Aufgaben:Aufgabe 1.4Z: Komplexes Nyquistspektrum: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “)
 
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[[Datei:P_ID1279__Dig_Z_1_4.png|right|frame|Komplexes Nyquistspektrum]]
 
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Betrachtet wird ein Impuls $g(t)$ mit Spektrum $G(f)$ gemäß Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:
+
Betrachtet wird ein Impuls  $g(t)$  mit Spektrum  $G(f)$  gemäß der Skizze.  Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Der Realteil von $G(f)$ verläuft trapezförmig mit den beiden Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \, \rm kHz$. Im Bereich $|f| < f_{1}$ gilt ${\rm Re}[G(f)] = A = 10^{-4} \, \rm V/Hz$.
+
*Der Realteil von &nbsp;$G(f)$&nbsp; ist trapezförmig mit den Eckfrequenzen &nbsp;$f_{1} = 3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{2} = 7 \, \rm kHz$.&nbsp; Im Bereich &nbsp;$|f| < f_{1}$&nbsp; gilt:
*Der Imaginärteil von $G(f)$ wird für die Teilaufgaben (1) bis (5) stets zu ${\rm Im}[G(f)] =0$ angenommen. In diesem Fall ist $g(t)$ sicher ein Nyquistimpuls.
+
:$${\rm Re}\big[G(f)\big] = A = 10^{-4} \, \rm V/Hz.$$
*Ab der Teilaufgabe (6) hat der Imaginärteil ${\rm Im}[G(f)]$ im Bereich $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$ einen Dreiecksverlauf mit den Werten $\pm B$ bei den Dreieckspitzen.
+
*Der Imaginärteil von &nbsp;$G(f)$&nbsp; wird für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(5)'''&nbsp; stets zu &nbsp;${\rm Im}\big[G(f)\big] =0$&nbsp; angenommen.&nbsp; In diesem Fall ist &nbsp;$g(t)$&nbsp; sicher ein Nyquistimpuls.
 +
*Ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; hat der Imaginärteil &nbsp;${\rm Im}[G(f)]$&nbsp; im Bereich &nbsp;$f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$&nbsp; einen Dreiecksverlauf mit den Werten &nbsp;$\pm B$&nbsp; bei den Dreieckspitzen.
  
  
Zu prüfen ist, ob der Impuls $g(t)$ auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
+
Zu prüfen ist,&nbsp; ob der Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
 
:$$g(\nu
 
:$$g(\nu
 
T)  =  \left\{ \begin{array}{c} g_0  \\
 
T)  =  \left\{ \begin{array}{c} g_0  \\
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Im Verlauf dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:
 
Im Verlauf dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:
*Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an:
+
*Die&nbsp; '''Nyquistfrequenz'''&nbsp; gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an:
 
:$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T}= \frac{f_1 +f_2 }
 
:$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T}= \frac{f_1 +f_2 }
 
{2 }\hspace{0.05cm}.$$
 
{2 }\hspace{0.05cm}.$$
*Der Rolloff–Faktor ist ein Maß für die Flankensteilheit:
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*Der&nbsp; '''Rolloff–Faktor'''&nbsp; ist ein Maß für die Flankensteilheit:
 
:$$r = \frac{f_2 -f_1 }
 
:$$r = \frac{f_2 -f_1 }
 
{f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$
 
{f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$
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''Hinweise:''
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Hinweise:  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|"Eigenschaften von Nyquistsystemen"]].
 
   
 
   
*Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte $g(t)$ eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff&ndash;Faktor $r$:
+
*Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte &nbsp;$g(t)$&nbsp; eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff&ndash;Faktor &nbsp;$r$:
 
:$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 
:$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 
t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot r \cdot
 
t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot r \cdot
t}/{T}\right).$$
+
t}/{T}\right)\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} {\rm si} (x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$
*Ein dreieckförmiges Tiefpass&ndash;Spektrum $G(f)$, das auf $| f | < f_{0}$ begrenzt ist und bei dem $G(f = 0) = B$ gilt, führt nach der Fourierrücktransformation zu folgender Zeitfunktion: &nbsp; $g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0
+
 
t}\right)\hspace{0.05cm}.$
+
*Ein dreieckförmiges Tiefpass&ndash;Spektrum &nbsp;$G(f)$,&nbsp; das auf &nbsp;$| f | < f_{0}$&nbsp; begrenzt ist und bei dem &nbsp;$G(f = 0) = B$&nbsp; gilt,&nbsp; führt nach Fourierrücktransformation zur Zeitfunktion
 +
:$$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} {\rm si} (x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{Für die ersten Teilfragen gelte $B = 0$. Wie groß ist die Nyquistfrequenz?
+
{Für die ersten Teilfragen gelte &nbsp;$B = 0$.&nbsp; Wie groß ist die Nyquistfrequenz?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$f_{\rm Nyq} \ =  \ $ { 5 3% } $\ \rm kHz$
 
