Aufgaben:Aufgabe 4.11Z: C-Programm „akf2”: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Sie sehen rechts das C-Programm „akf2” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte $\varphi_x(k)$ mit Index $k = 0$, ... , $l$. | + | Sie sehen rechts das C-Programm „akf2” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte $\varphi_x(k)$ mit Index $k = 0$, ... , $l$. |
− | Im Gegensatz zum Programm „akf1” aus [[Aufgaben:4.11_C-Programm_„akf1”|Aufgabe 4.11]] wird hier der im Theorieteil beschriebene Algorithmus direkt angewendet. Dabei ist zu beachten: | + | Im Gegensatz zum Programm „akf1” aus [[Aufgaben:4.11_C-Programm_„akf1”|Aufgabe 4.11]] wird hier der im Theorieteil beschriebene Algorithmus direkt angewendet. Dabei ist zu beachten: |
− | *Der an das Programm übergebene Long-Wert sei hier $l=10$. | + | *Der an das Programm übergebene Long-Wert sei hier $l=10$. |
− | *Die berechneten AKF-Werte $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$ werden mit dem Float-Feld $\rm AKF[ \ ]$ an das Hauptprogramm zurückgegeben. In den Zeilen 7 und 8 wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt. | + | *Die berechneten AKF-Werte $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$ werden mit dem Float-Feld $\rm AKF[ \ ]$ an das Hauptprogramm zurückgegeben. In den Zeilen 7 und 8 wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt. |
− | *Die Zufallsgröße $x( \ )$ ist als Float-Funktion in Zeile 4 definiert, ebenso ein Hilfsfeld ${\rm H}[10000 ]$, in das die $N = 10000$ Abtastwerte $x_\nu$ eingetragen werden (Zeile 9 und 10). | + | *Die Zufallsgröße $x( \ )$ ist als Float-Funktion in Zeile 4 definiert, ebenso ein Hilfsfeld ${\rm H}[10000 ]$, in das die $N = 10000$ Abtastwerte $x_\nu$ eingetragen werden (Zeile 9 und 10). |
*Die Bezeichnungen der Laufvariablen in Zeile 6 sind an den angegebenen Algorithmus angepasst. | *Die Bezeichnungen der Laufvariablen in Zeile 6 sind an den angegebenen Algorithmus angepasst. | ||
− | *Die eigentliche AKF-Berechnung erfolgt ab Zeile 11. Dieser Programmteil ist im Programmcode rot gekennzeichnet. | + | *Die eigentliche AKF-Berechnung erfolgt ab Zeile 11. Dieser Programmteil ist im Programmcode rot gekennzeichnet. |
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− | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]. | |
− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]. | + | *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten |
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**[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Numerische_AKF-Ermittlung|Numerische AKF-Ermittlung]], | **[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Numerische_AKF-Ermittlung|Numerische AKF-Ermittlung]], | ||
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− | {Auf wie vielen Summanden ($S$) basiert die AKF-Berechnung für den Index $k=0$ bzw. für $k=10$? | + | {Auf wie vielen Summanden ($S$) basiert die AKF-Berechnung für den Index $k=0$ bzw. für $k=10$ ? |
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− | $S_{k=0} \ = \ $ { 10000 | + | $S_{k=0} \ = \ $ { 10000 } |
− | $S_{k=10} \ = \ $ { 9990 | + | $S_{k=10} \ = \ $ { 9990 } |
− | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen sind richtig? |
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− | + Die Rechenzeit steigt linear mit $l + 1$, also mit der Anzahl der zu | + | + Die Rechenzeit steigt linear mit $l + 1$, also mit der Anzahl der zu berechenden AKF-Werte. |
− | - Die Rechenzeit nimmt mit der Anzahl $N$ der berücksichtigten Abtastwerte quadratisch zu. | + | - Die Rechenzeit nimmt mit der Anzahl $N$ der berücksichtigten Abtastwerte quadratisch zu. |
− | + Die Berechnung wird mit steigendem $N$ genauer. | + | + Die Berechnung wird mit steigendem $N$ genauer. |
