Applets:Besselfunktionen erster Art: Unterschied zwischen den Versionen

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{{LntAppletLink|bessel}}  
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{{LntAppletLinkDeEn|besselFuns|besselFuns_en}}
  
 
==Programmbeschreibung==
 
==Programmbeschreibung==
 
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Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung der Besselfunktionen erster Art und $n$&ndash;ter Ordnung entsprechend der Reihendarstellung:
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Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und grafische Darstellung der Besselfunktionen erster Art und&nbsp; $n$&ndash;ter Ordnung entsprechend der Reihendarstellung:
  
 
:$${\rm J}_n (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (x/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2
 
:$${\rm J}_n (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (x/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2
\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
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\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
  
*Graphisch dargestellt können die Funktionen ${\rm J}_n (x)$ für die Ordnung $n=0$ bis $n=9$ in verschiedenen Farben werden.
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*Die Funktionen&nbsp; ${\rm J}_n (x)$&nbsp; können für die Ordnung&nbsp; $n=0$&nbsp; bis&nbsp; $n=9$&nbsp; in verschiedenen Farben grafisch dargestellt werden.
*Die linke Ausgabe liefert die Funktionswerte ${\rm J}_0 (x = x_1)$, ... , ${\rm J}_9 (x = x_1)$ für einen per Slider einstellbaren Wert $x_1$ im Bereich $0 \le x_1 \le 15$ mit Schrittweite $0.5$.  
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*Die linke Ausgabe liefert die Funktionswerte&nbsp; ${\rm J}_0 (x = x_1)$, ... , ${\rm J}_9 (x = x_1)$&nbsp; für einen per Slider einstellbaren Wert&nbsp; $x_1$&nbsp; im Bereich&nbsp; $0 \le x_1 \le 15$&nbsp; mit Schrittweite&nbsp; $0.5$.  
*Die rechte Ausgabe liefert die Funktionswerte ${\rm J}_0 (x = x_2)$, ... , ${\rm J}_9 (x = x_2)$ für einen per Slider einstellbaren Wert $x_2$ (gleicher Wertebereich und Schrittweite wie links).  
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*Die rechte Ausgabe liefert die Funktionswerte&nbsp; ${\rm J}_0 (x = x_2)$, ... , ${\rm J}_9 (x = x_2)$&nbsp; für einen per Slider einstellbaren Wert&nbsp; $x_2$&nbsp; (gleicher Bereich und Schrittweite wie links).  
  
  
[[Applets:Bessel_Functions_of_the_First_Kind_(neues_Applet)|'''Englische Beschreibung''']]
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Auch bei dieser deutschen Version ist das eigentliche HTML 5&ndash;Applet in Englisch.
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==Theoretischer Hintergrund==
 
==Theoretischer Hintergrund==
 
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===Allgemeines zu den Besselfunktionen===
 
===Allgemeines zu den Besselfunktionen===
Besselfunktionen (oder auch Zylinderfunktionen) sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung der Form  
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Besselfunktionen&nbsp; (oder auch Zylinderfunktionen)&nbsp; sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung der Form  
  
 
:$$x^2 \cdot \frac{ {\rm d}^2}{{\rm d}x^2}\ {\rm J}_n (x) \ + \ x \cdot \frac{ {\rm d}}{{\rm d}x}\ {\rm J}_n (x) \ + \ (x^2 - n^2)  
 
:$$x^2 \cdot \frac{ {\rm d}^2}{{\rm d}x^2}\ {\rm J}_n (x) \ + \ x \cdot \frac{ {\rm d}}{{\rm d}x}\ {\rm J}_n (x) \ + \ (x^2 - n^2)  
 
\cdot {\rm J}_n (x)= 0. $$
 
\cdot {\rm J}_n (x)= 0. $$
  
Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Der Parameter $n$ ist meistens ganzzahlig, so auch in diesem Programm. Diese bereits 1844 von [https://de.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Wilhelm_Bessel Friedrich Wilhelm Bessel] eingeführten mathematischen Funktionen können auch in geschlossener Form als Integrale dargestellt werden:
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Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.&nbsp; Der Parameter&nbsp; $n$&nbsp; ist meistens ganzzahlig, so auch in diesem Programm.&nbsp; Diese bereits 1844 von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Wilhelm_Bessel Friedrich Wilhelm Bessel]&nbsp; eingeführten mathematischen Funktionen können auch in geschlossener Form als Integrale dargestellt werden:
  
 
:$${\rm J}_n (x) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[\hspace{0.05cm}x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha \hspace{0.05cm}]}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha
 
:$${\rm J}_n (x) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[\hspace{0.05cm}x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha \hspace{0.05cm}]}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Funktionen  ${\rm J}_n (x)$ gehören zur Klasse der Besselfunktionen erster Art (englisch: &nbsp; ''Bessel Functions of the First Kind''). Den Parameter $n$ nennt man die ''Ordnung''.  
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Die Funktionen&nbsp; ${\rm J}_n (x)$&nbsp; gehören zur Klasse der Besselfunktionen erster Art&nbsp; (englisch: &nbsp; ''Bessel Functions of the First Kind''&nbsp;).&nbsp; Den Parameter&nbsp; $n$&nbsp; nennt man die ''Ordnung''.  
  