$f_{\rm Nyq} \ =  \ $ { 5 3% } $\ \rm kHz$
  
{Welcher Rolloff–Faktor liegt hier vor?
+
{Welcher Rolloff–Faktor &nbsp;$r$&nbsp; liegt hier vor?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$r \ =  \ $ { 0.4 3% }  
 
$r \ =  \ $ { 0.4 3% }  
  
{Berechnen Sie den Maximalwert $g_{0}$ des Nyquistimpulses $g(t)$.
+
{Berechnen Sie den Maximalwert &nbsp;$g_{0}$&nbsp; des Nyquistimpulses &nbsp;$g(t)$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$g_{0} \ =  \ ${ 1 3% } $\ \rm V$
 
$g_{0} \ =  \ ${ 1 3% } $\ \rm V$
  
{Es gelte weiter $B=0$. Berechnen Sie $g(t)$ für die Zeitpunkte $t = 100\, \mu \rm s$ und $t = 200\, \mu \rm s$.
+
{Es gelte weiter &nbsp;$B=0$.&nbsp; Berechnen Sie &nbsp;$g(t)$&nbsp; für die Zeitpunkte &nbsp;$t = 100\, &micro; \rm s$&nbsp; und &nbsp;$t = 200\, &micro; \rm s$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$g(t = 100\, \mu \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
+
$g(t = 100\, &micro; \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
$g(t = 200\, \mu \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
+
$g(t = 200\, &micro; \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
  
{Berechnen Sie den Impulswert zur Zeit $t = 250\ \mu \rm s$.
+
{Berechnen Sie den Impulswert zur Zeit &nbsp;$t = 250\ &micro; \rm s$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$g(t = 250\, \mu \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
+
$g(t = 250\, &micro; \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
  
{Welche Aussagen treffen für $B \neq 0$ zu? $G(f)$ ist dann komplexwertig.
+
{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$B \neq 0$&nbsp; zu?&nbsp; $G(f)$&nbsp; ist dann komplexwertig.
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen $3 \, \rm kHz$ und $7 \, \rm kHz$ liegt.
+
+Die Nyquistbedingung wird erfüllt,&nbsp; wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen &nbsp;$3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$7 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
- Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion zwischen $3 \, \rm kHz$ und $5 \, \rm kHz$ liegt.
+
- Die Nyquistbedingung wird erfüllt,&nbsp; wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen &nbsp;$3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$5 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
+ Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion zwischen $4.5 \, \rm kHz$ und $5.5 \, \rm kHz$ liegt.
+
+ Die Nyquistbedingung wird erfüllt,&nbsp; wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen &nbsp;$4.5 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$5.5 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
  
  
{Berechnen Sie $g(t)$ für $t = 250\, \mu \rm s$ und $B = A = 10^{–4} \, \rm V/Hz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; komplexe Spektralfunktion.
+
{Berechnen Sie &nbsp;$g(t)$&nbsp; für &nbsp;$t = 250\, &micro; \rm s$&nbsp; und &nbsp;$B = A = 10^{–4} \, \rm V/Hz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; komplexe Spektralfunktion.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$g(t = 250\ \mu \rm s) \ =  \ $ { 0.162 3% } $\ \rm V$
+
$g(t = 250\ &micro; \rm s) \ =  \ $ { 0.162 3% } $\ \rm V$
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an. Es gilt:
+
'''(1)'''&nbsp; Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an.&nbsp; Es gilt:
 
:$$f_{\rm Nyq}=  \frac{f_1 +f_2 }
 
:$$f_{\rm Nyq}=  \frac{f_1 +f_2 }
 
{2 }= \frac{3\, {\rm kHz} + 7\, {\rm kHz}} {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 5\, {\rm kHz}}
 
