Aufgaben:Aufgabe 1.10Z: Gauß-Bandpass

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Gaußförmiger Bandpasskanal

Für diese Aufgabe setzen wir voraus:

• Zur Modulation wird binäre Phasenmodulation  $\rm (BPSK)$  verwendet.

• Die Demodulation erfolgt frequenz– und phasensynchron.

Bei trägerfrequenzmodulierter Übertragung muss der Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  stets als Bandpass angesetzt werden.  Die Kanalparameter sind zum Beispiel die Mittenfrequenz  $f_{\rm M}$  und die Bandbreite  $\Delta f_{\rm K}$,  wobei die Mittenfrequenz  $f_{\rm M}$  oft mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  übereinstimmt.

In dieser Aufgabe soll insbesondere von einem Gaußbandpass entsprechend der Grafik ausgegangen werden.  Für dessen Frequenzgang gilt:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f - f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ]+{\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f + f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ]$$

Zur einfacheren Beschreibung benutzt man oft den äquivalenten Tiefpass–Frequenzgang  $H_{\rm K,TP}(f)$.  Dieser ergibt sich aus  $H_{\rm K}(f)$  durch

• Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen,
• Verschieben des Spektrums um  $f_{\rm T}$  nach links.

Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit  $f_{\rm T} = f_{\rm M}$  für den äquivalenten Tiefpass–Frequenzgang:

$$ H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) = {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {f }/{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 }.$$

Die entsprechende Zeitfunktion  ("Fourierrücktransformierte")  lautet:

$$ h_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(t) = \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 }.$$

Zur Beschreibung eines phasensynchronen BPSK–Systems im Tiefpassbereich eignet sich aber auch der Frequenzgang

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] ,$$

wobei  "MKD"  für "Modulator – Kanal – Demodulator"  steht.  Häufig  – aber nicht immer –  sind  $H_{\rm MKD}(f)$  und  $H_{\rm K,TP}(f)$  identisch.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation".

• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  "Basisbandmodell für ASK und BPSK".

Fragebogen

1 Geben Sie die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  des Gauß–Bandpasskanals an.  Welcher  (normierte)  Wert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 0$?

$ h_{\rm K}(t)/\Delta f_{\rm K} \ = \ $

2 Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung  $f_{\rm T} = f_{\rm M}$?

	$H_{\rm K,TP}(f)$  und  $H_{\rm MKD}(f)$  stimmen vollständig überein.
	$H_{\rm K,TP}(f)$  und  $H_{\rm MKD}(f)$  sind für tiefe Frequenzen gleich.
	Die Zeitfunktion  $h_{\rm K,TP}(t)$  ist reell.
	Die Zeitfunktion  $h_{\rm MKD}(t)$  ist reell.

3 Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung  $f_{\rm T} \neq f_{\rm M}$?

	$H_{\rm K,TP}(f)$  und  $H_{\rm MKD}(f)$  stimmen vollständig überein.
	$H_{\rm K,TP}(f)$  und  $H_{\rm MKD}(f)$  sind für tiefe Frequenzen gleich.
	Die Zeitfunktion  $h_{\rm K,TP}(t)$  ist reell.
	Die Zeitfunktion  $h_{\rm MKD}(t)$  ist reell.

4 Was sollte im Hinblick auf eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit gelten?

	$f_{\rm M} = f_{\rm T}$,
	$f_{\rm M} \neq f_{\rm T}$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Für den Bandpass–Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  kann geschrieben werden:

$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) \star \big [ \delta (f - f_{\rm M}) + \delta (f + f_{\rm M}) \big ] .$$

• Die Fourierrücktransformierte des Klammerausdrucks liefert eine Cosinusfunktion der Frequenz $f_{\rm M}$  mit der Amplitude  $2$.

• Nach dem Faltungssatz gilt somit:

$$h_{\rm K}(t) = 2 \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 \right ] \cdot \cos(2 \pi f_{\rm M} t ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm K}(t = 0)/\Delta f_{\rm K} \hspace{0.1cm}\underline {= 2}.$$

• Das heißt: Die Tiefpass–Impulsantwort  $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$  ist formgleich mit der Hüllkurve der Bandpass–Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$,  aber doppelt so groß.

Resultierender Basisbandfrequenzgang für $f_{\rm T} = f_{\rm M}$

(2)  Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4:

• Aussage 1 ist falsch, da $H_{\rm MKD}(f)$ auch Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ besitzt.

• Die Zeitfunktion $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$  ist reell.  Gleiches gilt für  $h_{\rm MKD}(t)$  auch unter Berücksichtigung der  $\pm 2f_{\rm T}$–Anteile,  da  $H_{\rm MKD}(f)$  eine bezüglich $f = 0$  gerade Funktion ist.

• Die Grafik zeigt  $H_{\rm MKD}(f)$,  der auch Anteile um  $\pm 2f_{\rm T}$  besitzt.  Bei tiefen Frequenzen ist  $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$  identisch mit  $H_{\rm MKD}(f)$.

Resultierender Basisbandfrequenzgang für $f_{\rm T} \ne f_{\rm M}$

(3)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 4:

• Hier unterscheiden sich  $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$  und  $H_{\rm MKD}(f)$  auch bei den tiefen Frequenzen. 

• $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$  ist eine Gaußfunktion mit Maximum bei  $f_{ε} = f_{\rm M} - f_{\rm T}$.  Aufgrund dieser Unsymmetrie ist $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ komplex.

• Dagegen ist $H_{\rm MKD}(f)$ weiterhin eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion mit reeller Impulsantwort $h_{\rm MKD}(t)$.  $H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich dabei aus zwei Gaußfunktionen bei $± f_ε$ zusammen.

(4)  Richtig ist natürlich die  erste Antwort.