Aufgabe 2.4Z: Kennlinienvermessung: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID898__LZI_Z_2_4.png|right|frame|Vorgegebene Kennlinie $y = g(x)$]]
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Von einem nichtlinearen System ist bekannt, dass die Kennlinie wie folgt dargestellt werden kann:
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Von einem nichtlinearen System ist bekannt,   dass die Kennlinie wie folgt dargestellt werden kann:
 
:$$y(t) =  c_1  \cdot x(t) + c_2  \cdot x^2(t).$$
 
:$$y(t) =  c_1  \cdot x(t) + c_2  \cdot x^2(t).$$
  
Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang $H(f)$ angebbar.
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Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang  $H(f)$  angebbar.
  
Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten $c_1$ sowie des quadratischen Koeffizienten $c_2$ werden nun verschiedene Rechteckimpulse $x(t)$ – gekennzeichnet durch die Amplitude $A_x$ und Breite $T_x$  – an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude $A_y$ am Ausgang gemessen.  
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Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten  $c_1$  sowie des quadratischen Koeffizienten  $c_2$  werden nun verschiedene Rechteckimpulse  $x(t)$  – gekennzeichnet durch die Amplitude  $A_x$  und Breite  $T_x$  – an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude  $A_y$  am Ausgang gemessen.  
  
 
Die ersten drei Versuchen ergeben folgende Werte:
 
Die ersten drei Versuchen ergeben folgende Werte:
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Bei den Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' sei das Eingangssignal $x(t)$ eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angegeben werden kann.  
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Bei den Teilaufgaben  '''(3)'''  und  '''(4)'''  sei das Eingangssignal  $x(t)$  eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angegeben werden kann.  
  
Dagegen wird für die Teilaufgabe '''(5)''' ein Dreieckimpuls mit Amplitude $A_x = 3 \ {\rm V}$ und der einseitigen Impulsdauer $T_x = 2 \ {\rm ms}$ betrachtet:
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Dagegen wird für die Teilaufgabe  '''(5)'''  ein Dreieckimpuls mit Amplitude  $A_x = 3 \ {\rm V}$  und der einseitigen Impulsdauer  $T_x = 2 \ {\rm ms}$  betrachtet:
:$$x(t) =  A_x \cdot \big[ 1 - {|t|}/{T_x}\big] $$
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:$$x(t) =  A_x \cdot ( 1 - {|t|}/{T_x}). $$
  
  
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
 
   
 
   
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{Welche Aussagen gelten für den Ausgangsimpuls $y(t)$, wenn am Eingang ein Rechteckimpuls $x(t)$ mit Amplitude $A_x$ und Dauer $T_x$ anliegt?
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{Am Eingang liegt ein Rechteckimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A_x$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T_x$&nbsp; an.&nbsp; <br>Welche Aussagen gelten für den Ausgangsimpuls&nbsp; $y(t)$?
 
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- Der Ausgangsimpuls $y(t)$ ist dreieckförmig.
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- Der Ausgangsimpuls&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist dreieckförmig.
 
- Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_y = A_x$.
 
- Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_y = A_x$.
 
+ Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_y = T_x$.
 
+ Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_y = T_x$.
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{Welcher Klirrfaktor $K$ wird mit dem Testsignal $x(t) = 1 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ gemessen? Das heißt: &nbsp; $\underline{A_x = 1\hspace{0.08cm} \rm  V}$.
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{Welcher Klirrfaktor&nbsp; $K$&nbsp; wird mit dem Testsignal&nbsp; $x(t) = 1 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$&nbsp; gemessen?&nbsp; Das heißt: &nbsp; $\underline{A_x = 1\hspace{0.08cm} \rm  V}$.
 