{2 }= \frac{3\, {\rm kHz} + 7\, {\rm kHz}} {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 5\, {\rm kHz}}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(2)'''&nbsp; Der Rolloff–Faktor ist ebenfalls durch die beiden Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ festgelegt:
+
'''(2)'''&nbsp; Der Rolloff–Faktor ist ebenfalls durch die beiden Eckfrequenzen&nbsp; $f_{1}$&nbsp; und&nbsp; $f_{2}$&nbsp; festgelegt:
 
:$$r = \frac{f_2 -f_1 }
 
:$$r = \frac{f_2 -f_1 }
 
{f_2 +f_1 } = \frac{7\, {\rm kHz} - 3\, {\rm kHz}} {7\, {\rm kHz}
 
{f_2 +f_1 } = \frac{7\, {\rm kHz} - 3\, {\rm kHz}} {7\, {\rm kHz}
 
+ 3\, {\rm kHz} }\hspace{0.1cm}\underline { = 0.4 }\hspace{0.05cm}.$$
 
+ 3\, {\rm kHz} }\hspace{0.1cm}\underline { = 0.4 }\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(3)'''&nbsp; Bei einem Impuls mit reellem Tiefpass–Spektrum liegt das Maximum stets bei $t = 0$ und es gilt:
+
'''(3)'''&nbsp; Bei einem Impuls mit reellem Tiefpass–Spektrum liegt das Maximum stets bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und es gilt:
 
:$$g_0 = g(t=0) =  \int_{-\infty}^{+\infty}G(f) \,{\rm d} f
 
:$$g_0 = g(t=0) =  \int_{-\infty}^{+\infty}G(f) \,{\rm d} f
 
  = A \cdot 2  f_{\rm Nyq} = 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 5 \cdot10^{3} \,{\rm
 
  = A \cdot 2  f_{\rm Nyq} = 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 5 \cdot10^{3} \,{\rm
 
  Hz}\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  Hz}\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(4)'''&nbsp; Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand $T = 1/(2f_{\rm Nyq}) = 100 \, \rm \mu s$ auf. Daraus erhält man direkt:
+
'''(4)'''&nbsp; Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand&nbsp; $T = 1/(2f_{\rm Nyq}) = 100 \, \rm &micro; s$&nbsp; auf.&nbsp; Daraus erhält man direkt:
:$$g(t= 100\,{\rm \mu s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline { g(T) = 0,}$$
+
:$$g(t= 100\,{\rm &micro; s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline { g(T) = 0,}$$
:$$g(t= 200\,{\rm \mu s}) = \  \hspace{0.1cm}\underline {g(2T) = 0}
+
:$$g(t= 200\,{\rm &micro; s}) = \  \hspace{0.1cm}\underline {g(2T) = 0}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
Dieses Ergebnis folgt auch aus der angegebenen Gleichung mit $r = 0.4$:
+
Dieses Ergebnis folgt auch aus der angegebenen Gleichung mit&nbsp; $r = 0.4$:
 
:$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 
:$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 
t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot
 
t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot
 
t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
 
t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
Verantwortlich dafür, dass die erste Nyquistbedingung erfüllt wird, ist der erste Term.
+
Verantwortlich dafür,&nbsp; dass die erste Nyquistbedingung erfüllt wird,&nbsp; ist der erste Term.
  
  
'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der unter (4) angegebenen Gleichung gilt:
+
'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der unter&nbsp; '''(4)'''&nbsp; angegebenen Gleichung gilt:
:$$g(t= 250\,{\rm \mu s})= g_0 \cdot {\rm si}  ( {2.5 \cdot \pi
+
:$$g(t= 250\,{\rm &micro; s})= g_0 \cdot {\rm si}  ( {2.5 \cdot \pi
 
})\cdot {\rm si}  ( \pi )\hspace{0.1cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$
 
})\cdot {\rm si}  ( \pi )\hspace{0.1cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$
Diese Nullstelle ist auf den zweiten Term zurückzuführen und liegt nicht im Nyquist–Zeitraster $\nu T$
+
Diese Nullstelle ist auf den zweiten Term zurückzuführen und liegt nicht im Nyquist–Zeitraster&nbsp; $\nu T$
  
