Aufgaben:Aufgabe 5.8Z: Zyklisches Präfix und Guard–Intervall: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir gehen in dieser Aufgabe von einem OFDM–System mit  $N = 8$  Trägern und zyklischem Präfix aus. Der Subträgerabstand sei  $f_0 = 4 \ \rm kHz$. Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes.
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Wir gehen in dieser Aufgabe von einem  $\rm OFDM$–System mit  $N = 8$  Trägern und zyklischem Präfix aus.  Der Subträgerabstand sei  $f_0 = 4 \ \rm kHz$   ⇒   Grundsymboldauer:  $T=1/f_0$.  Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes.
*Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind. Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit  $τ_1 = \ \rm 50 µs$  und  $τ_2 = 125\ \rm  µs$:
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*Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal,  wobei beide Pfade verzögert sind.  Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit  $τ_1 = \ \rm 50\ µs$  und  $τ_2 = 125\ \rm  µs$:
 
:$$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$
 
:$$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$
*Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz (Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite) um den Faktor
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*Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz  $($Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite$)$  um den Faktor
:$$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}} $$
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:$$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}, $$
 
:und führt auch zu einer Verringerung des Signal&ndash;Rausch&ndash;Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert <i>&beta;</i>.  
 
:und führt auch zu einer Verringerung des Signal&ndash;Rausch&ndash;Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert <i>&beta;</i>.  
*Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR&ndash;Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten &nbsp;$g_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_{\rm E}(t)$&nbsp; von Sende&ndash; und Empfangsfilter an die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; angepasst sind (Matched&ndash;Filter&ndash;Ansatz).
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*Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR&ndash;Verlustes ist allerdings,&nbsp; dass die Impulsantworten &nbsp;$g_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_{\rm E}(t)$&nbsp; von Sende&ndash; und Empfangsfilter an die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; angepasst sind&nbsp; $($Matched&ndash;Filter&ndash;Ansatz$)$.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|"Realisierung von OFDM-Systemen"]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#Zyklisches_Pr.C3.A4fix|Zyklisches Präfix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#OFDM.E2.80.93System_mit_zyklischem_Pr.C3.A4fix|OFDM-System mit zyklischem Präfix]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#Zyklisches_Pr.C3.A4fix|"Zyklisches Präfix"]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#OFDM.E2.80.93System_mit_zyklischem_Pr.C3.A4fix|"OFDM-System mit zyklischem Präfix"]].
 
   
 
   
  
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{Geben Sie die Kernsymboldauer &nbsp;$T$&nbsp; an.
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{Geben Sie die Grundsymboldauer &nbsp;$T$&nbsp; an.
 
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$T \ = \ $ { 250 3% } $\ \rm &micro; s$
 
$T \ = \ $ { 250 3% } $\ \rm &micro; s$
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$T_{\rm R}\ = \ $ { 375 3% } $\ \rm &micro; s$
 
$T_{\rm R}\ = \ $ { 375 3% } $\ \rm &micro; s$
  
{Welche Aussagen sind richtig? Durch eine Guardlücke, also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können
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{Welche Aussagen sind richtig?&nbsp; Durch eine Guardlücke,&nbsp; also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall,&nbsp; können
 
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- Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt werden,
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- Intercarrier–Interferenzen&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; unterdrückt werden,
+ Impulsinterferenzen (ISI) unterdrückt werden.
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+ Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; unterdrückt werden.
  
{Welche Aussagen sind richtig? Durch ein zyklisches Präfix, also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können
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{Welche Aussagen sind richtig?&nbsp; Durch ein zyklisches Präfix,&nbsp; also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall,&nbsp; können
 
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+ Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt werden,
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+ Intercarrier–Interferenzen&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; unterdrückt werden,
+ Impulsinterferenzen (ISI) unterdrückt werden.
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+ Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; unterdrückt werden.
  
{Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol &nbsp;$(N)$, das Guard–Intervall &nbsp;$(N_{\rm G})$&nbsp; und den gesamten Rahmen &nbsp;$(N_{\rm R})$.
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{Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol &nbsp;$(N)$,&nbsp;  das Guard–Intervall &nbsp;$(N_{\rm G})$&nbsp; und den gesamten Rahmen &nbsp;$(N_{\rm R})$.
 
