Applets:Binomial- und Poissonverteilung (Applet): Unterschied zwischen den Versionen

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{{LntAppletLink|binomPoissonDistributions_en}}         [https://en.lntwww.de/Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet) '''English Applet with English WIKI description''']
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==Programmbeschreibung==
 
==Programmbeschreibung==
 
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Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung  
 
Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung  
*der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=\mu)$ einer diskreten Zufallsgröße $z \in \{\mu \} =  \{0, 1, 2, 3, \text{...} \}$, welche die ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'' (WDF) &ndash; im Englischen ''Probability Density Function'' (PDF) &ndash; der Zufallsgröße $z$ bestimmen:
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*der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=\mu)$ einer diskreten Zufallsgröße $z \in \{\mu \} =  \{0, 1, 2, 3, \text{...} \}$, welche die ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'' (WDF) &ndash; im Englischen ''Probability Density Function'' (PDF) &ndash; der Zufallsgröße $z$ bestimmen &ndash; hier Darstellung mit Diracfunktionen ${\rm \delta}( z-\mu)$:
 
:$$f_{z}(z)=\sum_{\mu=1}^{M}{\rm Pr}(z=\mu)\cdot {\rm \delta}( z-\mu),$$
 
:$$f_{z}(z)=\sum_{\mu=1}^{M}{\rm Pr}(z=\mu)\cdot {\rm \delta}( z-\mu),$$
*der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \le \mu)$ der Verteilungsfunktion (VTF)  &ndash; im Englischen ''Cumulative Distribution Function'' (CDF)
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*der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \le \mu)$ der Verteilungsfunktion (VTF)  &ndash; im Englischen ''Cumulative Distribution Function'' (CDF):
:$$f_{z}(z)=\sum_{\mu=1}^{M}{\rm Pr}(z\le\mu)\cdot {\rm \delta}( z-\mu),$$
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:$$F_{z}(\mu)={\rm Pr}(z\le\mu).$$
 
 
Zur Beschreibung von Zufallsgrößen wird neben der [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] (WDF) auch häufig die Verteilungsfunktion (VTF) herangezogen, die wie folgt definiert ist:
 
 
 
{{Definition}}
 
Die '''Verteilungsfunktion''' $F_{x}(r)$ entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $x$ kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert $r$ ist:
 
$$F_{x}(r)  = {\rm Pr}( x \le r).$$
 
 
 
Die englische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion (VTF) ist ''Cumulative Distribution Function'' (CDF).
 
{{end}}
 
*Binomialverteilungen:
 
$$\hspace{1.5cm}p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu},$$
 
  
$\hspace{0.7cm}$wobei $I$ die Anzahl der binären und statisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen $b_i$ und
 
  
$\hspace{0.7cm}p={\rm Pr}(b_i=1)$ die Erfolgswahrscheinlichkeit  darstellt, und
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Als diskrete Verteilungen stehen in zwei Parametersätzen zur Auswahl:
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* die Binomialverteilung mit den Parametern $I$ und $p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $z \in  \{0, 1, \text{...} \ , I \}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $M = I+1$ mögliche Werte,
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*die Poissonverteilung mit Parameter $\lambda$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $z \in  \{0, 1, 2, 3, \text{...}\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $M \to \infty$.
  
  
*Poissonverteilungen:  
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In der Versuchsdurchführung sollen Sie miteinander vergleichen:
$$\hspace{1.5cm}p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)=\frac{ \lambda^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-\lambda},$$
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* je zwei Binomialverteilungen mit unterschiedlichen Parameterwerten $I$ und $p$,
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* je zwei Poissonverteilungen mit unterschiedlicher Rate $\lambda$,  
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*jeweils eine Binomial&ndash; und eine Poissonverteilung.
  
$\hspace{0.7cm}$wobei die Rate$\lambda$ aus $\lambda=I\cdot p$ berechnet werden kann.
 
  
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Auch in dieser deutschen Version sind die Aufgabenbeschreibungen und Musterlösungen in Englisch.
  
Da gleichzeitig bis zu zwei Verteilungsfunktionen eingestellt werden können, können Binomial- und Poissonverteilungen einfach miteinander verglichen werden.
 
 
Aus Gründen einer einheitlichen Darstellung aller Zufallsgrößen (sowohl wertdiskret als auch wertkontinuierlich) ist es zweckmäßig, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auch für diskrete Zufallsgrößen zu definieren. Wendet man die Definitionsgleichung der letzten Seite auf diskrete Zufallsgrößen an, so nimmt die WDF an einigen Stellen $x_\mu$ aufgrund des nicht verschwindend kleinen Wahrscheinlichkeitswertes und des Grenzübergangs $Δx → 0$  unendlich große Werte an. Somit ergibt sich für die WDF eine Summe von [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktionen]]  (bzw. ''Distributionen''):
 
$$f_{x}(x)=\sum_{\mu=1}^{M}p_\mu\cdot {\rm \delta}( x-x_\mu).$$
 
 
Die Gewichte dieser Diracfunktionen sind gleich den Wahrscheinlichkeiten $p_\mu = {\rm Pr}(x = x_\mu$).
 
 
Hier noch ein Hinweis, um die unterschiedlichen Beschreibungsgrößen für diskrete und kontinuierliche Zufallsgrößen einordnen zu können: Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion stehen in ähnlichem Verhältnis zueinander wie im Buch [[Signaldarstellung]]
 
*ein diskreter Spektralanteil einer harmonischen Schwingung  ⇒  Linienspektrum, und
 
*ein kontinuierliches Spektrum eines energiebegrenzten (impulsförmigen) Signals.
 
