Unbekannt und damit zu schätzen seien dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.
Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.
Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion $w(t)$ wird das Produkt $y(t) = x(t) \cdot w(t)$ einer [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]] (DFT) mit den Parametern $N = 512$ und $T_{\rm P}$ unterworfen. Die Zeitdauer $T_{\rm P}$ des zu analysierenden Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion $w(t)$ wird das Produkt $y(t) = x(t) \cdot w(t)$ einer [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]] (DFT) mit den Parametern $N = 512$ und $T_{\rm P}$ unterworfen. Die Zeitdauer $T_{\rm P}$ des zu analysierenden Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
Für die Fensterung stehen folgende Funktionen zur Verfügung, die jeweils für $|t| > T_{\rm P}/2$ identisch 0 sind:
Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für $|t| > T_{\rm P}/2$ jeweils Null sind:
Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist. $W(f)$ ist die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während die oben angegebene Funktion $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
$W(f)$ ist hierbei die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
Im Laufe der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf
In der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf
In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen $Y_{\rm B}(f)$ und $Y_{\rm C}(f)$ abgebildet, die sich ergeben, wenn ein $1 \ \text{kHz}$–Signal mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist.
*Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrunde gelegt, für das andere das Hanning–Fenster.
*Nicht angegeben wird, welche Grafik zu welchem Fenster gehört.
In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen $Y_{\rm B}(f)$ und $Y_{\rm C}(f)$ abgebildet, die sich ergeben, wenn ein $1 \ \text{kHz}$–Signal mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist.
Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrundegelegt, für das andere das Hanning–Fenster. Nicht angegeben wird, welche Spektralfunktion zu welchem Fenster gehört.
''Hinweise:''
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
*Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist.
*Unglücklichweise kollidieren die Indizes von $f_{\rm A}$ und $Y_{\rm A}(f)$. Es ist offensichtlich, dass diese nicht in Zusammenhang stehen. Nur zur Sicherheit weisen wir darauf hin.
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<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen treffen mit Sicherheit zu, wenn die DFT das Ausgangsspektrum $Y_{\rm A}(f)$ anzeigt?
{Welche der folgenden Aussagen treffen mit Sicherheit zu, wenn die DFT das Ausgangsspektrum $Y_{\rm A}(f)$ anzeigt?
|type="[]"}
|type="[]"}
+ Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
+ Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
- Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
- Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
- Es wurde der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$ verwendet.
- Es wurde der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$ verwendet.
+ Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem Spektrum $X(f)$.
+ Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem tatsächlichen Spektrum $X(f)$.
{Wie lautet $Y(f)$ bei Verwendung des Hanning–Fensters und $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum $X(f) = Y_{\rm A}(f)$ anliegt? Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei $f_1= 1\ \text{kHz}$ und $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$ an.
{Wie lautet $Y(f)$ bei Verwendung des Hanning–Fensters und $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum $X(f) = Y_{\rm A}(f)$ anliegt? <br>Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei $f_1= 1\ \text{kHz}$ und $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$ an.
{Wir betrachten das $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal $x(t)$. Welches Spektrum - $Y_{\rm B}(f)$ oder $Y_{\rm C}(f)$ – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist?
{Wir betrachten das $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal $x(t)$. Welches Spektrum - $Y_{\rm B}(f)$ oder $Y_{\rm C}(f)$ – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist?
|type="[]"}
|type="()"}
- $Y_{\rm B}(f)$ergibt sich bei Rechteckfensterung.
- $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich bei Rechteckfensterung.
+ $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.
+ $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.
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===Musterlösung===
===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
'''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
*Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, auch wenn $x(t)$ nur eine Frequenz beinhaltet ⇒ es wurde das Rechteckfenster verwendet.
*Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, wenn $x(t)$ nur eine Frequenz beinhaltet ⇒ es wurde das Rechteckfenster verwendet.
*Mit $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ ergibt sich für die Frequenzauflösung $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$ Damit liegt die Frequenz $f_2$ nicht im vorgegebenen Raster und $Y(f)$ würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: die dritte Aussage ist falsch.
*Mit $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ ergibt sich für die Frequenzauflösung $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$. Damit liegt die Frequenz $f_2$ nicht im vorgegebenen Raster und $Y(f)$ würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: die dritte Aussage ist falsch.
*Wie aus der nachfolgenden Grafik hervorgeht, hat $x(t)$ die Periodendauer $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung ${\rm P}\{ x(t)\} $ im Intervall $|t| \leq T_{\rm P}/2$ mit $x(t)$ überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion $w(t)$ nicht störend auswirkt: Das DFT–Spektrum $Y(f)$ stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.