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$N \hspace{0.35cm} = \ $ { 8 }  
 
$N \hspace{0.35cm} = \ $ { 8 }  
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$N_{\rm R} \ = \ $ { 12 }
 
$N_{\rm R} \ = \ $ { 12 }
  
{Geben Sie unter der Vorraussetzung, dass lediglich der erste Träger mit dem Trägerkoeffizienten &nbsp;$-1$&nbsp; verwendet wird, die Abtastwerte des Guard&ndash;Intervalls vor der Übertragung über den Kanal an.
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{Geben Sie die Abtastwerte des  Guard–Intervalls an,&nbsp; unter der Voraussetzung,&nbsp; dass lediglich der erste Träger mit dem Trägerkoeffizienten &nbsp;$-1$&nbsp; verwendet wird.
 
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$\text{Re}\big[d_{-1}\big] \ = \ $ { -714--0.700 }
 
$\text{Re}\big[d_{-1}\big] \ = \ $ { -714--0.700 }
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$\beta\ = \ $ { 0.667 3% }  
 
$\beta\ = \ $ { 0.667 3% }  
  
{Wie groß ist der damit verbundene SNR–Verlust &nbsp;$10 · \lg \ Δ_ρ$&nbsp; (in dB) unter der Voraussetzung des Matched–Filter–Ansatzes?
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{Wie groß ist der damit verbundene SNR–Verlust &nbsp;$10 · \lg \ Δρ$&nbsp; (in dB) unter der Voraussetzung des Matched–Filter–Ansatzes?
 
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$10 · \lg \ Δ_ρ \ = \ $ { 1.76 3% } $\ \rm dB$  
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$10 · \lg \ Δρ \ = \ $ { 1.76 3% } $\ \rm dB$  
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Die Kernsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands&nbsp; ⇒ &nbsp; $ T = {1}/{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm \mu s}}.$
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'''(1)'''&nbsp;  Die Grundsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands:&nbsp;  
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:$$ T = {1}/{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm &micro; s}}.$$
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'''(2)'''&nbsp;  Um Interferenzen zu vermeiden,&nbsp; ist die Dauer&nbsp; $T_{\rm G}$&nbsp;  des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Kanalverzögerung&nbsp; $($hier: $τ_2 = 125\ \rm  &micro; s)$:
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:$$ T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,\,{\rm &micro; s}}.$$
  
'''(2)'''&nbsp;  Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer des Guard–Intervalls $T_{\rm G}$ mindestens so groß zu wählen wie die maximale Verzögerung (hier: $τ_2 = 125\ \rm  μs$) des Kanals &nbsp; ⇒ &nbsp; $ T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,\,{\rm \mu s}}.$
 
  
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'''(3)'''&nbsp;  Für die Rahmendauer gilt somit: 
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:$$ T_{\rm{R}} = T + T_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 375\,\,{\rm &micro; s}}.$$
  
'''(3)'''&nbsp;  Für die Rahmendauer gilt somit:  &nbsp;$ T_{\rm{R}} = T + T_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 375\,\,{\rm \mu s}}.$
 
  
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'''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
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*Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; vermieden werden.
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*Die Lückendauer&nbsp; $T_{\rm G}$&nbsp; muss dabei so groß gewählt werden,&nbsp; dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird.
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*Im vorliegenden Beispiel muss&nbsp; $T_{\rm G}≥ 125\ \rm  &micro; s$&nbsp; sein.
  
'''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 
*Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen (ISI) vermieden werden.
 
*Die Lückendauer $T_{\rm G}$ muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird.
 
*Im vorliegenden Beispiel muss $T_{\rm G}≥ 125\ \rm  μs$ sein.
 
  
  
'''(5)'''&nbsp;    <u>Beide Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
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'''(5)'''&nbsp;    <u>Beide Lösungsvorschläge</u>&nbsp; sind zutreffend:
*Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt.  
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*Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; unterdrückt.  
*Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der Kernsymboldauer $T$ eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt, auch wenn andere Träger aktiv sind.  
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*Es wird damit sichergestellt,&nbsp; dass für alle Träger innerhalb der Grundsymboldauer&nbsp; $T$&nbsp; eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt,&nbsp; <br>auch wenn andere Träger aktiv sind.  
  
  
'''(6)'''&nbsp;  Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Kernsymbols ist gleich der Anzahl der Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{N=8}$. <br>Wegen $T_{\rm G}= T/2$ gilt $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$ und damit $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$.
 
  
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'''(6)'''&nbsp;  Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Grundsymbols ist gleich der Anzahl der Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{N=8}$.
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*Wegen&nbsp; $T_{\rm G}= T/2$&nbsp; gilt&nbsp; $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$&nbsp;
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*und damit&nbsp; $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$.
  
