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[[Datei:P_ID423__Sto_Z_4_7.png|right|Vorgaben zur Erzeugung einer 2D-Zufallsgröße]]
[[Datei:P_ID423__Sto_Z_4_7.png|right|frame|Vorgaben zur Erzeugung einer <br>2D-Zufallsgröße]]
Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$ die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$,
*die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und
*somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen,
soll eine 2D-Zufallsgröße $(x,\hspace{0.08cm} y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
:$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
:$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
:$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$
:$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$
Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x, y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x,\hspace{0.08cm} y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
* Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$.
* Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen Grafik.
* Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen Skizze.
* Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$ entsprechend der unteren Grafik.
* Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$ entsprechend der unteren Skizze.
''Hinweise:''
Hinweise:
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]].
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]].
*Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$, ... , $F$ nicht negativ sein sollen.
*Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$, ... , $F$ nicht negativ sein sollen.
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<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $C$ und $F$.
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $C$ und $F$.
|type="{}"}
|type="{}"}
$C \ = $ { 0. }
$C \ = \ $ { 0. }
$F\ = $ { 1 3% }
$F\ = \ $ { 1 3% }
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $A$ und $B$.
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $A$ und $B$.
|type="{}"}
|type="{}"}
$A \ = $ { 1.732 3% }
$A \ = \ $ { 1.732 3% }
$B \ = $ { 1.732 3% }
$B \ = \ $ { 1.732 3% }
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $D$ und $E$, wobei $D > E$ gelten soll.
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $D$ und $E$, wobei $D > E$ gelten soll.
|type="{}"}
|type="{}"}
$D \ = $ { 3.464 3% }
$D \ = \ $ { 3.464 3% }
$E \ = $ { 1.732 3% }
$E \ = \ $ { 1.732 3% }
{Geben Sie die Maximalwerte für $x$ und $y$ an.
{Geben Sie die Maximalwerte für $x$ und $y$ an.
|type="{}"}
|type="{}"}
$x_\text{max}\ = $ { 3.464 3% }
$x_\text{max}\ = \ $ { 3.464 3% }
$y_\text{max}\ = $ { 6.196 3% }
$y_\text{max}\ = \ $ { 6.196 3% }
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:$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$
:$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$
'''(2)''' Unter Berücksichtigung von $\sigma^2 = 2/3$ gilt:
'''(2)''' Unter Berücksichtigung von $\sigma^2 = 2/3$ gilt:
'''(3)''' Mit $ A = B = \sqrt{3}$ entsprechend der letzten Teilaufgabe verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen für $D$ und $E$:
Daraus folgt weiter: $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$ Die Gleichung führt in Verbindung mit $D^2 + E^2 = 15$ und der oben angegebenen Nebenbedingung$(D>E)$ zum Ergebnis:
