Aufgaben:Aufgabe 1.5: Idealer rechteckförmiger Tiefpass: Unterschied zwischen den Versionen
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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}} | {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}} | ||
− | [[Datei:P_ID852__LZI_A_1_5.png|right|frame|Tabelle mit Werten der | + | [[Datei:P_ID852__LZI_A_1_5.png|right|frame|Tabelle mit Werten der $\rm si$–Funktion und der $\rm Si$–Funktion]] |
Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – auch Küpfmüller–Tiefpass genannt, | Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – auch Küpfmüller–Tiefpass genannt, | ||
− | *der alle Frequenzen $f < 5 \ \rm kHz$ unverfälscht durchlässt ⇒ $H(f) = 1$, | + | *der alle Frequenzen $f < 5 \ \rm kHz$ unverfälscht durchlässt ⇒ $H(f) = 1$, |
− | *und alle Spektralanteile über $5 \ \rm kHz$ vollständig unterdrückt ⇒ $H(f) = 0$. | + | *und alle Spektralanteile über $5 \ \rm kHz$ vollständig unterdrückt ⇒ $H(f) = 0$. |
− | Exakt bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 5 \ \rm kHz$ ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich $1/2$. | + | Exakt bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 5 \ \rm kHz$ ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich $1/2$. |
An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt: | An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt: | ||
*ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen „Dirac” angenähert werden kann: | *ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen „Dirac” angenähert werden kann: | ||
:$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$ | :$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$ | ||
− | *ein Diracpuls, also eine Summe von Diracimpulsen im jeweiligen Zeitabstand $T_{\rm A}$: | + | *ein Diracpuls, also eine Summe von Diracimpulsen im jeweiligen Zeitabstand $T_{\rm A}$: |
:$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$ | :$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$ | ||
− | :wobei das zugehörige Spektrum mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ lautet: | + | :wobei das zugehörige Spektrum mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ lautet: |
:$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$ | :$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$ | ||
− | *eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt $t = 0$: | + | *eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt $t = 0$: |
:$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0,} \\{ t = 0,} \\ | :$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0,} \\{ t = 0,} \\ | ||
{ t > 0,} \\ \end{array}$$ | { t > 0,} \\ \end{array}$$ | ||
− | *ein | + | *ein $\rm si$–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer $T$: |
:$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$ | :$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$ | ||
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''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]]. |
− | *In der Tabelle sind die Funktionswerte der ''Spaltfunktion'' ${\rm si}(πx)$ und der ''Integralsinusfunktion'' ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet: | + | *In der Tabelle sind die Funktionswerte der ''Spaltfunktion'' ${\rm si}(πx)$ und der ''Integralsinusfunktion'' ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet: |
:$${\rm Si}(\pi x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.5cm}{\rm mit } \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) =\sin(x)/x.$$ | :$${\rm Si}(\pi x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.5cm}{\rm mit } \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) =\sin(x)/x.$$ | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Welches Ausgangssignal $y_1(t)$ ergibt sich als Antwort auf den Diracimpuls $x_1(t)$, insbesondere zu den Zeitpunkten $t = 0$ und $t = 50 \ \rm µ s$? | + | {Welches Ausgangssignal $y_1(t)$ ergibt sich als Antwort auf den Diracimpuls $x_1(t)$, insbesondere zu den Zeitpunkten $t = 0$ und $t = 50 \ \rm µ s$? |
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$y_1(t = 0) \ = \ $ { 10 3% } $\rm V$ | $y_1(t = 0) \ = \ $ { 10 3% } $\rm V$ | ||
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− | {Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn am Filtereingang der Diracpuls $x_2(t)$ anliegt und $T_{\rm A} = 200 \ µ \rm s$ gilt. | + | {Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn am Filtereingang der Diracpuls $x_2(t)$ anliegt und $T_{\rm A} = 200 \ µ \rm s$ gilt. Welcher Signalwert tritt bei $t = 0$ auf? |
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$y_2(t = 0) \ = \ $ { 10 3% } $\rm V$ | $y_2(t = 0) \ = \ $ { 10 3% } $\rm V$ | ||
− | {Welche Werte $y_2(t = 0)$ ergeben sich mit $T_{\rm A} = 199 \ \rm µ s$ bzw. $T_{\rm A} = 201 \ \rm µ s$? | + | {Welche Werte $y_2(t = 0)$ ergeben sich mit $T_{\rm A} = 199 \ \rm µ s$ bzw. $T_{\rm A} = 201 \ \rm µ s$? |