''Anmerkung:'' &nbsp; Es gibt eine Vielzahl von Abwandlungen der Besselfunktionen, unter anderem die mit ${\rm Y}_n (x)$ benannten Besselfunktionen zweiter Art. Für ganzzahliges $n$ lässt sich ${\rm Y}_n (x)$ durch ${\rm J}_n (x)$&ndash;Funktionen ausdrücken. In diesem Applet werden jedoch nur die Besselfunktionen erster Art &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_n (x)$ betrachtet.
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''Anmerkung:'' &nbsp; Es gibt eine Vielzahl von Abwandlungen der Besselfunktionen, unter anderem die mit&nbsp; ${\rm Y}_n (x)$&nbsp; benannten Besselfunktionen zweiter Art.&nbsp; Für ganzzahliges&nbsp; $n$&nbsp; lässt sich&nbsp; ${\rm Y}_n (x)$&nbsp; durch&nbsp; ${\rm J}_n (x)$&ndash;Funktionen ausdrücken.&nbsp; In diesem Applet werden jedoch nur die Besselfunktionen erster Art &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_n (x)$ betrachtet.
 
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===Eigenschaften der Besselfunktionen===
 
===Eigenschaften der Besselfunktionen===
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Eigenschaft (A):}$&nbsp; &nbsp;Sind die Funktionswerte für $n = 0$ und $n = 1$ bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für $n ≥ 2$ iterativ ermittelt werden:  
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$\text{Eigenschaft (A):}$&nbsp; &nbsp;Sind die Funktionswerte für&nbsp; $n = 0$&nbsp; und&nbsp; $n = 1$&nbsp; bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für&nbsp; $n ≥ 2$&nbsp; iterativ ermittelt werden:  
 
:$${\rm J}_n (x) ={2 \cdot (n-1)}/{x} \cdot {\rm J}_{n-1} (x) - {\rm J}_{n-2} (x) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm J}_n (x) ={2 \cdot (n-1)}/{x} \cdot {\rm J}_{n-1} (x) - {\rm J}_{n-2} (x) \hspace{0.05cm}.$$
 
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{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel (A):}$&nbsp; &nbsp;Es gelte ${\rm J}_0 (x = 2) = 0.22389$ und ${\rm J}_1 (x= 2) = 0.57672$. Daraus können iterativ berechnet werden:  
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$\text{Beispiel (A):}$&nbsp; &nbsp;Es gelte&nbsp; ${\rm J}_0 (x = 2) = 0.22389$&nbsp; und&nbsp; ${\rm J}_1 (x= 2) = 0.57672$.&nbsp; Daraus können iterativ berechnet werden:  
 
:$${\rm J}_2 (x= 2) ={2 \cdot 1}/{2} \cdot {\rm J}_{1} (x= 2) - {\rm J}_{0} (x= 2) = 0.57672 - 0.22389 = \hspace{0.15cm}\underline{0.35283}\hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm J}_2 (x= 2) ={2 \cdot 1}/{2} \cdot {\rm J}_{1} (x= 2) - {\rm J}_{0} (x= 2) = 0.57672 - 0.22389 = \hspace{0.15cm}\underline{0.35283}\hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm J}_3 (x= 2) ={2 \cdot 2}/{2} \cdot {\rm J}_{2} (x= 2) - {\rm J}_{1} (x= 2) = 2 \cdot 0.35283 - 0.57672  = \hspace{0.15cm}\underline{0.12894}\hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm J}_3 (x= 2) ={2 \cdot 2}/{2} \cdot {\rm J}_{2} (x= 2) - {\rm J}_{1} (x= 2) = 2 \cdot 0.35283 - 0.57672  = \hspace{0.15cm}\underline{0.12894}\hspace{0.05cm},$$
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Eigenschaft (B):}$&nbsp; &nbsp;Es gilt die Symmetriebeziehung ${\rm J}_{–n}(x) = (–1)^n · {\rm J}_n(x)$:  
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$\text{Eigenschaft (B):}$&nbsp; &nbsp;Es gilt die Symmetriebeziehung&nbsp; ${\rm J}_{–n}(x) = (–1)^n · {\rm J}_n(x)$:  
 
:$${\rm J}_{-1}(x) = - {\rm J}_{1}(x), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-2}(x) =  {\rm J}_{2}(x), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-3}(x) = - {\rm J}_{3}(x).$$
 
:$${\rm J}_{-1}(x) = - {\rm J}_{1}(x), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-2}(x) =  {\rm J}_{2}(x), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-3}(x) = - {\rm J}_{3}(x).$$
 
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{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel (B):}$&nbsp; &nbsp;Für das Spektrum des analytischen Signals gilt bei [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Spektralfunktion_eines_phasenmodulierten_Sinussignals|Phasenmodulation eines Sinussignals]]:
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$\text{Beispiel (B):}$&nbsp; &nbsp;Für das Spektrum des analytischen Signals gilt bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Spektralfunktion_eines_phasenmodulierten_Sinussignals|Phasenmodulation eines Sinussignals]]:
 
[[Datei:Mod_T_3_1_S4_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals bei Phasenmodulation]]  
 
[[Datei:Mod_T_3_1_S4_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals bei Phasenmodulation]]  
 
:$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$
 
Hierbei bezeichnen  
 
Hierbei bezeichnen  
*$f_{\rm T}$ die Trägerfrequenz,  
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*$f_{\rm T}$&nbsp; die Trägerfrequenz,  
*$f_{\rm N}$ die Nachrichtenfrequenz,
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*$f_{\rm N}$&nbsp; die Nachrichtenfrequenz,
* $A_{\rm T}$ die Trägeramplitude.  
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* $A_{\rm T}$&nbsp; die Trägeramplitude.  
  
  
Der Parameter der Besselfunktionen ist bei dieser Anwendung der Modulationsindex $\eta$.
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Der Parameter der Besselfunktionen ist bei dieser Anwendung der Modulationsindex&nbsp; $\eta$.
  
