Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Achtstufiges Phase Shift Keying: Unterschied zwischen den Versionen

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Außerhalb der Symboldauer  $T$  sind die Signale  $s_i(t)$  alle Null.
 
Außerhalb der Symboldauer  $T$  sind die Signale  $s_i(t)$  alle Null.
  
In der  [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| Aufgabe 4.2]]  wurde gezeigt, dass diese Signalmenge durch die Basisfunktionen
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In der  [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| Aufgabe 4.2]]  wurde gezeigt,  dass diese Signalmenge durch die Basisfunktionen
 
:$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},$$
 
:$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},$$
 
:$$\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}$$
 
:$$\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}$$
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:$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
  
Die äquivalente Tiefpassdarstellung der Signale  $s_i(t)$  lautet entsprechend dem Abschnitt  [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Systembeschreibung_durch_das_.C3.A4quivalente_Tiefpass.E2.80.93Signal| Systembeschreibung durch das äquivalente Tiefpass–Signal]]  des Buches „Modulationsverfahren”:
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Die äquivalente Tiefpassdarstellung der Signale  $s_i(t)$  lautet entsprechend dem Abschnitt  [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Systembeschreibung_durch_das_.C3.A4quivalente_Tiefpass.E2.80.93Signal| "Systembeschreibung durch das äquivalente Tiefpass–Signal"]]  des Buches „Modulationsverfahren”:
 
:$$s_{{\rm TP}i}(t)= a_{i} \cdot g_s(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}a_{i} = a_{{\rm I}i} + {\rm j} \cdot a_{{\rm Q}i}
 
:$$s_{{\rm TP}i}(t)= a_{i} \cdot g_s(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}a_{i} = a_{{\rm I}i} + {\rm j} \cdot a_{{\rm Q}i}
 
  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}i = 0,\text{...} \hspace{0.1cm} , 7 \hspace{0.05cm},$$
 
  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}i = 0,\text{...} \hspace{0.1cm} , 7 \hspace{0.05cm},$$
  
wobei  $a_i$  komplexe dimensionslose Koeffizienten sind und die Energie des Sendegrundimpulses  $g_s(t)$  im Tiefpassbereich  $E_{\it g_s}$  beträgt. Im hier dargestellten Fall beschreibt  $g_s(t)$  einen Rechteckimpuls, doch kann für  $g_s(t)$  auch ein jeder andere energiebegrenzte Impuls verwendet werden.
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wobei  $a_i$  komplexe dimensionslose Koeffizienten sind und die Energie des Sendegrundimpulses  $g_s(t)$  im Tiefpassbereich  $E_{\it g_s}$  beträgt.  Im hier dargestellten Fall beschreibt  $g_s(t)$  einen Rechteckimpuls,  doch kann für  $g_s(t)$  auch ein jeder andere energiebegrenzte Impuls verwendet werden.
  
Die Grafik zeigt die Signalraumdarstellung der 8–PSK für das Bandpass–Signal (oben) sowie für das äquivalente Tiefpass–Signal (unten):  
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Die Grafik zeigt die Signalraumdarstellung der 8–PSK für das Bandpass–Signal  (oben)  sowie für das äquivalente Tiefpass–Signal  (unten):  
*Man erkennt daraus, dass sich die beiden Darstellungen nur duch die verwendeten Basisfunktionen unterscheiden, wobei  $\varphi_1(t)$  in der oberen und der unteren Grafik für unterschiedliche Funktionen steht.  
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*Man erkennt daraus,  dass sich die beiden Darstellungen nur duch die verwendeten Basisfunktionen unterscheiden,  wobei  $\varphi_1(t)$  in der oberen und der unteren Grafik für unterschiedliche Funktionen steht.
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*In der Tiefpassdarstellung gilt  $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.
 
*In der Tiefpassdarstellung gilt  $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.
  
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel   [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume"]].
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* Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie  $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
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* Im Gegensatz zum Theorieteil und zur  [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| "Aufgabe 4.2"]]  kann hier die Laufvariable  $i$  die Werte  $0, \ \text{...} \, ,M-1$  annehmen.
  
 
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*Auf die farblich markierten Signalraumpunkte in der Grafik  (blau,  rot,  grün)  wird im Fragebogen Bezug genommen.  Diese sehen für die Signale  $s_0(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_5(t)$.  
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
 
 
* Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie  $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
 
* Im Gegensatz zum Theorieteil und zur  [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| Aufgabe 4.2]]  kann hier die Laufvariable  $i$  die Werte  $0, \ \text{...} \, ,M-1$  annehmen.  
 
  
  
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- $\psi_1(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.
 
