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Aufgaben:Aufgabe 4.5: Ortskurve bei ZSB-AM: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID751__Sig_A_4_5_neu.png|250px|right|frame|Gegebenes Spektrum S+(f) des analytischen Signals]]
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[[Datei:P_ID751__Sig_A_4_5_neu.png|250px|right|frame|Spektrum des analytischen Signals]]
  
Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Zeigerdiagramm_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.4]] (aber nicht das gleiche):
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Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in der  [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Zeigerdiagramm_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.4]]  (aber nicht das gleiche):
* ein sinusförmiges Nachrichtensignal mit Amplitude AN=2 V  und  Frequenz fN=10 kHz,
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* ein sinusförmiges Nachrichtensignal mit der Amplitude  AN=2 V  und der Frequenz  fN=10 kHz,
*ZSB-Amplitudenmodulation ohne Trägerunterdrückung mit Trägerfrequenz fT=50 kHz.
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*ZSB-Amplitudenmodulation ohne Trägerunterdrückung mit der Trägerfrequenz  fT=50 kHz.
  
  
Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion S+(f) des analytischen Signals s+(t) .  
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Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion  S+(f)  des analytischen Signals  s+(t).  
  
 
Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form
 
Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form
 
   
 
   
:sTP(t)=a(t)ejϕ(t)
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:$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)} $$
  
dargestellt werden kann, wobei a(t)0 gelten soll. Für ϕ(t) ist der Wertebereich –\pi < \phi(t) \leq +\pi zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:
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dargestellt werden kann, wobei&nbsp; a(t) ≥ 0&nbsp; gelten soll.&nbsp; Für&nbsp; \phi(t)&nbsp; ist der Wertebereich&nbsp; –\pi < \phi(t) \leq +\pi&nbsp; zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:
 
   
 
   
:$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm
+
:$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\big[s_{\rm
TP}(t)\right]}{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}.$$
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TP}(t)\big]}{{\rm Re}\big[s_{\rm TP}(t)\big]}.$$
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''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
+
*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Ortskurve_–_Darstellung_des_äquivalenten_Tiefpass-Signals_(Applet)|Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals]] überprüfen.
+
*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal]]&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Ortskurve&rdquo; überprüfen.
  
 
   
 
   
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal s_{\rm TP}(t) im Frequenz– und Zeitbereich. Welchen Wert besitzt s_{\rm TP}(t) zum Startzeitpunkt $t$ = 0?
+
{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; s_{\rm TP}(t)&nbsp; im Frequenz– und Zeitbereich.&nbsp; Welchen Wert besitzt&nbsp; s_{\rm TP}(t)&nbsp; zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0)] &nbsp;= { 1 3% }  &nbsp;\text{V}
+
$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0)]\ = \ $ { 1 3% }  &nbsp;\text{V}
\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )] &nbsp;= { 0. } &nbsp;\text{V}
+
$\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )]\ = \ { 0. } &nbsp;\text{V}$
  
{Welche Werte weist s_{\rm TP}(t) zu den Zeitpunkten $t = $T_0/10, T_0/4, 3T_0/4 und T_0$ = 100 μs auf? Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.
+
{Welche Werte weist&nbsp; s_{\rm TP}(t)&nbsp; zu den Zeitpunkten&nbsp; $t = 10 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/10$, &nbsp; &nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/4$, &nbsp; &nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}= 3T_0/4$&nbsp; und&nbsp; $T_0 = 100 \ {\rm &micro;}s$&nbsp; auf? <br>Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \mu \text{s})]$ &nbsp;= { 2.176 3% } &nbsp;\text{V}
+
$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ { 2.176 3% } &nbsp;\text{V}$
$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=25 \mu \text{s})] $ &nbsp;= { 3 3% } &nbsp;\text{V}
+
$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=25 \ {\rm &micro;} \text{s})] \ = \ { 3 3% } &nbsp;\text{V}$
$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=75 \mu \text{s})]$ &nbsp;= { -1.03--0.97 } &nbsp;\text{V}
+
$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=75 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ { -1.03--0.97 } &nbsp;\text{V}$
$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \mu \text{s})]$ &nbsp;= { 1 3% } &nbsp;\text{V}
+
$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ { 1 3% } &nbsp;\text{V}$
  
{Wie lautet die Betragsfunktion a(t)? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ \mu \text{s} und t = 75 \ \mu \text{s}$?
+
{Wie lautet die Betragsfunktion&nbsp; a(t)&nbsp; im Zeitbereich?&nbsp; Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; und&nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
 