 
Anhand der Grafik sind folgende Aussagen möglich:  
 
Anhand der Grafik sind folgende Aussagen möglich:  
*$S_+(f)$ besteht hier aus unendlich vielen diskreten Linien im Abstand von $f_{\rm N}$.  
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*$S_+(f)$&nbsp; besteht hier aus unendlich vielen diskreten Linien im Abstand von&nbsp; $f_{\rm N}$.  
 
*Es ist somit prinzipiell unendlich weit ausgedehnt.  
 
*Es ist somit prinzipiell unendlich weit ausgedehnt.  
*Die Gewichte der Spektrallinien bei $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$ ($n$ ganzzahlig) sind durch den Modulationsindex $η$ über die Besselfunktionen ${\rm J}_n(η)$ festgelegt.  
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*Die Gewichte der Spektrallinien bei&nbsp; $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$&nbsp; $(n$ ganzzahlig$)$&nbsp; sind durch den Modulationsindex&nbsp; $η$&nbsp; über die Besselfunktionen&nbsp; ${\rm J}_n(η)$&nbsp; festgelegt.  
*Die Spektrallinien sind bei sinusförmigem Quellensignal und cosinusförmigem Träger reell und für gerades $n$ symmetrisch um $f_{\rm T}$.  
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*Die Spektrallinien sind bei sinusförmigem Quellensignal und cosinusförmigem Träger reell und für gerades&nbsp; $n$&nbsp; symmetrisch um&nbsp; $f_{\rm T}$.  
*Bei ungeradem $n$ ist ein Vorzeichenwechsel entsprechend der $\text{Eigenschaft (B)}$ zu berücksichtigen.  
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*Bei ungeradem&nbsp; $n$&nbsp; ist ein Vorzeichenwechsel entsprechend der&nbsp; $\text{Eigenschaft (B)}$&nbsp; zu berücksichtigen.  
 
*Die Phasenmodulation einer Schwingung mit anderer Phase von Quellen– und/oder Trägersignal liefert das gleiche Betragsspektrum.}}  
 
*Die Phasenmodulation einer Schwingung mit anderer Phase von Quellen– und/oder Trägersignal liefert das gleiche Betragsspektrum.}}  
 
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*Dynamik von Schwingkörpern,
 
*Dynamik von Schwingkörpern,
 
*Winkelauflösung.
 
*Winkelauflösung.
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Man zählt die Besselfunktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.
 
Man zählt die Besselfunktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.
  
Wir beschränken uns im Folgenden auf einige Gebiete, die in unserem Lerntutorial $\rm LNTwww$ angesprochen werden.   
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Wir beschränken uns im Folgenden auf einige Gebiete, die in unserem Lerntutorial&nbsp; $\rm LNTwww$&nbsp; angesprochen werden.   
 
 
'''Im enlischen Original'''
 
Electromagnetic waves in a cylindrical waveguide
 
Pressure amplitudes of inviscid rotational flows
 
Heat conduction in a cylindrical object
 
Modes of vibration of a thin circular (or annular) acoustic membrane (such as a drum or other membranophone)
 
Diffusion problems on a lattice
 
Solutions to the radial Schrödinger equation (in spherical and cylindrical coordinates) for a free particle
 
Solving for patterns of acoustical radiation
 
Frequency-dependent friction in circular pipelines
 
Dynamics of floating bodies
 
Angular resolution
 
'''Ende'''
 
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
$\text{Beispiel (C):} \hspace{0.5cm} \text{Einsatz in der Spektralanalyse} \ \Rightarrow \ \text{Kaiser-Bessel-Filter}$
 
$\text{Beispiel (C):} \hspace{0.5cm} \text{Einsatz in der Spektralanalyse} \ \Rightarrow \ \text{Kaiser-Bessel-Filter}$
  
Als '''spektralen Leckeffekt'''  bezeichnet man die Verfälschung des Spektrums eines periodischen und damit zeitlich unbegrenzten Signals aufgrund der impliziten Zeitbegrenzung der Diskreten Fouriertransformation (DFT). Dadurch werden zum Beispiel von einem Spektrumanalyzer
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Als&nbsp; '''spektralen Leckeffekt'''&nbsp; bezeichnet man die Verfälschung des Spektrums eines periodischen und damit zeitlich unbegrenzten Signals aufgrund der impliziten Zeitbegrenzung der Diskreten Fouriertransformation&nbsp; $\rm (DFT)$.&nbsp; Dadurch werden zum Beispiel von einem Spektrumanalyzer
 
*im Zeitsignal nicht vorhandene Frequenzanteile vorgetäuscht, und/oder
 
*im Zeitsignal nicht vorhandene Frequenzanteile vorgetäuscht, und/oder
 
*tatsächlich vorhandene Spektralkomponenten durch Seitenkeulen verdeckt.
 
*tatsächlich vorhandene Spektralkomponenten durch Seitenkeulen verdeckt.
  
Aufgabe der [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]] ist es, durch die Bereitstellung geeigneter Fensterfunktionen den Einfluss des ''spektralen Leckeffektes'' zu begrenzen.
 
