Aufgaben:Aufgabe 3.4: GMSK–Modulation: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1229__Bei_A_3_4.png|right|frame|Verschiedene Signale der GMSK-Modulation]]
 
[[Datei:P_ID1229__Bei_A_3_4.png|right|frame|Verschiedene Signale der GMSK-Modulation]]
Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist bekanntlich ''Gaussian Minimum Shift Keying'', abgekürtzt $\rm GMSK$. Dabei handelt es sich um eine Art von'' Frequency Shift Keying'' (FSK) mit kontinuierlicher Phasenanpassung ($\rm CP–FSK$), bei der
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Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist bekanntlich  ''Gaussian Minimum Shift Keying'', abgekürtzt  $\rm GMSK$. Dabei handelt es sich um eine Art von  '' Frequency Shift Keying''  (FSK) mit kontinuierlicher Phasenanpassung  $(\rm CP–FSK)$, bei der
*der Modulationsindex kleinstmöglich ist, um die Orthogonalitätsbedingung noch zu erfüllen ($h = 0.5$: „Minimum Shift Keying”),
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*der Modulationsindex kleinstmöglich ist, um die Orthogonalitätsbedingung noch zu erfüllen&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; $h = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  ''Minimum Shift Keying'',
*ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator eingebracht ist, um noch weiter Bandbreite einzusparen.
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*ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm G}(t)$&nbsp; vor dem FSK–Modulator eingebracht ist, <br>um noch weiter Bandbreite einzusparen.
  
  
Das Bild verdeutlicht den Sachverhalt.
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Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt:
  
Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu} ∈ ±1$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete (rote) Folge für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt wird.
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*Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_{\nu} ∈ ±1$&nbsp; repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete (rote) Folge für die Teilaufgabe '''(3)''' vorausgesetzt wird.
  
Der Rechteckimpuls sei dimensionslos, symmetrisch und besitze die GSM–Bitdauer $T_{\rm B} = T$:
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*Der Rechteckimpuls sei dimensionslos, symmetrisch und besitze die GSM–Bitdauer&nbsp; $T_{\rm B} = T$:
 
:$$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 
:$$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
  
Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:
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:Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:
 
:$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
  
Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben:
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*Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben:
:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[f/(2 f_{\rm G}))]^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2 f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm},$$
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:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[f/(2 f_{\rm G})]^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2 f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm},$$
  
wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die $3 \hspace{0.05cm}\rm dB$–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden.
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:wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die&nbsp; $3 \hspace{0.05cm}\rm dB$–Grenzfrequenz mit&nbsp; $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 0.3/T$&nbsp; angegeben. Daraus kann&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; direkt berechnet werden.
  
Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:
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*Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:
 
:$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
  
Hierbei wird $g(t)$ als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:
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:Hierbei wird&nbsp; $g(t)$&nbsp; als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:
 
:$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$
  
Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:
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*Mit dem tiefpassgefilterten Signal&nbsp; $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; und dem Frequenzhub&nbsp; $\Delta f_{\rm A}$&nbsp; kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:
 
:$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$
  
Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.
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:Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte&nbsp; $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$&nbsp; und&nbsp; $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.
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[[Datei:P_ID1230__Bei_A_3_4b.png|right|frame|Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion]]
 
[[Datei:P_ID1230__Bei_A_3_4b.png|right|frame|Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion]]
*Diese Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle|Funkschnittstelle]].
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*Diese Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle|Funkschnittstelle]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle#Gaussian_Minimum_Shift_Keying_.28GMSK.29|Gaussian Minimum Shift Keying]]
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle#Gaussian_Minimum_Shift_Keying_.28GMSK.29|Gaussian Minimum Shift Keying]]
 
   
 
   
 
*Verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe das Gaußintegral (siehe nebenstehende Tabelle):
 
*Verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe das Gaußintegral (siehe nebenstehende Tabelle):
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{In welchem Bereich kann die Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t)$ schwanken? Welche Voraussetzungen müssen dafür erfüllt sein?
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{In welchem Bereich kann die Augenblicksfrequenz&nbsp; $f_{\rm A}(t)$&nbsp; schwanken? Welche Voraussetzungen müssen dafür erfüllt sein?
 
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${\rm Max} \ [f_{\rm A}(t)] \ = \ $ { 900.068 3% }
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${\rm Max} \ \big [f_{\rm A}(t) \big ] \ = \ $ { 900.068 3% }
  
{Welche systemtheoretische Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses ergibt sich aus der Forderung $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} \cdot T = 0.3$?
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{Welche systemtheoretische Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses ergibt sich aus der Forderung&nbsp; $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} \cdot T = 0.3$?
 
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$f_{\rm G} \cdot T \ = \ $ { 0.45 3% }
 
$f_{\rm G} \cdot T \ = \ $ { 0.45 3% }
  
{Berechnen Sie den Frequenzimpuls $g(t)$ unter Verwendung der Funktion $\Phi (x)$. Wie groß ist der Impulswert $g(t = 0)$?
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{Berechnen Sie den Frequenzimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; unter Verwendung der Funktion&nbsp; $\Phi (x)$. Wie groß ist der Impulswert&nbsp; $g(t = 0)$?
 
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$g(t = 0) \ = \ $ { 0.737 3% }
 
$g(t = 0) \ = \ $ { 0.737 3% }
  
{Welcher Wert ergibt sich für $q_{\rm G}(t = 3T)$, wenn alle Koeffizienten außer $a_{3} = -1$ weiterhin $a_{\nu \neq 3} = +1$ sind? Wie groß ist hier $f_{\rm A}(t = 3T)$?
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{Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $q_{\rm G}(t = 3T)$, wenn alle Koeffizienten außer&nbsp; $a_{3} = -1$&nbsp; weiterhin&nbsp; $a_{\nu \neq 3} = +1$&nbsp; sind?&nbsp; Wie groß ist hier&nbsp; $f_{\rm A}(t = 3T)$?
 
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$q_{\rm G}(t = 3T) \ = \ $ { -0.48822--0.45978 }
 
$q_{\rm G}(t = 3T) \ = \ $ { -0.48822--0.45978 }
  
{Berechnen Sie die Impulswerte $g(t = ±T)$.
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{Berechnen Sie die Impulswerte&nbsp; $g(t = ±T)$.
 
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$ g(t = ±T) \ = \ $ { 0.131 3% }
 
$ g(t = ±T) \ = \ $ { 0.131 3% }
  
{Wie groß ist der maximale Betrag von $q_{\rm G}(t)$ bei alternierenden Koeffizienten? Berücksichtigen Sie, dass $g(t ≥ 2 T) \approx 0$ ist.
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{Wie groß ist der maximale Betrag von&nbsp; $q_{\rm G}(t)$&nbsp; bei alternierenden Koeffizienten? Berücksichtigen Sie, dass&nbsp; $g(t ≥ 2 T) \approx 0$&nbsp; ist.
 
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${\rm Max} \ |q_{\rm G}(t)| \ = \ $ { 0.475 3% }
 
${\rm Max} \ |q_{\rm G}(t)| \ = \ $ { 0.475 3% }
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Wenn alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu}$ gleich $+1$ sind, ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante. Der Gaußtiefpass hat deshalb keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$. Die maximale Frequenz ist somit
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'''(1)'''&nbsp; Wenn alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu}$ gleich $+1$ sind, ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante.  
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*Der Gaußtiefpass hat deshalb keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$.  
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*Die maximale Frequenz ist somit
 
:$${\rm Max}\hspace{0.05cm}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Max}\hspace{0.05cm}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
  
Das Minimum der Augenblicksfrequenz
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*Das Minimum der Augenblicksfrequenz ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind:
 
