Aufgaben:Aufgabe 4.5: Ortskurve bei ZSB-AM: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Zeigerdiagramm_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.4]] (aber nicht das gleiche): | + | Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Zeigerdiagramm_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.4]] (aber nicht das gleiche): |
− | * ein sinusförmiges Nachrichtensignal mit Amplitude AN=2 V und Frequenz fN=10 kHz, | + | * ein sinusförmiges Nachrichtensignal mit der Amplitude AN=2 V und der Frequenz fN=10 kHz, |
− | *ZSB-Amplitudenmodulation ohne Trägerunterdrückung mit Trägerfrequenz fT=50 kHz. | + | *ZSB-Amplitudenmodulation ohne Trägerunterdrückung mit der Trägerfrequenz fT=50 kHz. |
− | Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion S+(f) des analytischen Signals s+(t) . | + | Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion S+(f) des analytischen Signals s+(t). |
Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form | Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form | ||
− | :sTP(t)=a(t)⋅ejϕ(t) | + | :$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)} $$ |
− | dargestellt werden kann, wobei a(t)≥0 gelten soll. Für ϕ(t) ist der Wertebereich –\pi < \phi(t) \leq +\pi zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung: | + | dargestellt werden kann, wobei a(t) ≥ 0 gelten soll. Für \phi(t) ist der Wertebereich –\pi < \phi(t) \leq +\pi zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung: |
− | :$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\ | + | :$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\big[s_{\rm |
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− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]]. |
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal s_{\rm TP}(t) im Frequenz– und Zeitbereich. Welchen Wert besitzt s_{\rm TP}(t) zum Startzeitpunkt $t | + | {Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal s_{\rm TP}(t) im Frequenz– und Zeitbereich. Welchen Wert besitzt s_{\rm TP}(t) zum Startzeitpunkt $t = 0$? |
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− | \text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0)] | + | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0)]\ = \ $ { 1 3% } \text{V} |
− | \text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )] | + | $\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )]\ = \ { 0. } \text{V}$ |
− | {Welche Werte weist s_{\rm TP}(t) zu den Zeitpunkten $t = | + | {Welche Werte weist s_{\rm TP}(t) zu den Zeitpunkten $t = 10 \ {\rm µ} \text{s}= T_0/10$, $t = 25 \ {\rm µ} \text{s}= T_0/4$, $t = 75 \ {\rm µ} \text{s}= 3T_0/4$ und $T_0 = 100 \ {\rm µ}s$ auf? <br>Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind. |
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− | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \ | + | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ { 2.176 3% } \text{V}$ |
− | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=25 \ | + | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=25 \ {\rm µ} \text{s})] \ = \ { 3 3% } \text{V}$ |
− | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=75 \ | + | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=75 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ { -1.03--0.97 } \text{V}$ |
− | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \ | + | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ { 1 3% } \text{V}$ |
− | {Wie lautet die Betragsfunktion a(t)? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ \ | + | {Wie lautet die Betragsfunktion a(t) im Zeitbereich? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ {\rm µ} \text{s}$ und $t = 75 \ {\rm µ} \text{s}$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $a(t=25 \ \ | + | $a(t=25 \ {\rm µ} \text{s})\ = \ { 3 3% } \text{V}$ |
− | $a(t=75 \ \ | + | $a(t=75 \ {\rm µ} \text{s})\ = \ { 1 3% } \text{V}$ |
− | {Geben Sie die Phasenfunktion \phi(t) allgemein an. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ \ | + | {Geben Sie die Phasenfunktion \phi(t) im Zeitbereich allgemein an. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ {\rm µ} \text{s}$ und $t = 75 \ {\rm µ} \text{s}$? |
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− | $\phi(t=25 \ \ | + | $\phi(t=25 \ {\rm µ} \text{s}) \ = \ $ { 0. } $\text{Grad}$ |
− | $\phi(t=75\ \ | + | $\phi(t=75\ {\rm µ} \text{s})\ = \ $ { 180 1% } $\text{Grad}$ |
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− | [[Datei:P_ID755__Sig_A_4_5_a_neu.png|250px|right|Ortskurve zur Zeit t = 0]] | + | [[Datei:P_ID755__Sig_A_4_5_a_neu.png|250px|right|frame|Ortskurve zur Zeit t = 0]] |
− | '''1 | + | '''(1)''' Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz} nach links, so liegen diese bei $-\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}$, 0 und +10 \ \text{kHz}. |
+ | *Die Gleichung für s_{\rm TP}(t) lautet mit \omega_{10} = 2 \pi \cdot 10 \ \text{kHz}: | ||
− | $$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 | + | :$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 |