  
Eine solche Fensterfunktion liefert zum Beispiel das Kaiser&ndash;Bessel&ndash;Fenster &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Abschnitt [[Signaldarstellung/Spektralanalyse#Spezielle_Fensterfunktionen|Spezielle Fensterfunktionen]]. Dessen zeitdiskrete Fenserfunktion lautet mit der Besselfunktion nullter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_0(x)$, dem Parameter $\alpha=3.5$ und der Fensterlänge $N$:
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Aufgabe der&nbsp; [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]]&nbsp; ist es, durch die Bereitstellung geeigneter Fensterfunktionen den Einfluss des ''spektralen Leckeffektes''&nbsp; zu begrenzen.
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Eine solche Fensterfunktion liefert zum Beispiel das Kaiser&ndash;Bessel&ndash;Fenster &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Abschnitt&nbsp; [[Signaldarstellung/Spektralanalyse#Spezielle_Fensterfunktionen|Spezielle Fensterfunktionen]].&nbsp; Dessen zeitdiskrete Fensterfunktion lautet mit der Besselfunktion nullter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_0(x)$, dem Parameter&nbsp; $\alpha=3.5$&nbsp; und der Fensterlänge&nbsp; $N$:
 
:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$
 
:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$
Auf der Seite [[Signaldarstellung/Spektralanalyse#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen|Gütekriterien von Fensterfunktionen]] sind u.a. die Kenngrößen des Kaiser&ndash;Bessel&ndash;Fensters angegeben:
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Auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Spektralanalyse#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen|Gütekriterien von Fensterfunktionen]]&nbsp; sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser&ndash;Bessel&ndash;Fensters angegeben:
*Günstig sind der große &bdquo;Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen&rdquo; und der gewünscht kleine &bdquo;Maximale Skalierungsfehler&rdquo;.
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*Günstig sind der große &bdquo;Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen&rdquo; und der gewünschte kleine &bdquo;Maximale Skalierungsfehler&rdquo;.
*Aufgrund der sehr großen &bdquo;Äquivalenten Rauschbreite&rdquo; schneidet das Kaiser&ndash;Bessel&ndash;Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium &bdquo;Maximaler Prozessverlust&rdquo; doch schlechter ab als die etablierten Hamming&ndash; und Hanning&ndash;Fenster.}}
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*Aufgrund der sehr großen &bdquo;Äquivalenten Rauschbreite&rdquo; schneidet das Kaiser&ndash;Bessel&ndash;Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium &bdquo;Maximaler Prozessverlust&rdquo; allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming&ndash; und Hanning&ndash;Fenster.}}
  
  
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$\text{Beispiel (D):} \hspace{0.5cm} \text{Rice-Fading-Kanalmodell}$
 
$\text{Beispiel (D):} \hspace{0.5cm} \text{Rice-Fading-Kanalmodell}$
  
Die [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals| Rayleigh&ndash;Verteilung]] beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$ allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.  
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Die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals| Rayleigh&ndash;Verteilung]]&nbsp; beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.  
  
Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch: <i>Line of Sight</i>, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen $x(t)$ und $y(t)$ noch Gleichkomponenten $x_0$ und/oder $y_0$ hinzufügen:
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[[Datei:P ID2126 Mob T 1 4 S1 v3.png|right|frame|Rice-Fading-Kanalmodell|class=fit]]
  
[[Datei:P ID2126 Mob T 1 4 S1 v3.png|right|frame|Rice-Fading-Kanalmodell|class=fit]]
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Bei Vorhandensein einer Direktkomponente&nbsp; (englisch:&nbsp; <i>Line of Sight</i>, LoS)&nbsp; muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; noch Gleichkomponenten&nbsp; $x_0$&nbsp; und/oder&nbsp; $y_0$&nbsp; hinzufügen:
$$\hspace{0.2cm}x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},$$
+
 
 +
:$$x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, $$
 +
:$$y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},$$
  
$$\hspace{0.2cm}z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+
:$$z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},$$
  z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$ z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.$$
  
Die Grafik zeigt das ''Rice&ndash;Fading&ndash;Kanalmodell''. Es lässt sich wie folgt zusammenfassen:
+
Die Grafik zeigt dieses&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente|Rice&ndash;Fading&ndash;Kanalmodell]].&nbsp; Es lässt sich wie folgt zusammenfassen:
*Der Realteil $x(t)$ ist gaußverteilt mit Mittelwert $x_0$ und Varianz $\sigma ^2$.  
+
*Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gaußverteilt mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma ^2$.  
*Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt  (Mittelwert $y_0$, gleiche Varianz $\sigma ^2$) sowie unabhängig von $x(t)$.<br>
+
*Der Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist ebenfalls gaußverteilt&nbsp; $($Mittelwert&nbsp;$y_0$,&nbsp; gleiche Varianz&nbsp; $\sigma ^2)$&nbsp; sowie unabhängig von&nbsp; $x(t)$.<br>
  
*Für $z_0 \ne 0$ ist der Betrag $\vert z(t)\vert$ riceverteilt, woraus die Bezeichnung &bdquo;<i>Rice&ndash;Fading</i>&rdquo; herrührt.  
+
*Für&nbsp; $z_0 \ne 0$&nbsp; ist der Betrag&nbsp; $\vert z(t)\vert$&nbsp; riceverteilt, woraus die Bezeichnung &bdquo;Rice&ndash;Fading&rdquo; herrührt.  
  