:$${\rm Min}\hspace{0.05cm}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
 
:$${\rm Min}\hspace{0.05cm}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind. In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$.
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*In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$.
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'''(2)'''&nbsp; Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die $3\hspace{0.05cm}\rm dB$–Grenzfrequenz. Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken:
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'''(2)'''&nbsp; Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die $3\hspace{0.05cm}\rm dB$–Grenzfrequenz.  
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*Diese lässt sich auch wie folgt ausdrücken:
 
:$$\frac {|H(f = f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\frac {|H(f = f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$
  
Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$:
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*Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$:
 
:$$H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3dB}}/{2 f_{\rm G}})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{0.3cm}
 
:$$H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3dB}}/{2 f_{\rm G}})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$
Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB}$. Aus $f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.45}$.
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*Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB}$.  
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*Aus $f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.45}$.
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:$$g(t) = g_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot \int \limits^{t + T/2} _{t - T/2} {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot \tau)^2}\,{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$g(t) = g_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot \int \limits^{t + T/2} _{t - T/2} {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot \tau)^2}\,{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
  
Mit der Substitution $u^{2 } = 8π \cdot f_{\rm G}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann hierfür auch geschrieben werden:
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*Mit der Substitution $u^{2 } = 8π \cdot f_{\rm G}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann hierfür auch geschrieben werden:
 
:$$g(t) \ = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int \limits^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$g(t) \ = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int \limits^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$
  
Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (-x) = 1 - \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$:
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*Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (-x) = 1 - \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$:
 
:$$g(t = 0) \ = \ \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(-\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= 2 \cdot \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)-1 \approx 2 \cdot \phi(1.12)-1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.737} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$g(t = 0) \ = \ \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(-\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= 2 \cdot \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)-1 \approx 2 \cdot \phi(1.12)-1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.737} \hspace{0.05cm}.$$
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'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (3) und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man:
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'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(3)''' und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man:
 
:$$g(t = T) \ = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T) \approx \ \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$g(t = T) \ = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T) \approx \ \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$
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'''(6)'''&nbsp; Bei der alternierenden Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\nu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich.  
 
'''(6)'''&nbsp; Bei der alternierenden Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\nu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich.  
*Alle Zwischenwerte bei $t \neq \nu · T$ sind kleiner. Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T)$ verkleinert, zusätzlich vom nachfolgenden mit $g(t = –T)$.  
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*Alle Zwischenwerte bei $t \neq \nu · T$ sind kleiner.  
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*Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T)$ verkleinert, zusätzlich vom nachfolgenden mit $g(t = -T)$.  
 
*Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält:
 
*Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält:
 
:$${\rm Max} \hspace{0.08cm}q_{\rm G}(t) = g(0) - 2 \cdot g(T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Max} \hspace{0.08cm}q_{\rm G}(t) = g(0) - 2 \cdot g(T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$

Aktuelle Version vom 8. August 2019, 15:14 Uhr

Verschiedene Signale der GMSK-Modulation

Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist bekanntlich  Gaussian Minimum Shift Keying, abgekürtzt  $\rm GMSK$. Dabei handelt es sich um eine Art von  Frequency Shift Keying  (FSK) mit kontinuierlicher Phasenanpassung  $(\rm CP–FSK)$, bei der

  • der Modulationsindex kleinstmöglich ist, um die Orthogonalitätsbedingung noch zu erfüllen 
        $h = 0.5$   ⇒   Minimum Shift Keying,
  • ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort  $h_{\rm G}(t)$  vor dem FSK–Modulator eingebracht ist,
    um noch weiter Bandbreite einzusparen.


Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt:

  • Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten  $a_{\nu} ∈ ±1$  repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete (rote) Folge für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt wird.
  • Der Rechteckimpuls sei dimensionslos, symmetrisch und besitze die GSM–Bitdauer  $T_{\rm B} = T$:
$$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:
$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben:
$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[f/(2 f_{\rm G})]^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2 f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm},$$
wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die  $3 \hspace{0.05cm}\rm dB$–Grenzfrequenz mit  $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 0.3/T$  angegeben. Daraus kann  $f_{\rm G}$  direkt berechnet werden.
  • Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:
$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei wird  $g(t)$  als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:
$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit dem tiefpassgefilterten Signal  $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  und dem Frequenzhub  $\Delta f_{\rm A}$  kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:
$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$
Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte  $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$  und  $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.