- $\psi_1(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.
  
{Es gelte  $s_{\rm TP0}(t) = \sqrt{E}$. Was trifft zu:
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{Es gelte  $s_{\rm TP0}(t) = \sqrt{E}$.  Was trifft zu?
 
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- Die Energie  $E$  bezieht sich auf das Tiefpass–Signal.
 
- Die Energie  $E$  bezieht sich auf das Tiefpass–Signal.
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''  Das Signal $s_0(t)$ lautet:
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'''(1)'''  Das Signal  $s_0(t)$  lautet:
 
:$$s_0(t)=  A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) = s_{01} \cdot \varphi_1(t) + s_{02} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s_0(t)=  A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) = s_{01} \cdot \varphi_1(t) + s_{02} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
  
Da dieses Signal keinen Sinusteil aufweist, ist $s_{\rm 02} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}$. Weiter gilt mit der angegebenen Abkürzung:
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*Da dieses Signal keinen Sinusteil aufweist,  ist  $s_{\rm 02} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}$.
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*Weiter gilt mit der angegebenen Abkürzung:
 
:$$A = s_{01} \cdot \sqrt{{2}/{T}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
:$$A = s_{01} \cdot \sqrt{{2}/{T}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
s_{01}=\sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T} =  \sqrt{E}\hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$
 
s_{01}=\sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T} =  \sqrt{E}\hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(2)'''  Das Signal $s_2(t)$ lautet mit $i = 2$ (beachten Sie, dass die zweite Basisfunktion minus–sinusförmig ist):
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'''(2)'''  Das Signal  $s_2(t)$  lautet mit  $i = 2$  $($beachten Sie,  dass die zweite Basisfunktion minus–sinusförmig ist$)$:
 
:$$s_2(t)=  A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{2})= -  A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.3cm}
 
:$$s_2(t)=  A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{2})= -  A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{21}\hspace{0.05cm} \underline{= 0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} s_{22}=  \sqrt{E}  \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline {=1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{21}\hspace{0.05cm} \underline{= 0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} s_{22}=  \sqrt{E}  \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline {=1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(3)'''  Entsprechend den Musterlösungen zu den Teilaufgaben (1) und (2) gilt nun:
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'''(3)'''  Entsprechend den Musterlösungen zu den Teilaufgaben  '''(1)'''  und  '''(2)'''  gilt nun:
 
:$$s_{51}= s_{52}= - \sqrt{E/2} \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = -0.707 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}$$
 
:$$s_{51}= s_{52}= - \sqrt{E/2} \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = -0.707 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{5}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )=A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_5)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\phi_5 = -0.75 \cdot \pi
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{5}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )=A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_5)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\phi_5 = -0.75 \cdot \pi
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  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>. Dabei gilt folgender Zusammenhang: &nbsp; $\xi_1 (t) = \varphi_1 (t) + {\rm j} \cdot \psi_1 (t)\hspace{0.05cm}.$
 
  
'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Alternativen 2 und 3</u>:  
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
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*Dabei gilt folgender Zusammenhang: &nbsp;
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:$$\xi_1 (t) = \varphi_1 (t) + {\rm j} \cdot \psi_1 (t)\hspace{0.05cm}.$$
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'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Alternativen 2 und 3</u>:  
 
*Die Basisfunktion muss energienormiert sein.
 
*Die Basisfunktion muss energienormiert sein.
 
* $\psi_1(t)$ ist wie $\varphi_1(t)$ eine reelle, nicht etwa eine imaginäre Funktion:
 
* $\psi_1(t)$ ist wie $\varphi_1(t)$ eine reelle, nicht etwa eine imaginäre Funktion:
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\\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 
\\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
  
'''(6)'''&nbsp; Aus dem Tiefpass&ndash;Signal $s_{\rm TP0}(t)$ kann man auch das Bandpass&ndash;Signal $s_0(t)$ berechnen. Im Bereich $0 &#8804; t &#8804; T$ gilt mit dem Ergebnis aus (5):
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:$$s_0(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}[s_{{\rm TP}0}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} ]
+
'''(6)'''&nbsp; Aus dem Tiefpass&ndash;Signal&nbsp; $s_{\rm TP0}(t)$&nbsp; kann man auch das Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; berechnen.  
  = {\rm Re}[\sqrt{E} \cdot \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} ]=  \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )
+
*Im Bereich&nbsp; $0 &#8804; t &#8804; T$&nbsp; erhält man mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(5)'''&nbsp; das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)''' :
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:$$s_0(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\left[s_{{\rm TP}0}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \right]
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  = {\rm Re}\left[\sqrt{E} /{\sqrt{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \right]=  \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )
 
\hspace{0.05cm},$$
 
\hspace{0.05cm},$$
  
also das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (1). Daraus folgt: Die Energie $E$ bezieht sich auch bei Betrachtung im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich auf das Bandpass&ndash;Signal.
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*Daraus folgt:&nbsp; Die Energie&nbsp; $E$&nbsp; bezieht sich auch bei Betrachtung im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich auf das Bandpass&ndash;Signal.
  