− | + Wird eine Floatvariable mit $\rm 4 \ Byte$ dargestellt, so benötigt „akf2” mindestens $4 \cdot N$ Byte Speicherplatz. | + | + Wird eine Floatvariable mit $\rm 4 \ Byte$ dargestellt, so benötigt „akf2” mindestens $4 \cdot N$ Byte Speicherplatz. |
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− | + Je stärker die inneren statistischen Bindungen des Prozesses sind, desto <u>ungenauer</u> ist bei gegebenem $N$ das AKF-Ergebnis. | + | + Je stärker die inneren statistischen Bindungen des Prozesses sind, desto <u>ungenauer</u> ist bei gegebenem $N$ das AKF-Ergebnis. |
− | - Je stärker die inneren statistischen Bindungen des Prozesses sind, desto <u>genauer</u> ist bei gegebenem $N$ das AKF-Ergebnis. | + | - Je stärker die inneren statistischen Bindungen des Prozesses sind, desto <u>genauer</u> ist bei gegebenem $N$ das AKF-Ergebnis. |
− | + Besitzt der Prozess statistische Bindungen, so sind die Fehler der numerischen AKF-Berechnung ebenfalls korreliert. < | + | + Besitzt der Prozess statistische Bindungen, so sind die Fehler der numerischen AKF-Berechnung ebenfalls korreliert. <br> <u>Beispiel:</u> Ist der Wert $\varphi_x(k=5)$ zu groß, so werden mit großer Wahrscheinlichkeit auch $\varphi_x(k=4)$ und $\varphi_x(k=6)$ zu groß sein. |
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+ | *Natürlich wird die Berechnung mit steigendem $N$ auch genauer. | ||
+ | *Dies geht hier – im Gegensatz zum Programm „akf1” von Aufgabe 4.11 – allerdings auf Kosten des erforderlichen Speicherbedarfs. | ||
+ | *Da jede Float-Variable genau vier Byte beansprucht, benötigt allein das Hilfsfeld ${\rm H}[10000 ]$ einen Speicher von 40 kByte. | ||
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− | '''(3)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | + | '''(3)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: |
− | *Je stärker die statistischen Bindungen innerhalb des Zufallsprozesses sind, desto ungenauer ist bei gegebenem $N$ die AKF-Berechnung. | + | *Je stärker die statistischen Bindungen innerhalb des Zufallsprozesses sind, desto ungenauer ist bei gegebenem $N$ die AKF-Berechnung. |
− | *Diesen Sachverhalt kann man sich beispielsweise anhand der Leistungsberechnung (AKF-Wert bei $k=0$ | + | *Diesen Sachverhalt kann man sich beispielsweise anhand der Leistungsberechnung $($AKF-Wert bei $k=0)$ verdeutlichen: |
− | *Bestehen jedoch statistische Bindungen zwischen $x_\nu$ und $x_{\nu+1}$, nicht jedoch zwischen $x_\nu$ und $x_{\nu+2}$, so liefern nur die Hälfte aller Abtastwerte die volle Information über $\varphi_x(k=0)$ und die anderen nur eingeschränkte Informationen. | + | **Sind alle $N$ Abtastwerte statistisch unabhängig, so liefern alle Beiträge die maximale Information über den AKF–Wert $\varphi_x(k=0)$. |
− | *Dieser auf Korrelationen beruhende Informationsverlust kann in diesem Beispiel nur durch eine Verdopplung von $N$ ausgeglichen werden. | + | **Bestehen jedoch statistische Bindungen zwischen $x_\nu$ und $x_{\nu+1}$, nicht jedoch zwischen $x_\nu$ und $x_{\nu+2}$, so liefern nur die Hälfte aller Abtastwerte die volle Information über $\varphi_x(k=0)$ und die anderen nur eingeschränkte Informationen. |
− | *Die letzte Aussage trifft ebenfalls zu, wie auf der Seite „Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung” im Theorieteil ausführlich erläutert wird. | + | *Dieser auf Korrelationen beruhende Informationsverlust kann in diesem Beispiel nur durch eine Verdopplung von $N$ ausgeglichen werden. |
+ | *Die letzte Aussage trifft ebenfalls zu, wie auf der Seite „Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung” im Theorieteil ausführlich erläutert wird. | ||
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Aktuelle Version vom 21. März 2022, 18:12 Uhr
Sie sehen rechts das C-Programm „akf2” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte $\varphi_x(k)$ mit Index $k = 0$, ... , $l$.