  
'''(6)'''&nbsp; Für die folgende Herleitung gelte $g(t)= g_{\rm R}(t) +  g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$ wobei $g_{\rm R}(t)$ auf den Realteil und $g_{\rm I}(t)$ auf den Imaginärteil von $G(f)$ zurückgeht. Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt (4) berechnet:
+
'''(6)'''&nbsp; Für die folgende Herleitung gelte&nbsp; $g(t)= g_{\rm R}(t) +  g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$&nbsp; wobei&nbsp; $g_{\rm R}(t)$&nbsp; auf den Realteil und&nbsp; $g_{\rm I}(t)$&nbsp; auf den Imaginärteil von&nbsp; $G(f)$&nbsp; zurückgeht.  
 +
*Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt&nbsp; '''(4)'''&nbsp; berechnet:
 
:$$g_{\rm R} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 
:$$g_{\rm R} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 
t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot
 
t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot
 
t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
 
t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
Zur Erfüllung des ersten Nyquistkriteriums muss für den Imaginärteil mit $1/T = 10 \, \rm kHz$ gelten:
+
*Zur Erfüllung des ersten Nyquistkriteriums muss für den Imaginärteil mit&nbsp; $1/T = 10 \, \rm kHz$&nbsp; gelten:
 
:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} {\rm Im}\left[G \left ( f -
 
:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} {\rm Im}\left[G \left ( f -
 
{k}/{T} \right)\right]= 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
{k}/{T} \right)\right]= 0 \hspace{0.05cm}.$$
*Mit den gegebenen Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$ liegen die beiden Dreiecke um $\pm 5\, \rm kHz$, so dass obige Gleichung erfüllt ist. Gleiches gilt für $f_{1} = 4.5\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5.5 \, \rm kHz$.
 
*Dagegen liegen die Dreieckspitzen mit $f_{1} = 3\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5 \, \rm kHz$ bei $\pm 4 \ \rm kHz$. In diesem Fall löschen sich die Dreieckfunktionen durch die periodische Fortsetzung nicht aus und die Nyquistbedingung ist nicht erfüllt.
 
  
Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
+
*Mit den gegebenen Eckfrequenzen&nbsp; $f_{1} = 3 \, \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $f_{2} = 7 \ \rm kHz$&nbsp; liegen die beiden Dreiecke um&nbsp; $\pm 5\, \rm kHz$,&nbsp; so dass obige Gleichung erfüllt ist.  
  
 +
*Gleiches gilt für&nbsp; $f_{1} = 4.5\, \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $f_{2} = 5.5 \, \rm kHz$.
  
'''(7)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis $g_{\rm R}(2.5T) = 0$ aus  (3) folgt $g(2.5T) = g_{\rm I}(2.5T)$, wobei $g_{\rm I}(t)$ die Fourierrücktransformierte von  ${\rm j}\cdot \ G_{\rm I}(f)$ ist. Es gilt:
+
*Dagegen liegen die Dreieckspitzen mit&nbsp; $f_{1} = 3\, \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $f_{2} = 5 \, \rm kHz$&nbsp; bei&nbsp; $\pm 4 \ \rm kHz$.
 +
 
 +
*In diesem Fall löschen sich die Dreieckfunktionen durch die periodische Fortsetzung nicht aus und die Nyquistbedingung ist nicht erfüllt.
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Richtig sind somit die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
 +
 
 +
 
 +
'''(7)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis &nbsp;$g_{\rm R}(2.5T) = 0$&nbsp; aus&nbsp; '''(3)'''&nbsp; folgt &nbsp;$g(2.5T) = g_{\rm I}(2.5T)$,&nbsp; wobei &nbsp;$g_{\rm I}(t)$&nbsp; die Fourierrücktransformierte von&nbsp; ${\rm j}\cdot \ G_{\rm I}(f)$&nbsp; ist.&nbsp; Es gilt:
 
:$${\rm j} \cdot G_{\rm I}(f)  = {\rm j} \cdot\left[ \delta(f + f_{\rm Nyq}) - \delta(f - f_{\rm Nyq})\right] \star D(f) \hspace{0.3cm}
 
:$${\rm j} \cdot G_{\rm I}(f)  = {\rm j} \cdot\left[ \delta(f + f_{\rm Nyq}) - \delta(f - f_{\rm Nyq})\right] \star D(f) \hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_{\rm I}(t)  = 2 \cdot {\rm sin}  ( 2
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_{\rm I}(t)  = 2 \cdot {\rm sin}  ( 2
 
  \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t )\cdot  d(t)\hspace{0.05cm}.$$
 