*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir  $\vert z(t)\vert = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags&ndash;WDF $f_a(a) \equiv 0$, für $a \ge  0$ gilt folgende Gleichung, wobei  ${\rm I_0}(x)$ die <i>modifizierte Besselfunktion</i> nullter Ordnung bezeichnet:
+
*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir&nbsp; $\vert z(t)\vert = a(t)$.&nbsp; Für&nbsp; $a < 0$&nbsp; ist die Betrags&ndash;WDF&nbsp; $f_a(a) \equiv 0$.
 +
*Für&nbsp; $a \ge  0$&nbsp; gilt folgende Gleichung, wobei&nbsp; ${\rm I_0}(x)$&nbsp; die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung bezeichnet:
 
:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{  - (a^2 + \vert z_0 \vert ^2)/(2\sigma^2)} \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot \vert z_0 \vert}{\sigma^2} \right ] \hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =  
 
:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{  - (a^2 + \vert z_0 \vert ^2)/(2\sigma^2)} \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot \vert z_0 \vert}{\sigma^2} \right ] \hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =  
 
  \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k} }{k! \cdot \Gamma (k+1)}
 
  \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k} }{k! \cdot \Gamma (k+1)}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
*Zwischen der modifizierten Besselfunktion und der herkömmlichen Besselfunktion ${\rm I_0}(x)$ &ndash; jeweils erster Art &ndash; besteht also der Zusammenhang ${\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u)$.}}
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*Zwischen der modifizierten Besselfunktion und der herkömmlichen Besselfunktion&nbsp; ${\rm I_0}(x)$&nbsp; &ndash; jeweils erster Art &ndash; besteht also der Zusammenhang&nbsp; ${\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u)$.}}
  
  
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$\text{Beispiel (E):} \hspace{0.5cm} \text{Analyse des Frequenzspektrums von frequenzmodulierten Signalen}$
 
$\text{Beispiel (E):} \hspace{0.5cm} \text{Analyse des Frequenzspektrums von frequenzmodulierten Signalen}$
  
Im $\text{Beispiel (B)}$ wurde bereits gezeigt, dass die Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung der Frequenz $f_{\rm N}$ zu einem Linienspektrum führt. Die Spektrallinien liegen um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ bei $f_{\rm T} + n \cdot f_{\rm N}$ mit $n \in \{ \ \text{...}, -2, -1, \ 0, +1, +2, \text{...} \ \}$. Die Gewichte der Diraclinien sind ${\rm J }_n(\eta)$, abhängig vom Modulationsindex $\eta$.
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Im&nbsp;  $\text{Beispiel (B)}$&nbsp; wurde gezeigt, dass die Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung der Frequenz&nbsp; $f_{\rm N}$&nbsp; zu einem Linienspektrum führt.&nbsp; Die Spektrallinien liegen um die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; bei&nbsp; $f_{\rm T} + n \cdot f_{\rm N}$&nbsp; mit&nbsp; $n \in \{ \ \text{...}, -2, -1, \ 0, +1, +2, \text{...} \ \}$.&nbsp; Die Diracgewichte sind&nbsp; ${\rm J }_n(\eta)$, abhängig vom Modulationsindex&nbsp; $\eta$.
  
[[Datei:P_ID1095__Mod_T_3_2_S4_neu.png|center|frame|Diskrete Spektren bei Phasenmodulation (links) und Frequenzmodulation (rechts)]] 
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Die Grafik zeigt das Betragsspektrum&nbsp; $\vert S_{\rm +}(f) \vert$&nbsp; des analytischen Signals bei Phasenmodulation (PM) und Frequenzmodulation (FM).&nbsp; Darunter versteht man zwei unterschiedliche Formen der Winkelmodulation (WM).
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&nbsp; &nbsp; &nbsp; ''Hinweis:'' &nbsp; Alle Bessellinien mit Beträgen kleiner als&nbsp; $0.03$&nbsp; sind in der Grafik vernachlässigt. 
  
Die Grafik zeigt das Betragsspektrum $\vert S_{\rm +}(f) \vert$ des analytischen Signals bei Phasenmodulation (PM) und Frequenzmodulation (FM), zwei unterschiedliche Formen der Winkelmodulation (WM). Bessellinien mit Werten kleiner als $0.03$ sind hierbei in beiden Fällen vernachlässigt. 
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[[Datei:P_ID1095__Mod_T_3_2_S4_neu.png|right|frame|Diskrete Spektren bei Phasenmodulation (links) und Frequenzmodulation (rechts)]] 
  
Für die obere Bildhälfte sind die Modulatorparameter so gewählt, dass sich für $f_{\rm N} = 5  \ \rm kHz$ jeweils ein Besselspektrum mit dem Modulationsindex $η = 1.5$ ergibt. Lässt man die Phasenbeziehungen außer Acht, so ergeben sich für beide Systeme gleiche Spektren und gleiche Signale.
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Für die obere Bildhälfte sind die Modulatorparameter so gewählt, dass sich für $f_{\rm N} = 5  \ \rm kHz$&nbsp; jeweils ein Besselspektrum mit Modulationsindex&nbsp; $η = 1.5$&nbsp; ergibt.&nbsp; Lässt man die Phasenbeziehungen außer Acht, so ergeben sich für beide Systeme gleiche Spektren und damit auch gleiche Signale.
  
