Aufgaben:Aufgabe 1.7Z: BARBARA-Generator: Unterschied zwischen den Versionen
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Betrachtet wird hier ein ternärer Zufallsgenerator mit den Symbolen $A$, $B$ und $R$, der durch eine homogene und stationäre Markovkette erster Ordnung beschrieben werden kann. | Betrachtet wird hier ein ternärer Zufallsgenerator mit den Symbolen $A$, $B$ und $R$, der durch eine homogene und stationäre Markovkette erster Ordnung beschrieben werden kann. | ||
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- Es gilt hier: ${\rm Pr}(A) = 1/2, \; {\rm Pr}(B) = 1/3, \; {\rm Pr}(R) = 1/6$. | - Es gilt hier: ${\rm Pr}(A) = 1/2, \; {\rm Pr}(B) = 1/3, \; {\rm Pr}(R) = 1/6$. | ||
− | {Wie groß sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm A}$, $p_{\rm B}$ und $p_{\rm C}$, dass zu den Zeiten zwischen $ν+1$ und $ν+7$ die Sequenz $BARBARA$ ausgegeben wird, <br>wenn man sich zum Zeitpunkt $ν$ im Zustand $A$, $B$ bzw. $R$ befindet? Es gelte $p = 1/4$. | + | {Wie groß sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm A}$, $p_{\rm B}$ und $p_{\rm C}$, dass zu den Zeiten zwischen $ν+1$ und $ν+7$ die Sequenz $BARBARA$ ausgegeben wird, <br>wenn man sich zum Zeitpunkt $ν$ im Zustand $A$, $B$ bzw. $R$ befindet? Es gelte $p = 1/4$. |
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$p_{\rm C} \ = \ $ { 0.183 3% } $\ \cdot 10^{-3}$ | $p_{\rm C} \ = \ $ { 0.183 3% } $\ \cdot 10^{-3}$ | ||
− | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit insgesamt, dass der Generator zu sieben aufeinanderfolgenden Zeitpunkten die Sequenz $BARBARA$ ausgibt?<br> Es gelte weiter $p = 1/4.$ | + | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit insgesamt, dass der Generator zu sieben aufeinanderfolgenden Zeitpunkten die Sequenz "$\rm BARBARA$" ausgibt?<br> Es gelte weiter $p = 1/4.$ |
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− | ${\rm Pr}(BARBARA)\ = \ $ { 0.244 3% } $\ \cdot 10^{-3}$ | + | ${\rm Pr}(\rm BARBARA)\ = \ $ { 0.244 3% } $\ \cdot 10^{-3}$ |
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− | '''(1)''' Richtig sind <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>: | + | '''(1)''' Richtig sind <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>: |
− | *Die Summe aller abgehenden Pfeile muss immer $1$ sein. Deshalb gilt $q = 1 - p$. | + | *Die Summe aller abgehenden Pfeile muss immer $1$ sein. Deshalb gilt $q = 1 - p$. |
*Aufgrund der Symmetrie des Markovdiagramms sind die ergodischen Wahrscheinlichkeiten alle gleich: | *Aufgrund der Symmetrie des Markovdiagramms sind die ergodischen Wahrscheinlichkeiten alle gleich: | ||
:$${\rm Pr}(A) ={\rm Pr}(B) ={\rm Pr}(R) = 1/3.$$ | :$${\rm Pr}(A) ={\rm Pr}(B) ={\rm Pr}(R) = 1/3.$$ | ||
− | '''(2)''' Wenn man zum Startzeitpunkt $\nu = 0$ im Zustand $B$ ist, ist für den Zeitpunkt $\nu=1$ wegen ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0$ der Zustand $B$ nicht möglich. | + | |
+ | '''(2)''' Wenn man zum Startzeitpunkt $\nu = 0$ im Zustand $B$ ist, ist für den Zeitpunkt $\nu=1$ wegen ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0$ der Zustand $B$ nicht möglich. | ||
+ | *Man scheitert hier bereits beim Anfangsbuchstaben $B$: | ||
:$$p_{\rm B} \; \underline{ =0}.$$ | :$$p_{\rm B} \; \underline{ =0}.$$ | ||
− | Für die Berechnung von $p_{\rm A}$ ist zu beachten: Ausgehend von $A$ geht man im Markovdiagramm zunächst zu $B$ (mit der Wahrscheinlichkeit $q$ | + | *Für die Berechnung von $p_{\rm A}$ ist zu beachten: Ausgehend von $A$ geht man im Markovdiagramm zunächst zu $B$ $($mit der Wahrscheinlichkeit $q)$, dann fünfmal im Uhrzeigersinn $($jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p)$ und schließlich noch von $R$ nach $A$ $($mit der Wahrscheinlichkeit $q)$. Das bedeutet: |
:$$p_{\rm A} = q^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 = 3^2 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.549 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$ | :$$p_{\rm A} = q^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 = 3^2 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.549 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$ | ||
− | In ähnlicher Weise erhält man: | + | *In ähnlicher Weise erhält man: |
:$$p_{\rm R} = q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^6 = 3 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.183 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$ | :$$p_{\rm R} = q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^6 = 3 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.183 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$ | ||
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'''(3)''' Durch Mittelung über die bedingten Wahrscheinlichkeiten erhält man: | '''(3)''' Durch Mittelung über die bedingten Wahrscheinlichkeiten erhält man: | ||