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\omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }+{\rm j}\cdot {\rm 1 | \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }+{\rm j}\cdot {\rm 1 | ||
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\omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }$$ | \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }$$ | ||
− | $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 |
\hspace{0.05cm} V} +{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}= {\rm 1 | \hspace{0.05cm} V} +{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}= {\rm 1 | ||
\hspace{0.05cm} V}.$$ | \hspace{0.05cm} V}.$$ | ||
− | $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0} | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= {+\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0} |
.$$ | .$$ | ||
− | '''2 | + | |
+ | |||
+ | '''(2)''' Obige Gleichung kann man nach dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] mit $T_0 = 1/f_{\rm N} = 100 \ {\rm µ} \text{s}$ wie folgt umformen: | ||
− | $$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm | + | :$$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm |
j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \sin({ | j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \sin({ | ||
\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ | \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ | ||
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{t}/{T_0}) .$$ | {t}/{T_0}) .$$ | ||
− | Damit ist gezeigt, dass s_{\rm TP}(t) für alle Zeiten t reell ist. Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man: | + | *Damit ist gezeigt, dass s_{\rm TP}(t) für alle Zeiten t reell ist. |
+ | *Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man: | ||
− | $$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0. | + | :$$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 |
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-{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}},$$ | -{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}},$$ | ||
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− | $$a(t = {\rm 25 \hspace{0. | + | :$$a(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25 |
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− | '''4 | + | '''(4)''' Allgemein gilt für die Phasenfunktion: |
− | $$\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan} | + | :$$\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan} |
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Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}$$ | Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}$$ | ||
− | Aufgrund der Tatsache, dass hier für alle Zeiten {\rm Im}[s_{\rm TP}(t)] = 0 ist, erhält man hieraus das Ergebnis: | + | Aufgrund der Tatsache, dass hier für alle Zeiten {\rm Im}[s_{\rm TP}(t)] = 0 ist, erhält man hieraus das Ergebnis: |
− | * Falls {\rm Re}[s_{\rm TP}(t)] > 0 gilt, ist die Phase | + | * Falls {\rm Re}[s_{\rm TP}(t)] > 0 gilt, ist die Phase \phi(t) = 0. |
− | * Dagegen gilt bei negativem Realteil: \phi(t) = \pi. | + | * Dagegen gilt bei negativem Realteil: \phi(t) = \pi. |
− | Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: 0 \leq t \leq T_0. Im Bereich zwischen t_1 und t_2 liegt eine Phase von 180^\circ vor, ansonsten gilt \text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0. Zur Berechung von t_1 kann das Ergebnis der Teilaufgabe (2) herangezogen werden: | + | Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: 0 \leq t \leq T_0. |
+ | *Im Bereich zwischen t_1 und t_2 liegt eine Phase von 180^\circ vor, ansonsten gilt \text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0. | ||
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+ | *Zur Berechung von t_1 kann das Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' herangezogen werden: | ||
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− | Daraus erhält man $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ \ | + | *Daraus erhält man $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ {\rm µ} \text{s}$. |
− | $t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63 \ \ | + | *Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis: $t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63 \ {\rm µ} \text{s}$. |
− | Die gesuchten Werte sind somit $\phi(t = 25 \ \ | + | |
− | $\phi(t = 75 \ \ | + | Die gesuchten Werte sind somit: |
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]] | [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]] |
Aktuelle Version vom 11. Mai 2021, 14:44 Uhr
Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in der Aufgabe 4.4 (aber nicht das gleiche):
- ein sinusförmiges Nachrichtensignal mit der Amplitude A_{\rm N} = 2 \ \text{V} und der Frequenz f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz},
- ZSB-Amplitudenmodulation ohne Trägerunterdrückung mit der Trägerfrequenz f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}.
Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion S_+(f) des analytischen Signals s_+(t).
Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form
- s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}
dargestellt werden kann, wobei a(t) ≥ 0 gelten soll. Für \phi(t) ist der Wertebereich –\pi < \phi(t) \leq +\pi zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:
- \phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\big[s_{\rm TP}(t)\big]}{{\rm Re}\big[s_{\rm TP}(t)\big]}.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.
- Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal ⇒ „Ortskurve” überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz} nach links, so liegen diese bei -\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}, 0 und +10 \ \text{kHz}.
- Die Gleichung für s_{\rm TP}(t) lautet mit \omega_{10} = 2 \pi \cdot 10 \ \text{kHz}:
- s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }+{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }
- \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} +{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}.
- \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= {+\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0} .
(2) Obige Gleichung kann man nach dem Satz von Euler mit T_0 = 1/f_{\rm N} = 100 \ {\rm µ} \text{s} wie folgt umformen:
- \frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \sin({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t })\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} \sin({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) = 1+2 \cdot \sin(2 \pi {t}/{T_0}) .
- Damit ist gezeigt, dass s_{\rm TP}(t) für alle Zeiten t reell ist.
- Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man:
- s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(36^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +2.176 \hspace{0.05cm} V}}},
- s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(90^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +3 \hspace{0.05cm} V}}},
- s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(270^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{= -{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}},
- s_{\rm TP}(t = {\rm 100 \hspace{0.1cm}{\rm µ} s}) = s_{\rm TP}(t = 0) \hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +1 \hspace{0.05cm} V}}}.
(3) Definitionsgemäß gilt a(t) = |s_{\rm TP}(t)|. Damit erhält man folgende Zahlenwerte:
- a(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm}{\rm µ} s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +3 \hspace{0.05cm} V}} , \hspace{4.15 cm}
- a(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm µ} s}) = |s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +1 \hspace{0.05cm} V}} .
(4) Allgemein gilt für die Phasenfunktion:
- \phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}
Aufgrund der Tatsache, dass hier für alle Zeiten {\rm Im}[s_{\rm TP}(t)] = 0 ist, erhält man hieraus das Ergebnis:
- Falls {\rm Re}[s_{\rm TP}(t)] > 0 gilt, ist die Phase \phi(t) = 0.
- Dagegen gilt bei negativem Realteil: \phi(t) = \pi.
Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: 0 \leq t \leq T_0.
- Im Bereich zwischen t_1 und t_2 liegt eine Phase von 180^\circ vor, ansonsten gilt \text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0.
- Zur Berechung von t_1 kann das Ergebnis der Teilaufgabe (2) herangezogen werden:
- \sin(2 \pi \cdot {t_1}/{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \pi \cdot {t_1}/{T_0} = 2 \pi \cdot {7}/{12}\hspace{0.3cm}{\rm (entspricht}\hspace{0.2cm}210^\circ )
- Daraus erhält man t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ {\rm µ} \text{s}.
- Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis: t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63 \ {\rm µ} \text{s}.
Die gesuchten Werte sind somit:
- \phi(t = 25 \ {\rm µ} \text{s}) \; \underline { = 0},
- \phi(t = 75 \ {\rm µ} \text{s}) \; \underline { = 180^{\circ}}\; (= \pi).