Aufgaben:Aufgabe 3.3: Vom Signal zum Spektrum: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID503__Sig_A_3_3.png|250px|right|frame|Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum]]
 
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Betrachtet wird ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $T = 50\,\text{µs}$ und der Höhe $A = 2\,\text{V}$. An den Sprungstellen bei $t = 0$ und $t = T$ ist der Signalwert jeweils $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.
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Betrachtet wird ein Rechteckimpuls  $x(t)$  der Dauer  $T = 50\,\text{µs}$  und der Höhe  $A = 2\,\text{V}$.  An den Sprungstellen bei  $t = 0$  und  $t = T$  ist der Signalwert jeweils  $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.
  
In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert. Es gilt:
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In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert.  Es gilt:
  
 
:$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$
 
:$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$
 
   
 
   
Der analytische Funktionsverlauf von $X(f)$ soll ermittelt werden.
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Der analytische Funktionsverlauf von  $X(f)$  soll ermittelt werden.
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale|Einige Sonderfälle impulsartiger Signale]].
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale|Einige Sonderfälle impulsartiger Signale]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:
 
*Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:
  
:$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \right),\hspace{0.5cm} \tan( {\alpha /2} ) = \frac{ {1 - \cos ( \alpha  )}}{ {\sin ( \alpha  )}}.$$
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:$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \big( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \big),\hspace{0.5cm} \tan( {\alpha /2} ) = \frac{ {1 - \cos ( \alpha  )}}{ {\sin ( \alpha  )}}.$$
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f=10\, \text{kHz})$?
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{Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f=10\, \text{kHz}$?
 
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${\rm Re}[X(f=10 \,\text{kHz})] \ = \ $ { 0. } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
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${\rm Re}\big[X(f=10 \,\text{kHz})\big] \ = \ $ { 0. } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
${\rm Re}[X(f=10\, \text{kHz})]\ = \ $ { -0.064--0.06 } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
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${\rm Im}\big[X(f=10\, \text{kHz})\big]\ = \ $ { -0.064--0.06 } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
  
{Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$ allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$ und $f=20 \,\text{kHz})$?
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{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; allgemein.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f=20 \,\text{kHz}$?
 
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$|X(f=0)|\ = \ $ { 0.1 3% } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
 
$|X(f=0)|\ = \ $ { 0.1 3% } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
 
$|X(f=20\, \text{kHz})|\ = \ $ { 0. } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
 
$|X(f=20\, \text{kHz})|\ = \ $ { 0. } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
  
{Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich $|X(f)|$ zutreffend?
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{Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; zutreffend?
 
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+ $|X(f)|$ hat Nullstellen bei Vielfachen von $f_0 = 1/T$.
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+ $|X(f)|$&nbsp; hat Nullstellen bei Vielfachen von&nbsp; $f_0 = 1/T$.
- $|X(f)|$ hat Nullstellen bei Vielfachen von $f_0 = 1/(2T)$.
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- $|X(f)|$&nbsp; hat Nullstellen bei Vielfachen von&nbsp; $f_0 = 1/(2T)$.
+ In der Mitte zwischen zwei Nullstellen gilt $|X(f)| = |A/(\pi f)|$.
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+ In der Mitte zwischen zwei Nullstellen gilt&nbsp; $|X(f)| = |A/(\pi f)|$.
  
{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\varphi (f)$. Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz $f=10\, \text{kHz}$?
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{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\varphi (f)$.&nbsp; Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f=10\, \text{kHz}$?
 
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$\varphi (f=10\, \text{kHz})\ = \ $ { 90 1% } &nbsp; $\text{Grad}$
 
$\varphi (f=10\, \text{kHz})\ = \ $ { 90 1% } &nbsp; $\text{Grad}$
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$ lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:
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'''(1)'''&nbsp; Mit der Abkürzung&nbsp; $\omega = 2\pi f$&nbsp; lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:
 
   
 
   
 
:$$X( f ) = \int_0^T {A \cdot {\rm{e}}^{-{\rm{j}}\omega t} \hspace{0.05cm}{\rm d}t = } \int_0^T {A \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.05cm}{\rm d}t  }\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} {\rm{j}} \cdot \int_{\rm{0}}^T {A \cdot \sin ( {\omega t} )} \hspace{0.05cm}{\rm d}t.$$
 
