}. $$ | ||
− | Für den ersten und den letzten Mittelwert gilt: | + | *Für den ersten und den letzten Mittelwert gilt: |
:$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + \tau)} =\varphi_x(\tau).$$ | :$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + \tau)} =\varphi_x(\tau).$$ | ||
− | Dagegen erhält man für den zweiten und den dritten Mittelwert mit $\Delta t = t_2 - t_1= 50 \ \rm ms$: | + | *Dagegen erhält man für den zweiten und den dritten Mittelwert mit $\Delta t = t_2 - t_1= 50 \ \rm ms$: |
:$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_1- t_2+ \tau)} =\varphi_x(\tau - \Delta t),$$ | :$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_1- t_2+ \tau)} =\varphi_x(\tau - \Delta t),$$ | ||
:$$\overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_2- t_1+ \tau)} =\varphi_x(\tau + \Delta t).$$ | :$$\overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_2- t_1+ \tau)} =\varphi_x(\tau + \Delta t).$$ | ||
− | Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF, wie in der unteren Grafik dargestellt: | + | *Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF, wie in der unteren Grafik dargestellt: |
:$$\varphi_{y} (\tau) = {N_0}/{2} \cdot \left[ ( \alpha_1^2 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_2^2 ) \cdot {\rm \delta} (\tau) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau - \Delta t) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau + \Delta t) \right].$$ | :$$\varphi_{y} (\tau) = {N_0}/{2} \cdot \left[ ( \alpha_1^2 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_2^2 ) \cdot {\rm \delta} (\tau) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau - \Delta t) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau + \Delta t) \right].$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.13 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}}, | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.13 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}}, |
Aktuelle Version vom 28. März 2022, 11:48 Uhr
Zur Messung akustischer Echos in Räumen – zum Beispiel bedingt durch Reflexionen an einer Wand – kann die nebenstehende Anordnung verwendet werden.
- Der Rauschgenerator erzeugt ein „im relevanten Frequenzbereich Weißes Rauschen” $x(t)$ mit Leistungsdichte $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$.
- Dieses ist bandbegrenzt auf $B_x = 20 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ und wird auf einen Lautsprecher gegeben.
- Die gesamte Messeinrichtung ist für den Widerstandswert $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ ausgelegt.
Das vom Mikrofon aufgenommene Signal ist im allgemeinsten Fall wie folgt beschreibbar:
- $$y(t) = \sum_{\mu = 1}^M \alpha_\mu \cdot x ( t - t_\mu ) .$$
Hierbei bezeichnen $\alpha_\mu$ Dämpfungsfaktoren und $t_\mu$ Laufzeiten.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte.
- Benutzen Sie für numerische Berechnungen die Parameterwerte
- $$\alpha_1 = 0.5, \hspace{0.2cm}t_1 = 200 \,{\rm ms}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.1, \hspace{0.2cm}t_2 = 250 \,{\rm ms}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$\varphi_x (\tau) = {N_0}/{2} \cdot 2 B_x \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau) = 0.02 \hspace {0.08cm}{\rm W} \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
- Umgerechnet von $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ auf $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ erhält man somit $($Multiplikation mit $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega)$:
- $$\varphi_x (\tau) = 0.02 \hspace {0.05cm}{\rm VA} \cdot 50 \hspace {0.05cm}{\rm V/A}\cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau)= 1 \hspace {0.05cm}{\rm V}^2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
- Der Effektivwert ist die Wurzel aus dem AKF-Wert bei $\tau = 0$:
- $$\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \hspace {0.08cm}{\rm V}}.$$
(2) Für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) gilt im vorliegenden Fall:
- $$\varphi_{xy} (\tau) = \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)} = \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\big [ \alpha_1 \cdot x(t- t_1+ \tau)\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot x(t- t_2+ \tau)\big] } . $$
- Nach Aufspaltung der Mittelwertbildung auf die beiden Terme erhält man hieraus:
- $$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_1+ \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_2+ \tau)} .$$
- Unter Verwendung der AKF $\varphi_x(\tau)$ kann hierfür auch geschrieben werden:
- $$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot {\varphi_{x}(\tau- t_1)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2\cdot {\varphi_{x}(\tau- t_2)} = 1 \hspace {0.08cm}{\rm V}^2 \cdot \big[ \alpha_1 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_1)) + \alpha_2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_2)) \big].$$
- Die si-Funktion weist äquidistante Nulldurchgänge bei Vielfachen von $1/(2B_x) = 25 \hspace{0.08cm} µ \rm s$ auf, bezogen auf die Mitten bei $t_1 = 200 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$ bzw. $t_2 = 250 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$.