Entsprechend gilt für das mit blauem Punkt markierte Signal $s_2(t)$ im interessierenden Bereich:
+
*Entsprechend gilt für das mit blauem Punkt markierte Signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; im interessierenden Bereich:
:$$s_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} ]
+
:$$s_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\big[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \big]
  = {\rm Re}[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)- \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t) ]
+
  = {\rm Re}\big[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)- \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t) \big]
 
  = - \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t)
 
  = - \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t)
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Schließlich kann für das (grüne) Signal $s_5(t)$ im Bereich $0 &#8804; t < T$ geschrieben werden:
+
*Schließlich kann für das&nbsp; (grüne)&nbsp; Signal&nbsp; $s_5(t)$&nbsp; im Bereich&nbsp; $0 &#8804; t < T$&nbsp; geschrieben werden:
:$$s_5(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}[\frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{{E}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} ] = \text{...}  
+
:$$s_5(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\big[\frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{{E}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \big] = \text{...}  
 
  =  - \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)+ \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t)=\sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + 1.25 \cdot \pi)
 
  =  - \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)+ \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t)=\sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + 1.25 \cdot \pi)
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Auch diese Ergebnisse stimmen mit denen der Teilaufgaben (2) bzw. (3) überein. Zutreffend ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
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*Auch diese Ergebnisse stimmen mit denen der Teilaufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; bzw.&nbsp; '''(3)'''&nbsp; überein.&nbsp; Zutreffend ist also der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 13. Juli 2022, 17:33 Uhr

Signalraumpunkte bei 8-PSK

Die  $M = 8$  möglichen Sendesignale bei 8–PSK lauten mit  $i = 0, \ \text{...} \ , 7$  im Bereich  $0 ≤ t < T$:

$$s_i(t)= A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + i \cdot {\pi}/{4}) \hspace{0.05cm}.$$

Außerhalb der Symboldauer  $T$  sind die Signale  $s_i(t)$  alle Null.

In der  Aufgabe 4.2  wurde gezeigt,  dass diese Signalmenge durch die Basisfunktionen

$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},$$
$$\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}$$

wie folgt dargestellt werden kann  $(i = 0, \ \text{...} \ , 7)$:

$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$

Die äquivalente Tiefpassdarstellung der Signale  $s_i(t)$  lautet entsprechend dem Abschnitt  "Systembeschreibung durch das äquivalente Tiefpass–Signal"  des Buches „Modulationsverfahren”:

$$s_{{\rm TP}i}(t)= a_{i} \cdot g_s(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}a_{i} = a_{{\rm I}i} + {\rm j} \cdot a_{{\rm Q}i} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}i = 0,\text{...} \hspace{0.1cm} , 7 \hspace{0.05cm},$$

wobei  $a_i$  komplexe dimensionslose Koeffizienten sind und die Energie des Sendegrundimpulses  $g_s(t)$  im Tiefpassbereich  $E_{\it g_s}$  beträgt.  Im hier dargestellten Fall beschreibt  $g_s(t)$  einen Rechteckimpuls,  doch kann für  $g_s(t)$  auch ein jeder andere energiebegrenzte Impuls verwendet werden.

Die Grafik zeigt die Signalraumdarstellung der 8–PSK für das Bandpass–Signal  (oben)  sowie für das äquivalente Tiefpass–Signal  (unten):

  • Man erkennt daraus,  dass sich die beiden Darstellungen nur duch die verwendeten Basisfunktionen unterscheiden,  wobei  $\varphi_1(t)$  in der oberen und der unteren Grafik für unterschiedliche Funktionen steht.
  • In der Tiefpassdarstellung gilt  $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.



Hinweise:

  • Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie  $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
  • Im Gegensatz zum Theorieteil und zur  "Aufgabe 4.2"  kann hier die Laufvariable  $i$  die Werte  $0, \ \text{...} \, ,M-1$  annehmen.
  • Auf die farblich markierten Signalraumpunkte in der Grafik  (blau,  rot,  grün)  wird im Fragebogen Bezug genommen.  Diese sehen für die Signale  $s_0(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_5(t)$.


Fragebogen

1

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_0(t)$?

$s_{\rm 01} \ = \ $

$\ \cdot \sqrt{E}$
$s_{\rm 02} \ = \ $

$\ \cdot \sqrt{E}$

2

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_2(t)$?

$s_{\rm 21} \ = \ $

$\ \cdot \sqrt{E}$
$s_{\rm 22} \ = \ $

$\ \cdot \sqrt{E}$

3

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_5(t)$?

$s_{\rm 51} \ = \ $

$\ \cdot \sqrt{E}$
$s_{\rm 52} \ = \ $

$\ \cdot \sqrt{E}$

4

Durch welche Basisfunktionen sind die Tiefpass–Signale  $s_{\rm TP \it i}(t)$  darstellbar? Durch

eine komplexe Basisfunktion  $\xi_1(t)$,
zwei komplexe Basisfunktionen  $\xi_1(t)$  und  $\xi_2(t)$,
zwei reelle Funktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\psi_1(t)$.

5

Wie lauten im vorliegenden Fall die reellen Basisfunktionen?

$\varphi_1(t) = g_s(t)$,
$\varphi_1(t) = g_s(t)/\sqrt{E_{\rm g_s}}$,
$\psi_1(t) = \varphi_1(t)$,
$\psi_1(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.

6

Es gelte  $s_{\rm TP0}(t) = \sqrt{E}$.  Was trifft zu?

Die Energie  $E$  bezieht sich auf das Tiefpass–Signal.
Die Energie  $E$  bezieht sich auf das Bandpass–Signal.


Musterlösung

(1)  Das Signal  $s_0(t)$  lautet:

$$s_0(t)= A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) = s_{01} \cdot \varphi_1(t) + s_{02} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
  • Da dieses Signal keinen Sinusteil aufweist,  ist  $s_{\rm 02} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}$.
  • Weiter gilt mit der angegebenen Abkürzung:
$$A = s_{01} \cdot \sqrt{{2}/{T}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{01}=\sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T} = \sqrt{E}\hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Das Signal  $s_2(t)$  lautet mit  $i = 2$  $($beachten Sie,  dass die zweite Basisfunktion minus–sinusförmig ist$)$:

$$s_2(t)= A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{2})= - A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{21}\hspace{0.05cm} \underline{= 0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} s_{22}= \sqrt{E} \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline {=1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Entsprechend den Musterlösungen zu den Teilaufgaben  (1)  und  (2)  gilt nun:

$$s_{51}= s_{52}= - \sqrt{E/2} \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = -0.707 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{5}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )=A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_5)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\phi_5 = -0.75 \cdot \pi \hspace{0.2cm}{\rm bzw.}\hspace{0.2cm}\phi_5 = 1.25 \cdot \pi \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 3.

  • Dabei gilt folgender Zusammenhang:  
$$\xi_1 (t) = \varphi_1 (t) + {\rm j} \cdot \psi_1 (t)\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Richtig sind die  Alternativen 2 und 3:

  • Die Basisfunktion muss energienormiert sein.
  • $\psi_1(t)$ ist wie $\varphi_1(t)$ eine reelle, nicht etwa eine imaginäre Funktion:
$$\varphi_1 (t) = \psi_1 (t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/\sqrt{T} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$


(6)  Aus dem Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP0}(t)$  kann man auch das Bandpass–Signal  $s_0(t)$  berechnen.

  • Im Bereich  $0 ≤ t ≤ T$  erhält man mit dem Ergebnis aus  (5)  das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe  (1) :
$$s_0(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\left[s_{{\rm TP}0}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \right] = {\rm Re}\left[\sqrt{E} /{\sqrt{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \right]= \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) \hspace{0.05cm},$$
  • Daraus folgt:  Die Energie  $E$  bezieht sich auch bei Betrachtung im äquivalenten Tiefpass–Bereich auf das Bandpass–Signal.
  • Entsprechend gilt für das mit blauem Punkt markierte Signal  $s_2(t)$  im interessierenden Bereich:
$$s_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\big[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \big] = {\rm Re}\big[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)- \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t) \big] = - \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t) \hspace{0.05cm}.$$
  • Schließlich kann für das  (grüne)  Signal  $s_5(t)$  im Bereich  $0 ≤ t < T$  geschrieben werden:
$$s_5(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\big[\frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{{E}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \big] = \text{...} = - \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)+ \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t)=\sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + 1.25 \cdot \pi) \hspace{0.05cm}.$$
  • Auch diese Ergebnisse stimmen mit denen der Teilaufgaben  (2)  bzw.  (3)  überein.  Zutreffend ist also der  Lösungsvorschlag 2.