Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: MSK–Grundimpuls und MSK-Spektrum: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(3 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID1744__Mod_Z_4_14.png|right|frame|MSK–Grundimpuls und –Spektrum]]
+
[[Datei:P_ID1744__Mod_Z_4_14.png|right|frame|MSK–Grundimpuls  und  –Spektrum]]
Der zur Realisierung der  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|MSK mittels Offset–QPSK]]  stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:
+
Der zur Realisierung der  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|MSK mittels Offset–QPSK]]   stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:
:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
+
:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\pi/2 \cdot t/T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion  $G(f)$, also die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformierte]]  von  $g(t)$. Die dazugehörige Gleichung soll in dieser Aufgabe ermittelt werden, wobei zu berücksichtigen ist:
+
Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion  $G(f)$, also die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformierte]]  von  $g(t)$.  
 +
 
 +
Die dazugehörige Gleichung soll in dieser Aufgabe ermittelt werden, wobei zu berücksichtigen ist:
 
:$$g(t) = c(t) \cdot r(t)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$g(t) = c(t) \cdot r(t)\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei sind folgende  Abkürzungen verweendet:
+
Hierbei sind folgende  Abkürzungen verwendet:
* $c(t)$  ist eine Cosinusschwingung mit Amplitude  $1$  und (noch zu bestimmender) Frequenz  $f_0$.
+
* $c(t)$  ist eine Cosinusschwingung mit Amplitude  $1$  und  (noch zu bestimmender)  Frequenz  $f_0$.
 
* $r(t)$  ist eine Rechteckfunktion mit der Amplitude  $g_0$  und der Dauer  $2T$.
 
* $r(t)$  ist eine Rechteckfunktion mit der Amplitude  $g_0$  und der Dauer  $2T$.
 +
 +
 +
  
  
Zeile 30: Zeile 35:
 
$f_0 \ = \ $  { 0.25 3% } $\ \cdot 1/T$
 
$f_0 \ = \ $  { 0.25 3% } $\ \cdot 1/T$
  
{Wie lautet das Spektrum  $R(f)$  der Rechteckfunktion  $r(t)$? Welcher Spektralwert tritt bei  $f = 0$  auf?
+
{Wie lautet das Spektrum  $R(f)$  der Rechteckfunktion  $r(t)$?  Welcher Spektralwert tritt bei  $f = 0$  auf?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$R(f=0) \ = \ $  { 2 3%  } $\ \cdot g_0 \cdot T$  
 
$R(f=0) \ = \ $  { 2 3%  } $\ \cdot g_0 \cdot T$  
Zeile 38: Zeile 43:
 
$G(f=0) \ = \ $ { 1.273 3% } $\ \cdot g_0 \cdot T$
 
$G(f=0) \ = \ $ { 1.273 3% } $\ \cdot g_0 \cdot T$
  
{Fassen Sie das Ergebnis der Teilaufgabe '''(3)''' in einem Term zusammen. Bei welcher Frequenz  $f_1$  besitzt  $G(f)$  seine erste Nullstelle?
+
{Fassen Sie das Ergebnis der Teilaufgabe  '''(3)'''  in einem Term zusammen.  Bei welcher Frequenz  $f_1$  besitzt  $G(f)$  seine erste Nullstelle?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$f_1 \ = \ $ { 0.75 3% } $\ \cdot 1/T$
 
$f_1 \ = \ $ { 0.75 3% } $\ \cdot 1/T$
Zeile 46: Zeile 51:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  Die Periodendauer des Cosinussignals muss $T_0 = 4T$ sein. Damit ist die Frequenz $f_0 = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25} · 1/T$.
+
'''(1)'''  Die Periodendauer des Cosinussignals muss  $T_0 = 4T$  sein.  Damit ist die Frequenz $f_0 = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25} · 1/T$.
  