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$K \ = \ $  { 5 3% } $\ \%$
 
$K \ = \ $  { 5 3% } $\ \%$
  
  
{Welcher Klirrfaktor $K$ wird mit dem Testsignal $x(t) = 3 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ gemessen? Das heißt: &nbsp; $\underline{A_x = 3\hspace{0.08cm} \rm  V}$.
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{Welcher Klirrfaktor&nbsp; $K$&nbsp; wird mit dem Testsignal&nbsp; $x(t) = 3 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$&nbsp; gemessen?&nbsp; Das heißt: &nbsp; $\underline{A_x = 3\hspace{0.08cm} \rm  V}$.
 
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$K \ = \ $ { 15 3% } $\ \%$
 
$K \ = \ $ { 15 3% } $\ \%$
  
  
{Welcher Ausgangsimpuls $y(t)$ ergibt sich bei dreieckförmigem Eingangsimpuls? Wie lauten die Signalwerte bei $ t = 0$ und $ t = T_x/2$?
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{Welcher Ausgangsimpuls&nbsp; $y(t)$&nbsp; ergibt sich bei dreieckförmigem Eingangsimpuls?&nbsp; Wie lauten die Signalwerte bei&nbsp; $ t = 0$&nbsp; und&nbsp; $ t = T_x/2$?
 
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$y(t = 0) \ = \ $ { 1.95 3% } $\ \rm V$
 
$y(t = 0) \ = \ $ { 1.95 3% } $\ \rm V$
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{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
*Ist der Eingangsimpuls $x(t)$ rechteckförmig, so ist auch  $x^2(t)$ ein Rechteck mit Höhe $A_x^2$ im Bereich von $0$ bis $T_x$ und außerhalb $0$.  
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*Ist der Eingangsimpuls &nbsp;$x(t)$&nbsp; rechteckförmig, so ist auch  &nbsp;$x^2(t)$&nbsp; ein Rechteck mit Höhe &nbsp;$A_x^2$&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $T_x$;&nbsp; außerhalb Null.  
*Auch das gesamte Ausgangssignal $y(t)$ ist somit rechteckförmig mit der Amplitude
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*Auch das gesamte Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; ist somit rechteckförmig mit der Amplitude
 
:$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$
 
:$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$
*Für die Impulsdauer gilt $T_y  = T_x$.  
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*Für die Impulsdauer gilt: &nbsp; $T_y  = T_x$.  
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  V}.\hspace{0.05cm}$$
 
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Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $-2$ und Addition der beiden Gleichungen erhält man:
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*Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit&nbsp; $-2$&nbsp; und Addition der beiden Gleichungen erhält man:
 
:$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2  = 0.1\,{\rm
 
:$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2  = 0.1\,{\rm
  V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\,{1/\rm
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  V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\cdot{1/\rm
 
  V}}.$$
 
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Der Linearkoeffizient ist somit $c_1  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}.$
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*Der Linearkoeffizient ist somit&nbsp; $c_1  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}.$
  
Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren:
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*Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren:
 
:$$c_1  \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2  = 0.5 \cdot 3\,{\rm
 
:$$c_1  \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2  = 0.5 \cdot 3\,{\rm
 
  V}+ 0.05 \  {1}/{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2  = 1.95\,{\rm
 
  V}+ 0.05 \  {1}/{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2  = 1.95\,{\rm
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'''(3)'''&nbsp; Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang.  
 
'''(3)'''&nbsp; Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang.  
  
Ist $X_+(f) = 1 \ {\rm V} \cdot \delta (f - f_0)$, so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang:
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*Ist&nbsp; $X_+(f) = 1 \ {\rm V} \cdot \delta (f - f_0)$, so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang:
 
:$$ Y_{+}(f)={c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+ {c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$
 
:$$ Y_{+}(f)={c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+ {c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$
  
Die Diracfunktion bei $f = 0$  folgt aus der trigonometrischen Umformung $\cos^2(\alpha) = 1/2 + 1/2 \cdot \cos(\alpha).$
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*Die Diracfunktion bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; folgt aus der trigonometrischen Umformung&nbsp; $\cos^2(\alpha) = 1/2 + 1/2 \cdot \cos(\alpha).$
 