Die unteren Grafiken gelten bei sonst gleichen Einstellungen für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 3 \ \rm kHz$. Man erkennt:  
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Die unteren Grafiken gelten bei sonst gleichen Einstellungen für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 3 \ \rm kHz$.&nbsp; Man erkennt:  
*Bei der Phasenmodulation ergibt sich gegenüber $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$ eine schmalere Spektralfunktion, da nun der Abstand der Bessellinien nur mehr $3 \ \rm kHz$ beträgt. Da bei PM der Modulationsindex unabhängig von $f_{\rm N}$ ist, ergeben sich die gleichen Besselgewichte wie bei $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.  
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*Bei der Phasenmodulation ergibt sich gegenüber $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; ein schmaleres Spektrum, da der Abstand der Bessellinien nur&nbsp; $3 \ \rm kHz$&nbsp; beträgt.&nbsp; Da bei PM der Modulationsindex unabhängig von $f_{\rm N}$&nbsp; ist, ergeben sich die gleichen Besselgewichte wie bei $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.  
*Auch bei der Frequenzmodulation treten nun die Bessellinien im Abstand von $3 \ \rm kHz$ auf. Da aber bei FM der Modulationsindex umgekehrt proportional zu $f_{\rm N}$  ist, gibt es nun unten aufgrund des größeren Modulationsindex $η = 2.5$  deutlich mehr Bessellinien als im rechten oberen (für $η = 1.5$ gültigen) Diagramm. }}
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*Auch bei der Frequenzmodulation treten nun die Bessellinien im Abstand von&nbsp; $3 \ \rm kHz$&nbsp; auf.&nbsp; Da aber bei FM der Modulationsindex umgekehrt proportional zu $f_{\rm N}$&nbsp; ist, gibt es nun unten aufgrund des größeren Modulationsindex&nbsp; $η = 2.5$&nbsp; deutlich mehr Bessellinien als im rechten oberen&nbsp; (für $η = 1.5$ gültigen)&nbsp; Diagramm. }}
  
 
'''Das folgende Kapitel muss noch angepasst werden!'''
 
  
 
==Zur Handhabung des Applets==
 
==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Handhabung_binomial.png|left|600px]]
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[[Datei:Bessel_abzug3.png|left|600px]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für blauen Parametersatz
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&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Summenformel der Besselfunktionen&nbsp;   ${\rm J}_n(x)$
 
 
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider
 
 
 
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für roten Parametersatz
 
 
 
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe $\lambda$ per Slider
 
  
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Graphische Darstellung der Verteilungen
+
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der Ordnung&nbsp; $n$&nbsp; für die grafische Darstellung
  
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Momentenausgabe für blauen Parametersatz
+
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Grafische Darstellung der Besselfunktionen
  
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Momentenausgabe für roten Parametersatz
+
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Variation der grafischen Darstellung
 
 
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Variation der grafischen Darstellung
 
  
 
$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern),  
 
$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern),  
Zeile 188: Zeile 172:
 
$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Verschieben nach links),  usw.
 
$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Verschieben nach links),  usw.
  
&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z  \le \mu)$  
+
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl des Abszissenwertes&nbsp; $x_1$&nbsp; für die linke Numerikausgabe
  
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung
+
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe der Besselfunktionswerte&nbsp; ${\rm J}_n(x_1)$
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl des Abszissenwertes&nbsp; $x_2$&nbsp; für die rechte Numerikausgabe
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe der Besselfunktionswerte&nbsp; ${\rm J}_n(x_2)$
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
<br>'''Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung''':
 
*Gedrückte Shifttaste und Scrollen:  Zoomen im Koordinatensystem,
 
*Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
 
 
  
  
 
==Über die Autoren==
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.  
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Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert&nbsp; und realisiert.  
*Die erste Version wurde 2006 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]] im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).  
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*Die erste Version wurde 2006 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]&nbsp; und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]]&nbsp; im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).  
*2018 wurde das Programm  von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]  (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] )  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt.
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*2018 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]&nbsp; (Bachelorarbeit, Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] )  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt.
  
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
  
{{LntAppletLink|bessel}}
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{{LntAppletLinkDeEn|besselFuns|besselFuns_en}}

Aktuelle Version vom 26. Oktober 2023, 11:06 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version

Programmbeschreibung


Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und grafische Darstellung der Besselfunktionen erster Art und  $n$–ter Ordnung entsprechend der Reihendarstellung:

$${\rm J}_n (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (x/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Funktionen  ${\rm J}_n (x)$  können für die Ordnung  $n=0$  bis  $n=9$  in verschiedenen Farben grafisch dargestellt werden.
  • Die linke Ausgabe liefert die Funktionswerte  ${\rm J}_0 (x = x_1)$, ... , ${\rm J}_9 (x = x_1)$  für einen per Slider einstellbaren Wert  $x_1$  im Bereich  $0 \le x_1 \le 15$  mit Schrittweite  $0.5$.
  • Die rechte Ausgabe liefert die Funktionswerte  ${\rm J}_0 (x = x_2)$, ... , ${\rm J}_9 (x = x_2)$  für einen per Slider einstellbaren Wert  $x_2$  (gleicher Bereich und Schrittweite wie links).


Auch bei dieser deutschen Version ist das eigentliche HTML 5–Applet in Englisch.


Theoretischer Hintergrund


Allgemeines zu den Besselfunktionen

Besselfunktionen  (oder auch Zylinderfunktionen)  sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung der Form

$$x^2 \cdot \frac{ {\rm d}^2}{{\rm d}x^2}\ {\rm J}_n (x) \ + \ x \cdot \frac{ {\rm d}}{{\rm d}x}\ {\rm J}_n (x) \ + \ (x^2 - n^2) \cdot {\rm J}_n (x)= 0. $$

Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.  Der Parameter  $n$  ist meistens ganzzahlig, so auch in diesem Programm.  Diese bereits 1844 von  Friedrich Wilhelm Bessel  eingeführten mathematischen Funktionen können auch in geschlossener Form als Integrale dargestellt werden:

$${\rm J}_n (x) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[\hspace{0.05cm}x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha \hspace{0.05cm}]}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$

Die Funktionen  ${\rm J}_n (x)$  gehören zur Klasse der Besselfunktionen erster Art  (englisch:   Bessel Functions of the First Kind ).  Den Parameter  $n$  nennt man die Ordnung.