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$a(t=25 \ \mu \text{s})$ &nbsp;= { 3 3% } &nbsp;\text{V}
+
$a(t=25 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ { 3 3% } &nbsp;\text{V}$
$a(t=75 \ \mu \text{s})$ &nbsp;= { 1 3% } &nbsp;\text{V}
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$a(t=75 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ { 1 3% } &nbsp;\text{V}$
  
{Geben Sie die Phasenfunktion \phi(t) allgemein an. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ \mu \text{s} und t = 75 \ \mu \text{s}$?
+
{Geben Sie die Phasenfunktion&nbsp; \phi(t)&nbsp;  im Zeitbereich allgemein an.&nbsp; Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; und&nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\phi(t=25 \ \mu \text{s}) =$ { 0. } Grad
+
$\phi(t=25 \ {\rm &micro;} \text{s}) \ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{Grad}$
$\phi(t=75\ \mu \text{s}) =$ { 180 1% } Grad
+
$\phi(t=75\ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 180 1% } &nbsp;$\text{Grad}$
  
  
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{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
  
[[Datei:P_ID755__Sig_A_4_5_a_neu.png|250px|right|Ortskurve zur Zeit t = 0]]
+
[[Datei:P_ID755__Sig_A_4_5_a_neu.png|250px|right|frame|Ortskurve zur Zeit&nbsp; t = 0]]
'''1.''' Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz} nach links, so liegen diese bei $\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}, 0 und +10 \ \text{kHz}. Die Gleichung s_{\rm TP}(t) lautet mit \omega_{10} = 2 \pi \cdot 10  \ \text{kHz}$:
+
'''(1)'''&nbsp; Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um&nbsp; f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}&nbsp; nach links, so liegen diese bei&nbsp; $-\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}$,&nbsp; 0&nbsp; und&nbsp; +10 \ \text{kHz}.  
 +
*Die Gleichung für&nbsp; s_{\rm TP}(t)&nbsp; lautet mit&nbsp; \omega_{10} = 2 \pi \cdot 10  \ \text{kHz}:
 
    
 
    
$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1
+
:$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}
 
\omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }+{\rm j}\cdot {\rm 1
 
\omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }+{\rm j}\cdot {\rm 1
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\omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }$$
 
\omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }$$
  
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1
 
\hspace{0.05cm} V} +{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}= {\rm 1
 
\hspace{0.05cm} V} +{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}= {\rm 1
 
\hspace{0.05cm} V}.$$
 
\hspace{0.05cm} V}.$$
  
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ]  \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}},  \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ]  \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ]  \hspace{0.15 cm}\underline{= {+\rm 1 \hspace{0.05cm} V}},  \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ]  \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}
 
.$$
 
.$$
  
'''2.''' Obige Gleichung kann man nach dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] mit $T_0 = 1/f_{\rm N} = 100 \ \mu \text{s}$ wie folgt umformen:
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'''(2)'''&nbsp; Obige Gleichung kann man nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; mit&nbsp; $T_0 = 1/f_{\rm N} = 100 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; wie folgt umformen:
 
   
 
   
$$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm
+
:$$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm
 
j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}  \sin({
 
j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}  \sin({
 
\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({
 
\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({
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{t}/{T_0}) .$$
 
{t}/{T_0}) .$$
  
Damit ist gezeigt, dass s_{\rm TP}(t) für alle Zeiten t reell ist. Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man:
+
*Damit ist gezeigt, dass&nbsp; s_{\rm TP}(t)&nbsp; für alle Zeiten&nbsp; t&nbsp; reell ist.  
 +
*Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man:
 
      
 
      
$$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1
+
:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = {\rm 1
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot
\sin(36^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm 2.176 \hspace{0.05cm} V}}},$$
+
\sin(36^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +2.176 \hspace{0.05cm} V}}},$$
  
$$s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1
+
:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = {\rm 1
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot
\sin(90^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm 3 \hspace{0.05cm} V}}},$$
+
\sin(90^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +3 \hspace{0.05cm} V}}},$$
  
$$s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1
+
:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = {\rm 1
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(270^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{=
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(270^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{=
 
-{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}},$$
 
-{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}},$$
  
$$s_{\rm TP}(t = {\rm 100 \hspace{0.05cm} \mu s}) = s_{\rm TP}(t =
+
:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 100 \hspace{0.1cm}{\rm &micro;} s}) = s_{\rm TP}(t =
0) \hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}}.$$
+
0) \hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +1 \hspace{0.05cm} V}}}.$$
  
  
'''3.''' Definitionsgemäß gilt a(t) = |s_{\rm TP}(t)|. Damit erhält man folgende Zahlenwerte:
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'''(3)'''&nbsp;  Definitionsgemäß gilt&nbsp; a(t) = |s_{\rm TP}(t)|. Damit erhält man folgende Zahlenwerte:
 