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$T_{\rm A} = 199 \ {\rm µ s} \text{:}\hspace{0.4cm} y_2(t = 0) \ = \ $ { 5.025 3% } $\rm V$ | $T_{\rm A} = 199 \ {\rm µ s} \text{:}\hspace{0.4cm} y_2(t = 0) \ = \ $ { 5.025 3% } $\rm V$ | ||
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− | {Geben Sie das Ausgangssignal $y_3(t)$ für die Sprungfunktion $x_3(t)$ mit Endwert $10 \ \rm V$ an. | + | {Geben Sie das Ausgangssignal $y_3(t)$ für die Sprungfunktion $x_3(t)$ mit Endwert $10 \ \rm V$ an. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf? |
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$y_3(t = 0) \ = \ $ { 5 3% } $\rm V$ | $y_3(t = 0) \ = \ $ { 5 3% } $\rm V$ | ||
− | {Zu welcher Zeit $t_{\rm max}$ ist $y_3(t)$ maximal? Wie groß ist der Maximalwert? | + | {Zu welcher Zeit $t_{\rm max}$ ist $y_3(t)$ maximal? Wie groß ist der Maximalwert? |
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$t_{\rm max} \ = \ $ { 100 3% } $\rm µ s$ | $t_{\rm max} \ = \ $ { 100 3% } $\rm µ s$ | ||
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− | {Wie lautet das Ausgangssignal $y_4(t)$, wenn am Eingang das | + | {Wie lautet das Ausgangssignal $y_4(t)$, wenn am Eingang das ${\rm si}$–förmige Signal $x_4(t)$ mit ${\rm si}(πx)$ $T = 200 \ \rm µ s$ anliegt? Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$? |
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$y_4(t = 0) \ = \ $ { 10 3% } $\rm V$ | $y_4(t = 0) \ = \ $ { 10 3% } $\rm V$ | ||
− | {Welcher Signalwert $y_4(t = 0)$ ergibt sich für $T = 50 \ \rm µ s$? | + | {Welcher Signalwert $y_4(t = 0)$ ergibt sich für $T = 50 \ \rm µ s$? |
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$y_4(t = 0) \ = \ $ { 5 3% } $\rm V$ | $y_4(t = 0) \ = \ $ { 5 3% } $\rm V$ | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''(1)''' Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit $Δf = 10 \ \rm kHz$: | + | '''(1)''' Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit $Δf = 10 \ \rm kHz$: |
:$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$ | :$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$ | ||
− | Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$: | + | *Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$: |
:$$y_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )$$ | :$$y_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )$$ | ||
:$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.5cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm µ s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm | :$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.5cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm µ s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm | ||
si} \left( {\pi}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$ | si} \left( {\pi}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$ | ||
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[[Datei:P_ID856__LZI_A_1_5_b.png | rechts |frame| Diracpuls und Rechteckfilter]] | [[Datei:P_ID856__LZI_A_1_5_b.png | rechts |frame| Diracpuls und Rechteckfilter]] | ||
− | '''(2)''' Das Spektrum $X_2(f)$ | + | '''(2)''' Das Spektrum $X_2(f)$ beinhaltet diskrete Linien im Abstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 5 \ \rm kHz$, jeweils mit Gewicht $5 \ \rm V$. |
− | Das Spektrum $Y_2(f)$ besteht somit aus einer Spektrallinie bei $f = 0$ mit dem Gewicht $5 \ \rm V$ und je einer bei $±5 \ \rm kHz$ mit dem Gewicht $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal: | + | *Das Spektrum $Y_2(f)$ besteht somit aus einer Spektrallinie bei $f = 0$ mit dem Gewicht $5 \ \rm V$ und je einer bei $±5 \ \rm kHz$ mit dem Gewicht $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal: |
:$$ y_2(t) = 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).$$ | :$$ y_2(t) = 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).$$ | ||
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 10\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$ | :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 10\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$ | ||
+ | |||
− | '''(3)''' Mit $T_{\rm A} = 199 \ \rm µ s $ ist $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen $H(f_{\rm A}) = 0$ besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei $f = 0$ mit dem Gewicht $5.025 \ \rm V$ und man erhält den konstanten Verlauf | + | '''(3)''' Mit $T_{\rm A} = 199 \ \rm µ s $ ist $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen $H(f_{\rm A}) = 0$ besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei $f = 0$ mit dem Gewicht $5.025 \ \rm V$ und man erhält den konstanten Verlauf |
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \ \rm V}.$$ | :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \ \rm V}.$$ | ||
− | Wird $T_{\rm A}$ weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert (proportional zu $1/T_{\rm A}$ | + | *Wird $T_{\rm A}$ weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert $($proportional zu $1/T_{\rm A})$. |