  
 
==Theoretischer Hintergrund==
 
==Theoretischer Hintergrund==
 
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===Eigenschaften der Binomialverteilung===
 
===Eigenschaften der Binomialverteilung===
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Die ''Binomialverteilung'' stellt einen wichtigen Sonderfall für die Auftrittswahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsgröße dar. Zur Herleitung gehen wir davon aus, dass $I$ binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen $b_i \in \{0, 1 \}$  
 
Die ''Binomialverteilung'' stellt einen wichtigen Sonderfall für die Auftrittswahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsgröße dar. Zur Herleitung gehen wir davon aus, dass $I$ binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen $b_i \in \{0, 1 \}$  
 
*den Wert $1$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$, und  
 
*den Wert $1$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$, und  
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'''Momente der Binomialverteilung'''
 
'''Momente der Binomialverteilung'''
  
Für das Moment $k$-ter Ordnung einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt:  
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Für das Moment $k$-ter Ordnung einer binomialverteilten Zufallsgröße $z$ gilt:  
 
:$$m_k={\rm E}[z^k]=\sum_{\mu={\rm 0}}^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$
 
:$$m_k={\rm E}[z^k]=\sum_{\mu={\rm 0}}^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$
  
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:$$f=\sum_{i=1}^{I}e_i.$$
 
:$$f=\sum_{i=1}^{I}e_i.$$
  
Die Zufallsgröße $f$ kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen $\mu = 0$ (kein Symbol verfälscht) und $\mu = I$ (alle fünf Symbole falsch) annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten für $\mu$ Verfälschungen bezeichnen wir mit $p_μ = {\rm Pr}(f = \mu)$.  
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Die Zufallsgröße $f$ kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen $\mu = 0$ (kein Symbol verfälscht) und $\mu = I = 5$ (alle fünf Symbole falsch) annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten für $\mu$ Verfälschungen bezeichnen wir mit $p_μ = {\rm Pr}(f = \mu)$.  
*Der Fall, dass alle fünf Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.9^{5} ≈ 0.5905$ ein. Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für $μ = 0$ unter Berücksichtigung der Definition „10 über 0“ = 1.  
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*Der Fall, dass alle fünf Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.9^{5} ≈ 0.5905$ ein. Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für $μ = 0$ unter Berücksichtigung der Definition $5\text{ über } 0 = 1$.  
 
*Ein einziger Symbolfehler $(f = 1)$ tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_1 = 5\cdot 0.1\cdot 0.9^4\approx 0.3281$ auf. Der erste Faktor berücksichtigt, dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau $5\text{ über } 1 = 5$ Möglichkeiten gibt. Die beiden weiteren Faktoren beücksichtigen, dass ein Symbol verfälscht und vier richtig übertragen werden müssen, wenn $f =1$ gelten soll.  
 
*Ein einziger Symbolfehler $(f = 1)$ tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_1 = 5\cdot 0.1\cdot 0.9^4\approx 0.3281$ auf. Der erste Faktor berücksichtigt, dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau $5\text{ über } 1 = 5$ Möglichkeiten gibt. Die beiden weiteren Faktoren beücksichtigen, dass ein Symbol verfälscht und vier richtig übertragen werden müssen, wenn $f =1$ gelten soll.  
*Für $f =2$ gibt es mehr Kombinationen, nämlich$5\text{ über } 2 = (5 \cdot 4)/(1 \cdot 2) = 10$, und man erhält $p_2 = 10\cdot 0.1^2\cdot 0.9^3\approx 0.0729$.
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*Für $f =2$ gibt es mehr Kombinationen, nämlich $5\text{ über } 2 = (5 \cdot 4)/(1 \cdot 2) = 10$, und man erhält $p_2 = 10\cdot 0.1^2\cdot 0.9^3\approx 0.0729$.
  
  
 
Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehlern korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm R} =  1-p_{\rm 0}-p_{\rm 1}-p_{\rm 2}\approx 0.85\%$. Eine zweite Berechnungsmöglichkeit wäre $p_{\rm R} =  p_{3}  + p_{4} + p_{5}$ mit der Näherung $p_{\rm R} \approx p_{3} = 0.81\%.$
 
Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehlern korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm R} =  1-p_{\rm 0}-p_{\rm 1}-p_{\rm 2}\approx 0.85\%$. Eine zweite Berechnungsmöglichkeit wäre $p_{\rm R} =  p_{3}  + p_{4} + p_{5}$ mit der Näherung $p_{\rm R} \approx p_{3} = 0.81\%.$
  
Die mittlere  Fehleranzahl in einem Block ist $m_f = 5 \cdot 0.1 = 0.5$. Die Varianz der Zufallsgröße $f$ beträgt $\sigma_f^2 = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.9= 0.45$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\sigma_f \approx 0.671.$}}
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Die mittlere  Fehleranzahl in einem Block ist $m_f = 5 \cdot 0.1 = 0.5$. Die Varianz der Zufallsgröße $f$ beträgt $\sigma_f^2 = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.9= 0.45$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Streuung $\sigma_f \approx 0.671.$}}
  
  
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===Eigenschaften der Poissonverteilung===
  
===Eigenschaften der Poissonverteilung===
 
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Die ''Poissonverteilung'' ist ein Grenzfall der Binomialverteilung, wobei  
 
Die ''Poissonverteilung'' ist ein Grenzfall der Binomialverteilung, wobei  
 
*zum einen von den Grenzübergängen $I → ∞$ und $p →$ 0 ausgegangen wird,  
 
*zum einen von den Grenzübergängen $I → ∞$ und $p →$ 0 ausgegangen wird,  
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Der Parameter $λ$ gibt die mittlere Anzahl der „Einsen” in einer festgelegten Zeiteinheit an und wird als die '''Rate''' bezeichnet.  
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Der Parameter $λ$ gibt die mittlere Anzahl der „Einsen” in einer festgelegten Zeiteinheit an und wird als die ''Rate'' bezeichnet.  
  