- Daraus ergeben sich die KKF-Werte zu:
- $$\varphi_{xy} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}\varphi_{xy} (\tau = t_1)= \alpha_1 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm V}^2} ,\hspace{0.5cm} \varphi_{xy} (\tau = t_2)= \alpha_2 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm V}^2} .$$
(3) Das Kreuzleistungsdichtespektrum ist die Fouriertransformierte der KKF, ebenso wie das Leistungsdichtespektrum (LDS) die Fouriertransformierte der AKF angibt. Für dieses gilt:
- $${\it \Phi}_{xy} (f) = \alpha_1 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2}. $$
- Außerhalb des Bereichs $|f| \le B_x$ ist das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{x}(f)$ – und entsprechend auch das Kreuzleistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{xy}(f)$ – identisch Null.
- Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$. Daraus folgt in diesem Bereich:
- $${\it \Phi}_{xy} (f) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2} \right). $$
- Es ist ersichtlich, dass ${\it \Phi}_{xy}(f)$ im Gegensatz zu ${\it \Phi}_{x}(f)$ eine komplexe Funktion ist. Bei $f = 0$ gilt:
- $${\it \Phi}_{xy} (f = 0) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \right) = 0.3 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}{\rm W/Hz} \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \cdot 10^{-6}\hspace{0.07cm}{\rm V^2/Hz}} . $$
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Die Fouriertransformierte einer diracförmigen AKF führt zu einem für alle Frequenzen $f$ konstanten Leistungsdichtespektrum, das heißt tatsächlich zu „echt Weißem Rauschen”.
- Dieses besitzt eine unendlich große Leistung, und für die KKF kann dann gemäß der oberen Grafik geschrieben werden:
- $$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_1) \hspace {0.1cm}+ \hspace {0.1cm} \alpha_2 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_2) .$$
- Im Frequenzbereich ist für $|f| \le B_x$ tatsächlich kein Unterschied gegenüber der Teilaufgabe (3) feststellbar.
- Da nun aber echt weißes Rauschen vorliegt, ist hier das Kreuzleistungsdichtespektrum nicht auf diesen Bereich beschränkt.
(5) Für die AKF des echobehafteten Signals gilt: $\varphi_{y} (\tau) = \overline {y(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)}$.
- Diese AKF $\varphi_{y} (\tau)$ lässt sich demzufolge als die folgende Summe darstellen:
- $$\alpha_1^2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_1+ \tau)} \hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_1\hspace{0.02cm}\alpha_2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_2+ \tau)} + \hspace{0.05cm} \alpha_2\hspace{0.02cm}\alpha_1 \cdot \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_1+ \tau)}\hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_2^2 \cdot \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_2+ \tau)}. $$
- Für den ersten und den letzten Mittelwert gilt:
- $$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + \tau)} =\varphi_x(\tau).$$
- Dagegen erhält man für den zweiten und den dritten Mittelwert mit $\Delta t = t_2 - t_1= 50 \ \rm ms$:
- $$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_1- t_2+ \tau)} =\varphi_x(\tau - \Delta t),$$
- $$\overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_2- t_1+ \tau)} =\varphi_x(\tau + \Delta t).$$
- Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF, wie in der unteren Grafik dargestellt:
- $$\varphi_{y} (\tau) = {N_0}/{2} \cdot \left[ ( \alpha_1^2 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_2^2 ) \cdot {\rm \delta} (\tau) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau - \Delta t) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau + \Delta t) \right].$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.13 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}}, \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = \Delta t )\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.025 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}}.$$