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[[Datei:P_ID768__Sig_Z_4_6.png|right|Eine mögliche Ortskurve bei Phasenmodulation]]
[[Datei:P_ID768__Sig_Z_4_6.png|right|frame|Eine mögliche Ortskurve bei Phasenmodulation]]
Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird.
*Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$.
*Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
Ersetzt man die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Ortskurve_–_Darstellung_des_äquivalenten_Tiefpass-Signals_(Applet)|Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals]] überprüfen.
*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal]] ⇒ Ortskurve überprüfen.
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<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$?
{Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$a(t = 0)\ = \ $ { 2 3% }
$a(t = 0)\ = \ $ { 2 3% }
{Zwischen welchen Extremwerten $\phi_{\rm min}$ und $\phi_{\rm max}$ schwankt die Phase $\phi (t)$?
+ Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ (⇒ nur zwei mögliche Signalwerte $\pm 0.5$) entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
+ Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ mit nur zwei möglichen Signalwerten $\pm 0.5$ entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
+ Mit den Signalwerten $\pm 1$ (⇒ es gilt dann nicht $q_{\rm min} = -0.5$) entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = -s_0$.
+ Mit den Signalwerten $\pm 1$ $(q_{\rm min} = -0.5$ trifft dann nicht mehr zu$)$ entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = -s_0$.
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===Musterlösung===
===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit Radius $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion konstant $\underline{a(t) = 2}$.
'''(1)''' Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit dem Radius $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion konstant $\underline{a(t) = 2}$.
'''(2)''' Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:
'''(2)''' Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:
*Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und zu $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
*Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
*Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
*Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
*Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.
*Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.
*Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ <br>⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
*Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ ⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
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__NOEDITSECTION__
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Ersetzt man die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
(3) Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
\phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
Der maximale Phasenwert $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.1415}$.
Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt.
Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal
(4) Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:
Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:
$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t -{\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und zu $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.
Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ ⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