 
Im Gegensatz zur Binomialverteilung ($0 ≤ μ ≤ I$) kann hier die Zufallsgröße beliebig große (ganzzahlige, nichtnegative) Werte annehmen, was bedeutet, dass die Menge der möglichen Werte hier nicht abzählbar ist. Da jedoch keine Zwischenwerte auftreten können, spricht man auch hier von einer ''diskreten Verteilung''.  
 
Im Gegensatz zur Binomialverteilung ($0 ≤ μ ≤ I$) kann hier die Zufallsgröße beliebig große (ganzzahlige, nichtnegative) Werte annehmen, was bedeutet, dass die Menge der möglichen Werte hier nicht abzählbar ist. Da jedoch keine Zwischenwerte auftreten können, spricht man auch hier von einer ''diskreten Verteilung''.  
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Bei der Poissonverteilung ergeben sich Mittelwert und Streuung direkt aus den entsprechenden Gleichungen der Binomialverteilung durch zweifache Grenzwertbildung:
 
Bei der Poissonverteilung ergeben sich Mittelwert und Streuung direkt aus den entsprechenden Gleichungen der Binomialverteilung durch zweifache Grenzwertbildung:
:$$m_1 =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} I \cdot p= \lambda,$$
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:$$m_1 =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty, \hspace{0.2cm}  {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \hspace{0.2cm} I \cdot p= \lambda,$$
:$$\sigma =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt {\lambda}.$$
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:$$\sigma =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty, \hspace{0.2cm}  {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \hspace{0.2cm} \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt {\lambda}.$$
  
 
Daraus ist zu erkennen, dass bei der Poissonverteilung stets $\sigma^2 = m_1 = \lambda$ ist. Dagegen gilt bei der Binomialverteilung immer $\sigma^2 < m_1$.
 
Daraus ist zu erkennen, dass bei der Poissonverteilung stets $\sigma^2 = m_1 = \lambda$ ist. Dagegen gilt bei der Binomialverteilung immer $\sigma^2 < m_1$.
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{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
Wir vergleichen nun  
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Wir vergleichen nun die Binomialverteilung mit den Parametern $I =6$ und $p = 0.4$ und die Poissonverteilung mit $λ = 2.4$:  
*die Binomialverteilung mit den Parametern $I =6$ und $p = 0.4$, und
 
*die Poissonverteilung mit $λ = 2.4$:  
 
 
*Beide Verteilungen besitzen genau den gleichen Mittelwert $m_1 = 2.4$.  
 
*Beide Verteilungen besitzen genau den gleichen Mittelwert $m_1 = 2.4$.  
 
*Bei der Poissonverteilung (im Bild rot markiert) beträgt die Streuung $σ ≈ 1.55$.  
 
*Bei der Poissonverteilung (im Bild rot markiert) beträgt die Streuung $σ ≈ 1.55$.  
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{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
 
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
Gehen bei einer Vermittlungsstelle im Langzeitmittel neunzig Vermittlungswünsche pro Minute (entsprechend $λ = 1.5 \text{ pro Sekunde}$) ein, so lauten die Wahrscheinlichkeiten $p_µ$, dass in einem beliebigen Zeitraum von einer Sekunde genau $\mu$ Belegungen auftreten:  
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Gehen bei einer Vermittlungsstelle im Langzeitmittel neunzig Vermittlungswünsche pro Minute ein (also $λ = 1.5 \text{ pro Sekunde}$), so lauten die Wahrscheinlichkeiten $p_{\mu}$, dass in einem beliebigen Zeitraum von einer Sekunde genau $\mu$ Belegungen auftreten:  
 
:$$p_\mu = \frac{1.5^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-1.5}.$$
 
:$$p_\mu = \frac{1.5^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-1.5}.$$
  
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Daraus lassen sich weitere Kenngrößen ableiten:
 
Daraus lassen sich weitere Kenngrößen ableiten:
*Die Abtand $τ$ zwischen zwei Vermittlungswünschen genügt der ''Exponentialverteilung''.
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*Die Abstand $τ$ zwischen zwei Vermittlungswünschen genügt der ''Exponentialverteilung''.
 
*Die mittlere Zeitspanne zwischen Vermittlungswünschen beträgt ${\rm E}[τ] = 1/λ ≈ 0.667 \ \rm s$.}}
 
*Die mittlere Zeitspanne zwischen Vermittlungswünschen beträgt ${\rm E}[τ] = 1/λ ≈ 0.667 \ \rm s$.}}
  
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===Gegenüberstellung Binomialverteilung vs. Poissonverteilung===
 
===Gegenüberstellung Binomialverteilung vs. Poissonverteilung===
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Hier sollen die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede zwischen binomial- und poissonverteilten Zufallsgrößen herausgearbeitet werden.  
 
Hier sollen die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede zwischen binomial- und poissonverteilten Zufallsgrößen herausgearbeitet werden.  
  
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Die '''Binomialverteilung''' ist zur Beschreibung solcher stochastischer Ereignisse geeignet, die durch einen festen Takt $T$ gekennzeichnet sind. Beispielsweise beträgt bei ISDN  (''Integrated Services Digital Network'') mit $64 \ \rm kbit/s$ die Taktzeit $T \approx 15.6 \ \rm &micro; s$.  
 
Die '''Binomialverteilung''' ist zur Beschreibung solcher stochastischer Ereignisse geeignet, die durch einen festen Takt $T$ gekennzeichnet sind. Beispielsweise beträgt bei ISDN  (''Integrated Services Digital Network'') mit $64 \ \rm kbit/s$ die Taktzeit $T \approx 15.6 \ \rm &micro; s$.  
 