'''(7)'''&nbsp;  Die Belegung des ersten Trägers (Frequenz $f_0$) mit dem Koeffizienten &bdquo;–1&rdquo; führt zu den Abtastwerten
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'''(7)'''&nbsp;  Die Belegung des ersten Trägers&nbsp; $($Frequenz $f_0)$&nbsp; mit dem Koeffizienten&nbsp; &bdquo;–1&rdquo;&nbsp; führt zu den Abtastwerten
 
:$$d_0 = -1, \hspace{0.3cm}d_1 = -0.707 - {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_2 =  -{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_3 = +0.707 -{\rm j} \cdot 0.707, $$
 
:$$d_0 = -1, \hspace{0.3cm}d_1 = -0.707 - {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_2 =  -{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_3 = +0.707 -{\rm j} \cdot 0.707, $$
 
:$$d_4 = +1, \hspace{0.3cm}d_5 = +0.707 + {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_6 =  +{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_7 = -0.707 +{\rm j} \cdot 0.707. $$
 
:$$d_4 = +1, \hspace{0.3cm}d_5 = +0.707 + {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_6 =  +{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_7 = -0.707 +{\rm j} \cdot 0.707. $$
  
Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte $d_{-1} = d_7$, &nbsp; $d_{-2} = d_6$, &nbsp; $d_{-3} = d_5$ und &nbsp; $d_{-4} = d_4$:
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*Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte&nbsp; $d_{-1} = d_7$, &nbsp; $d_{-2} = d_6$, &nbsp; $d_{-3} = d_5$&nbsp; und&nbsp; $d_{-4} = d_4$:
 
:$$\underline{{\rm Re}[d_{-1}] = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-1}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-2}] = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}[d_{-2}] = 1},$$
 
:$$\underline{{\rm Re}[d_{-1}] = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-1}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-2}] = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}[d_{-2}] = 1},$$
 
:$$\underline{{\rm Re}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-4}] = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}] = 0}.$$
 
:$$\underline{{\rm Re}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-4}] = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}] = 0}.$$
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'''(8)'''&nbsp;  Entsprechend der angegebenen Gleichung ist die Bandbreiteneffizienz gleich
 
'''(8)'''&nbsp;  Entsprechend der angegebenen Gleichung ist die Bandbreiteneffizienz gleich
 
:$$\beta = \frac{1}{1 + {T_{\rm{G}}}/{T}} = \frac{1}{1 + ({125\,\,{\rm \mu s}})/({250\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.667}.$$
 
:$$\beta = \frac{1}{1 + {T_{\rm{G}}}/{T}} = \frac{1}{1 + ({125\,\,{\rm \mu s}})/({250\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.667}.$$
  
'''(9)'''&nbsp;  Die Bandbreiteneffizienz $β = 2/3$ führt zu einem SNR–Verlust von
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'''(9)'''&nbsp;  Diese  Bandbreiteneffizienz&nbsp; &nbsp; = 2/3$&nbsp; führt zu einem SNR–Verlust von
 
:$$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$
 
:$$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$
  

Aktuelle Version vom 24. Januar 2022, 18:46 Uhr

OFDM–Schema mit zyklischem Präfix

Wir gehen in dieser Aufgabe von einem  $\rm OFDM$–System mit  $N = 8$  Trägern und zyklischem Präfix aus.  Der Subträgerabstand sei  $f_0 = 4 \ \rm kHz$   ⇒   Grundsymboldauer:  $T=1/f_0$.  Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes.

  • Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal,  wobei beide Pfade verzögert sind.  Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit  $τ_1 = \ \rm 50\ µs$  und  $τ_2 = 125\ \rm µs$:
$$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$
  • Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz  $($Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite$)$  um den Faktor
$$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}, $$
und führt auch zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert β.
  • Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR–Verlustes ist allerdings,  dass die Impulsantworten  $g_{\rm S}(t)$  und  $g_{\rm E}(t)$  von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer  $T$  angepasst sind  $($Matched–Filter–Ansatz$)$.





Hinweise:



Fragebogen

1

Geben Sie die Grundsymboldauer  $T$  an.

$T \ = \ $

$\ \rm µ s$

2

Wie lang sollte das Guard–Intervall  $T_{\rm G}$  mindestens sein?

$T_{\rm G}\ = \ $

$\ \rm µ s$

3

Bestimmen Sie die resultierende Rahmendauer  $T_{\rm R}$.