Im Gegensatz zum Programm „akf1” aus Aufgabe 4.11 wird hier der im Theorieteil beschriebene Algorithmus direkt angewendet. Dabei ist zu beachten:
- Der an das Programm übergebene Long-Wert sei hier $l=10$.
- Die berechneten AKF-Werte $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$ werden mit dem Float-Feld $\rm AKF[ \ ]$ an das Hauptprogramm zurückgegeben. In den Zeilen 7 und 8 wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt.
- Die Zufallsgröße $x( \ )$ ist als Float-Funktion in Zeile 4 definiert, ebenso ein Hilfsfeld ${\rm H}[10000 ]$, in das die $N = 10000$ Abtastwerte $x_\nu$ eingetragen werden (Zeile 9 und 10).
- Die Bezeichnungen der Laufvariablen in Zeile 6 sind an den angegebenen Algorithmus angepasst.
- Die eigentliche AKF-Berechnung erfolgt ab Zeile 11. Dieser Programmteil ist im Programmcode rot gekennzeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
- Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten
Fragebogen
Musterlösung
(1) Zur Berechnung des AKF-Wertes $\varphi_x(0)$ wird über $\underline{N =10000}$ Summanden gemittelt, für $\varphi_x(10)$ nur über $\underline{N = 9990}$.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:
- Die Rechenzeit steigt mit $N$ und $l + 1$ näherungsweise linear an, wie aus der rot hervorgehobenen AKF-Berechnung hervorgeht.
- Die Rechenzeit für die weiteren Programmteile kann demgegenüber vernachlässigt werden.
- Natürlich wird die Berechnung mit steigendem $N$ auch genauer.
- Dies geht hier – im Gegensatz zum Programm „akf1” von Aufgabe 4.11 – allerdings auf Kosten des erforderlichen Speicherbedarfs.
- Da jede Float-Variable genau vier Byte beansprucht, benötigt allein das Hilfsfeld ${\rm H}[10000 ]$ einen Speicher von 40 kByte.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Je stärker die statistischen Bindungen innerhalb des Zufallsprozesses sind, desto ungenauer ist bei gegebenem $N$ die AKF-Berechnung.
- Diesen Sachverhalt kann man sich beispielsweise anhand der Leistungsberechnung $($AKF-Wert bei $k=0)$ verdeutlichen:
- Sind alle $N$ Abtastwerte statistisch unabhängig, so liefern alle Beiträge die maximale Information über den AKF–Wert $\varphi_x(k=0)$.
- Bestehen jedoch statistische Bindungen zwischen $x_\nu$ und $x_{\nu+1}$, nicht jedoch zwischen $x_\nu$ und $x_{\nu+2}$, so liefern nur die Hälfte aller Abtastwerte die volle Information über $\varphi_x(k=0)$ und die anderen nur eingeschränkte Informationen.
- Dieser auf Korrelationen beruhende Informationsverlust kann in diesem Beispiel nur durch eine Verdopplung von $N$ ausgeglichen werden.
- Die letzte Aussage trifft ebenfalls zu, wie auf der Seite „Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung” im Theorieteil ausführlich erläutert wird.