*Nur in diesem Zeitraster treten binäre Ereignisse auf. Solche Ereignisse sind beispielsweise die fehlerfreie $(e_i = 0)$ oder fehlerhafte $(e_i = 1)$ Übertragung einzelner Symbole.  
 
*Nur in diesem Zeitraster treten binäre Ereignisse auf. Solche Ereignisse sind beispielsweise die fehlerfreie $(e_i = 0)$ oder fehlerhafte $(e_i = 1)$ Übertragung einzelner Symbole.  
*Die Binomialverteilung ermöglicht nun statistische Aussagen über die Anzahl der in einem längeren Zeitintervall $T_{\rm I} = I · T$ zu erwartenden Übertragungsfehler entsprechend des oberen Zeitdiagramms (blau markierte Zeitpunkte).
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*Die Binomialverteilung ermöglicht nun statistische Aussagen über die Anzahl der in einem längeren Zeitintervall $T_{\rm I} = I · T$ zu erwartenden Übertragungsfehler entsprechend des skizzierten Zeitdiagramms (blau markierte Zeitpunkte).
*Für sehr große Werte von $I$ kann die Binomialverteilung durch die ''Poissonverteilung'' angenähert werden.  
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*Für sehr große Werte von $I$ und gleichzeitig sehr kleine Werte von $p$ kann die Binomialverteilung durch die ''Poissonverteilung'' mit $\lambda = I \cdot p$ angenähert werden.  
 
*Ist gleichzeitig das Produkt $I · p \gg 1$, so geht nach dem ''Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace'' die Poissonverteilung (und damit auch die Binomialverteilung) in eine diskrete Gaußverteilung über.
 
*Ist gleichzeitig das Produkt $I · p \gg 1$, so geht nach dem ''Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace'' die Poissonverteilung (und damit auch die Binomialverteilung) in eine diskrete Gaußverteilung über.
  
  
Die '''Poissonverteilung''' macht ebenfallsAussagen über die Anzahl eintretender Binärereignisse in einem endlichen Zeitintervall.
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Die '''Poissonverteilung''' macht ebenfalls Aussagen über die Anzahl eintretender Binärereignisse in einem endlichen Zeitintervall.
 
   
 
   
Geht man hierbei vom gleichen Betrachtungszeitraum $T_{\rm I}$ aus und vergrößert die Anzahl $I$ der Teilintervalle immer mehr, so wird die Taktzeit $T$, zu der jeweils ein neues Binärereignis ($0$ oder $1$) eintreten kann, immer kleiner. Im Grenzfall geht $T$ gegen Null. Das heißt:  
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Geht man hierbei vom gleichen Betrachtungszeitraum $T_{\rm I}$ aus und vergrößert die Anzahl $I$ der Teilintervalle immer mehr, so wird die Taktzeit $T,$ zu der jeweils ein neues Binärereignis ($0$ oder $1$) eintreten kann, immer kleiner. Im Grenzfall geht $T$ gegen Null. Das heißt:  
 
*Bei der Poissonverteilung sind die binären Ereignisse nicht nur zu diskreten, durch ein Zeitraster vorgegebenen Zeitpunkten möglich, sondern jederzeit. Das untere Zeitdiagramm verdeutlicht diesen Sachverhalt.  
 
*Bei der Poissonverteilung sind die binären Ereignisse nicht nur zu diskreten, durch ein Zeitraster vorgegebenen Zeitpunkten möglich, sondern jederzeit. Das untere Zeitdiagramm verdeutlicht diesen Sachverhalt.  
 
*Um im Mittel während der Zeit $T_{\rm I}$ genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten (im Beispiel: sechs), muss allerdings die auf das infinitesimal kleine Zeitintervall $T$ bezogene charakteristische Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$ gegen Null tendieren.  
 
*Um im Mittel während der Zeit $T_{\rm I}$ genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten (im Beispiel: sechs), muss allerdings die auf das infinitesimal kleine Zeitintervall $T$ bezogene charakteristische Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$ gegen Null tendieren.  
 
 
 
 
  
  
  
 
==Versuchsdurchführung==
 
==Versuchsdurchführung==
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In der folgenden Beschreibung bedeutet
 
  
*Blau: Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert)
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*Wählen Sie zunächst die Nummer '''1''' ... '''6''' der zu bearbeitenden Aufgabe.&nbsp; Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
 
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*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.&nbsp; Die Parameterwerte sind angepasst.&nbsp; Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solution&rdquo;.&nbsp;
*Rot: Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert)
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*Aufgabenstellung und Lösung sind auch in der deutschen Version in Englisch.&nbsp; In der folgenden Beschreibung bedeutet:
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**'''Blau''': &nbsp; Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert),
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**'''Rot''': &nbsp; &nbsp; Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert).
  
  
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z=3) + {\rm Pr}(z=4) + {\rm Pr}(z=5)\text{, oder }
 
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z=3) + {\rm Pr}(z=4) + {\rm Pr}(z=5)\text{, oder }
{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z \le 5) - {\rm Pr}(z \le 2)$
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{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z \le 5) - {\rm Pr}(z \le 2)$.
  