Anmerkung:   Es gibt eine Vielzahl von Abwandlungen der Besselfunktionen, unter anderem die mit  ${\rm Y}_n (x)$  benannten Besselfunktionen zweiter Art.  Für ganzzahliges  $n$  lässt sich  ${\rm Y}_n (x)$  durch  ${\rm J}_n (x)$–Funktionen ausdrücken.  In diesem Applet werden jedoch nur die Besselfunktionen erster Art   ⇒   ${\rm J}_n (x)$ betrachtet.

Eigenschaften der Besselfunktionen

$\text{Eigenschaft (A):}$   Sind die Funktionswerte für  $n = 0$  und  $n = 1$  bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für  $n ≥ 2$  iterativ ermittelt werden:

$${\rm J}_n (x) ={2 \cdot (n-1)}/{x} \cdot {\rm J}_{n-1} (x) - {\rm J}_{n-2} (x) \hspace{0.05cm}.$$


$\text{Beispiel (A):}$   Es gelte  ${\rm J}_0 (x = 2) = 0.22389$  und  ${\rm J}_1 (x= 2) = 0.57672$.  Daraus können iterativ berechnet werden:

$${\rm J}_2 (x= 2) ={2 \cdot 1}/{2} \cdot {\rm J}_{1} (x= 2) - {\rm J}_{0} (x= 2) = 0.57672 - 0.22389 = \hspace{0.15cm}\underline{0.35283}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm J}_3 (x= 2) ={2 \cdot 2}/{2} \cdot {\rm J}_{2} (x= 2) - {\rm J}_{1} (x= 2) = 2 \cdot 0.35283 - 0.57672 = \hspace{0.15cm}\underline{0.12894}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm J}_4 (x= 2) ={2 \cdot 3}/{2} \cdot {\rm J}_{3} (x= 2) - {\rm J}_{2} (x= 2) = 3 \cdot 0.12894 - 0.35283 = \hspace{0.15cm}\underline{0.03400}\hspace{0.05cm}.$$


$\text{Eigenschaft (B):}$   Es gilt die Symmetriebeziehung  ${\rm J}_{–n}(x) = (–1)^n · {\rm J}_n(x)$:

$${\rm J}_{-1}(x) = - {\rm J}_{1}(x), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-2}(x) = {\rm J}_{2}(x), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-3}(x) = - {\rm J}_{3}(x).$$


$\text{Beispiel (B):}$   Für das Spektrum des analytischen Signals gilt bei  Phasenmodulation eines Sinussignals:

Spektrum des analytischen Signals bei Phasenmodulation
$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnen

  • $f_{\rm T}$  die Trägerfrequenz,
  • $f_{\rm N}$  die Nachrichtenfrequenz,
  • $A_{\rm T}$  die Trägeramplitude.


Der Parameter der Besselfunktionen ist bei dieser Anwendung der Modulationsindex  $\eta$.

Anhand der Grafik sind folgende Aussagen möglich:

  • $S_+(f)$  besteht hier aus unendlich vielen diskreten Linien im Abstand von  $f_{\rm N}$.
  • Es ist somit prinzipiell unendlich weit ausgedehnt.
  • Die Gewichte der Spektrallinien bei  $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$  $(n$ ganzzahlig$)$  sind durch den Modulationsindex  $η$  über die Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  festgelegt.
  • Die Spektrallinien sind bei sinusförmigem Quellensignal und cosinusförmigem Träger reell und für gerades  $n$  symmetrisch um  $f_{\rm T}$.
  • Bei ungeradem  $n$  ist ein Vorzeichenwechsel entsprechend der  $\text{Eigenschaft (B)}$  zu berücksichtigen.
  • Die Phasenmodulation einer Schwingung mit anderer Phase von Quellen– und/oder Trägersignal liefert das gleiche Betragsspektrum.



Anwendungen der Besselfunktionen

Die Anwendungen der Besselfunktionen in den Natur– und Ingenieurswissenschaften sind vielfältig und spielen eine wichtige Rolle in der Physik, zum Beispiel:

  • Untersuchung von Eigenschwingungen von zylindrischen Resonatoren,
  • Lösung der radialen Schrödinger–Gleichung,
  • Schalldruckamplituden von dünnflüssgigen Rotationsströmen,
  • Wärmeleitung in zylindrischen Körpern,
  • Streuungsproblem eines Gitters,
  • Dynamik von Schwingkörpern,
  • Winkelauflösung.


Man zählt die Besselfunktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.

Wir beschränken uns im Folgenden auf einige Gebiete, die in unserem Lerntutorial  $\rm LNTwww$  angesprochen werden.

$\text{Beispiel (C):} \hspace{0.5cm} \text{Einsatz in der Spektralanalyse} \ \Rightarrow \ \text{Kaiser-Bessel-Filter}$

Als  spektralen Leckeffekt  bezeichnet man die Verfälschung des Spektrums eines periodischen und damit zeitlich unbegrenzten Signals aufgrund der impliziten Zeitbegrenzung der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$.  Dadurch werden zum Beispiel von einem Spektrumanalyzer

  • im Zeitsignal nicht vorhandene Frequenzanteile vorgetäuscht, und/oder
  • tatsächlich vorhandene Spektralkomponenten durch Seitenkeulen verdeckt.


Aufgabe der  Spektralanalyse  ist es, durch die Bereitstellung geeigneter Fensterfunktionen den Einfluss des spektralen Leckeffektes  zu begrenzen.

