Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Übertragungsmaß

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Kurzer Leitungsabschnitt

Wir gehen von einer homogenen und reflektionsfrei abgeschlossenen Leitung der Länge  $l$  aus,  so dass für die Spektralfunktion am Ausgang gilt:

$$U_2(f) = U_1(f) \cdot {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei beschreibt  $\gamma(f)$  das Übertragungsmaß einer extrem kurzen Leitung der infinitesimalen Länge  $dx$,  das man mit den Belägen  $R\hspace{0.05cm}'$,  $L\hspace{0.05cm}'$,  $G\hspace{0.08cm}'$ und  $C\hspace{0.08cm}'$ (siehe Grafik) wie folgt darstellen kann:

$$\gamma(f) = \sqrt{(R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot L\hspace{0.05cm}') \cdot (G\hspace{0.08cm}' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot C\hspace{0.08cm}')} =\alpha (f) + {\rm j} \cdot \beta (f)\hspace{0.05cm}.$$

• Der Realteil von  $\gamma(f)$  ergibt das Dämpfungsmaß  $\alpha(f)$,  und
• der Imaginärteil das Phasenmaß  $\beta(f)$.

Nach einiger Rechnung kann man für diese Größen schreiben:

$$\alpha(f) = \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (R\hspace{0.05cm}' \cdot G\hspace{0.08cm}' - \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.08cm}'\right)+{1}/{2}\cdot \sqrt{(R\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2) \cdot (G\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2)}}\hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pif},$$

$$\beta(f) = \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (-R\hspace{0.05cm}' \cdot G\hspace{0.08cm}' + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}' C\hspace{0.08cm}'\right)+{1}/{2}\cdot \sqrt{(R\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2) \cdot (G\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2)}}\hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$

• Bei der Dämpfungsfunktion  $a(f)$  ist zusätzlich die Pseudoeinheit „Neper”  (Np) hinzuzufügen und bei der Phasenfunktion  $b(f)$  „Radian” (rad). 
• Da die Leitungsbeläge jeweils auf die Leitungslänge bezogen sind, weisen  $\alpha(f)$  bzw.  $\beta(f)$  die Einheiten „Np/km” bzw. „rad/km” auf.

Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße neben  $\gamma(f)$  ist der Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}(f)$,  der an jedem Ort den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom der beiden laufenden Wellen angibt.  Es gilt:

$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.08cm}'}}\hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm} \omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Einige Ergebnisse der Leitungstheorie.

• Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen jeweils die Zahlenwerte

$$R\hspace{0.05cm}' = 100\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}G\hspace{0.08cm}' = 1\,\,{\rm µ S}/{ {\rm km}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}2\pi L\hspace{0.03cm}' = 2\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}2\pi C\hspace{0.08cm}' = 200\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1 Geben Sie  $\alpha(f)$,  $\beta(f)$ und  $Z_{\rm W}(f)$  für die Frequenz  $f = 0$  ("Gleichstrom")  an.

$\alpha(f =0) \ =$ $\ \rm Np/km$

$\beta(f = 0) \ =$ $\ \rm rad/km$

$Z_{\rm W}(f = 0) \ =$ $\ \rm \Omega$

2 Berechnen Sie das Dämpfungsmaß  $\alpha(f)$  für  $f = 100\ \rm kHz$.

$\alpha(f = 100\ \rm kHz) \ = \ $ $\ \rm Np/km$

3 Geben Sie die für  $f → \infty$  gültigen Näherungen von  $Z_{\rm W}(f)$  und  $\alpha(f)$  an.

$ Z_{\rm W}(f → \infty) \ = \ $ $\ \rm \Omega$

$\alpha(f → \infty) \ = \ $ $\ \rm Np/km$

4 Leiten Sie mit  $\omega L\hspace{0.03cm}' \ll R\hspace{0.05cm}'$  und  $\omega C\hspace{0.08cm}' \gg G\hspace{0.08cm}'$  eine  $\alpha(f)$– Näherung für  (nicht zu)  kleine Frequenzen ab.
Welches Dämpfungsmaß ergibt sich für  $ f = 1 \ \rm kHz$  und  $ f = 4 \ \rm kHz$.

$\alpha(f = 1\  \rm kHz) \ = \ $ $\ \rm Np/km$

$\alpha(f = 4\ \rm kHz) \ = \ $ $\ \rm Np/km$

5 Geben Sie für den gleichen Frequenzbereich eine geeignete Näherung für den Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}(f)$  an.
Welcher Wert ergibt sich für  $ f = 1 \ \rm kHz$?

${\rm Re}\{Z_{\rm W}(f = 1\ \rm kHz)\} \ = \ $ $\ \rm \Omega$

${\rm Im}\{Z_{\rm W}(f = 1\ \rm kHz)\} \ = \ $ $\ \rm \Omega$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Setzt man in die gegebenen Gleichungen die Frequenz  $f = 0$  ein,  so erhält man

$$\alpha(f = 0) = [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \sqrt{{1}/{2}\hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} G\hspace{0.03cm}'+ {1}/{2}\cdot R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} G\hspace{0.03cm}'} = [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \sqrt{ R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} G\hspace{0.03cm}'} = [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \sqrt{ 100\,{\rm \Omega/km} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 10^{-6}\,{\rm (\Omega \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} km})^{-1}}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.01\,{\rm Np}/{ {\rm km}}}\hspace{0.05cm},$$

$$\beta(f = 0) = [1\,{\rm rad}] \cdot \sqrt{-{1}/{2}\cdot R\hspace{0.03cm}' \cdot G\hspace{0.03cm}'+ {1}/{2}\cdot R\hspace{0.03cm}' \cdot G\hspace{0.03cm}'} \hspace{0.15cm}\underline{= 0 }\hspace{0.05cm},$$

$$Z_{\rm W}(f = 0) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}'}{G\hspace{0.03cm}'}} = \sqrt{\frac {100\,{\rm \Omega/km}}{{\rm 10^{-6}/(\Omega \cdot km})}}\hspace{0.15cm}\underline{= 10\, {\rm k \Omega}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Gleichsignaldämpfung wird relevant,

• wenn das Nutzsignal im Basisband übertragen werden soll und einen Gleichanteil besitzt,  oder
• wenn der Netzabschluss beim Teilnehmer von der Ortsvermittlungsstelle aus mit Leistung versorgt werden muss  ("Fernspeisung").

(2)  Mit  $f = 10^{5} \ \rm Hz$  und den angegebenen Werten gilt

$$f \cdot 2\pi L' = 10^5\,\frac{1}{ {\rm s}} \cdot 2 \cdot10^{-3}\,\frac{\rm \Omega \cdot s}{ {\rm km}}= 200 \,\frac{\rm\Omega}{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{1.05cm}f \cdot 2\pi C' = 10^5\,\frac{1}{ {\rm s}} \cdot 2 \cdot10^{-7}\,\frac{\rm s}{ {\rm \Omega \cdot km}}= 0.02\,\frac{\rm 1 }{ {\rm \Omega \cdot km}} \hspace{0.05cm}.$$

Damit ergibt sich für das Dämpfungsmaß in „Np/km”:

$$\alpha(f = 100\,{\rm kHz})= \sqrt{ {1}/{2}\cdot \left (100 \cdot 10^{-6} - 200 \cdot 0.02 \right)+{1}/{2} \cdot \sqrt{(100^2 + 200^2) \cdot (10^{-12} + 0.02^2)}} $$

$$ \Rightarrow \; \; \alpha(f = 100\,{\rm kHz}) \approx \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (10^{-4} - 4 \right)+{1}/{2}\cdot \sqrt{5 \cdot 10^{4} \cdot 4 \cdot 10^{-4}}} \approx \sqrt {-2 + \frac{\sqrt{20}}{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.486 \ {\rm Np/km}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Der Grenzübergang für  $f → \infty$  ergibt sich,  wenn man im Zähler  $R\hspace{0.03cm}'$  und im Nenner  $G\hspace{0.08cm}'$  gegenüber den jeweils zweiten Term vernachlässigt:

$$\lim_{f \rightarrow \infty} \hspace{0.1cm} Z_{\rm W}(f)= \lim_{\omega \rightarrow \infty} \hspace{0.1cm} \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' + {\rm j} \cdot \omega L'}{G' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.03cm}'}}=\sqrt{\frac {2 \pi L\hspace{0.03cm}' }{2 \pi C\hspace{0.03cm}'}}=\sqrt{\frac {2 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \cdot s} }{2 \cdot 10^{-73}\,{\rm s/\Omega} }} \hspace{0.15cm}\underline{= 100\,{\rm \Omega }}\hspace{0.05cm}.$$

• Die Näherung für die Dämpfungsfunktion ist schwieriger herzuleiten. Ausgehend von

$$\alpha(\omega) = \sqrt{ {1}/{2}\cdot \left (R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' - \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}'\right)+{1}/{2}\sqrt{(R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2) \cdot (G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}'^2)}}$$

gilt dann ebenfalls:

$$2 \cdot \alpha^2(\omega) = R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' + \omega^2 \cdot L'C'\cdot\left [-1 +\sqrt{(1 + \frac{R\hspace{0.03cm}'^2}{ \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'^2}) \cdot (1 + \frac{G\hspace{0.03cm}'^2}{ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'^2})} \hspace{0.1cm}\right]$$

$$\Rightarrow \; \; 2 \cdot \alpha^2(\omega) \approx R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' + \omega^2 \cdot L'C\hspace{0.03cm}'\cdot\left [-1 +\sqrt{1 + \frac{R'^2}{ \omega^2 \cdot L'^2}+ \frac{G\hspace{0.03cm}'^2}{ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'^2}} \hspace{0.1cm}\right].$$