 
$\hspace{1.85cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2304+ 0.0768 + 0.0102 =1 - 0.6826 = 0.3174;$
 
$\hspace{1.85cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2304+ 0.0768 + 0.0102 =1 - 0.6826 = 0.3174;$
  
$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 = 0.9936 - 0.6778 = 0.3158$
+
$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 = 0.9936 - 0.6778 = 0.3158.$
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1} = I \cdot p\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m_\text{1, Blau}  = 5 \cdot 0.4\underline{ = 2 =}  \ m_\text{1, Rot} = 10 \cdot 0.2; $
 
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1} = I \cdot p\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m_\text{1, Blau}  = 5 \cdot 0.4\underline{ = 2 =}  \ m_\text{1, Rot} = 10 \cdot 0.2; $
  
$\hspace{1.85cm}\text{Streuung:}\hspace{0.4cm}\sigma = \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{m_1 \cdot (1-p)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_{\rm Blau} = \sqrt{2 \cdot 0.6} =1.095 \le \sigma_{\rm Rot} = \sqrt{2 \cdot 0.8} = 1.265.$
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$\hspace{1.85cm}\text{Streuung:}\hspace{0.4cm}\sigma = \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{m_1 \cdot (1-p)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_{\rm Blau} = \sqrt{2 \cdot 0.6} =1.095 < \sigma_{\rm Rot} = \sqrt{2 \cdot 0.8} = 1.265.$
  
 
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{{BlaueBox|TEXT=
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Beide Verteilungern haben gleichen Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1, Blau}  =  I \cdot p\ = 15 \cdot 0.3\underline{ = 4.5 =} \  m_\text{1, Rot} = \lambda$;
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Beide Verteilungern haben gleichen Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1, Blau}  =  I \cdot p\ = 15 \cdot 0.3\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.5 =} \  m_\text{1, Rot} = \lambda$;
  
 
$\hspace{1.85cm} \text{Binomialverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Blau}^2 = m_\text{1, Blau} \cdot (1-p)\hspace{0.15cm}\underline { = 3.15} \le \text{Poissonverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Rot}^2 = \lambda\hspace{0.15cm}\underline { = 4.5}$;
 
$\hspace{1.85cm} \text{Binomialverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Blau}^2 = m_\text{1, Blau} \cdot (1-p)\hspace{0.15cm}\underline { = 3.15} \le \text{Poissonverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Rot}^2 = \lambda\hspace{0.15cm}\underline { = 4.5}$;
  
 
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{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''&nbsp; Es gelten die Einstellungen von (4). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z  \gt 10)$ und ${\rm Pr}(z \gt 15)$}}
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'''(5)'''&nbsp; Es gelten die Einstellungen von '''(4)'''. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z  \gt 10)$ und ${\rm Pr}(z \gt 15)$?}}
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomial: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z  \gt 10) = 1 - {\rm Pr}(z  \le 10) = 1 - 0.9993 = 0.0007;\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(z \gt 15) = 0 \ {\rm  (exakt)}$.
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$\hspace{1.85cm}\text{Poisson: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z  \gt 10) = 1 - 0.9933 = 0.0067;\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \gt  0 \ ( \approx 0)$
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$\hspace{1.85cm} \text{Näherung: }\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \ge {\rm Pr}(z = 16) = \lambda^{16}/{16!}\approx 2 \cdot 10^{-22}$.
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{{BlaueBox|TEXT=
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'''(6)'''&nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen von '''(4)'''. Mit welchen Parametern ergeben sich symmetrische Verteilungen um $m_1$?}}
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomialverung mit }p = 0.5\text{:  }p_\mu =  {\rm Pr}(z  = \mu)\text{ symmetrisch um } m_1 = I/2 = 7.5 \ ⇒  \ p_μ = p_{I–μ}\ ⇒  \  p_8 = p_7, \ p_9 = p_6,  \text{usw.}$
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$\hspace{1.85cm}\text{Die Poissonverteilung wird dagegen nie symmetrisch, da sie sich bis ins Unendliche erstreckt!}$
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==Zur Handhabung des Applets==
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[[Datei:Handhabung_binomial.png|left|600px]]
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&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für blauen Parametersatz
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&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider
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&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für roten Parametersatz
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&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe $\lambda$ per Slider
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&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Graphische Darstellung der Verteilungen
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&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Momentenausgabe für blauen Parametersatz
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&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Momentenausgabe für roten Parametersatz
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&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Variation der grafischen Darstellung
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$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern),
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$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern)
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$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$&rdquo; (Zurücksetzen)
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$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Verschieben nach links),  usw.
  
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&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z  \le \mu)$
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomial: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z  \gt 10) = 1 - {\rm Pr}(z \le 10) = 1 - 0.9993 = 0.0007;\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(z \gt 15) = 0$.
+
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung
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<br clear=all>
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<br>'''Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung''':
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*Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
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*Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
  
$\hspace{1.85cm}\text{Poisson: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z  \gt 10) = 1 - 0.9933 = 0.0067;\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \gt 0\hspace{0.5cm}\text{Näherung: }\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \le {\rm Pr}(z = 16) = \lambda^{16}/16!$
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==Über die Autoren==
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Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
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*Die erste Version wurde 2003 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt&nbsp; (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).  
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*2018 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]]&nbsp;  (Bachelorarbeit, Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] )&nbsp;  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.
  
Die maximale Varianz $σ^2 = I/4$ ergibt sich für die charakteristische Wahrscheinlichkeit $p = 1/2$. In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeit symmetrisch um den Mittelwert $m_1 = I/2  \ ⇒  \ p_μ = p_{I–μ}$.
+
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
  
Je mehr die charakteristische Wahrscheinlichkeit $p$ vom Wert $1/2$ abweicht,
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{{LntAppletLink|binomPoissonDistributions_en}}
*um so kleiner ist die Streuung $σ$, und
 
*um so unsymmetrischer werden die Wahrscheinlichkeiten um den Mittelwert $m_1 = I · p$.
 