  \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t )\cdot  d(t)\hspace{0.05cm}.$$
Die Sinusfunktion erzwingt die erforderlichen Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T = 100 \, \rm \mu s$. $D(f)$ ist eine Dreieckfunktion um $f = 0$ mit $D(f = 0) = B$ und der einseitigen Breite $f_{0}= f_{2} – f_{\rm Nyq} = f_{\rm Nyq} – f_{1} = 2 \, \rm kHz$. Für die dazugehörige Zeitfunktion kann somit entsprechend der Angabe geschrieben werden:
+
*Die Sinusfunktion erzwingt die erforderlichen Nulldurchgänge bei Vielfachen von&nbsp; $T = 100 \, \rm &micro; s$.
 +
 +
*$D(f)$&nbsp; ist eine Dreieckfunktion um&nbsp; $f = 0$ mit&nbsp; $D(f = 0) = B$&nbsp; und der einseitigen Breite&nbsp; $f_{0}= f_{2} – f_{\rm Nyq} = f_{\rm Nyq} – f_{1} = 2 \, \rm kHz$.
 +
 +
*Für die dazugehörige Zeitfunktion kann somit entsprechend der Angabe geschrieben werden:
 
:$$g_{\rm I}(t )  = 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin}  ( 2
 
:$$g_{\rm I}(t )  = 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin}  ( 2
 
  \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t)\cdot {\rm si}^2(\pi\cdot f_{\rm 0} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
 
  \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t)\cdot {\rm si}^2(\pi\cdot f_{\rm 0} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
Insbesondere gilt für den Zeitpunkt $t = 250 \, \rm \mu s$  (grünes Quadrat):
+
*Insbesondere gilt für den Zeitpunkt $t = 250 \, \rm &micro; s$&nbsp; (grünes Quadrat):
 
:$$g(t = 2.5 T)  = g_{\rm I}(t = 2.5 T)  = \ 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin}  ( 2.5
 
:$$g(t = 2.5 T)  = g_{\rm I}(t = 2.5 T)  = \ 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin}  ( 2.5
  \pi )\cdot {\rm si}^2(\frac{\pi}{2}) = \  \frac{8}{\pi^2} \cdot 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 10^{3} \,{\rm
+
  \pi )\cdot {\rm si}^2(\frac{\pi}{2})= \  \frac{8}{\pi^2} \cdot B \cdot f_0 = \  \frac{8}{\pi^2} \cdot 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 10^{3} \,{\rm
 
  Hz}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.162\,{\rm
 
  Hz}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.162\,{\rm
 
  V}} \hspace{0.05cm}.$$
 
  V}} \hspace{0.05cm}.$$
[[Datei:P_ID1283__Dig_Z_1_4g.png|right|frame|Unsymmetrischer Nyquistimpuls]]
+
 
 +
[[Datei:P_ID1283__Dig_Z_1_4g.png|right|frame|Unsymmetrischer Nyquistimpuls&nbsp; $g(t)= g_{\rm R}(t) +  g_{\rm I}(t) $]]
 
Die Grafik zeigt die Veränderung der Zeitfunktion aufgrund des Imaginärteils (grüner Zeitverlauf):  
 
Die Grafik zeigt die Veränderung der Zeitfunktion aufgrund des Imaginärteils (grüner Zeitverlauf):  
 
*Es ergibt sich nun ein unsymmetrischer Funktionsverlauf $g(t)$, der blau dargestellt ist.  
 
*Es ergibt sich nun ein unsymmetrischer Funktionsverlauf $g(t)$, der blau dargestellt ist.  

Aktuelle Version vom 1. Mai 2022, 17:30 Uhr


Komplexes Nyquistspektrum

Betrachtet wird ein Impuls  $g(t)$  mit Spektrum  $G(f)$  gemäß der Skizze.  Man erkennt aus dieser Darstellung:

  • Der Realteil von  $G(f)$  ist trapezförmig mit den Eckfrequenzen  $f_{1} = 3 \, \rm kHz$  und  $f_{2} = 7 \, \rm kHz$.  Im Bereich  $|f| < f_{1}$  gilt:
$${\rm Re}\big[G(f)\big] = A = 10^{-4} \, \rm V/Hz.$$
  • Der Imaginärteil von  $G(f)$  wird für die Teilaufgaben  (1)  bis  (5)  stets zu  ${\rm Im}\big[G(f)\big] =0$  angenommen.  In diesem Fall ist  $g(t)$  sicher ein Nyquistimpuls.
  • Ab der Teilaufgabe  (6)  hat der Imaginärteil  ${\rm Im}[G(f)]$  im Bereich  $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$  einen Dreiecksverlauf mit den Werten  $\pm B$  bei den Dreieckspitzen.


