Aufgaben:Aufgabe 2.1Z: Signalverläufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale $\rm (A)$, $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Der Momentanwert dieser Signale $x(t)$ wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst.
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Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt.  Die ersten drei Signale  $\rm (A)$,  $\rm (B)$  und  $\rm (C)$  sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter.
  
Im Einzelnen sind dargestellt:
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Der Momentanwert dieser Signale  $x(t)$  wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst.  Im Einzelnen sind dargestellt:
  
 
$\rm (A)$:   ein dreieckförmiges periodisches Signal,
 
$\rm (A)$:   ein dreieckförmiges periodisches Signal,
  
$\rm (B)$:   das Signal $\rm (A)$ nach Einweggleichrichtung,
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$\rm (B)$:   das Signal  $\rm (A)$  nach Einweggleichrichtung,
  
 
$\rm (C)$:   ein rechteckförmiges periodisches Signal,
 
$\rm (C)$:   ein rechteckförmiges periodisches Signal,
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$\rm (D)$:   ein rechteckförmiges Zufallssignal,
 
$\rm (D)$:   ein rechteckförmiges Zufallssignal,
  
$\rm (E)$:   das Zufallssignal $\rm (D)$ nach  AMI-Codierung;   hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit „$+2\hspace{0.03cm}\rm V$” und „$-2\hspace{0.03cm} \rm V$” codiert wird.
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$\rm (E)$: &nbsp;&nbsp;das Zufallssignal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; nach &nbsp;AMI-Codierung; &nbsp; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; hierbei bleibt die &bdquo;Null&rdquo; erhalten, w&auml;hrend eine jede &bdquo;Eins&rdquo; alternierend mit &nbsp; $+2\hspace{0.03cm}\rm V$&nbsp; und &nbsp; $-2\hspace{0.03cm} \rm V$ &nbsp; codiert wird.
  
  
  
  
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Hinweis:  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
 
   
 
   
  
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<quiz display=simple>
 
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{Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e? <br>&Uuml;berlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl $M$.
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{Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e? <br>&Uuml;berlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl&nbsp; $M$.
 
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- Signal $\rm (A)$,
 
- Signal $\rm (A)$,
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{Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine (ausschlie&szlig;lich) kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e?  
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{Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine&nbsp; (ausschlie&szlig;lich)&nbsp; kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e?  
 
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+ Signal $\rm (A)$,
 
+ Signal $\rm (A)$,
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{F&uuml;r das Signal $\rm (D)$ wird die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ empirisch &uuml;ber $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt?
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{F&uuml;r das Signal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; wird die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_0$&nbsp; empirisch &uuml;ber&nbsp; $100\hspace{0.03cm}000$&nbsp; Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass der ermittelte Wert zwischen&nbsp; $0.49$&nbsp; und&nbsp; $0.51$&nbsp; liegt?
 
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${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 0.975 3% }
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${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 97.5 3% } &nbsp;$\%$
  
  
{Wieviele Symbole $(N_\min)$ m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis &bdquo;Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen $0.499$ und $0.501$&rdquo; größer als $99\%$ ist?
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{Wieviele Symbole&nbsp; $(N_\min)$&nbsp; m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen,&nbsp; damit sichergestellt wird, <br>dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis&nbsp; &bdquo;Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen&nbsp; $0.499$&nbsp; und&nbsp; $0.501$&rdquo;&nbsp; größer als&nbsp; $99\%$&nbsp; ist?
 
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$N_\min \ =  \ $  { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$
 
$N_\min \ =  \ $  { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>:
*Die Zufallsgrößen $\rm (C)$ und $\rm (D)$ sind binär $(M= 2)$,  
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*Die Zufallsgrößen&nbsp; $\rm (C)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; sind binär&nbsp; $(M= 2)$,  
*w&auml;hrend die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $\rm (E)$ dreiwertig ist.  
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*w&auml;hrend die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; dreiwertig ist &nbsp; $(M= 3)$.  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 
*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $\rm (A)$ ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
 
*Alle anderen Zufallsgrößen sind diskret.
 
  
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist allein der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
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*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; ist wertkontinuierlich und kann alle Werte zwischen&nbsp; $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
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*Alle anderen Zufallsgrößen sind wertdiskret.
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist allein der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
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*Nur die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; hat einen diskreten Anteil bei&nbsp; $0\hspace{0.03cm}\rm V$&nbsp; und
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*au&szlig;erdem noch eine kontinuierliche Komponente&nbsp; (zwischen&nbsp; $0\hspace{0.03cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $+2\hspace{0.03cm}\rm V)$.
  
