Aufgaben:Aufgabe 4.08Z: Fehlerwahrscheinlichkeit bei drei Symbolen

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Entscheidungsregionen bei  $M = 3$ Symbolen

Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in  "Aufgabe 4.8":

• die  $M = 3$  möglichen Sendesignale,  nämlich

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, \hspace{0.1cm}1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s }_2 = (2, \hspace{0.1cm}-1)\hspace{0.05cm}.$$

• die  $M = 3$  Entscheidungsgrenzen

$$G_{01}\text{:} \hspace{0.4cm} y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1.5 - 2 \cdot x\hspace{0.05cm},$$

$$G_{02}\text{:} \hspace{0.4cm} y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} -0.75 +1.5 \cdot x\hspace{0.05cm},$$

$$G_{12}\text{:} \hspace{0.4cm} y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} x/3\hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Achsen des 2D–Signalraums sind hier vereinfachend mit  $x$  und  $y$  bezeichnet; 
eigentlich müsste hierfür  $\varphi_1(t)/\sqrt {E}$  bzw.  $\varphi_2(t)/\sqrt {E}$  geschrieben werden.

Diese Entscheidungsgrenzen sind optimal unter den beiden Voraussetzungen:

• gleichwahrscheinliche Symbolwahrscheinlichkeiten,

• zirkulär–symmetrische WDF des Rauschens (z.B. AWGN).

In dieser Aufgabe betrachten wir dagegen für die Rausch–WDF eine zweidimensionale Gleichverteilung:

$$\boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (x,\hspace{0.15cm} y) =\left\{ \begin{array}{c} K\\0 \end{array} \right.\quad\begin{array}{*{1}c}{\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm}|x| <A, \hspace{0.15cm} |y| <A \hspace{0.05cm},\\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

• Ein solches amplitudenbegrenztes Rauschen ist zwar ohne jede praktische Bedeutung.

• Es ermöglicht jedoch eine Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung ohne umfangreiche Integrale,  aus der das Prinzip der Vorgehensweise erkennbar wird.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit".

• Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:

$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1 Welchen Wert besitzt die Konstante  $K$  für  $A = 0.75$?

$\boldsymbol{K} \ = \ $

2 Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit  $A = 0.75$?

$p_{\rm S} \ = \ $ $\ \%$

3 Welche Aussagen sind für  $A = 1$  zutreffend?

	Alle Nachrichten  $m_i$  werden in gleicher Weise verfälscht.
	Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit  ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} {\it m}_0) = 1/64$.
	Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit  ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} {\it m}_1) = 0$.
	Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit  ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} {\it m}_2) = 0$.

4 Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit  $A=1$  und  ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = {\rm Pr}(m_2) = 1/3$?

$p_{\rm S} \ = \ $ $\ \%$

5 Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit  $A=1$  und  ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 1/4$  sowie  ${\rm Pr}(m_2) = 1/2$?

$p_{\rm S} \ = \ $ $\ \%$

6 Könnte man durch Festlegung anderer Regionen ein besseres Ergebnis erzielen?

	Ja.
	Nein.

Musterlösung

Musterlösung

Rauschgebiete mit  $A = 0.75$

(1)  Das Volumen der 2D–WDF muss  $p_n(x, y) =1$  ergeben,  das heißt:

$$2A \cdot 2A \cdot K = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \frac{1}{4A^2}\hspace{0.05cm}.$$

• Mit  $A = 0.75$   ⇒   $2A = 3/2$ erhält man  $K = 4/9 \ \underline {=0.444}$.

(2)  In nebenstehender Grafik ist die Rauschkomponente  $\boldsymbol{n}$  durch die Quadrate der Kantenlänge  $1.5$  um die 2D–Signalraumpunkte  $\boldsymbol{s}_i$  eingezeichnet.

• Man erkennt,  dass keine Entscheidungsgrenze durch Rauschkomponenten überschritten wird.

• Daraus folgt:  Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist unter den hier gegebenen Voraussetzungen  $p_{\rm S}\ \underline { \equiv 0}$.

Rauschgebiete mit  $A = 1$

(3)  Richtig sind die  Aussagen 2 und 4,  wie aus der unteren Grafik abgelesen werden kann:

• Die Nachricht  $m_2$  kann nicht verfälscht werden,  da das Quadrat um  $\boldsymbol{s}_2$  vollständig im rechten unteren Quadranten und damit im Entscheidungsgebiet  $I_2$  liegt.

• Ebenso wurde mit Sicherheit  $m_2$  gesendet,  wenn der Empfangswert im Entscheidungsgebiet  $I_2$  liegt.
  Der Grund:  Keines der Quadrate um  $\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{s}_1$  reicht bis in das Gebiet  $I_2$  hinein.

• $m_0$  kann nur zu  $m_1$  verfälscht werden.  Die (bedingte) Verfälschungswahrscheinlichkeit ist gleich dem Verhältnis der Flächen des kleinen gelben Dreiecks  $($Fläche  $1/16)$  und des Quadrats  $($Fläche  $4)$:

$${\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) = \frac{1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/4}{4}= {1}/{64}\hspace{0.05cm}.$$

• Aus Symmetriegründen gilt gleichermaßen:

$${\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 ) = {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 )={1}/{64}\hspace{0.05cm}. $$

(4)  Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen erhält man für die  (mittlere)  Fehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \big [{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) + {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 )+{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_2 )\big ]$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \left [{1}/{64} + {1}/{64} + 0 )\right ]= \frac{2}{3 \cdot 64} = {1}/{96}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.04 \%} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Nun ergibt sich eine kleinere mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit,  nämlich

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{4} \cdot {1}/{64} + {1}/{4} \cdot {1}/{64}+ {1}/{2} \cdot0 = {1}/{128}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.78 \% } \hspace{0.05cm}. $$

(6)  Richtig ist JA:

• Beispielsweise ergäbe sich durch     $I_1$: erster Quadrant,     $I_0$: zweiter Quadrant,     $I_2 \text{:} \ y < 0$     die Fehlerwahrscheinlichkeit Null.

• Das bedeutet,  dass die vorgegebenen Grenzen nur bei zirkulär symmetrischer WDF des Rauschens optimal sind,  zum Beispiel beim AWGN–Kanal.