Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Ergodische Wahrscheinlichkeiten: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr

Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$ und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:

Für die Teilaufgaben (1) bis (4) wird vorausgesetzt:

Nach dem Ereignis $A$ folgen $A$ und $B$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Nach $B$ ist das Ereignis $A$ doppelt so wahrscheinlich wie $B$.

Ab Teilaufgabe (5) sind $p$ und $q$ als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = 2/3$ und ${\rm Pr}(B) = 1/3$ fest vorgegeben sind.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Markovketten.

Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung überprüfen.

Fragebogen

$p \ = \ $

$q \ = \ $

${\rm Pr}(A) \ = \ $

${\rm Pr}(B) \ = \ $

${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $

${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $

$q\ = \ $

$p \ = \ $

$q \ = \ $

Musterlösung

(1) Gemäß der Angabe gilt $p = 1 - p$ ⇒ $\underline{p =0.500}$ und $q = (1 - q)/2$, ⇒ $\underline{q =0.333}$.

(2) Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:

$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$

Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.

(3) Über den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen.

Zu diesem Zeitpunkt kann $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:

$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) = {5}/{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$

(4) Nach dem Satz von Bayes gilt:

$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } = \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 } = {5}/{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$

Begründung:

Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt (3) berechnet.
Aufgrund der Stationarität gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert $5/9$.

(5) Entsprechend der Teilaufgabe (2) gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:

$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$

Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.

(6) Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:

$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$

Daraus folgt $p = {\rm Pr}(A) \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$ und dementsprechend $q = 1-p \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}
-[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|Binäre Markovkette]]
+[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Markovkette mit&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$]]
-Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$ und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:
+Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:
-Für die Teilaufgaben (1) bis (4) wird vorausgesetzt:
+Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(4)'''&nbsp; wird vorausgesetzt:
-*Nach dem Ereignis $A$ folgen $A$ und $B$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
+*Nach dem Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; folgen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
-*Nach $B$ ist das Ereignis $A$ doppelt so wahrscheinlich wie $B$.
+*Nach&nbsp; $B$&nbsp; ist das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; doppelt so wahrscheinlich wie&nbsp; $B$.
-Ab Teilaufgabe (5) sind $p$ und $q$ als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = 2/3$ und ${\rm Pr}(B) = 1/3$ fest vorgegeben sind.
+Ab Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; sind&nbsp; $p$&nbsp; und&nbsp; $q$&nbsp; als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B) = 1/3$&nbsp; fest vorgegeben sind.
-''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
+Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
-*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:
+*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]&nbsp; überprüfen.
-:[[Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten $p$ und $q$?
+{Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p$&nbsp; und&nbsp; $q$?
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-$p \ = $  { 0.5 3% }
+$p \ = \ $  { 0.5 3% }
-$q \ = $ { 0.333 3% }
+$q \ = \ $ { 0.333 3% }
 {Berechnen Sie die ergodischen Wahrscheinlichkeiten.
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(A) \ = $ { 0.571 3% }
+${\rm Pr}(A) \ = \ $ { 0.571 3% }
-${\rm Pr}(B) \ = $ { 0.429 3% }
+${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }
-{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist?
+{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass das Ereignis&nbsp; $B$&nbsp; auftritt,&nbsp; wenn zwei Takte vorher das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; aufgetreten ist?
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-${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = $ { 0.417 3% }
+${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }
-{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist, wenn aktuell $B$ auftritt?
+{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit,&nbsp; dass zwei Takte vorher das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; aufgetreten ist,&nbsp; wenn aktuell&nbsp; $B$&nbsp; auftritt?
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-${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = $ { 0.556 3% }
+${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }
-{Es gelte nun $p = 1/2$ und ${\rm Pr}(A) = 2/3$. Welcher Wert ergibt sich für $q$?
+{Es gelte nun&nbsp; $p = 1/2$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $q$?
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-$q\ = $ { 0. }
+$q\ = \ $ { 0. }
-{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich ${\rm Pr}(A) = 2/3$ gilt?
+{Wie muss man die Parameter wählen,&nbsp; damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; gilt?
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-$p \ = $ { 0.667 3% }
+$p \ = \ $ { 0.667 3% }
-$q \ = $ { 0.333 3% }
+$q \ = \ $ { 0.333 3% }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Gemäß der Angabe gilt $p = 1 - p$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =1/2}$, und $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =1/3}$.
+'''(1)'''&nbsp; Gemäß der Angabe gilt &nbsp; $p = 1 - p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =0.500}$&nbsp; und&nbsp; $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =0.333}$.
-'''(2)'''&nbsp; F&uuml;r die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:
+'''(2)'''&nbsp; F&uuml;r die Ereigniswahrscheinlichkeit von&nbsp; $A$&nbsp; gilt:
 :$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
-Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
+*Damit ergibt sich&nbsp; ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
+'''(3)'''&nbsp; &Uuml;ber den Zeitpunkt&nbsp; $\nu-1$&nbsp; ist keine Aussage getroffen.&nbsp;
+*Zu diesem Zeitpunkt kann&nbsp;  $A$&nbsp; oder&nbsp; $B$&nbsp; aufgetreten sein. Deshalb gilt:
+:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +   q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) = {5}/{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
-'''(3)'''&nbsp; &Uuml;ber den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:
-:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)  p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +   q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p)
-= \frac{5}{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Nach dem Satz von Bayes gilt:
-:$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } =  \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 }
+:$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } =  \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 } = {5}/{9}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
-= {5}/{9}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
+''Begründung:''
-Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt (3) berechnet. Aufgrund der Stationarit&auml;t gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$. Damit erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte R&uuml;ckschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert 5/9.
+*Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$&nbsp; wurde bereits im Unterpunkt&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet.
+*Aufgrund der Stationarit&auml;t gilt&nbsp; ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
+*Damit erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte R&uuml;ckschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert&nbsp; $5/9$.
-'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der Teilaufgabe (2) gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:
+'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt mit&nbsp; ${p =1/2}$&nbsp; für die Wahrscheinlichkeit von&nbsp; $A$&nbsp; allgemein:
 :$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
-Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.
+*Aus&nbsp; $ {\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; folgt somit&nbsp; $\underline{q =0}$.
 '''(6)'''&nbsp; Im Fall der statistischen Unabh&auml;ngigkeit muss beispielsweise gelten:
 :$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
-Daraus folgt $p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$  und dementsprechend $q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
+*Daraus folgt &nbsp;$p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$&nbsp;  und dementsprechend &nbsp;$q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
 {{ML-Fuß}}
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 [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^1.4 Markovketten
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+[[en:Aufgaben:Exercise_1.6Z:_Ergodic_Probabilities]]