Eine solche Fensterfunktion liefert zum Beispiel das Kaiser–Bessel–Fenster   ⇒   siehe Abschnitt  Spezielle Fensterfunktionen.  Dessen zeitdiskrete Fensterfunktion lautet mit der Besselfunktion nullter Ordnung   ⇒   ${\rm J}_0(x)$, dem Parameter  $\alpha=3.5$  und der Fensterlänge  $N$:

$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$

Auf der Seite  Gütekriterien von Fensterfunktionen  sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:

  • Günstig sind der große „Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen” und der gewünschte kleine „Maximale Skalierungsfehler”.
  • Aufgrund der sehr großen „Äquivalenten Rauschbreite” schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium „Maximaler Prozessverlust” allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.


$\text{Beispiel (D):} \hspace{0.5cm} \text{Rice-Fading-Kanalmodell}$

Die  Rayleigh–Verteilung  beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$  allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.

Rice-Fading-Kanalmodell

Bei Vorhandensein einer Direktkomponente  (englisch:  Line of Sight, LoS)  muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen  $x(t)$  und  $y(t)$  noch Gleichkomponenten  $x_0$  und/oder  $y_0$  hinzufügen:

$$x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, $$
$$y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},$$
$$z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},$$
$$ z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt dieses  Rice–Fading–Kanalmodell.  Es lässt sich wie folgt zusammenfassen:

  • Der Realteil  $x(t)$  ist gaußverteilt mit Mittelwert  $x_0$  und Varianz  $\sigma ^2$.
  • Der Imaginärteil  $y(t)$  ist ebenfalls gaußverteilt  $($Mittelwert $y_0$,  gleiche Varianz  $\sigma ^2)$  sowie unabhängig von  $x(t)$.
  • Für  $z_0 \ne 0$  ist der Betrag  $\vert z(t)\vert$  riceverteilt, woraus die Bezeichnung „Rice–Fading” herrührt.
  • Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir  $\vert z(t)\vert = a(t)$.  Für  $a < 0$  ist die Betrags–WDF  $f_a(a) \equiv 0$.
  • Für  $a \ge 0$  gilt folgende Gleichung, wobei  ${\rm I_0}(x)$  die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung bezeichnet:
$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ - (a^2 + \vert z_0 \vert ^2)/(2\sigma^2)} \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot \vert z_0 \vert}{\sigma^2} \right ] \hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k} }{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Zwischen der modifizierten Besselfunktion und der herkömmlichen Besselfunktion  ${\rm I_0}(x)$  – jeweils erster Art – besteht also der Zusammenhang  ${\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u)$.


$\text{Beispiel (E):} \hspace{0.5cm} \text{Analyse des Frequenzspektrums von frequenzmodulierten Signalen}$

Im  $\text{Beispiel (B)}$  wurde gezeigt, dass die Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung der Frequenz  $f_{\rm N}$  zu einem Linienspektrum führt.  Die Spektrallinien liegen um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  bei  $f_{\rm T} + n \cdot f_{\rm N}$  mit  $n \in \{ \ \text{...}, -2, -1, \ 0, +1, +2, \text{...} \ \}$.  Die Diracgewichte sind  ${\rm J }_n(\eta)$, abhängig vom Modulationsindex  $\eta$.

Die Grafik zeigt das Betragsspektrum  $\vert S_{\rm +}(f) \vert$  des analytischen Signals bei Phasenmodulation (PM) und Frequenzmodulation (FM).  Darunter versteht man zwei unterschiedliche Formen der Winkelmodulation (WM).       Hinweis:   Alle Bessellinien mit Beträgen kleiner als  $0.03$  sind in der Grafik vernachlässigt.

Diskrete Spektren bei Phasenmodulation (links) und Frequenzmodulation (rechts)

Für die obere Bildhälfte sind die Modulatorparameter so gewählt, dass sich für $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  jeweils ein Besselspektrum mit Modulationsindex  $η = 1.5$  ergibt.  Lässt man die Phasenbeziehungen außer Acht, so ergeben sich für beide Systeme gleiche Spektren und damit auch gleiche Signale.

Die unteren Grafiken gelten bei sonst gleichen Einstellungen für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 3 \ \rm kHz$.  Man erkennt:

  • Bei der Phasenmodulation ergibt sich gegenüber $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  ein schmaleres Spektrum, da der Abstand der Bessellinien nur  $3 \ \rm kHz$  beträgt.  Da bei PM der Modulationsindex unabhängig von $f_{\rm N}$  ist, ergeben sich die gleichen Besselgewichte wie bei $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.
  • Auch bei der Frequenzmodulation treten nun die Bessellinien im Abstand von  $3 \ \rm kHz$  auf.  Da aber bei FM der Modulationsindex umgekehrt proportional zu $f_{\rm N}$  ist, gibt es nun unten aufgrund des größeren Modulationsindex  $η = 2.5$  deutlich mehr Bessellinien als im rechten oberen  (für $η = 1.5$ gültigen)  Diagramm.


Zur Handhabung des Applets

Bessel abzug3.png

    (A)     Summenformel der Besselfunktionen  ${\rm J}_n(x)$

    (B)     Auswahl der Ordnung  $n$  für die grafische Darstellung

    (C)     Grafische Darstellung der Besselfunktionen

    (D)     Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

    (E)     Auswahl des Abszissenwertes  $x_1$  für die linke Numerikausgabe

    (F)     Numerikausgabe der Besselfunktionswerte  ${\rm J}_n(x_1)$

    (G)     Auswahl des Abszissenwertes  $x_2$  für die rechte Numerikausgabe

    (F)     Numerikausgabe der Besselfunktionswerte  ${\rm J}_n(x_2)$


Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München konzipiert  und realisiert.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version