Aktuelle Version vom 26. Oktober 2023, 10:35 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen         English Applet with English WIKI description


Programmbeschreibung


Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung

  • der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=\mu)$ einer diskreten Zufallsgröße $z \in \{\mu \} = \{0, 1, 2, 3, \text{...} \}$, welche die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) – im Englischen Probability Density Function (PDF) – der Zufallsgröße $z$ bestimmen – hier Darstellung mit Diracfunktionen ${\rm \delta}( z-\mu)$:
$$f_{z}(z)=\sum_{\mu=1}^{M}{\rm Pr}(z=\mu)\cdot {\rm \delta}( z-\mu),$$
  • der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \le \mu)$ der Verteilungsfunktion (VTF) – im Englischen Cumulative Distribution Function (CDF):
$$F_{z}(\mu)={\rm Pr}(z\le\mu).$$


Als diskrete Verteilungen stehen in zwei Parametersätzen zur Auswahl:

  • die Binomialverteilung mit den Parametern $I$ und $p$   ⇒   $z \in \{0, 1, \text{...} \ , I \}$   ⇒   $M = I+1$ mögliche Werte,
  • die Poissonverteilung mit Parameter $\lambda$   ⇒   $z \in \{0, 1, 2, 3, \text{...}\}$   ⇒   $M \to \infty$.


In der Versuchsdurchführung sollen Sie miteinander vergleichen:

  • je zwei Binomialverteilungen mit unterschiedlichen Parameterwerten $I$ und $p$,
  • je zwei Poissonverteilungen mit unterschiedlicher Rate $\lambda$,
  • jeweils eine Binomial– und eine Poissonverteilung.


Auch in dieser deutschen Version sind die Aufgabenbeschreibungen und Musterlösungen in Englisch.


Theoretischer Hintergrund


Eigenschaften der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung stellt einen wichtigen Sonderfall für die Auftrittswahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsgröße dar. Zur Herleitung gehen wir davon aus, dass $I$ binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen $b_i \in \{0, 1 \}$

  • den Wert $1$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$, und
  • den Wert $0$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$ annehmen kann.


Dann ist die Summe $z$ ebenfalls eine diskrete Zufallsgröße mit dem Symbolvorrat $\{0, 1, 2, \text{...}\ , I\}$, die man als binomialverteilt bezeichnet:

$$z=\sum_{i=1}^{I}b_i.$$

Der Symbolumfang beträgt somit $M = I + 1.$


Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung

Hierfür gilt mit $μ = 0, \text{...}\ , I$:

$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$

Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen $(I \text{ über }\mu)$ an:

$${I \choose \mu}=\frac{I !}{\mu !\cdot (I-\mu) !}=\frac{ {I\cdot (I- 1) \cdot \ \cdots \ \cdot (I-\mu+ 1)} }{ 1\cdot 2\cdot \ \cdots \ \cdot \mu}.$$


Momente der Binomialverteilung

Für das Moment $k$-ter Ordnung einer binomialverteilten Zufallsgröße $z$ gilt:

$$m_k={\rm E}[z^k]=\sum_{\mu={\rm 0}}^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$

Daraus erhält man nach einigen Umformungen für

  • den linearen Mittelwert:   $m_1 = I\cdot p,$
  • den quadratischen Mittelwert:   $m_2 = (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p,$
  • die Varianz bzw. die Streuung:   $\sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma = \sqrt{I \cdot p\cdot (1-p)}.$


Anwendungen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung findet in der Nachrichtentechnik ebenso wie in anderen Disziplinen mannigfaltige Anwendungen:

  • Sie beschreibt die Verteilung von Ausschussstücken in der statistischen Qualitätskontrolle.
  • Auch die per Simulation gewonnene Bitfehlerquote eines digitalen Übertragungssystems ist eigentlich eine binomialverteilte Zufallsgröße.
  • Die Binomialverteilung erlaubt die Berechnung der Restfehlerwahrscheinlichkeit bei blockweiser Codierung, wie das folgende Beispiel zeigt.


$\text{Beispiel 1:}$  Überträgt man jeweils Blöcke von $I =5$ Binärsymbolen über einen Kanal, der

  • mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.1$ ein Symbol verfälscht   ⇒   Zufallsgröße $e_i = 1$, und
  • entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit $1 - p = 0.9$ das Symbol unverfälscht überträgt   ⇒   Zufallsgröße $e_i = 0$,


so gilt für die neue Zufallsgröße $f$ („Fehler pro Block”):

$$f=\sum_{i=1}^{I}e_i.$$

Die Zufallsgröße $f$ kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen $\mu = 0$ (kein Symbol verfälscht) und $\mu = I = 5$ (alle fünf Symbole falsch) annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten für $\mu$ Verfälschungen bezeichnen wir mit $p_μ = {\rm Pr}(f = \mu)$.

  • Der Fall, dass alle fünf Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.9^{5} ≈ 0.5905$ ein. Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für $μ = 0$ unter Berücksichtigung der Definition $5\text{ über } 0 = 1$.
  • Ein einziger Symbolfehler $(f = 1)$ tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_1 = 5\cdot 0.1\cdot 0.9^4\approx 0.3281$ auf. Der erste Faktor berücksichtigt, dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau $5\text{ über } 1 = 5$ Möglichkeiten gibt. Die beiden weiteren Faktoren beücksichtigen, dass ein Symbol verfälscht und vier richtig übertragen werden müssen, wenn $f =1$ gelten soll.
  • Für $f =2$ gibt es mehr Kombinationen, nämlich $5\text{ über } 2 = (5 \cdot 4)/(1 \cdot 2) = 10$, und man erhält $p_2 = 10\cdot 0.1^2\cdot 0.9^3\approx 0.0729$.


Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehlern korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm R} = 1-p_{\rm 0}-p_{\rm 1}-p_{\rm 2}\approx 0.85\%$. Eine zweite Berechnungsmöglichkeit wäre $p_{\rm R} = p_{3} + p_{4} + p_{5}$ mit der Näherung $p_{\rm R} \approx p_{3} = 0.81\%.$

Die mittlere Fehleranzahl in einem Block ist $m_f = 5 \cdot 0.1 = 0.5$. Die Varianz der Zufallsgröße $f$ beträgt $\sigma_f^2 = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.9= 0.45$   ⇒   Streuung $\sigma_f \approx 0.671.$


Eigenschaften der Poissonverteilung

Die Poissonverteilung ist ein Grenzfall der Binomialverteilung, wobei

  • zum einen von den Grenzübergängen $I → ∞$ und $p →$ 0 ausgegangen wird,
  • zusätzlich vorausgesetzt ist, dass das Produkt $I · p = λ$ einen endlichen Wert besitzt.