   
 
   
Mit $A_1 = c_1 \cdot A_x =  0.5 \ {\rm V} $ und  $A_2 = (c_2/2) \cdot A_x^2 =  0.025 \ {\rm V}^2 $
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*Mit&nbsp; $A_1 = c_1 \cdot A_x =  0.5 \ {\rm V} $&nbsp; und&nbsp; $A_2 = (c_2/2) \cdot A_x^2 =  0.025 \ {\rm V}^2 $&nbsp; ergibt sich somit für den Klirrfaktor:
ergibt sich somit für den Klirrfaktor:
 
 
:$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5}  \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$
 
:$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5}  \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe ist $K$ proportional zu $A_x$. Deshalb erhält man nun $K \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \%}.$
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'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe ist&nbsp; $K$&nbsp; proportional zu&nbsp; $A_x$. Deshalb erhält man nun&nbsp; $K \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \%}.$
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  {c_2}\cdot A_x^2 \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right)^2.$$
 
  {c_2}\cdot A_x^2 \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right)^2.$$
  
Zum Zeitpunkt $t = 0$ bzw. $t = T_x/2$ treten folgende Werte auf:
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*Zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; bzw. &nbsp;$t = T_x/2$&nbsp; treten folgende Werte auf:
 
:$$y(t=0) = c_1\cdot A_x  + {c_2}\cdot A_x^2  \hspace{0.15cm}\underline{= 1.95\,{\rm
 
:$$y(t=0) = c_1\cdot A_x  + {c_2}\cdot A_x^2  \hspace{0.15cm}\underline{= 1.95\,{\rm
 
  V}},$$
 
  V}},$$

Aktuelle Version vom 1. Oktober 2021, 14:11 Uhr

Vorgegebene Kennlinie  $y = g(x)$

Von einem nichtlinearen System ist bekannt,  dass die Kennlinie wie folgt dargestellt werden kann:

$$y(t) = c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t).$$

Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang  $H(f)$  angebbar.

Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten  $c_1$  sowie des quadratischen Koeffizienten  $c_2$  werden nun verschiedene Rechteckimpulse  $x(t)$  – gekennzeichnet durch die Amplitude  $A_x$  und Breite  $T_x$  – an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude  $A_y$  am Ausgang gemessen.

Die ersten drei Versuchen ergeben folgende Werte:

  • $A_x = 1 \ {\rm V}, \; \; T_x = 8 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 0.55 \ {\rm V}$,
  • $A_x = 2 \ {\rm V}, \; \; T_x = 4 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 1.20 \ {\rm V}$,
  • $A_x = 3 \ {\rm V}, \; \; T_x = 2 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 1.95 \ {\rm V}$.


Bei den Teilaufgaben  (3)  und  (4)  sei das Eingangssignal  $x(t)$  eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angegeben werden kann.

Dagegen wird für die Teilaufgabe  (5)  ein Dreieckimpuls mit Amplitude  $A_x = 3 \ {\rm V}$  und der einseitigen Impulsdauer  $T_x = 2 \ {\rm ms}$  betrachtet:

$$x(t) = A_x \cdot ( 1 - {|t|}/{T_x}). $$



Hinweise:

  • Im Fragenkatalog werden folgende Abkürzungen benutzt:
$$y_1(t) = c_1 \cdot x(t), \hspace{0.5cm} y_2(t) = c_2 \cdot x^2(t).$$


Fragebogen

1

Am Eingang liegt ein Rechteckimpuls  $x(t)$  mit Amplitude  $A_x$  und Dauer  $T_x$  an. 
Welche Aussagen gelten für den Ausgangsimpuls  $y(t)$?

Der Ausgangsimpuls  $y(t)$  ist dreieckförmig.
Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich   ⇒   $A_y = A_x$.
Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert   ⇒   $T_y = T_x$.

2

Berechnen Sie die beiden ersten Koeffizienten der Taylorreihe.

$c_1 \ = \ $

$c_2 \ = \ $

$\ \rm 1/V$

3

Welcher Klirrfaktor  $K$  wird mit dem Testsignal  $x(t) = 1 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$  gemessen?  Das heißt:   $\underline{A_x = 1\hspace{0.08cm} \rm V}$.

$K \ = \ $

$\ \%$

4

Welcher Klirrfaktor  $K$  wird mit dem Testsignal  $x(t) = 3 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$  gemessen?  Das heißt:   $\underline{A_x = 3\hspace{0.08cm} \rm V}$.

$K \ = \ $

$\ \%$

5

Welcher Ausgangsimpuls  $y(t)$  ergibt sich bei dreieckförmigem Eingangsimpuls?  Wie lauten die Signalwerte bei  $ t = 0$  und  $ t = T_x/2$?

$y(t = 0) \ = \ $

$\ \rm V$
$y(t = T_x/2) \ = \ $

$\ \rm V$


Musterlösung

(1)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 3:

  • Ist der Eingangsimpuls  $x(t)$  rechteckförmig, so ist auch  $x^2(t)$  ein Rechteck mit Höhe  $A_x^2$  zwischen  $0$  und  $T_x$;  außerhalb Null.
  • Auch das gesamte Ausgangssignal  $y(t)$  ist somit rechteckförmig mit der Amplitude
$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$
  • Für die Impulsdauer gilt:   $T_y = T_x$.


(2)  Mit den beiden ersten Parametersätzen kann folgendes lineares Gleichungssystem angegeben werden:

$$c_1 \cdot 1\,{\rm V} + c_2 \cdot (1\,{\rm V})^2 = 0.55\,{\rm V},$$
$$c_1 \cdot 2\,{\rm V} + c_2 \cdot (2\,{\rm V})^2 = 1.20\,{\rm V}.\hspace{0.05cm}$$
  • Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit  $-2$  und Addition der beiden Gleichungen erhält man:
$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2 = 0.1\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\cdot{1/\rm V}}.$$
  • Der Linearkoeffizient ist somit  $c_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}.$
  • Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren:
$$c_1 \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 0.5 \cdot 3\,{\rm V}+ 0.05 \ {1}/{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2 = 1.95\,{\rm V}.$$


(3)  Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang.

  • Ist  $X_+(f) = 1 \ {\rm V} \cdot \delta (f - f_0)$, so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang:
$$ Y_{+}(f)={c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+ {c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$
  • Die Diracfunktion bei  $f = 0$  folgt aus der trigonometrischen Umformung  $\cos^2(\alpha) = 1/2 + 1/2 \cdot \cos(\alpha).$
  • Mit  $A_1 = c_1 \cdot A_x = 0.5 \ {\rm V} $  und  $A_2 = (c_2/2) \cdot A_x^2 = 0.025 \ {\rm V}^2 $  ergibt sich somit für den Klirrfaktor:
$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$


(4)  Entsprechend der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe ist  $K$  proportional zu  $A_x$. Deshalb erhält man nun  $K \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \%}.$


(5)  Nun lautet das Ausgangssignal:

$$y(t)= c_1\cdot A_x \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right) +\hspace{0.1cm} {c_2}\cdot A_x^2 \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right)^2.$$
  • Zum Zeitpunkt  $t = 0$  bzw.  $t = T_x/2$  treten folgende Werte auf:
$$y(t=0) = c_1\cdot A_x + {c_2}\cdot A_x^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.95\,{\rm V}},$$
$$y(t=T_x/2) = c_1\cdot A_x \cdot {1}/{2} + \hspace{0.1cm}{c_2}\cdot A_x^2 \cdot {1}/{4}= 0.75\,{\rm V}+ 0.1125\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8625\,{\rm V}}.$$