• Über die für kleine  $x$  gültige Näherung   $\sqrt{1 + x}\approx 1+x/2$   kommt man zum Zwischenergebnis für (unendlich) große Frequenzen:

$$2 \cdot \alpha^2(\omega \rightarrow \infty) = R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.05cm}' + \omega^2 \cdot L'C\hspace{0.05cm}'\cdot\left [ -1 +1 + {1}/{2} \cdot \left ( \frac{R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}{ \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}+ \frac{G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}{ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}\right) \hspace{0.1cm}\right] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot \alpha^2(\omega \rightarrow \infty) = \frac{2 \cdot R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}' L'+ R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 C\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2+G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}{2 \cdot C\hspace{0.03cm}' L\hspace{0.03cm}'}= \frac{(R\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}' + G\hspace{0.03cm}' L\hspace{0.03cm}')^2}{2 \cdot C\hspace{0.03cm}' L\hspace{0.03cm}' }$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha(\omega \rightarrow \infty) ={1}/{2}\cdot \frac{R\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}' + G\hspace{0.03cm}' L\hspace{0.03cm}'}{\sqrt{ C\hspace{0.03cm}' L\hspace{0.03cm}' }}={1}/{2}\cdot \left [R\hspace{0.03cm}' \cdot \sqrt{\frac{C\hspace{0.03cm}'}{L\hspace{0.03cm}'}}+G\hspace{0.03cm}' \cdot \sqrt{\frac{L\hspace{0.03cm}'}{C\hspace{0.03cm}'}}\right]\hspace{0.05cm}.$$

• Mit den eingesetzten Zahlenwerten ergibt sich

$$\alpha(f \rightarrow \infty) = \alpha(\omega \rightarrow \infty)= {0.5\,{\rm Np/km}}\cdot \left [100 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot10^{-3}}}+10^{-6} \cdot\sqrt{\frac{2 \cdot10^{-3}}{2 \cdot10^{-7}}}\right]\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.5 \, {\rm Np}/{\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Für kleine Frequenzen gilt  $\omega L\hspace{0.03cm}' \ll R\hspace{0.03cm}'$  und  $ \omega C\hspace{0.03cm}' \gg G\hspace{0.03cm}'$.

• Unter Vernachlässigung des  $\omega^2$–Anteils erhält man:

$$\alpha(f) = \sqrt{\frac {1}{2}\cdot \left (R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' - \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}'\right)+\frac {1}{2}\sqrt{(R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2) \cdot (G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2+ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2)}}\hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pif}$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha(f) \approx \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}'}{2}+\frac {R\hspace{0.03cm}' \cdot \omega C\hspace{0.03cm}'}{2}}\hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.03cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pif} \approx \sqrt{{1}/{2} \cdot f \cdot R\hspace{0.03cm}' \cdot 2 \pi C\hspace{0.03cm}'}\hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei ist berücksichtigt,  dass der erste Anteil gemäß Teilaufgabe  (1)  außer bei der Frequenz  $f = 0$  vernachlässigt werden kann.
• Für die Frequenz  $f = 1 \ \rm kHz$  ergibt sich die Näherung

$$\alpha(f = 1\,{\rm kHz}) = \sqrt{{1}/{2} \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} \cdot 100\,\frac{\rm \Omega }{ {\rm km}} \cdot 2 \cdot 10^{-7}\,\frac{\rm s }{ {\rm \Omega \cdot km}}}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm Np }/{ {\rm km}}}\hspace{0.05cm}.$$

• Für die Frequenz  $f = 4 \ \rm kHz$  ist das Dämpfungsmaß doppelt so groß:

$$\alpha(f = 4\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.2\,{\rm Np }/{ {\rm km}}}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Für den Wellenwiderstand gilt bei niedrigen Frequenzen näherungsweise:

$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' + {\rm j} \cdot f \cdot 2 \pi L\hspace{0.03cm}'}{G\hspace{0.03cm}' + {\rm j} \cdot f \cdot 2 \pi C\hspace{0.03cm}'}}\approx \sqrt\frac{1 }{ {\rm j}} \cdot \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' }{ f \cdot 2 \piC\hspace{0.03cm}'}}= (1 - {\rm j})\cdot \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' }{ 2 \cdot f \cdot 2 \piC\hspace{0.03cm}'}}\hspace{0.05cm}.$$

• Mit den angegebenen Leitungsbeschlägen erhält man:

$${\rm Re}\{Z_{\rm W}(f= 1\,{\rm kHz})\} = \sqrt{\frac {100\,{\rm \Omega/km }}{ 2 \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} \cdot 2 \cdot 10^{-7}\,{\rm s/(\Omega \cdot km) }}} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\,{\rm\Omega}}\hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm Im}\{Z_{\rm W}(f= 1\,{\rm kHz})\} = -{\rm Re}\{Z_{\rm W}(f= 1\,{\rm kHz})\}\hspace{0.15cm}\underline{= -500\,{\rm\Omega}}\hspace{0.05cm}.$$