   
 
   
$$a(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25
+
:$$a(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25
\hspace{0.05cm} \mu s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 3 \hspace{0.05cm} V}} ,
+
\hspace{0.05cm}{\rm &micro;} s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +3 \hspace{0.05cm} V}} ,
 
\hspace{4.15 cm}$$
 
\hspace{4.15 cm}$$
  
$$a(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s}) = |s_{\rm TP}(t = {\rm 75
+
:$$a(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = |s_{\rm TP}(t = {\rm 75
\hspace{0.05cm} \mu s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}} .$$
+
\hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +1 \hspace{0.05cm} V}} .$$
 +
 
 +
 
 
   
 
   
'''4.''' Allgemein gilt für die Phasenfunktion:
+
'''(4)'''&nbsp; Allgemein gilt für die Phasenfunktion:
 
   
 
   
$$\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan}
+
:$$\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan}
 
\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}{{\rm
 
\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}{{\rm
 
Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}$$
 
Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}$$
  
Aufgrund der Tatsache, dass hier für alle Zeiten {\rm Im}[s_{\rm TP}(t)] = 0 ist, erhält man hieraus das Ergebnis:
+
Aufgrund der Tatsache, dass hier für alle Zeiten&nbsp; {\rm Im}[s_{\rm TP}(t)] = 0&nbsp; ist, erhält man hieraus das Ergebnis:
* Falls {\rm Re}[s_{\rm TP}(t)] > 0 gilt, ist die Phase ist \phi(t) = 0.
+
* Falls&nbsp; {\rm Re}[s_{\rm TP}(t)] > 0&nbsp; gilt, ist die Phase&nbsp; \phi(t) = 0.
* Dagegen gilt bei negativem Realteil: &nbsp; \phi(t) = \pi.
+
* Dagegen gilt bei negativem Realteil: &nbsp; &nbsp; \phi(t) = \pi.
 
   
 
   
  
Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: 0 \leq t \leq T_0. Im Bereich zwischen t_1 und t_2 liegt eine Phase von 180^\circ vor, ansonsten gilt \text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0. Zur Berechung von t_1 kann das Ergebnis der Teilaufgabe (2) herangezogen werden:
+
Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: &nbsp; 0 \leq t \leq T_0.  
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*Im Bereich zwischen&nbsp; t_1&nbsp; und&nbsp; t_2&nbsp; liegt eine Phase von&nbsp; 180^\circ&nbsp; vor, ansonsten gilt&nbsp; \text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0.  
 +
 
 +
*Zur Berechung von&nbsp; t_1&nbsp; kann das Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; herangezogen werden:
 
   
 
   
$$\sin(2 \pi \cdot  {t_1}/{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
+
:$$\sin(2 \pi \cdot  {t_1}/{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
 
\hspace{0.3cm} 2 \pi \cdot {t_1}/{T_0} = 2 \pi \cdot  
 
\hspace{0.3cm} 2 \pi \cdot {t_1}/{T_0} = 2 \pi \cdot  
 
{7}/{12}\hspace{0.3cm}{\rm (entspricht}\hspace{0.2cm}210^\circ
 
{7}/{12}\hspace{0.3cm}{\rm (entspricht}\hspace{0.2cm}210^\circ
 
)$$
 
)$$
  
Daraus erhält man $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ \mu \text{s}$. Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis  
+
*Daraus erhält man&nbsp; $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ {\rm &micro;} \text{s}$.  
$t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63  \ \mu \text{s}$.
+
*Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis:&nbsp; $t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63  \ {\rm &micro;} \text{s}$.
 
   
 
   
Die gesuchten Werte sind somit $\phi(t = 25 \ \mu \text{s}) \; \underline { = 0}$ und
+
 
$\phi(t = 75 \ \mu \text{s}) \; \underline { = 180^{\circ}}\; (= \pi)$.
+
Die gesuchten Werte sind somit:&nbsp;
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:$$\phi(t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}) \; \underline { = 0},$$
 +
:$$\phi(t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}) \; \underline { = 180^{\circ}}\; (= \pi).$$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]
 
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]

Aktuelle Version vom 11. Mai 2021, 14:44 Uhr

Spektrum des analytischen Signals

Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in der  Aufgabe 4.4  (aber nicht das gleiche):

  • ein sinusförmiges Nachrichtensignal mit der Amplitude  A_{\rm N} = 2 \ \text{V}  und der Frequenz  f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz},
  • ZSB-Amplitudenmodulation ohne Trägerunterdrückung mit der Trägerfrequenz  f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}.


Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion  S_+(f)  des analytischen Signals  s_+(t).

Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form

s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}

dargestellt werden kann, wobei  a(t) ≥ 0  gelten soll.  Für  \phi(t)  ist der Wertebereich  –\pi < \phi(t) \leq +\pi  zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:

\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\big[s_{\rm TP}(t)\big]}{{\rm Re}\big[s_{\rm TP}(t)\big]}.





Hinweise:


Fragebogen

1

Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal  s_{\rm TP}(t)  im Frequenz– und Zeitbereich.  Welchen Wert besitzt  s_{\rm TP}(t)  zum Startzeitpunkt  t = 0?

\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0)]\ = \

 \text{V}
\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )]\ = \

 \text{V}

2

Welche Werte weist  s_{\rm TP}(t)  zu den Zeitpunkten  t = 10 \ {\rm µ} \text{s}= T_0/10,     t = 25 \ {\rm µ} \text{s}= T_0/4,     t = 75 \ {\rm µ} \text{s}= 3T_0/4  und  T_0 = 100 \ {\rm µ}s  auf?
Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.

\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \

 \text{V}
\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=25 \ {\rm µ} \text{s})] \ = \

 \text{V}
\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=75 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \

 \text{V}
\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \

 \text{V}

3

Wie lautet die Betragsfunktion  a(t)  im Zeitbereich?  Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten  t = 25 \ {\rm µ} \text{s}  und  t = 75 \ {\rm µ} \text{s}?

a(t=25 \ {\rm µ} \text{s})\ = \

 \text{V}
a(t=75 \ {\rm µ} \text{s})\ = \

 \text{V}

4

Geben Sie die Phasenfunktion  \phi(t)  im Zeitbereich allgemein an.  Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten  t = 25 \ {\rm µ} \text{s}  und  t = 75 \ {\rm µ} \text{s}?

\phi(t=25 \ {\rm µ} \text{s}) \ = \

 \text{Grad}
\phi(t=75\ {\rm µ} \text{s})\ = \

 \text{Grad}


Musterlösung

Ortskurve zur Zeit  t = 0

(1)  Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um  f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}  nach links, so liegen diese bei  -\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}0  und  +10 \ \text{kHz}.

  • Die Gleichung für  s_{\rm TP}(t)  lautet mit  \omega_{10} = 2 \pi \cdot 10 \ \text{kHz}:
s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }+{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }
\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} +{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}.
\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= {+\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0} .


(2)  Obige Gleichung kann man nach dem  Satz von Euler  mit  T_0 = 1/f_{\rm N} = 100 \ {\rm µ} \text{s}  wie folgt umformen:

\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \sin({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t })\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} \sin({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) = 1+2 \cdot \sin(2 \pi {t}/{T_0}) .
  • Damit ist gezeigt, dass  s_{\rm TP}(t)  für alle Zeiten  t  reell ist.
  • Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man:
s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(36^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +2.176 \hspace{0.05cm} V}}},
s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(90^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +3 \hspace{0.05cm} V}}},
s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(270^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{= -{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}},
s_{\rm TP}(t = {\rm 100 \hspace{0.1cm}{\rm µ} s}) = s_{\rm TP}(t = 0) \hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +1 \hspace{0.05cm} V}}}.


(3)  Definitionsgemäß gilt  a(t) = |s_{\rm TP}(t)|. Damit erhält man folgende Zahlenwerte:

a(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm}{\rm µ} s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +3 \hspace{0.05cm} V}} , \hspace{4.15 cm}
a(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = |s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +1 \hspace{0.05cm} V}} .


(4)  Allgemein gilt für die Phasenfunktion:

\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}

Aufgrund der Tatsache, dass hier für alle Zeiten  {\rm Im}[s_{\rm TP}(t)] = 0  ist, erhält man hieraus das Ergebnis:

  • Falls  {\rm Re}[s_{\rm TP}(t)] > 0  gilt, ist die Phase  \phi(t) = 0.
  • Dagegen gilt bei negativem Realteil:     \phi(t) = \pi.


Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode:   0 \leq t \leq T_0.

  • Im Bereich zwischen  t_1  und  t_2  liegt eine Phase von  180^\circ  vor, ansonsten gilt  \text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0.
  • Zur Berechung von  t_1  kann das Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  herangezogen werden:
\sin(2 \pi \cdot {t_1}/{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \pi \cdot {t_1}/{T_0} = 2 \pi \cdot {7}/{12}\hspace{0.3cm}{\rm (entspricht}\hspace{0.2cm}210^\circ )
  • Daraus erhält man  t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ {\rm µ} \text{s}.
  • Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis:  t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63 \ {\rm µ} \text{s}.


Die gesuchten Werte sind somit: 

\phi(t = 25 \ {\rm µ} \text{s}) \; \underline { = 0},
\phi(t = 75 \ {\rm µ} \text{s}) \; \underline { = 180^{\circ}}\; (= \pi).