− | :$${\rm Pr}(BARBARA) = p_{\rm A} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm B} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm R} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(R).$$ | + | :$${\rm Pr}(\rm BARBARA) = p_{\rm A} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm B} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm R} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(R).$$ |
Dies führt zum Ergebnis: | Dies führt zum Ergebnis: | ||
− | :$${\rm Pr}(BARBARA) = {1}/{3} \cdot \left( q^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}0 \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^6 \right) | + | :$${\rm Pr}(\rm BARBARA) = {1}/{3} \cdot \left( q^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}0 \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^6 \right) |
= \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \cdot (p+q) | = \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \cdot (p+q) | ||
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− | '''(4)''' Die im Punkt '''(3)''' berechnete Wahrscheinlichkeit lautet $p^5 \cdot (1-p)/3$, wobei $q= 1-p$ berücksichtigt ist. | + | '''(4)''' Die im Punkt '''(3)''' berechnete Wahrscheinlichkeit lautet $p^5 \cdot (1-p)/3$, wobei $q= 1-p$ berücksichtigt ist. |
− | Durch Nullsetzen des Differentials erhält man die Bestimmungsgleichung: | + | *Durch Nullsetzen des Differentials erhält man die Bestimmungsgleichung: |
:$$5 \cdot p^4 - 6 \cdot p^5 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm opt} = 5/6 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.833}.$$ | :$$5 \cdot p^4 - 6 \cdot p^5 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm opt} = 5/6 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.833}.$$ | ||
− | Damit ergibt sich ein gegenü | + | *Damit ergibt sich ein gegenüber der Teilaufgabe '''(3)''' etwa um den Faktor $90$ größerer Wert: |
− | :$${\rm Pr}(BARBARA) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 22 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$ | + | :$${\rm Pr}(\rm BARBARA) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 22 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$ |
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Aktuelle Version vom 2. Dezember 2021, 17:28 Uhr
Betrachtet wird hier ein ternärer Zufallsgenerator mit den Symbolen $A$, $B$ und $R$, der durch eine homogene und stationäre Markovkette erster Ordnung beschrieben werden kann.
- Die Übergangswahrscheinlichkeiten können dem skizzierten Markovdiagramm entnommen werden.
- Für die ersten drei Teilaufgaben soll stets $p = 1/4$ gelten.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Markovketten.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:
- Die Summe aller abgehenden Pfeile muss immer $1$ sein. Deshalb gilt $q = 1 - p$.
- Aufgrund der Symmetrie des Markovdiagramms sind die ergodischen Wahrscheinlichkeiten alle gleich:
- $${\rm Pr}(A) ={\rm Pr}(B) ={\rm Pr}(R) = 1/3.$$
(2) Wenn man zum Startzeitpunkt $\nu = 0$ im Zustand $B$ ist, ist für den Zeitpunkt $\nu=1$ wegen ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0$ der Zustand $B$ nicht möglich.
- Man scheitert hier bereits beim Anfangsbuchstaben $B$:
- $$p_{\rm B} \; \underline{ =0}.$$
- Für die Berechnung von $p_{\rm A}$ ist zu beachten: Ausgehend von $A$ geht man im Markovdiagramm zunächst zu $B$ $($mit der Wahrscheinlichkeit $q)$, dann fünfmal im Uhrzeigersinn $($jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p)$ und schließlich noch von $R$ nach $A$ $($mit der Wahrscheinlichkeit $q)$. Das bedeutet:
- $$p_{\rm A} = q^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 = 3^2 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.549 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
- In ähnlicher Weise erhält man:
- $$p_{\rm R} = q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^6 = 3 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.183 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
(3) Durch Mittelung über die bedingten Wahrscheinlichkeiten erhält man:
- $${\rm Pr}(\rm BARBARA) = p_{\rm A} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm B} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm R} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(R).$$
Dies führt zum Ergebnis:
- $${\rm Pr}(\rm BARBARA) = {1}/{3} \cdot \left( q^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}0 \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^6 \right) = \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \cdot (p+q) = \hspace{-0.15cm} \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.244 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
(4) Die im Punkt (3) berechnete Wahrscheinlichkeit lautet $p^5 \cdot (1-p)/3$, wobei $q= 1-p$ berücksichtigt ist.
- Durch Nullsetzen des Differentials erhält man die Bestimmungsgleichung:
- $$5 \cdot p^4 - 6 \cdot p^5 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm opt} = 5/6 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.833}.$$
- Damit ergibt sich ein gegenüber der Teilaufgabe (3) etwa um den Faktor $90$ größerer Wert:
- $${\rm Pr}(\rm BARBARA) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 22 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$