Aufgaben:Aufgabe 2.3: Summe von Binärzahlen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Ein Zufallsgenerator gibt zu jedem Taktzeitpunkt ( | + | Ein Zufallsgenerator gibt zu jedem Taktzeitpunkt $(\nu)$ eine binäre Zufallszahl $x_\nu$ ab, die $0$ oder $1$ sein kann. |
+ | *Der Wert „1” tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.25$ auf. | ||
+ | *Die einzelnen Werte $x_\nu$ seien statistisch voneinander unabhängig. | ||
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+ | Die Binärzahlen werden in ein Schieberegister mit $I = 6$ Speicherzellen abgelegt. | ||
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+ | :$$y_{\nu}=\sum\limits_{i=0}^{5}x_{\nu-i}=x_{\nu}+x_{\nu-1}+\ \text{...} \ +x_{\nu-5}.$$ | ||
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− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung|Binomialverteilung]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung|Binomialverteilung]]. |
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− | {Welche Werte kann die Summe $y$ annehmen? Was ist der größtmögliche Wert? | + | {Welche Werte kann die Summe $y$ annehmen? Was ist der größtmögliche Wert? |
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$m_y \ =$ { 1.5 3% } | $m_y \ =$ { 1.5 3% } | ||
− | {Ermitteln Sie die Streuung der Zufallsgröße $y$. | + | {Ermitteln Sie die Streuung der Zufallsgröße $y$. |
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− | $\sigma_y \ =$ { 1.061 3% } | + | $\sigma_y \ = \ $ { 1.061 3% } |
− | {Sind die Zufallszahlen $y_\nu$ unabhängig? Begründen Sie Ihr Ergebnis. | + | {Sind die Zufallszahlen $y_\nu$ statistisch unabhängig? Begründen Sie Ihr Ergebnis. |
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- Die Zufallszahlen sind statistisch unabhängig. | - Die Zufallszahlen sind statistisch unabhängig. | ||
+ Die Zufallszahlen sind statistisch abhängig. | + Die Zufallszahlen sind statistisch abhängig. | ||
− | {Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass $y_\nu$ wieder gleich $\mu$ ist, wenn vorher $y_{\nu-1} = \mu$ aufgetreten ist? ( | + | {Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass $y_\nu$ wieder gleich $\mu$ ist, wenn vorher $y_{\nu-1} = \mu$ aufgetreten ist? $(\mu = 0, \ 1, \ \text{...} \ , \ I)$. |
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− | ${\rm Pr}(y_\nu = \mu \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} y_{\nu-1} = \mu ) \ =$ { 0.625 3% } | + | ${\rm Pr}(y_\nu = \mu \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} y_{\nu-1} = \mu ) \ = \ $ { 0.625 3% } |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' In jeder Zelle kann eine $0$ oder eine $1$ stehen; | + | '''(1)''' In jeder Zelle kann eine $0$ oder eine $1$ stehen. Deshalb kann die Summe alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $6$ annehmen: |
− | $$y_{\nu}\in\{0,1,...,6\}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} | + | :$$y_{\nu}\in\{0,1,\ \text{...} \ ,6\}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} |
y_{\rm max} \hspace{0.15cm} \underline{= 6}.$$ | y_{\rm max} \hspace{0.15cm} \underline{= 6}.$$ | ||
− | '''(2)''' Es liegt eine Binomialverteilung vor. Daher gilt mit $p = 0.25$: | + | |
− | $${\rm Pr}(y =0)=(1-p)^{\it I}=0.75^6=0.178,$$ | + | |
− | $${\rm Pr}(y=1)=\left({ I \atop {1}}\right)\cdot (1-p)^{I-1}\cdot p= \rm 6\cdot 0.75^5\cdot 0.25=0.356,$$ | + | '''(2)''' Es liegt eine Binomialverteilung vor. Daher gilt mit $p = 0.25$: |
− | $${\rm Pr}(y=2)=\left({ I \atop { 2}}\right)\cdot (1-p)^{I-2}\cdot p^{\rm 2}= \rm 15\cdot 0.75^4\cdot 0.25^2=0.297,$$ | + | :$${\rm Pr}(y =0)=(1-p)^{\it I}=0.75^6=0.178,$$ |
− | $${\rm Pr}(y>2)=1-{\rm Pr}(y=0)-{\rm Pr}( y=1)-{\rm Pr}( y=2)\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 0.169}.$$ | + | :$${\rm Pr}(y=1)=\left({ I \atop {1}}\right)\cdot (1-p)^{I-1}\cdot p= \rm 6\cdot 0.75^5\cdot 0.25=0.356,$$ |
+ | :$${\rm Pr}(y=2)=\left({ I \atop { 2}}\right)\cdot (1-p)^{I-2}\cdot p^{\rm 2}= \rm 15\cdot 0.75^4\cdot 0.25^2=0.297,$$ | ||
+ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(y>2)=1-{\rm Pr}(y=0)-{\rm Pr}( y=1)-{\rm Pr}( y=2)\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 0.169}.$$ | ||
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'''(3)''' Nach der allgemeinen Gleichung gilt für den Mittelwert der Binomialverteilung: | '''(3)''' Nach der allgemeinen Gleichung gilt für den Mittelwert der Binomialverteilung: | ||
− | $$m_y= I\cdot p\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1.5}.$$ | + | :$$m_y= I\cdot p\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1.5}.$$ |
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'''(4)''' Entsprechend gilt für die Streuung der Binomialverteilung: | '''(4)''' Entsprechend gilt für die Streuung der Binomialverteilung: | ||