Hinweise:

Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion
  • Verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe das Gaußintegral (siehe nebenstehende Tabelle):
$$\phi(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$



Fragebogen

1

In welchem Bereich kann die Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t)$  schwanken? Welche Voraussetzungen müssen dafür erfüllt sein?

${\rm Max} \ \big [f_{\rm A}(t) \big ] \ = \ $

2

Welche systemtheoretische Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses ergibt sich aus der Forderung  $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} \cdot T = 0.3$?

$f_{\rm G} \cdot T \ = \ $

3

Berechnen Sie den Frequenzimpuls  $g(t)$  unter Verwendung der Funktion  $\Phi (x)$. Wie groß ist der Impulswert  $g(t = 0)$?

$g(t = 0) \ = \ $

4

Welcher Wert ergibt sich für  $q_{\rm G}(t = 3T)$, wenn alle Koeffizienten außer  $a_{3} = -1$  weiterhin  $a_{\nu \neq 3} = +1$  sind?  Wie groß ist hier  $f_{\rm A}(t = 3T)$?

$q_{\rm G}(t = 3T) \ = \ $

5

Berechnen Sie die Impulswerte  $g(t = ±T)$.

$ g(t = ±T) \ = \ $

6

Wie groß ist der maximale Betrag von  $q_{\rm G}(t)$  bei alternierenden Koeffizienten? Berücksichtigen Sie, dass  $g(t ≥ 2 T) \approx 0$  ist.

${\rm Max} \ |q_{\rm G}(t)| \ = \ $


Musterlösung

(1)  Wenn alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu}$ gleich $+1$ sind, ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante.

  • Der Gaußtiefpass hat deshalb keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$.
  • Die maximale Frequenz ist somit
$${\rm Max}\hspace{0.05cm}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Das Minimum der Augenblicksfrequenz ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind:
$${\rm Min}\hspace{0.05cm}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
  • In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$.



(2)  Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die $3\hspace{0.05cm}\rm dB$–Grenzfrequenz.

  • Diese lässt sich auch wie folgt ausdrücken:
$$\frac {|H(f = f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$:
$$H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3dB}}/{2 f_{\rm G}})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB}$.
  • Aus $f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.45}$.



(3)  Der Frequenzimpuls ergibt sich aus der Faltung von Rechteckfunktion $g_{\rm R}(t)$ und Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$:

$$g(t) = g_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot \int \limits^{t + T/2} _{t - T/2} {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot \tau)^2}\,{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit der Substitution $u^{2 } = 8π \cdot f_{\rm G}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann hierfür auch geschrieben werden:
$$g(t) \ = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int \limits^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$
  • Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (-x) = 1 - \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$:
$$g(t = 0) \ = \ \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(-\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= 2 \cdot \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)-1 \approx 2 \cdot \phi(1.12)-1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.737} \hspace{0.05cm}.$$



(4)  Mit $a_{3} = +1$ würde sich $q_{\rm G}(t = 3 T) = 1$ ergeben. Aufgrund der Linearität gilt somit:

$$q_{\rm G}(t = 3 T ) = 1 - 2 \cdot g(t = 0)= 1 - 2 \cdot 0.737 \hspace{0.15cm} \underline {= -0.474} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man:

$$g(t = T) \ = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T) \approx \ \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$


(6)  Bei der alternierenden Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\nu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich.

  • Alle Zwischenwerte bei $t \neq \nu · T$ sind kleiner.
  • Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T)$ verkleinert, zusätzlich vom nachfolgenden mit $g(t = -T)$.
  • Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält:
$${\rm Max} \hspace{0.08cm}q_{\rm G}(t) = g(0) - 2 \cdot g(T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$