Der Parameter $λ$ gibt die mittlere Anzahl der „Einsen” in einer festgelegten Zeiteinheit an und wird als die Rate bezeichnet.

Im Gegensatz zur Binomialverteilung ($0 ≤ μ ≤ I$) kann hier die Zufallsgröße beliebig große (ganzzahlige, nichtnegative) Werte annehmen, was bedeutet, dass die Menge der möglichen Werte hier nicht abzählbar ist. Da jedoch keine Zwischenwerte auftreten können, spricht man auch hier von einer diskreten Verteilung.


Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung

Berücksichtigt man die oben genannten Grenzübergänge in der Gleichung für die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung, so folgt für die Auftrittswahrscheinlichkeiten der poissonverteilten Zufallsgröße $z$:

$$p_\mu = {\rm Pr} ( z=\mu ) = \lim_{I\to\infty} \cdot \frac{I !}{\mu ! \cdot (I-\mu )!} \cdot (\frac{\lambda}{I} )^\mu \cdot ( 1-\frac{\lambda}{I})^{I-\mu}.$$

Daraus erhält man nach einigen algebraischen Umformungen:

$$p_\mu = \frac{ \lambda^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-\lambda}.$$


Momente der Poissonverteilung

Bei der Poissonverteilung ergeben sich Mittelwert und Streuung direkt aus den entsprechenden Gleichungen der Binomialverteilung durch zweifache Grenzwertbildung:

$$m_1 =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty, \hspace{0.2cm} {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \hspace{0.2cm} I \cdot p= \lambda,$$
$$\sigma =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty, \hspace{0.2cm} {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \hspace{0.2cm} \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt {\lambda}.$$

Daraus ist zu erkennen, dass bei der Poissonverteilung stets $\sigma^2 = m_1 = \lambda$ ist. Dagegen gilt bei der Binomialverteilung immer $\sigma^2 < m_1$.

Momente der Poissonverteilung

$\text{Beispiel 2:}$  Wir vergleichen nun die Binomialverteilung mit den Parametern $I =6$ und $p = 0.4$ und die Poissonverteilung mit $λ = 2.4$:

  • Beide Verteilungen besitzen genau den gleichen Mittelwert $m_1 = 2.4$.
  • Bei der Poissonverteilung (im Bild rot markiert) beträgt die Streuung $σ ≈ 1.55$.
  • Bei der (blauen) Binomialverteilung ist die Standardabweichung nur $σ = 1.2$.


Anwendungen der Poissonverteilung

Die Poissonverteilung ist das Ergebnis eines so genannten Poissonprozesses. Ein solcher dient häufig als Modell für Folgen von Ereignissen, die zu zufälligen Zeitpunkten eintreten können. Beispiele für derartige Ereignisse sind

  • der Ausfall von Geräten – eine wichtige Aufgabenstellung in der Zuverlässigkeitstheorie,
  • das Schrotrauschen bei der optischen Übertragung, und
  • der Beginn von Telefongesprächen in einer Vermittlungsstelle („Verkehrstheorie”).


$\text{Beispiel 3:}$  Gehen bei einer Vermittlungsstelle im Langzeitmittel neunzig Vermittlungswünsche pro Minute ein (also $λ = 1.5 \text{ pro Sekunde}$), so lauten die Wahrscheinlichkeiten $p_{\mu}$, dass in einem beliebigen Zeitraum von einer Sekunde genau $\mu$ Belegungen auftreten:

$$p_\mu = \frac{1.5^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-1.5}.$$

Es ergeben sich die Zahlenwerte $p_0 = 0.223$, $p_1 = 0.335$, $p_2 = 0.251$, usw.

Daraus lassen sich weitere Kenngrößen ableiten:

  • Die Abstand $τ$ zwischen zwei Vermittlungswünschen genügt der Exponentialverteilung.
  • Die mittlere Zeitspanne zwischen Vermittlungswünschen beträgt ${\rm E}[τ] = 1/λ ≈ 0.667 \ \rm s$.


Gegenüberstellung Binomialverteilung vs. Poissonverteilung

Hier sollen die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede zwischen binomial- und poissonverteilten Zufallsgrößen herausgearbeitet werden.

Binomialverteilung vs. Poissonverteilung

Die Binomialverteilung ist zur Beschreibung solcher stochastischer Ereignisse geeignet, die durch einen festen Takt $T$ gekennzeichnet sind. Beispielsweise beträgt bei ISDN (Integrated Services Digital Network) mit $64 \ \rm kbit/s$ die Taktzeit $T \approx 15.6 \ \rm µ s$.

  • Nur in diesem Zeitraster treten binäre Ereignisse auf. Solche Ereignisse sind beispielsweise die fehlerfreie $(e_i = 0)$ oder fehlerhafte $(e_i = 1)$ Übertragung einzelner Symbole.
  • Die Binomialverteilung ermöglicht nun statistische Aussagen über die Anzahl der in einem längeren Zeitintervall $T_{\rm I} = I · T$ zu erwartenden Übertragungsfehler entsprechend des skizzierten Zeitdiagramms (blau markierte Zeitpunkte).
  • Für sehr große Werte von $I$ und gleichzeitig sehr kleine Werte von $p$ kann die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung mit $\lambda = I \cdot p$ angenähert werden.
  • Ist gleichzeitig das Produkt $I · p \gg 1$, so geht nach dem Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace die Poissonverteilung (und damit auch die Binomialverteilung) in eine diskrete Gaußverteilung über.