− | $$\sigma_y=\sqrt{ I \cdot p \cdot( 1- p)} \hspace{0.15cm} \underline{= \rm 1.061}.$$ | + | :$$\sigma_y=\sqrt{ I \cdot p \cdot( 1- p)} \hspace{0.15cm} \underline{= \rm 1.061}.$$ |
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+ | '''(5)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | ||
+ | *Ist $y_\nu = 0$, so können zum nächsten Zeitpunkt nur die Werte $0$ und $1$ folgen, nicht aber $2$, ... , $6$. | ||
+ | *Das heißt: Die Folge $ \langle y_\nu \rangle$ weist (starke) statistische Bindungen auf. | ||
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− | '''(6)''' Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit dafür, dass das neue Binärsymbol gleich dem aus dem Schieberegister herausgefallenen Symbol ist. Daraus folgt: | + | '''(6)''' Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit dafür, dass das neue Binärsymbol gleich dem aus dem Schieberegister herausgefallenen Symbol ist. Daraus folgt: |
− | $$\rm Pr ( | + | :$${\rm Pr} (y_{\nu} = \mu\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} y_{\nu-{1}} = \mu) = {\rm Pr}(x_{\nu}= x_{\nu-6}). $$ |
− | Da die Symbole $x_\nu$ statistisch voneinander unabhängig sind, kann hierfür auch geschrieben werden: | + | *Da die Symbole $x_\nu$ statistisch voneinander unabhängig sind, kann hierfür auch geschrieben werden: |
− | $${\rm Pr}(x_{\nu} = x_{\nu-6}) = {\rm Pr}\ | + | :$${\rm Pr}(x_{\nu} = x_{\nu-6}) = {\rm Pr}\big[(x_{\nu}= 1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}(x_{\nu-6}= 1)\hspace{0.05cm}\cup \hspace{0.05cm}(x_\nu=0)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}(x_{\nu-6} =0)\big]= p^{2}+(1- p)^{2}=\rm 0.25^2 + 0.75^2\hspace{0.15cm} \underline{ = 0.625}. $$ |
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Aktuelle Version vom 11. Dezember 2021, 13:42 Uhr
Ein Zufallsgenerator gibt zu jedem Taktzeitpunkt $(\nu)$ eine binäre Zufallszahl $x_\nu$ ab, die $0$ oder $1$ sein kann.
- Der Wert „1” tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.25$ auf.
- Die einzelnen Werte $x_\nu$ seien statistisch voneinander unabhängig.
Die Binärzahlen werden in ein Schieberegister mit $I = 6$ Speicherzellen abgelegt.
Zu jedem Taktzeitpunkt wird der Inhalt dieses Schieberegisters um eine Stelle nach rechts verschoben und jeweils die algebraische Summe $y_\nu$ der Schieberegisterinhalte gebildet:
- $$y_{\nu}=\sum\limits_{i=0}^{5}x_{\nu-i}=x_{\nu}+x_{\nu-1}+\ \text{...} \ +x_{\nu-5}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Binomialverteilung.
- Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse können Sie das interaktive Applet Binomial– und Poissonverteilung benutzen.
Fragebogen
Musterlösung
- $$y_{\nu}\in\{0,1,\ \text{...} \ ,6\}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} y_{\rm max} \hspace{0.15cm} \underline{= 6}.$$
(2) Es liegt eine Binomialverteilung vor. Daher gilt mit $p = 0.25$:
- $${\rm Pr}(y =0)=(1-p)^{\it I}=0.75^6=0.178,$$
- $${\rm Pr}(y=1)=\left({ I \atop {1}}\right)\cdot (1-p)^{I-1}\cdot p= \rm 6\cdot 0.75^5\cdot 0.25=0.356,$$
- $${\rm Pr}(y=2)=\left({ I \atop { 2}}\right)\cdot (1-p)^{I-2}\cdot p^{\rm 2}= \rm 15\cdot 0.75^4\cdot 0.25^2=0.297,$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(y>2)=1-{\rm Pr}(y=0)-{\rm Pr}( y=1)-{\rm Pr}( y=2)\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 0.169}.$$
(3) Nach der allgemeinen Gleichung gilt für den Mittelwert der Binomialverteilung:
- $$m_y= I\cdot p\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1.5}.$$
(4) Entsprechend gilt für die Streuung der Binomialverteilung:
- $$\sigma_y=\sqrt{ I \cdot p \cdot( 1- p)} \hspace{0.15cm} \underline{= \rm 1.061}.$$
(5) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Ist $y_\nu = 0$, so können zum nächsten Zeitpunkt nur die Werte $0$ und $1$ folgen, nicht aber $2$, ... , $6$.
- Das heißt: Die Folge $ \langle y_\nu \rangle$ weist (starke) statistische Bindungen auf.
(6) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit dafür, dass das neue Binärsymbol gleich dem aus dem Schieberegister herausgefallenen Symbol ist. Daraus folgt:
- $${\rm Pr} (y_{\nu} = \mu\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} y_{\nu-{1}} = \mu) = {\rm Pr}(x_{\nu}= x_{\nu-6}). $$
- Da die Symbole $x_\nu$ statistisch voneinander unabhängig sind, kann hierfür auch geschrieben werden:
- $${\rm Pr}(x_{\nu} = x_{\nu-6}) = {\rm Pr}\big[(x_{\nu}= 1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}(x_{\nu-6}= 1)\hspace{0.05cm}\cup \hspace{0.05cm}(x_\nu=0)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}(x_{\nu-6} =0)\big]= p^{2}+(1- p)^{2}=\rm 0.25^2 + 0.75^2\hspace{0.15cm} \underline{ = 0.625}. $$