$T_{\rm R}\ = \ $

$\ \rm µ s$

4

Welche Aussagen sind richtig?  Durch eine Guardlücke,  also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall,  können

Intercarrier–Interferenzen  $\rm (ICI)$  unterdrückt werden,
Impulsinterferenzen  $\rm (ISI)$  unterdrückt werden.

5

Welche Aussagen sind richtig?  Durch ein zyklisches Präfix,  also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall,  können

Intercarrier–Interferenzen  $\rm (ICI)$  unterdrückt werden,
Impulsinterferenzen  $\rm (ISI)$  unterdrückt werden.

6

Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol  $(N)$,  das Guard–Intervall  $(N_{\rm G})$  und den gesamten Rahmen  $(N_{\rm R})$.

$N \hspace{0.35cm} = \ $

$N_{\rm G} \ = \ $

$N_{\rm R} \ = \ $

7

Geben Sie die Abtastwerte des Guard–Intervalls an,  unter der Voraussetzung,  dass lediglich der erste Träger mit dem Trägerkoeffizienten  $-1$  verwendet wird.

$\text{Re}\big[d_{-1}\big] \ = \ $

$\text{Im}\big[d_{-1}\big] \ = \ $

$\text{Re}\big[d_{-2}\big] \ = \ $

$\text{Im}\big[d_{-2}\big] \ = \ $

$\text{Re}\big[d_{-3}\big] \ = \ $

$\text{Im}\big[d_{-3}\big] \ = \ $

$\text{Re}\big[d_{-4}\big] \ = \ $

$\text{Im}\big[d_{-4}\big] \ = \ $

8

Welche Bandbreiteneffizienz  $\beta$  ergibt sich inklusive des Guard–Intervalls?

$\beta\ = \ $

9

Wie groß ist der damit verbundene SNR–Verlust  $10 · \lg \ Δρ$  (in dB) unter der Voraussetzung des Matched–Filter–Ansatzes?

$10 · \lg \ Δρ \ = \ $

$\ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Die Grundsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands: 

$$ T = {1}/{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm µ s}}.$$


(2)  Um Interferenzen zu vermeiden,  ist die Dauer  $T_{\rm G}$  des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Kanalverzögerung  $($hier: $τ_2 = 125\ \rm µ s)$:

$$ T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,\,{\rm µ s}}.$$


(3)  Für die Rahmendauer gilt somit:

$$ T_{\rm{R}} = T + T_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 375\,\,{\rm µ s}}.$$


(4)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 2:

  • Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen  $\rm (ISI)$  vermieden werden.
  • Die Lückendauer  $T_{\rm G}$  muss dabei so groß gewählt werden,  dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird.
  • Im vorliegenden Beispiel muss  $T_{\rm G}≥ 125\ \rm µ s$  sein.


(5)  Beide Lösungsvorschläge  sind zutreffend:

  • Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen  $\rm (ICI)$  unterdrückt.
  • Es wird damit sichergestellt,  dass für alle Träger innerhalb der Grundsymboldauer  $T$  eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt, 
    auch wenn andere Träger aktiv sind.


(6)  Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Grundsymbols ist gleich der Anzahl der Träger   ⇒   $\underline{N=8}$.

  • Wegen  $T_{\rm G}= T/2$  gilt  $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$ 
  • und damit  $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$.


(7)  Die Belegung des ersten Trägers  $($Frequenz $f_0)$  mit dem Koeffizienten  „–1”  führt zu den Abtastwerten

$$d_0 = -1, \hspace{0.3cm}d_1 = -0.707 - {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_2 = -{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_3 = +0.707 -{\rm j} \cdot 0.707, $$
$$d_4 = +1, \hspace{0.3cm}d_5 = +0.707 + {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_6 = +{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_7 = -0.707 +{\rm j} \cdot 0.707. $$
  • Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte  $d_{-1} = d_7$,   $d_{-2} = d_6$,   $d_{-3} = d_5$  und  $d_{-4} = d_4$:
$$\underline{{\rm Re}[d_{-1}] = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-1}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-2}] = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}[d_{-2}] = 1},$$
$$\underline{{\rm Re}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-4}] = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}] = 0}.$$


(8)  Entsprechend der angegebenen Gleichung ist die Bandbreiteneffizienz gleich

$$\beta = \frac{1}{1 + {T_{\rm{G}}}/{T}} = \frac{1}{1 + ({125\,\,{\rm \mu s}})/({250\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.667}.$$


(9)  Diese Bandbreiteneffizienz  $β  = 2/3$  führt zu einem SNR–Verlust von

$$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$