Aufgaben:Aufgabe 4.6: Koordinatendrehung

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Koordinatendrehung einer 2D-WDF

Wir betrachten in der Aufgabe eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße  $(x,\hspace{0.08cm} y)$  mit statistisch unabhängigen Komponenten.  Die Streuungen der beiden Komponenten seien  $\sigma_x = 1$  und  $\sigma_y = 2$.

Berechnet werden soll die Wahrscheinlichkeit dafür,  dass die zweidimensionale Zufallsgröße  $(x,\hspace{0.08cm} y)$  innerhalb des grün schraffiert eingezeichneten Bereichs liegt:

$$-C \le x + y \le +C.$$

Führen Sie zur Lösung eine Koordinatentransformation durch:

$$\xi = \hspace{0.4cm} x +y,$$

$$\eta= -x +y .$$

Dies entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um  $45^\circ$.

• Aus  $x+y= \pm C$  folgt damit  $\xi=\pm C$.
• Die beiden zweidimensionalen Dichtefunktionen lauten dann:

$$f_{xy} (x,\hspace{0.08cm}y) = \frac{1}{4 \pi} \cdot \exp \left [ - ( x^2\hspace {-0.1cm} /2 + y^2\hspace {-0.1cm} /8) \right ] ,$$

$$f_{\xi\eta} (\xi,\hspace{0.08cm} \eta) = \frac{1}{2 \pi \cdot \sigma_\xi \cdot \sigma_\eta \cdot \sqrt{1 - \rho_{\xi\eta}^2}} \cdot \exp \left [ - \frac{1}{2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)} \cdot ( \frac {\xi^2}{\sigma_\xi^2} + \frac {\eta^2}{\sigma_\eta^2 }- 2 \rho_{\xi\eta}\cdot \frac {\xi \cdot \eta}{\sigma_\xi \cdot \sigma_\eta}) \right ] .$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Drehung des Koordinatensystems.

• Gegeben sind die Näherungen  ${\rm Q}(2.3) \approx 0.01$  und  ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$  für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral.
• Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo  Gaußsche 2D-Zufallsgrößen:

Teil 1:   Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,

Teil 2:   Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.

Fragebogen

1 Ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich das Verhältnis der beiden Streuungen der neuen Zufallsgröße  $(\xi,\hspace{0.08cm} \eta)$.

$\sigma_\xi/\sigma_\eta \ = \ $

2 Berechnen Sie die Streuung  $\sigma_\xi$  und den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{\xi\eta}$  zwischen den neuen Zufallsgrößen  $\xi$  und  $\eta$.

$\sigma_\xi \ = \ $

$\rho_{\xi\eta} \ = \ $

3 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,  dass  $ |\hspace{0.05cm}x+y\hspace{0.05cm}| \le C$  gilt.  Wie groß ist  $C$  zu wählen, damit  $99\%$  aller Größen im schraffierten Bereich liegen?

$C_{99\%} \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Aus  $\xi = x + y$  und  $\eta = -x + y$  folgt direkt:

$$x = {1}/{2} \cdot ( \xi - \eta ) ,\hspace{0.5cm}y = {1}/{2}\cdot ( \xi +\eta ) .$$

• Setzt man diese Werte für den negativen Exponenten ein,  so erhält man:

$$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{8} = \frac{1}{8} \cdot ( \xi - \eta )^2 + \frac{1}{32} \cdot ( \xi + \eta )^2.$$

• Ausmultipliziert ergibt dies:

$$\frac{5}{32} \cdot \xi^2 + \frac{5}{32} \cdot \eta^2 - \frac{3}{16} \cdot \xi \cdot \eta .$$

• Da die Koeffizienten bei  $\xi^2$  und  $\eta^2$  gleich sind,  gilt  $\sigma_\xi = \sigma_\eta$.    Der gesuchte Quotient ist somit 1.

(2)  Durch Koeffizientenvergleich erhält man für  $\sigma_\xi = \sigma_\eta$  das Gleichungssystem:

$$2 \cdot \sigma_\xi^2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)= \frac{32}{5},$$

$$\frac{\sigma_\xi^2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)}{\rho_{\xi\eta}}= \frac{16}{3}.$$

• Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein,  so ergibt sich   $\rho_{\xi\eta}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}$   und   $\sigma_{\xi} = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.236}$.

(3)  Nach Koordinatentransformation kann man für diese Wahrscheinlichkeit schreiben:

$${\rm Pr} ( | x + y | \le C ) = {\rm Pr} ( | \xi | \le C ) = 1 - 2 \cdot {\rm Pr} ( \xi >C ).$$

• Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral folgt daraus weiter:

$${\rm Pr} ( | x + y | \le C ) = 1 - 2 \cdot {\rm Q} ( {C}/{\sigma_\xi}) = 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q} ( {C}/{\sigma_\xi}) = 0.005.$$

• Mit dem angegebenen Wert  ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$  erhält man somit das Ergebnis:

$$C \approx 2.6 \cdot \sigma_{\xi}\hspace{0.15cm}\underline {= 5.814}.$$