[[Datei:P_ID1167__Sig_A_5_4a.png|right|frame|Signal $y(t)$ nach Rechteck–Fensterung ]]
[[Datei:P_ID1167__Sig_A_5_4a.png|Beispielsignal 1 zur Spektralanalyse]]
*Wie aus der Grafik hervorgeht, hat $x(t)$ die Periodendauer $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung ${\rm P}\{ x(t)\} $ im Intervall $|t| \leq T_{\rm P}/2$ mit $x(t)$ überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion $w(t)$ nicht störend auswirkt:
*Das DFT–Spektrum $Y(f)$ stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.
'''2.''' Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$ setzt sich das Hanning–Spektrum $W(f)$ aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:
'''(2)''' Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$ setzt sich das Hanning–Spektrum $W(f)$
*aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen
*und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen
zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:
Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen $X(f)$ und $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen $X(f)$ und $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
[[Datei:P_ID1169__Sig_A_5_4b.png|right|frame|Signal $y(t)$ nach Hanning–Fensterung]]
Die folgende Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion $w(t)$ des Hanning–Fensters.
[[Datei:P_ID1169__Sig_A_5_4b.png|Beispielsignal 2 zur Spektralanalyse]]
'''3.''' Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite $T_{\rm P}$ (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist. In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet. Daraus folgt: Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
Die Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion $w(t)$ des Hanning–Fensters.
<br clear=all>
'''(3)''' Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
*Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite $T_{\rm P}$ (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist.
*In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet. In diesem Fall ergibt sich das gemessene Spektrum $Y_{\rm B}(f)$.
* Aus dem Spektrum $Y_{\rm C}(f)$ ist die gesuchte $1\ \rm kHz$–Linie schlechter zu erkennen. Dieses Spektrum $Y_{\rm C}(f)$ ergibt sich nach Rechteck–Fensterung.
{{ML-Fuß}}
{{ML-Fuß}}
__NOEDITSECTION__
__NOEDITSECTION__
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]
Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.
Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion $w(t)$ wird das Produkt $y(t) = x(t) \cdot w(t)$ einer Diskreten Fouriertransformation (DFT) mit den Parametern $N = 512$ und $T_{\rm P}$ unterworfen. Die Zeitdauer $T_{\rm P}$ des zu analysierenden Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für $|t| > T_{\rm P}/2$ jeweils Null sind:
$W(f)$ ist hierbei die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
In der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf
In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen $Y_{\rm B}(f)$ und $Y_{\rm C}(f)$ abgebildet, die sich ergeben, wenn ein $1 \ \text{kHz}$–Signal mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist.
Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrunde gelegt, für das andere das Hanning–Fenster.
Nicht angegeben wird, welche Grafik zu welchem Fenster gehört.
Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist.
Unglücklichweise kollidieren die Indizes von $f_{\rm A}$ und $Y_{\rm A}(f)$. Es ist offensichtlich, dass diese nicht in Zusammenhang stehen. Nur zur Sicherheit weisen wir darauf hin.
Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, wenn $x(t)$ nur eine Frequenz beinhaltet ⇒ es wurde das Rechteckfenster verwendet.
Mit $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ ergibt sich für die Frequenzauflösung $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$. Damit liegt die Frequenz $f_2$ nicht im vorgegebenen Raster und $Y(f)$ würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: die dritte Aussage ist falsch.
Signal $y(t)$ nach Rechteck–Fensterung
Wie aus der Grafik hervorgeht, hat $x(t)$ die Periodendauer $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung ${\rm P}\{ x(t)\} $ im Intervall $|t| \leq T_{\rm P}/2$ mit $x(t)$ überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion $w(t)$ nicht störend auswirkt:
Das DFT–Spektrum $Y(f)$ stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.
(2) Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$ setzt sich das Hanning–Spektrum $W(f)$
aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen
und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen
zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:
Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen $X(f)$ und $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
Die Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion $w(t)$ des Hanning–Fensters.
(3) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:
Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite $T_{\rm P}$ (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist.
In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet. In diesem Fall ergibt sich das gemessene Spektrum $Y_{\rm B}(f)$.
Aus dem Spektrum $Y_{\rm C}(f)$ ist die gesuchte $1\ \rm kHz$–Linie schlechter zu erkennen. Dieses Spektrum $Y_{\rm C}(f)$ ergibt sich nach Rechteck–Fensterung.