Zu prüfen ist,  ob der Impuls  $g(t)$  auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:

$$g(\nu T) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \nu = 0 \hspace{0.05cm}, \\ \nu \ne 0 \hspace{0.1cm}. \\ \end{array}$$

Im Verlauf dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:

  • Die  Nyquistfrequenz  gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an:
$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }\hspace{0.05cm}.$$
  • Der  Rolloff–Faktor  ist ein Maß für die Flankensteilheit:
$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$


Hinweise:

  • Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte  $g(t)$  eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff–Faktor  $r$:
$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot r \cdot t}/{T}\right)\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} {\rm si} (x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$
  • Ein dreieckförmiges Tiefpass–Spektrum  $G(f)$,  das auf  $| f | < f_{0}$  begrenzt ist und bei dem  $G(f = 0) = B$  gilt,  führt nach Fourierrücktransformation zur Zeitfunktion
$$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} {\rm si} (x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Für die ersten Teilfragen gelte  $B = 0$.  Wie groß ist die Nyquistfrequenz?

$f_{\rm Nyq} \ = \ $

$\ \rm kHz$

2

Welcher Rolloff–Faktor  $r$  liegt hier vor?

$r \ = \ $

3

Berechnen Sie den Maximalwert  $g_{0}$  des Nyquistimpulses  $g(t)$.

$g_{0} \ = \ $

$\ \rm V$

4

Es gelte weiter  $B=0$.  Berechnen Sie  $g(t)$  für die Zeitpunkte  $t = 100\, µ \rm s$  und  $t = 200\, µ \rm s$.

$g(t = 100\, µ \rm s) \ = \ $

$\ \rm V$
$g(t = 200\, µ \rm s) \ = \ $

$\ \rm V$

5

Berechnen Sie den Impulswert zur Zeit  $t = 250\ µ \rm s$.

$g(t = 250\, µ \rm s) \ = \ $

$\ \rm V$

6

Welche Aussagen treffen für  $B \neq 0$  zu?  $G(f)$  ist dann komplexwertig.

Die Nyquistbedingung wird erfüllt,  wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen  $3 \, \rm kHz$  und  $7 \, \rm kHz$  liegt.
Die Nyquistbedingung wird erfüllt,  wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen  $3 \, \rm kHz$  und  $5 \, \rm kHz$  liegt.
Die Nyquistbedingung wird erfüllt,  wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen  $4.5 \, \rm kHz$  und  $5.5 \, \rm kHz$  liegt.

7

Berechnen Sie  $g(t)$  für  $t = 250\, µ \rm s$  und  $B = A = 10^{–4} \, \rm V/Hz$   ⇒   komplexe Spektralfunktion.

$g(t = 250\ µ \rm s) \ = \ $

$\ \rm V$


Musterlösung

(1)  Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an.  Es gilt:

$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }= \frac{3\, {\rm kHz} + 7\, {\rm kHz}} {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 5\, {\rm kHz}} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Der Rolloff–Faktor ist ebenfalls durch die beiden Eckfrequenzen  $f_{1}$  und  $f_{2}$  festgelegt:

$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } = \frac{7\, {\rm kHz} - 3\, {\rm kHz}} {7\, {\rm kHz} + 3\, {\rm kHz} }\hspace{0.1cm}\underline { = 0.4 }\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Bei einem Impuls mit reellem Tiefpass–Spektrum liegt das Maximum stets bei  $t = 0$  und es gilt:

$$g_0 = g(t=0) = \int_{-\infty}^{+\infty}G(f) \,{\rm d} f = A \cdot 2 f_{\rm Nyq} = 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 5 \cdot10^{3} \,{\rm Hz}\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand  $T = 1/(2f_{\rm Nyq}) = 100 \, \rm µ s$  auf.  Daraus erhält man direkt:

$$g(t= 100\,{\rm µ s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline { g(T) = 0,}$$
$$g(t= 200\,{\rm µ s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline {g(2T) = 0} \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis folgt auch aus der angegebenen Gleichung mit  $r = 0.4$:

$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Verantwortlich dafür,  dass die erste Nyquistbedingung erfüllt wird,  ist der erste Term.