  
'''(2)'''  Die Spektralfunktion eines Rechteckimpulses der Höhe $g_0$ und der Dauer 2T lautet:
+
'''(2)'''  Die Spektralfunktion eines Rechteckimpulses der Höhe  $g_0$  und der Dauer $ 2T$  lautet:
 
:$$R(f) = g_0 \cdot 2 T \cdot {\rm si} ( \pi f \cdot 2T )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si} (x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm}
 
:$$R(f) = g_0 \cdot 2 T \cdot {\rm si} ( \pi f \cdot 2T )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si} (x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm}
 
  \Rightarrow \hspace{0.3cm}R(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 2} \cdot g_0 \cdot T\hspace{0.05cm}.$$
 
  \Rightarrow \hspace{0.3cm}R(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 2} \cdot g_0 \cdot T\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(3)'''  Aus $g(t) = c(t) · r(t)$ folgt nach dem Faltungssatz:   $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$ Die Spektralfunktion
+
'''(3)'''  Aus  $g(t) = c(t) · r(t)$  folgt nach dem Faltungssatz:   $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$  
$C(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht $1/2$. Daraus folgt:
+
*Die Spektralfunktion  $C(f)$  besteht aus zwei Diracfunktionen bei  $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht  $1/2$.  Daraus folgt:
:$$ G(f)  =  2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac {1}{2} \cdot \delta (f - f_0 ) + \frac {1}{2} \cdot \delta (f + f_0 )\right ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )=  g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$ G(f)  =  2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \big [ 1/2 \cdot \delta (f - f_0 ) + 1/2 \cdot \delta (f + f_0 )\big ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )=  g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
Mit dem Ergebnis $f_0 = 1/(4T)$ der Teilaufgabe (1) gilt weiter:
+
*Mit dem Ergebnis  $f_0 = 1/(4T)$  der Teilaufgabe  '''(1)'''  gilt weiter:
:$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \right ]$$
+
:$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \big ]$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0)  =  g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \left [ {\rm si} ( - \frac{\pi}{2} ) + {\rm si} ( +\frac{\pi}{2} ) \right ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \frac{\pi}{2} ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0)  =  g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \big [ {\rm si} ( - \pi/2 ) + {\rm si} ( +\pi/2 ) \big ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \pi/2 ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$
 +
 
  
'''(4)'''  Schreibt man die si–Funktion aus, so erhält man mit $\sin (α ± π/2) = ± \cos(α)$:
+
'''(4)'''  Schreibt man die  $\rm si$–Funktion aus, so erhält man mit  $\sin (α ± π/2) = ± \cos(α)$:
 
:$$G(f)  =  g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T - \pi / 2 )}{2 \pi f T - \pi / 2 } + \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T + \pi / 2 )}{2 \pi f T + \pi / 2 } \right ]=  g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot\left [ \frac{-{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T - 1 } + \frac{{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T + 1 } \right ]$$  
 
:$$G(f)  =  g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T - \pi / 2 )}{2 \pi f T - \pi / 2 } + \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T + \pi / 2 )}{2 \pi f T + \pi / 2 } \right ]=  g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot\left [ \frac{-{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T - 1 } + \frac{{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T + 1 } \right ]$$  
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f)  =  g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot \frac{(1+4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )+ (1-4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 } =  \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$  
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f)  =  g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot \frac{(1+4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )+ (1-4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 } =  \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$  
  
*Die Nullstellen von $G(f)$ werden allein durch die Cosinusfunktion im Zähler bestimmt und würden bei den Frequenzen $f · T = 0.25, 0.75, 1.25,$ ... liegen.  
+
*Die Nullstellen von  $G(f)$  werden allein durch die Cosinusfunktion im Zähler bestimmt und würden bei den Frequenzen  $f · T = 0.25,\ 0.75,\ 1.25,$  ... liegen.  
*Allerdings wird die erste Nullstelle bei $f · T = 0.25$ durch die gleichzeitige Nullstelle des Nenners aufgehoben. Deshalb gilt:
+
*Allerdings wird die erste Nullstelle bei  $f · T = 0.25$  durch die gleichzeitige Nullstelle des Nenners aufgehoben.  Deshalb gilt:
 
:$$f_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75} \cdot 1/T \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$f_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75} \cdot 1/T \hspace{0.05cm}.$$
  

Aktuelle Version vom 24. April 2020, 13:23 Uhr

MSK–Grundimpuls  und  –Spektrum

Der zur Realisierung der  MSK mittels Offset–QPSK   stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\pi/2 \cdot t/T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion  $G(f)$, also die  Fouriertransformierte  von  $g(t)$.

Die dazugehörige Gleichung soll in dieser Aufgabe ermittelt werden, wobei zu berücksichtigen ist:

$$g(t) = c(t) \cdot r(t)\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:

  • $c(t)$  ist eine Cosinusschwingung mit Amplitude  $1$  und  (noch zu bestimmender)  Frequenz  $f_0$.
  • $r(t)$  ist eine Rechteckfunktion mit der Amplitude  $g_0$  und der Dauer  $2T$.





Hinweise:

  • Das hier gewonnene Ergebnis wird auch in der  Aufgabe 4.15  verwendet.


Fragebogen

1

Wie ist die Frequenz  $f_0$  der Cosinusschwingung  $c(t)$  zu wählen, damit  $g(t) = c(t) · r(t)$  gilt?

$f_0 \ = \ $

$\ \cdot 1/T$

2

Wie lautet das Spektrum  $R(f)$  der Rechteckfunktion  $r(t)$?  Welcher Spektralwert tritt bei  $f = 0$  auf?

$R(f=0) \ = \ $

$\ \cdot g_0 \cdot T$

3

Berechnen Sie das Spektrum  $G(f)$  des MSK–Impuses  $g(t)$, insbesondere den Spektralwert bei  $f = 0$.

$G(f=0) \ = \ $

$\ \cdot g_0 \cdot T$

4

Fassen Sie das Ergebnis der Teilaufgabe  (3)  in einem Term zusammen.  Bei welcher Frequenz  $f_1$  besitzt  $G(f)$  seine erste Nullstelle?

$f_1 \ = \ $

$\ \cdot 1/T$


Musterlösung

(1)  Die Periodendauer des Cosinussignals muss  $T_0 = 4T$  sein.  Damit ist die Frequenz $f_0 = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25} · 1/T$.


(2)  Die Spektralfunktion eines Rechteckimpulses der Höhe  $g_0$  und der Dauer $ 2T$  lautet:

$$R(f) = g_0 \cdot 2 T \cdot {\rm si} ( \pi f \cdot 2T )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si} (x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}R(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 2} \cdot g_0 \cdot T\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Aus  $g(t) = c(t) · r(t)$  folgt nach dem Faltungssatz:   $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$

  • Die Spektralfunktion  $C(f)$  besteht aus zwei Diracfunktionen bei  $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht  $1/2$.  Daraus folgt:
$$ G(f) = 2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \big [ 1/2 \cdot \delta (f - f_0 ) + 1/2 \cdot \delta (f + f_0 )\big ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )= g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit dem Ergebnis  $f_0 = 1/(4T)$  der Teilaufgabe  (1)  gilt weiter:
$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \big ]$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0) = g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \big [ {\rm si} ( - \pi/2 ) + {\rm si} ( +\pi/2 ) \big ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \pi/2 ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$


(4)  Schreibt man die  $\rm si$–Funktion aus, so erhält man mit  $\sin (α ± π/2) = ± \cos(α)$:

$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T - \pi / 2 )}{2 \pi f T - \pi / 2 } + \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T + \pi / 2 )}{2 \pi f T + \pi / 2 } \right ]= g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot\left [ \frac{-{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T - 1 } + \frac{{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T + 1 } \right ]$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f) = g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot \frac{(1+4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )+ (1-4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 } = \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Nullstellen von  $G(f)$  werden allein durch die Cosinusfunktion im Zähler bestimmt und würden bei den Frequenzen  $f · T = 0.25,\ 0.75,\ 1.25,$  ... liegen.
  • Allerdings wird die erste Nullstelle bei  $f · T = 0.25$  durch die gleichzeitige Nullstelle des Nenners aufgehoben.  Deshalb gilt:
$$f_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75} \cdot 1/T \hspace{0.05cm}.$$