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 
*Nur die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $\rm (B)$ hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und
 
*au&szlig;erdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V$).
 
  
  
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:$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
 
:$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
  
Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
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*Damit ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_0$&nbsp; von der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_0 = 0.5$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als&nbsp; $0.01$&nbsp; abweicht,&nbsp; mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
 
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
{\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$
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{\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 97.5\%}.$$
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'''(5)'''&nbsp; Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
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'''(5)'''&nbsp; Mit&nbsp; $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$&nbsp; und&nbsp; $\varepsilon = 0.001$&nbsp; gilt wiederum nach dem Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
 
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot  \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
 
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot  \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
Aufgel&ouml;st nach $N$ erh&auml;lt man:
+
*Aufgel&ouml;st nach&nbsp; $N$&nbsp; erh&auml;lt man:
 
:$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8
 
:$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}

Aktuelle Version vom 3. Dezember 2021, 14:13 Uhr

Wertdiskret oder wertkontinuierlich?

Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt.  Die ersten drei Signale  $\rm (A)$,  $\rm (B)$  und  $\rm (C)$  sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter.

Der Momentanwert dieser Signale  $x(t)$  wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst.  Im Einzelnen sind dargestellt:

$\rm (A)$:   ein dreieckförmiges periodisches Signal,

$\rm (B)$:   das Signal  $\rm (A)$  nach Einweggleichrichtung,

$\rm (C)$:   ein rechteckförmiges periodisches Signal,

$\rm (D)$:   ein rechteckförmiges Zufallssignal,

$\rm (E)$:   das Zufallssignal  $\rm (D)$  nach  AMI-Codierung;  
            hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit   $+2\hspace{0.03cm}\rm V$  und   $-2\hspace{0.03cm} \rm V$   codiert wird.



Hinweis:



Fragebogen

1

Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgröße?
Überlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl  $M$.

Signal $\rm (A)$,
Signal $\rm (B)$,
Signal $\rm (C)$,
Signal $\rm (D)$,
Signal $\rm (E)$.

2

Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine  (ausschließlich)  kontinuierliche Zufallsgröße?

Signal $\rm (A)$,
Signal $\rm (B)$,
Signal $\rm (C)$,
Signal $\rm (D)$,
Signal $\rm (E)$.

3

Welche Zufallsgrößen besitzen einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil?

Signal $\rm (A)$,
Signal $\rm (B)$,
Signal $\rm (C)$,
Signal $\rm (D)$,
Signal $\rm (E)$.

4

Für das Signal  $\rm (D)$  wird die relative Häufigkeit  $h_0$  empirisch über  $100\hspace{0.03cm}000$  Binärsymbole ermittelt.
Benennen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit,  dass der ermittelte Wert zwischen  $0.49$  und  $0.51$  liegt?

${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $

 $\%$

5

Wieviele Symbole  $(N_\min)$  müsste man für diese Untersuchung heranziehen,  damit sichergestellt wird,
dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis  „Die so ermittelte Häufigkeit liegt zwischen  $0.499$  und  $0.501$”  größer als  $99\%$  ist?

$N_\min \ = \ $

$\ \cdot 10^9$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 3, 4 und 5:

  • Die Zufallsgrößen  $\rm (C)$  und  $\rm (D)$  sind binär  $(M= 2)$,
  • während die Zufallsgröße  $\rm (E)$  dreiwertig ist   $(M= 3)$.


(2)  Richtig ist allein der  Lösungsvorschlag 1:

  • Die Zufallsgröße  $\rm (A)$  ist wertkontinuierlich und kann alle Werte zwischen  $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
  • Alle anderen Zufallsgrößen sind wertdiskret.


(3)  Richtig ist allein der  Lösungsvorschlag 2:

  • Nur die Zufallsgröße  $\rm (B)$  hat einen diskreten Anteil bei  $0\hspace{0.03cm}\rm V$  und
  • außerdem noch eine kontinuierliche Komponente  (zwischen  $0\hspace{0.03cm} \rm V$  und  $+2\hspace{0.03cm}\rm V)$.


(4)  Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt:

$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
  • Damit ist die Wahrscheinlichkeit,  dass die relative Häufigkeit  $h_0$  von der Wahrscheinlichkeit  $p_0 = 0.5$  betragsmäßig um mehr als  $0.01$  abweicht,  mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 97.5\%}.$$


(5)  Mit  $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$  und  $\varepsilon = 0.001$  gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen:

$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
  • Aufgelöst nach  $N$  erhält man:
$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$