(5)  Entsprechend der unter  (4)  angegebenen Gleichung gilt:

$$g(t= 250\,{\rm µ s})= g_0 \cdot {\rm si} ( {2.5 \cdot \pi })\cdot {\rm si} ( \pi )\hspace{0.1cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$

Diese Nullstelle ist auf den zweiten Term zurückzuführen und liegt nicht im Nyquist–Zeitraster  $\nu T$


(6)  Für die folgende Herleitung gelte  $g(t)= g_{\rm R}(t) + g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$  wobei  $g_{\rm R}(t)$  auf den Realteil und  $g_{\rm I}(t)$  auf den Imaginärteil von  $G(f)$  zurückgeht.

  • Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt  (4)  berechnet:
$$g_{\rm R} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
  • Zur Erfüllung des ersten Nyquistkriteriums muss für den Imaginärteil mit  $1/T = 10 \, \rm kHz$  gelten:
$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} {\rm Im}\left[G \left ( f - {k}/{T} \right)\right]= 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit den gegebenen Eckfrequenzen  $f_{1} = 3 \, \rm kHz$  und  $f_{2} = 7 \ \rm kHz$  liegen die beiden Dreiecke um  $\pm 5\, \rm kHz$,  so dass obige Gleichung erfüllt ist.
  • Gleiches gilt für  $f_{1} = 4.5\, \rm kHz$  und  $f_{2} = 5.5 \, \rm kHz$.
  • Dagegen liegen die Dreieckspitzen mit  $f_{1} = 3\, \rm kHz$  und  $f_{2} = 5 \, \rm kHz$  bei  $\pm 4 \ \rm kHz$.
  • In diesem Fall löschen sich die Dreieckfunktionen durch die periodische Fortsetzung nicht aus und die Nyquistbedingung ist nicht erfüllt.


Richtig sind somit die  Lösungsvorschläge 1 und 3.


(7)  Mit dem Ergebnis  $g_{\rm R}(2.5T) = 0$  aus  (3)  folgt  $g(2.5T) = g_{\rm I}(2.5T)$,  wobei  $g_{\rm I}(t)$  die Fourierrücktransformierte von  ${\rm j}\cdot \ G_{\rm I}(f)$  ist.  Es gilt:

$${\rm j} \cdot G_{\rm I}(f) = {\rm j} \cdot\left[ \delta(f + f_{\rm Nyq}) - \delta(f - f_{\rm Nyq})\right] \star D(f) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} g_{\rm I}(t) = 2 \cdot {\rm sin} ( 2 \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t )\cdot d(t)\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Sinusfunktion erzwingt die erforderlichen Nulldurchgänge bei Vielfachen von  $T = 100 \, \rm µ s$.
  • $D(f)$  ist eine Dreieckfunktion um  $f = 0$ mit  $D(f = 0) = B$  und der einseitigen Breite  $f_{0}= f_{2} – f_{\rm Nyq} = f_{\rm Nyq} – f_{1} = 2 \, \rm kHz$.
  • Für die dazugehörige Zeitfunktion kann somit entsprechend der Angabe geschrieben werden:
$$g_{\rm I}(t ) = 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin} ( 2 \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t)\cdot {\rm si}^2(\pi\cdot f_{\rm 0} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
  • Insbesondere gilt für den Zeitpunkt $t = 250 \, \rm µ s$  (grünes Quadrat):
$$g(t = 2.5 T) = g_{\rm I}(t = 2.5 T) = \ 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin} ( 2.5 \pi )\cdot {\rm si}^2(\frac{\pi}{2})= \ \frac{8}{\pi^2} \cdot B \cdot f_0 = \ \frac{8}{\pi^2} \cdot 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 10^{3} \,{\rm Hz}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.162\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
Unsymmetrischer Nyquistimpuls  $g(t)= g_{\rm R}(t) + g_{\rm I}(t) $

Die Grafik zeigt die Veränderung der Zeitfunktion aufgrund des Imaginärteils (grüner Zeitverlauf):

  • Es ergibt sich nun ein unsymmetrischer Funktionsverlauf $g(t)$, der blau dargestellt ist.
  • Die Nulldurchgänge von $g_{\rm R}(t)$ im Abstand $T$ bleiben jedoch erhalten.