− | Dagegen ist mit $T_{\rm A} = 201 \ \rm µ s $ die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet: | + | *Dagegen ist mit $T_{\rm A} = 201 \ \rm µ s $ die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet: |
− | :$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \ | + | :$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\big].$$ |
− | Daraus folgt für das Zeitsignal: | + | *Daraus folgt für das Zeitsignal: |
:$$y_2(t ) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} + 9.95\hspace{0.1cm}{\rm | :$$y_2(t ) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} + 9.95\hspace{0.1cm}{\rm | ||
V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) \hspace{0.2cm} \Rightarrow | V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) \hspace{0.2cm} \Rightarrow | ||
\hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$ | \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$ | ||
− | Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, | + | *Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, so lange $ 200 \ {\rm µ s} < T_{\rm A} < 400 \ {\rm µ s} $ gilt. |
+ | *Allerdings ergeben sich je nach $T_{\rm A}$ unterschiedliche Amplituden. Für $T_{\rm A} ≥ 400 \ {\rm µ s}$ kommen weitere Spektrallinien hinzu. | ||
− | [[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | | + | |
− | '''(4)''' Das Ausgangssignal $y_3(t)$ verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion: | + | [[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | Impulsantwort und Sprungantwort| rechts|frame]] |
− | :$$y_3(t = 0) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot \int_{ - \infty }^{ t } {{\rm si} ( \pi \Delta f \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \ | + | '''(4)''' Das Ausgangssignal $y_3(t)$ verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion: |
+ | :$$y_3(t = 0) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.3cm} {{\rm si} ( \pi \Delta f \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi \Delta f t )\big].$$ | ||
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$ | :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$ | ||
− | |||
− | Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu | + | '''(5)''' Es ist offensichtlich, dass $y_3(t)$ dann maximal ist, wenn die ${\rm si}$–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss gelten: |
− | :$$y_3(t = t_{\rm max}) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \ | + | :$$t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: µ s}.$$ |
− | {\rm Si} ( \pi )\ | + | |
− | 0.5895 \ | + | *Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu |
− | Zu späteren Zeiten $t$ schwingt $y_3(t)$ langsam auf seinen Endwert $10 \ \rm V$ ein. | + | :$$y_3(t = t_{\rm max}) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot |
+ | {\rm Si} ( \pi )\big]= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ 0.5 + | ||
+ | 0.5895 \big] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$ | ||
+ | *Zu späteren Zeiten $t$ schwingt $y_3(t)$ langsam auf seinen Endwert $10 \ \rm V$ ein. | ||
[[Datei:P_ID855__LZI_A_1_5_f.png | Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters| rechts|frame]] | [[Datei:P_ID855__LZI_A_1_5_f.png | Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters| rechts|frame]] | ||
− | '''(6)''' Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| > 2.5 \ \rm kHz$ stets | + | '''(6)''' Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| > 2.5 \ \rm kHz$ stets Null. |
+ | *Das bedeutet, dass $Y_4(f ) = X_4(f)$ gilt und somit auch $y_4(t) = x_4(t)$. | ||
+ | *Damit ist $y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: \rm V}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(7)''' Mit $T = 50 \ \rm µ s$ hat $X_4(f)$ die Breite $20 \ \rm kHz$ und die Höhe $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$. | ||
− | + | *Die Spektralfunktion $Y_4(f)$ nach Multiplikation mit $H(f)$ hat die gleiche Höhe. | |
+ | *Die Breite $10 \ \rm kHz$ wird nun ausschließlich durch $H(f)$ bestimmt: | ||
:$$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm | :$$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm | ||
Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t )$$ | Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t )$$ | ||
− | :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }$$ | + | :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }.$$ |
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
− | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 | + | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]] |
Aktuelle Version vom 9. September 2021, 17:41 Uhr
Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – auch Küpfmüller–Tiefpass genannt,
- der alle Frequenzen $f < 5 \ \rm kHz$ unverfälscht durchlässt ⇒ $H(f) = 1$,
- und alle Spektralanteile über $5 \ \rm kHz$ vollständig unterdrückt ⇒ $H(f) = 0$.
