Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Nichtlinearitäten: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal ${x(t)}$ gemäß der oberen Abbildung aus. Gibt man dieses Signal auf einen Amplitudenbegrenzer, so entsteht das Signal | Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal ${x(t)}$ gemäß der oberen Abbildung aus. | ||
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:$$y(t)=\left\{ {x(t)\atop \rm 1V}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad x(t)\le \rm 1V \atop {\rm sonst}}\right..$$ | :$$y(t)=\left\{ {x(t)\atop \rm 1V}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad x(t)\le \rm 1V \atop {\rm sonst}}\right..$$ | ||
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:$$z(t)=x^2(t).$$ | :$$z(t)=x^2(t).$$ | ||
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'''(1)''' Der Gleichsignalanteil $x_0$ ist der Mittelwert des Signals ${x(t)}$. Es genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0 = 1 \, \text{ms}$, und man erhält: | '''(1)''' Der Gleichsignalanteil $x_0$ ist der Mittelwert des Signals ${x(t)}$. Es genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0 = 1 \, \text{ms}$, und man erhält: | ||
:$$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\,\rm V}.$$ | :$$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\,\rm V}.$$ | ||
'''(2)''' In der Hälfte der Zeit ist ${y(t)} = 1\, \text{V}$, in der anderen Hälfte liegt es zwischen $0$ und $1\, \text{V}$ mit dem Mittelwert bei $0.5 \,\text{V}$ ⇒ $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.75 \,\text{V}}$. | |||
'''(2)''' In der Hälfte der Zeit ist ${y(t)} = 1\, \text{V}$, in der anderen Hälfte liegt es zwischen $0$ und $1\, \text{V}$ mit dem Mittelwert bei $0.5 \,\text{V}$ ⇒ $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.75 \,\text{V}}$. | |||
'''(3)''' Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung im Bereich von $0$ bis $T_0/2$. Mit der entsprechenden Kennlinie gilt dann: | '''(3)''' Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung im Bereich von $0$ bis $T_0/2$. | ||
:$$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2 | * Mit der entsprechenden Kennlinie gilt dann: | ||
\hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$ | :$$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2\hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr
Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal ${x(t)}$ gemäß der oberen Abbildung aus.
- Gibt man dieses Signal auf einen Amplitudenbegrenzer, so entsteht das Signal
- $$y(t)=\left\{ {x(t)\atop \rm 1V}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad x(t)\le \rm 1V \atop {\rm sonst}}\right..$$
- Eine andere Nichtlinearität liefert das Signal
- $$z(t)=x^2(t).$$
Die Gleichsignalanteile werden nachfolgend mit $x_0$, $y_0$ bzw. $z_0$ bezeichnet.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Gleichsignalanteil $x_0$ ist der Mittelwert des Signals ${x(t)}$. Es genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0 = 1 \, \text{ms}$, und man erhält:
- $$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\,\rm V}.$$
(2) In der Hälfte der Zeit ist ${y(t)} = 1\, \text{V}$, in der anderen Hälfte liegt es zwischen $0$ und $1\, \text{V}$ mit dem Mittelwert bei $0.5 \,\text{V}$ ⇒ $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.75 \,\text{V}}$.
(3) Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung im Bereich von $0$ bis $T_0/2$.
- Mit der entsprechenden Kennlinie gilt dann:
- $$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2\hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$
