Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Anwendung des Residuensatzes

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Sechs Pol–Nullstellen–Diagramme

Die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben,  gekennzeichnet durch

• $Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$,
• $N$  Pole  $p_{{\rm x}i}$, sowie
• die Konstante  $K$.

Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen.  Es gelte stets  $K= 2$.

Für den Fall,  dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen kleiner als die Anzahl  $N$  der Pole ist,  kann das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  durch Anwendung des  Residuensatzes  direkt ermittelt werden.

In diesem Fall gilt

$$y(t) = \sum_{i=1}^{I} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}t}\bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right\} \hspace{0.05cm}.$$

$I$  gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an;  bei allen vorgegebenen Konstellationen ist  $I = N$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Laplace–Rücktransformation.

• Ist das Zeitsignal  $y(t)$  komplex, so kann  $Y_{\rm L}(p)$  nicht als Schaltung realisiert werden.  Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
• Die komplexe Frequenz  $p$,  die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  sowie die Pole  $p_{{\rm x}i}$  beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
• Damit ist auch die Zeit  $t$  dimensionslos.

Fragebogen

1 Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz  nicht direkt  anwenden?

	Konfiguration  $\rm A$,
	Konfiguration  $\rm B$,
	Konfiguration  $\rm C$,
	Konfiguration  $\rm D$,
	Konfiguration  $\rm E$,
	Konfiguration  $\rm F$.

2 Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm A$  mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -1$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?

$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $

$\ {\rm Im}\{y(t = 1)\} \ = \ $

3 Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm C$  mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?

$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $

$\ {\rm Im}\{y(t = 1)\} \ = \ $

4 Welcher Signalwert  $y(t = 1)$  ergibt sich bei der Konstellation  $\rm E$  mit  $K= 2$  und zwei Polstellen bei  $p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?

$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $

$\ {\rm Im}\{y(t = 1)\} \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2,  4  und  6:

• Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist,  dass es weniger Nullstellen als Pole gibt,  das heißt,  es muss  $Z < N$  gelten.
• Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen  $\rm B$,  $\rm D$ und  $\rm F$ nicht gegeben.
• Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden,  zum Beispiel für die Konfiguration  $\rm B$  mit  $p_x = -1$:

$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}\hspace{0.05cm} .$$

(2)  Mit  $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$  ergibt sich aus dem Residuensatz mit  $I=1$:

$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}\bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)=\frac{2}{\rm e} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.736 \hspace{0.15cm}{\rm (rein\hspace{0.15cm}reell)}}\hspace{0.05cm} .$$

Komplexe Signale bei einem einzigen komplexen Pol

(3)  Bei gleicher Vorgehensweise wie in Teilaufgabe  (2)  erhält man nun:

$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5\pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\hspace{0.05cm} .$$

• Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal,  dessen Phase in mathematisch positiver Richtung  (entgegen dem Uhrzeigersinn)  dreht.  Für den Zeitpunkt  $t=1$  gilt:

$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)\big ]= - {\rm j} \cdot 1.638$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}\hspace{0.05cm} .$$

• Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei  $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.  Rechts sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal für  $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.

Signalverlauf der Konfiguration $\rm E$

(4)  Nun gilt  $I=2$. Die Residien von  $p_{x1}$  bzw.  $p_{x2}$  liefern:

$$y_1(t) =\frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\hspace{0.05cm} ,$$

$$ y_2(t) =\frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}=-\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}$$

$$y(t)= y_1(t)+y_2(t) =\frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2\hspace{0.08cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)- \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}y(t)= \frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2\hspace{0.08cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\cdot \sin(1.5\pi \cdot t)$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2\hspace{0.08cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} \hspace{0.15cm}\underline{= -0.347}\hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt den  (rein reellen)  Signalverlauf  $y(t)$  für diese Konfiguration.