Exakt bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 5 \ \rm kHz$ ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich $1/2$.
An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt:
- ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen „Dirac” angenähert werden kann:
- $$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$
- ein Diracpuls, also eine Summe von Diracimpulsen im jeweiligen Zeitabstand $T_{\rm A}$:
- $$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$
- wobei das zugehörige Spektrum mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ lautet:
- $$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$
- eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt $t = 0$:
- $$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0,} \\{ t = 0,} \\ { t > 0,} \\ \end{array}$$
- ein $\rm si$–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer $T$:
- $$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
- In der Tabelle sind die Funktionswerte der Spaltfunktion ${\rm si}(πx)$ und der Integralsinusfunktion ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet:
- $${\rm Si}(\pi x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.5cm}{\rm mit } \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) =\sin(x)/x.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$
- Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$:
- $$y_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )$$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.5cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm µ s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si} \left( {\pi}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
(2) Das Spektrum $X_2(f)$ beinhaltet diskrete Linien im Abstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 5 \ \rm kHz$, jeweils mit Gewicht $5 \ \rm V$.
- Das Spektrum $Y_2(f)$ besteht somit aus einer Spektrallinie bei $f = 0$ mit dem Gewicht $5 \ \rm V$ und je einer bei $±5 \ \rm kHz$ mit dem Gewicht $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal:
- $$ y_2(t) = 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).$$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 10\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
(3) Mit $T_{\rm A} = 199 \ \rm µ s $ ist $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen $H(f_{\rm A}) = 0$ besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei $f = 0$ mit dem Gewicht $5.025 \ \rm V$ und man erhält den konstanten Verlauf
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \ \rm V}.$$
- Wird $T_{\rm A}$ weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert $($proportional zu $1/T_{\rm A})$.
- Dagegen ist mit $T_{\rm A} = 201 \ \rm µ s $ die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:
- $$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\big].$$
- Daraus folgt für das Zeitsignal:
- $$y_2(t ) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} + 9.95\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
- Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, so lange $ 200 \ {\rm µ s} < T_{\rm A} < 400 \ {\rm µ s} $ gilt.
- Allerdings ergeben sich je nach $T_{\rm A}$ unterschiedliche Amplituden. Für $T_{\rm A} ≥ 400 \ {\rm µ s}$ kommen weitere Spektrallinien hinzu.
(4) Das Ausgangssignal $y_3(t)$ verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion:
- $$y_3(t = 0) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.3cm} {{\rm si} ( \pi \Delta f \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi \Delta f t )\big].$$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
(5) Es ist offensichtlich, dass $y_3(t)$ dann maximal ist, wenn die ${\rm si}$–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss gelten:
- $$t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: µ s}.$$
- Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu
- $$y_3(t = t_{\rm max}) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi )\big]= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ 0.5 + 0.5895 \big] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
- Zu späteren Zeiten $t$ schwingt $y_3(t)$ langsam auf seinen Endwert $10 \ \rm V$ ein.
(6) Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| > 2.5 \ \rm kHz$ stets Null.
- Das bedeutet, dass $Y_4(f ) = X_4(f)$ gilt und somit auch $y_4(t) = x_4(t)$.
- Damit ist $y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: \rm V}$.
(7) Mit $T = 50 \ \rm µ s$ hat $X_4(f)$ die Breite $20 \ \rm kHz$ und die Höhe $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$.
- Die Spektralfunktion $Y_4(f)$ nach Multiplikation mit $H(f)$ hat die gleiche Höhe.
- Die Breite $10 \ \rm kHz$ wird nun ausschließlich durch $H(f)$ bestimmt:
- $$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t )$$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }.$$