Die Poissonverteilung macht ebenfalls Aussagen über die Anzahl eintretender Binärereignisse in einem endlichen Zeitintervall.

Geht man hierbei vom gleichen Betrachtungszeitraum $T_{\rm I}$ aus und vergrößert die Anzahl $I$ der Teilintervalle immer mehr, so wird die Taktzeit $T,$ zu der jeweils ein neues Binärereignis ($0$ oder $1$) eintreten kann, immer kleiner. Im Grenzfall geht $T$ gegen Null. Das heißt:

  • Bei der Poissonverteilung sind die binären Ereignisse nicht nur zu diskreten, durch ein Zeitraster vorgegebenen Zeitpunkten möglich, sondern jederzeit. Das untere Zeitdiagramm verdeutlicht diesen Sachverhalt.
  • Um im Mittel während der Zeit $T_{\rm I}$ genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten (im Beispiel: sechs), muss allerdings die auf das infinitesimal kleine Zeitintervall $T$ bezogene charakteristische Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$ gegen Null tendieren.


Versuchsdurchführung

  • Wählen Sie zunächst die Nummer 1 ... 6 der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
  • Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von „Hide solution”. 
  • Aufgabenstellung und Lösung sind auch in der deutschen Version in Englisch.  In der folgenden Beschreibung bedeutet:
    • Blau:   Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert),
    • Rot:     Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert).


(1)  Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=5, \ p=0.4)$ und Rot: Binomialverteilung $(I=10, \ p=0.2)$.

Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=0)$ und ${\rm Pr}(z=1)$?


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(z=0)=0.6^5=7.78\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.4 \cdot 0.6^4=25.92\%;$

$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(z=0)=0.8^10=10.74\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.2 \cdot 0.8^9=26.84\%.$

(2)  Es gelten weiter die Einstellungen von (1). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(3 \le z \le 5)$?


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z=3) + {\rm Pr}(z=4) + {\rm Pr}(z=5)\text{, oder } {\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z \le 5) - {\rm Pr}(z \le 2)$.

$\hspace{1.85cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2304+ 0.0768 + 0.0102 =1 - 0.6826 = 0.3174;$

$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 = 0.9936 - 0.6778 = 0.3158.$

(3)  Es gelten weiter die Einstellungen von (1). Wie unterscheiden sich der Mittelwert $m_1$ und die Streuung $\sigma$ der beiden Binomialverteilungen?


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1} = I \cdot p\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m_\text{1, Blau} = 5 \cdot 0.4\underline{ = 2 =} \ m_\text{1, Rot} = 10 \cdot 0.2; $

$\hspace{1.85cm}\text{Streuung:}\hspace{0.4cm}\sigma = \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{m_1 \cdot (1-p)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_{\rm Blau} = \sqrt{2 \cdot 0.6} =1.095 < \sigma_{\rm Rot} = \sqrt{2 \cdot 0.8} = 1.265.$

(4)  Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=15, p=0.3)$ und Rot: Poissonverteilung $(\lambda=4.5)$.

Welche Unterschiede ergeben sich zwischen beiden Verteilungen hinsichtlich Mittelwert $m_1$ und Varianz $\sigma^2$?


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Beide Verteilungern haben gleichen Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1, Blau} = I \cdot p\ = 15 \cdot 0.3\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.5 =} \ m_\text{1, Rot} = \lambda$;

$\hspace{1.85cm} \text{Binomialverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Blau}^2 = m_\text{1, Blau} \cdot (1-p)\hspace{0.15cm}\underline { = 3.15} \le \text{Poissonverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Rot}^2 = \lambda\hspace{0.15cm}\underline { = 4.5}$;

(5)  Es gelten die Einstellungen von (4). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \gt 10)$ und ${\rm Pr}(z \gt 15)$?


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomial: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - {\rm Pr}(z \le 10) = 1 - 0.9993 = 0.0007;\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(z \gt 15) = 0 \ {\rm (exakt)}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Poisson: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - 0.9933 = 0.0067;\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \gt 0 \ ( \approx 0)$

$\hspace{1.85cm} \text{Näherung: }\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \ge {\rm Pr}(z = 16) = \lambda^{16}/{16!}\approx 2 \cdot 10^{-22}$.

(6)  Es gelten weiter die Einstellungen von (4). Mit welchen Parametern ergeben sich symmetrische Verteilungen um $m_1$?


$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomialverung mit }p = 0.5\text{: }p_\mu = {\rm Pr}(z = \mu)\text{ symmetrisch um } m_1 = I/2 = 7.5 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}\ ⇒ \ p_8 = p_7, \ p_9 = p_6, \text{usw.}$

$\hspace{1.85cm}\text{Die Poissonverteilung wird dagegen nie symmetrisch, da sie sich bis ins Unendliche erstreckt!}$

Zur Handhabung des Applets

Handhabung binomial.png

    (A)     Vorauswahl für blauen Parametersatz

    (B)     Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

    (C)     Vorauswahl für roten Parametersatz

    (D)     Parametereingabe $\lambda$ per Slider

    (E)     Graphische Darstellung der Verteilungen

    (F)     Momentenausgabe für blauen Parametersatz

    (G)     Momentenausgabe für roten Parametersatz

    (H)     Variation der grafischen Darstellung


$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

    ( I )     Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung

Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:

  • Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
  • Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

  • Die erste Version wurde 2003 von  Ji Li  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt  (Betreuer: Günter Söder).
  • 2018 wurde das Programm von  Jimmy He  (Bachelorarbeit, Betreuer:  Tasnád Kernetzky )  auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen