Aufgaben:Aufgabe 3.13: Vergleich SWE - DFE - ML: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Es sollen Fehlerwahrscheinlichkeiten verschiedener Empfängertypen miteinander verglichen werden. Betrachtet werden im Einzelnen: | + | Es sollen Fehlerwahrscheinlichkeiten verschiedener Empfängertypen miteinander verglichen werden. Betrachtet werden im Einzelnen: |
− | * Schwellenwertentscheidung (SE) ⇒ Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm SE}$, | + | * Schwellenwertentscheidung $\rm (SE)$ ⇒ Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm SE}$, |
− | * Decision Feedback Equalization (DFE) ⇒ Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm DFE}$ und | + | * Decision Feedback Equalization $\rm (DFE)$ ⇒ Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm DFE}$ und |
− | * Maximum–Likelihood–Detektion (ML) ⇒ Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm ML}$. | + | * Maximum–Likelihood–Detektion $\rm (ML)$ ⇒ Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm ML}$. |
− | + | In der Tabelle sind für vier verschiedene Parametersätze $\rm A$, $\rm B$, $\rm C$ und $\rm D$ angegeben: | |
+ | *Der „Hauptwert” $g_0$ des Detektionsgrundimpulses, | ||
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+ | *der Nachläufer $g_1$ und | ||
+ | *der Detektionsstöreffektivwert ($\sigma_d$) vor dem jeweiligen Entscheider. | ||
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− | Ausgegangen wird von bipolaren Amplitudenkoeffizienten, so dass zum Beispiel für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit des Empfängers mit einfachem Schwellenwertenentscheider gilt: | + | Ausgegangen wird von bipolaren Amplitudenkoeffizienten, so dass zum Beispiel für die ungünstigste (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit des Empfängers mit einfachem Schwellenwertenentscheider gilt: |
− | :$$p_{\rm U,\hspace{0. | + | :$$p_{\rm U,\hspace{0.1cm} SE } = \left\{ \begin{array}{c} {\rm Q}\big [ ({g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|})/{\sigma_d} \big ]\\ |
\\{\rm Q}(0) = 0.5 \end{array} \right.\quad | \\{\rm Q}(0) = 0.5 \end{array} \right.\quad | ||
\begin{array}{*{1}c} {\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm ge\ddot{o}ffnetem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }, | \begin{array}{*{1}c} {\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm ge\ddot{o}ffnetem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }, | ||
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Beim Nyquistsystem $\rm A$ ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit genau so groß, nämlich | Beim Nyquistsystem $\rm A$ ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit genau so groß, nämlich | ||
− | :$$p_{\rm SE } =p_{\rm U,\hspace{0. | + | :$$p_{\rm SE } =p_{\rm U,\hspace{0.1cm} SE } = {\rm Q}\left( {g_0}/{\sigma_d} \right)= {\rm |
Q}(5) \approx 2.87 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$ | Q}(5) \approx 2.87 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Bei den anderen hier betrachteten Systemvarianten $\rm B$, $\rm C$ und $\rm D$ sind die Impulsinterferenzen so stark und der vorgegebene Störeffektivwert so klein, dass die folgende Näherung angewendet werden kann: | + | Bei den anderen hier betrachteten Systemvarianten $\rm B$, $\rm C$ und $\rm D$ sind die Impulsinterferenzen so stark und der vorgegebene Störeffektivwert so klein, dass die folgende Näherung angewendet werden kann: |
− | :$$p_{\rm SE } \approx {1}/{4} \cdot p_{\rm U,\hspace{0. | + | :$$p_{\rm SE } \approx {1}/{4} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.1cm} SE } |
= {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac {{\rm Max }\hspace{0.05cm}\big [0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|\big ]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$ | = {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac {{\rm Max }\hspace{0.05cm}\big [0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|\big ]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Mit Ausnahme des Nyquistsystems $\rm A$ $($hier ist $p_{\rm DFE} = p_{\rm SE})$ gilt für den DFE–Empfänger statt dessen folgende Näherung: | Mit Ausnahme des Nyquistsystems $\rm A$ $($hier ist $p_{\rm DFE} = p_{\rm SE})$ gilt für den DFE–Empfänger statt dessen folgende Näherung: | ||
− | :$$p_{\rm DFE } \approx {1}/{2} \cdot p_{\rm U,\hspace{0. | + | :$$p_{\rm DFE } \approx {1}/{2} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.1cm} DFE } |
= {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}\big [0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|\big ]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$ | = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}\big [0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|\big ]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger|"Viterbi–Empfänger"]]. | ||
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+ | * Die Zahlenwerte der Q–Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]] ermitteln. | ||
− | + | * Um den im Theorieteil angegebenen Algorithmus für zwei Vorläufer anwenden zu können, müssten Sie folgende Umbenennungen vornehmen (was jedoch für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeiten keine Bedeutung hat): | |
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− | * Um den im Theorieteil angegebenen Algorithmus für zwei Vorläufer anwenden zu können, müssten Sie folgende Umbenennungen vornehmen (was jedoch für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeiten keine Bedeutung hat): | ||
:$$g_{1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{0 },\hspace{0.4cm} | :$$g_{1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{0 },\hspace{0.4cm} | ||
g_{0 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-1 },\hspace{0.4cm} | g_{0 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-1 },\hspace{0.4cm} | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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− | {Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei System $\rm A$ mit Maximum–Likelihood–Detektion (ML)? | + | {Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei System $\rm A$ mit Maximum–Likelihood–Detektion $\rm (ML)$? |
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$\hspace{0.2cm} p_{\rm ML} \ = \ $ { 2.87 3% } $\ \cdot 10^{\rm –7} $ | $\hspace{0.2cm} p_{\rm ML} \ = \ $ { 2.87 3% } $\ \cdot 10^{\rm –7} $ | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''(1)''' Ohne Impulsinterferenzen $\text{(System A)}$ bringen der DFE– und der ML–Empfänger keine Verbesserung gegenüber der einfachen Schwellenwertentscheidung: | + | '''(1)''' Ohne Impulsinterferenzen $\text{(System A)}$ bringen der DFE– und der ML–Empfänger keine Verbesserung gegenüber der einfachen Schwellenwertentscheidung: |
:$$ p_{\rm DFE } = p_{\rm ML } = p_{\rm SE } \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.87 \cdot 10^{-7}} | :$$ p_{\rm DFE } = p_{\rm ML } = p_{\rm SE } \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.87 \cdot 10^{-7}} | ||
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− | '''(2)''' Mit $g_0 = 0.6$, $g_{\rm –1} = 0.1$ und $g_1 = 0.3$ $\text{(System B)}$ erhält man näherungsweise: | + | '''(2)''' Mit $g_0 = 0.6$, $g_{\rm –1} = 0.1$ und $g_1 = 0.3$ $\text{(System B)}$ erhält man näherungsweise für die jeweiligen mittleren Fehlerwahrscheinlichkeiten: |
:$$p_{\rm SE } \ \approx \ {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.6-0.1-0.3}{0.2} \right)= {1}/{4} \cdot{\rm Q}(1) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 4\% | :$$p_{\rm SE } \ \approx \ {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.6-0.1-0.3}{0.2} \right)= {1}/{4} \cdot{\rm Q}(1) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 4\% | ||
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− | '''(3)''' Die Fehlerwahrscheinlichkeiten lauten mit $g_0 = 0.4$ und $g_1 = g_{\rm –1} = 0.3$ $\text{(System C)}$: | + | '''(3)''' Die mittleren Fehlerwahrscheinlichkeiten lauten mit $g_0 = 0.4$ und $g_1 = g_{\rm –1} = 0.3$ $\text{(System C)}$: |
:$$p_{\rm SE } \ \approx \ {1}/{4} \cdot{\rm Q}(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 12.5\%} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm geschlossenes }\hspace{0.15cm}{\rm Auge } | :$$p_{\rm SE } \ \approx \ {1}/{4} \cdot{\rm Q}(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 12.5\%} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm geschlossenes }\hspace{0.15cm}{\rm Auge } | ||
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− | Interessant – und nicht etwa ein Rechenfehler – | + | *Interessant ist – und nicht etwa ein Rechenfehler –, dass die DFE schlechter ist als der herkömmliche Schwellenwertentscheider, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit $10\%$ oder mehr beträgt. |
+ | *Siehe dazu auch die Musterlösung zur Teilaufgabe '''(4)'''. | ||
− | '''(4)''' Bei $\text{ | + | '''(4)''' Bei System $\text{D}$ ergibt sich auch für den DFE–Empfänger ein geschlossenes Auge. |
+ | *Die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm DFE}$ ist größer als $p_{\rm SE}$, da nun die ungünstigste Symbolfolge häufiger auftritt. Nach der angegebenen einfachen Näherung gilt: | ||
:$$p_{\rm SE } = {1}/{4} \cdot{\rm Q}(0) = 0.125\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | :$$p_{\rm SE } = {1}/{4} \cdot{\rm Q}(0) = 0.125\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | ||
p_{\rm DFE } = {1}/{2} \cdot{\rm Q}(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.250} | p_{\rm DFE } = {1}/{2} \cdot{\rm Q}(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.250} | ||
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− | Entsprechend gilt für den DFE–Empfänger: | + | *Entsprechend gilt für den DFE–Empfänger: |
:$$p_{\rm DFE } \ = \ {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.3-0.4}{0.2}\right) | :$$p_{\rm DFE } \ = \ {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.3-0.4}{0.2}\right) | ||
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− | Dagegen beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm ML}$ eines Maximum–Likelihood–Empfängers weiterhin ${\rm Q}(2) \hspace{0.15cm} \underline {= 2.27\%}$. Die Reihenfolge der Detektionsgrundimpulswerte ist für die Fehlerwahrscheinlichkeit des Viterbi–Empfängers (nahezu) nicht von Bedeutung. | + | *Dagegen beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm ML}$ eines Maximum–Likelihood–Empfängers weiterhin ${\rm Q}(2) \hspace{0.15cm} \underline {= 2.27\%}$. |
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+ | *Die Reihenfolge der Detektionsgrundimpulswerte ist für die Fehlerwahrscheinlichkeit des Viterbi–Empfängers (nahezu) nicht von Bedeutung. | ||
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[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.8 Viterbi-Empfänger^]] | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.8 Viterbi-Empfänger^]] |
Aktuelle Version vom 5. Juli 2022, 14:50 Uhr
Es sollen Fehlerwahrscheinlichkeiten verschiedener Empfängertypen miteinander verglichen werden. Betrachtet werden im Einzelnen:
- Schwellenwertentscheidung $\rm (SE)$ ⇒ Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm SE}$,
- Decision Feedback Equalization $\rm (DFE)$ ⇒ Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm DFE}$ und
- Maximum–Likelihood–Detektion $\rm (ML)$ ⇒ Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm ML}$.
In der Tabelle sind für vier verschiedene Parametersätze $\rm A$, $\rm B$, $\rm C$ und $\rm D$ angegeben:
- Der „Hauptwert” $g_0$ des Detektionsgrundimpulses,
- der Vorläufer $g_{\rm –1},$
- der Nachläufer $g_1$ und
- der Detektionsstöreffektivwert ($\sigma_d$) vor dem jeweiligen Entscheider.
Ausgegangen wird von bipolaren Amplitudenkoeffizienten, so dass zum Beispiel für die ungünstigste (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit des Empfängers mit einfachem Schwellenwertenentscheider gilt:
- $$p_{\rm U,\hspace{0.1cm} SE } = \left\{ \begin{array}{c} {\rm Q}\big [ ({g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|})/{\sigma_d} \big ]\\ \\{\rm Q}(0) = 0.5 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm ge\ddot{o}ffnetem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }, \\ \\{\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm geschlossenem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \\ \end{array}$$
Beim Nyquistsystem $\rm A$ ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit genau so groß, nämlich
- $$p_{\rm SE } =p_{\rm U,\hspace{0.1cm} SE } = {\rm Q}\left( {g_0}/{\sigma_d} \right)= {\rm Q}(5) \approx 2.87 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
Bei den anderen hier betrachteten Systemvarianten $\rm B$, $\rm C$ und $\rm D$ sind die Impulsinterferenzen so stark und der vorgegebene Störeffektivwert so klein, dass die folgende Näherung angewendet werden kann:
- $$p_{\rm SE } \approx {1}/{4} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.1cm} SE } = {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac {{\rm Max }\hspace{0.05cm}\big [0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|\big ]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$
Mit Ausnahme des Nyquistsystems $\rm A$ $($hier ist $p_{\rm DFE} = p_{\rm SE})$ gilt für den DFE–Empfänger statt dessen folgende Näherung:
- $$p_{\rm DFE } \approx {1}/{2} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.1cm} DFE } = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}\big [0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|\big ]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$
Dagegen wurde auf der letzten Theorieseite zu diesem Kapitel gezeigt, dass für einen Empfänger mit ML–Entscheidung die folgende Näherung zutrifft:
- $$p_{\rm ML } = {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}[g_{\nu}]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Viterbi–Empfänger".
- Bezug genommen wird auch auf die Kapitel "Lineare Nyquistentzerrung" und "Entscheidungsrückkopplung".
- Die Zahlenwerte der Q–Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul "Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen" ermitteln.
- Um den im Theorieteil angegebenen Algorithmus für zwei Vorläufer anwenden zu können, müssten Sie folgende Umbenennungen vornehmen (was jedoch für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeiten keine Bedeutung hat):
- $$g_{1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{0 },\hspace{0.4cm} g_{0 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-1 },\hspace{0.4cm} g_{-1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-2 } \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$ p_{\rm DFE } = p_{\rm ML } = p_{\rm SE } \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.87 \cdot 10^{-7}} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Mit $g_0 = 0.6$, $g_{\rm –1} = 0.1$ und $g_1 = 0.3$ $\text{(System B)}$ erhält man näherungsweise für die jeweiligen mittleren Fehlerwahrscheinlichkeiten:
- $$p_{\rm SE } \ \approx \ {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.6-0.1-0.3}{0.2} \right)= {1}/{4} \cdot{\rm Q}(1) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 4\% \hspace{0.05cm}},$$
- $$ p_{\rm DFE } \ \approx \ {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.6-0.1}{0.2} \right)= {1}/{2} \cdot {\rm Q}(2.5) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.31\%} \hspace{0.05cm},$$
- $$ p_{\rm ML } \ \approx \ {\rm Q}\left( \frac{0.6}{0.2} \right) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.135\%} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Die mittleren Fehlerwahrscheinlichkeiten lauten mit $g_0 = 0.4$ und $g_1 = g_{\rm –1} = 0.3$ $\text{(System C)}$:
- $$p_{\rm SE } \ \approx \ {1}/{4} \cdot{\rm Q}(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 12.5\%} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm geschlossenes }\hspace{0.15cm}{\rm Auge } \hspace{0.05cm},$$
- $$ p_{\rm DFE } \ \approx \ {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.4-0.3}{0.2} \right)= {1}/{2} \cdot {\rm Q}(0.5) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15\% \hspace{0.05cm}},$$
- $$ p_{\rm ML } \ \approx \ {\rm Q}\left( \frac{0.4}{0.2} \right) = {\rm Q}(2) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.27\%} \hspace{0.05cm}.$$
- Interessant ist – und nicht etwa ein Rechenfehler –, dass die DFE schlechter ist als der herkömmliche Schwellenwertentscheider, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit $10\%$ oder mehr beträgt.
- Siehe dazu auch die Musterlösung zur Teilaufgabe (4).
(4) Bei System $\text{D}$ ergibt sich auch für den DFE–Empfänger ein geschlossenes Auge.
- Die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm DFE}$ ist größer als $p_{\rm SE}$, da nun die ungünstigste Symbolfolge häufiger auftritt. Nach der angegebenen einfachen Näherung gilt:
- $$p_{\rm SE } = {1}/{4} \cdot{\rm Q}(0) = 0.125\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm DFE } = {1}/{2} \cdot{\rm Q}(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.250} \hspace{0.05cm}.$$
- Bei exakter Rechnung erhält man dagegen:
- $$p_{\rm SE } \ = \ {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.3-0.4-0.3}{0.2}\right) + {1}/{4} \cdot{\rm Q}\left( \frac{0.3-0.4+0.3}{0.2}\right)+ \ {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.3+0.4-0.3}{0.2}\right) +{1}/{4} \cdot{\rm Q}\left( \frac{0.3+0.4+0.3}{0.2}\right)$$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm SE } \ = \ {1}/{4} \cdot \left[ {\rm Q}(-2) + {\rm Q}(1) +{\rm Q}(2) +{\rm Q}(5) \right] ={1}/{4} \cdot \left[ 1+ {\rm Q}(1) +{\rm Q}(5) \right] \hspace{0.05cm}.$$
- Wegen ${\rm Q}(–2) + {\rm Q}(2) = 1$ und ${\rm Q}(5) \approx 0$ erhält man daraus $p_{\rm SE} \approx 25.5\%$.
- Entsprechend gilt für den DFE–Empfänger:
- $$p_{\rm DFE } \ = \ {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.3-0.4}{0.2}\right) + {1}/{2} \cdot{\rm Q}\left( \frac{0.3+0.4}{0.2}\right)= \ {1}/{2} \cdot \left[ {\rm Q}(-0.5) + {\rm Q}(3.5) \right] \approx\frac{1- {\rm Q}(0.5)}{2}\hspace{0.15cm}\underline {= 35\%} \hspace{0.05cm}.$$
- Dagegen beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm ML}$ eines Maximum–Likelihood–Empfängers weiterhin ${\rm Q}(2) \hspace{0.15cm} \underline {= 2.27\%}$.
- Die Reihenfolge der Detektionsgrundimpulswerte ist für die Fehlerwahrscheinlichkeit des Viterbi–Empfängers (nahezu) nicht von Bedeutung.