Aufgaben:Aufgabe 4.09: Zykloergodizität

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Zur Verdeutlichung der Eigenschaft „Zykloergodizität”

Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse,  deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz  $f_0 = 1/T_0$  sind.  $T_0$  bezeichnet die Periodendauer.

• Beim oben dargestellten Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  ist die stochastische Komponente die Amplitude,  wobei der Zufallsparameter  $C_i$  alle Werte zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:

$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi f_{\rm 0} t)\}. $$

• Beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf:   $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Hier variiert die Phase  $\varphi_i$,  die über alle Musterfunktionen gemittelt gleichverteilt zwischen  $0$  und  $2\pi$  ist:

$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$

Die Eigenschaften  „zyklostationär”  und  „zykloergodisch”  sagen aus,

• dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als stationär und ergodisch zu bezeichnen sind,
• alle statistischen Kennwerte aber für Vielfache der Periondauer  $T_0$  jeweils gleich sind.

In diesen Fällen sind auch die meisten der Berechnungsregeln anwendbar,  die eigentlich nur für ergodische Prozesse gelten.

Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Autokorrelationsfunktion.

Fragebogen

1 Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist stationär.
	Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist ergodisch.
	Der Prozess  $\{y_i(t)\}$  ist stationär.
	Der Prozess  $\{y_i(t)\}$  ist ergodisch.

2 Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion  $\varphi_y(\tau)$  für verschiedene  $\tau$-Werte.

$\varphi_y(\tau=0)\ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_y(\tau=0.25 \cdot T_0)\ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_y(\tau=1.50 \cdot T_0)\ = \ $ $\ \rm V^2$

3 Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $\{y_i(t)\}$  zutreffend?

	Alle Mustersignale sind gleichsignalfrei.
	Alle Mustersignale besitzen den Effektivwert  $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
	Die AKF hat die doppelte Periodendauer  $(2T_0)$  wie die Mustersignale  $(T_0)$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind die  die Lösungsvorschläge 3 und 4:

• Zum Zeitpunkt  $t = 0$  $($und allen Vielfachen der Periodendauer  $T_0)$  hat jedes Mustersignal  $x_i(t)$  einen Wert zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Der Mittelwert ist  $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
• Dagegen ist bei  $t = T_0/4$  der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.  Das heißt:
    Bereits der lineare Mittelwert erfüllt die Bedingung der Stationarität nicht:  Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist nicht stationär und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
• Dagegen sind beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten   ⇒   der Prozess ist stationär.
• Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen,  steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend für den gesamten Prozess.  Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizität ausgegangen werden.
• Am Ende der Aufgabe ist zu überprüfen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.

(2)  Aufgrund der Ergodizität kann jede Musterfunktion zur AKF–Berechung herangezogen werden.  Wir benutzen hier willkürlich die Phase  $\varphi_i = 0$.

• Aufgrund der Periodizität genügt die Mitteilung über nur eine Periodendauer  $T_0$.  Dann gilt:

$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{{ x}_0^2}{{ T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \cos (2 \pi {f_{\rm 0} t}) \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} (t+\tau)}) \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$

• Mit der trigonometrischen Beziehung   $\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos (\alpha + \beta) + {1}/{2} \cdot \cos (\alpha - \beta)$   folgt daraus weiter:

$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )} \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )} \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$

• Das erste Integral ist Null  (Integration über zwei Perioden der Cosinusfunktion).  Der zweite Integrand ist unabhängig von der Integrationsvariablen  $t$.  Daraus folgt:  

$$\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $$

• Für die angegebenen Zeitpunkte gilt mit  $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:

$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$

(3)  Richtig sind die  beiden ersten Lösungsvorschläge:

• Der Mittelwert  $m_y$  kann aus dem Grenzwert der AKF für  $\tau \to \infty$  ermittelt werden,  wenn man die periodischen Anteile ausschließt.  Daraus folgt  $m_y= 0$.
• Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF–Wert an der Stelle  $\tau = 0$   ⇒   $\sigma_y^2=2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.  Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus:   $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
• Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten,  das heißt,  auch die Periodendauer der AKF beträgt  $T_0$.