:$$X( f ) = \int_0^T {A \cdot {\rm{e}}^{-{\rm{j}}\omega t} \hspace{0.05cm}{\rm d}t = } \int_0^T {A \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.05cm}{\rm d}t  }\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} {\rm{j}} \cdot \int_{\rm{0}}^T {A \cdot \sin ( {\omega t} )} \hspace{0.05cm}{\rm d}t.$$
  
Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:
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*Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:
 
   
 
   
 
:$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$
 
:$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$
  
:$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega: T}) - 1} \right) =  - \frac{A}{\omega } \cdot\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$
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:$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega T}) - 1} \right) =  - \frac{A}{\omega } \cdot\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$
 
   
 
   
Für die Frequenz $f = 1/(2T) = 10\, \text{kHz}$  &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\omega \cdot T = \pi$  erhält man:
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*Für die Frequenz&nbsp; $f = 1/(2T) = 10\, \text{kHz}$  &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\omega \cdot T = \pi$&nbsp; erhält man:
 
   
 
   
 
:$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$
 
:$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$
  
:$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{ { - A}}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \left( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \right) = - \frac{ {  A}}{{ {\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{=  - 0.0637  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
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:$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{ { - A}}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \big( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \big) = - \frac{ {  A}}{{ {\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{=  - 0.0637  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
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'''(2)'''&nbsp; Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:
 
'''(2)'''&nbsp; Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:
 
   
 
   
:$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {A^2 }}{ {\omega ^2 }}\left[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \right].$$
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:$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {A^2 }}{ {\omega ^2 }}\big[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \big].$$
  
Wegen $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ kann hierfür auch geschrieben werden:
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*Wegen&nbsp; $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 
   
 
   
:$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {2A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right) = \frac{ {4A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$
+
:$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {2A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \big( {1 - \cos ( {\omega T} )} \big) = \frac{ {4A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$
  
Setzt man für $\omega = 2\pi f$ und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung $A > 0$:
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*Setzt man für&nbsp; $\omega = 2\pi f$&nbsp; und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung&nbsp; $A > 0$:
 
   
 
   
 
:$$\left| {X( f )} \right| =  \left| \frac{A}{ {\rm\pi }f} \cdot \sin ( {\rm \pi }fT ) \right| = A \cdot T \cdot \left| \frac{\sin ( {\rm\pi }fT )}{ {\rm \pi}fT} \right|.$$
 
:$$\left| {X( f )} \right| =  \left| \frac{A}{ {\rm\pi }f} \cdot \sin ( {\rm \pi }fT ) \right| = A \cdot T \cdot \left| \frac{\sin ( {\rm\pi }fT )}{ {\rm \pi}fT} \right|.$$
  
Mit der Abkürzung $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ lautet das Ergebnis:
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*Mit der Abkürzung&nbsp; $\text{si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; lautet das Ergebnis:
 
   
 
   
$$\left| {X( f)} \right| = A \cdot T \cdot\left|{\rm si} ( { {\rm{\pi }}fT} ) \right|.$$
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:$$\left| {X( f)} \right| = A \cdot T \cdot\left|{\rm si} ( { {\rm{\pi }}fT} ) \right|.$$
  
Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 1/T = 20$ kHz ergibt sich zu
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*Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 1/T = \text{20 kHz}$&nbsp; ergibt sich zu
 
   
 
   
 
:$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{ {A \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
 
:$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{ {A \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
  
Bei der Berechnung des Spektralwertes für $f = 0$ erscheint der Quotient „0 durch 0”. Durch Anwendung der [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital Regel von l'Hospital] kann dieser Grenzwert berechnet werden:
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*Bei der Berechnung des Wertes für&nbsp; $f = 0$&nbsp; erscheint der Quotient&nbsp; $\text{0 durch 0}$.&nbsp; Durch Anwendung der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital l'Hospitalschen Regel]&nbsp; kann der Grenzwert berechnet werden:
 
   
 
   
 
:$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{ {\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$
 
:$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{ {\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$
  
Daraus folgt:
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*Daraus folgt:
 
   
 
   
 
:$$\left| {X( {f = 0} )} \right| = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.1 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
 
:$$\left| {X( {f = 0} )} \right| = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.1 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
  
Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei $f = 0$ genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.
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*Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.
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[[Datei:P_ID563__Sig_A_3_3_c.png|right|frame|Betragsspektrum des Rechteckimpulses]]
 
[[Datei:P_ID563__Sig_A_3_3_c.png|right|frame|Betragsspektrum des Rechteckimpulses]]
 
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
*Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe (2) treten die Nullstellen im Abstand $f_0 = 1/T$ auf. Bei $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$  ist zwar der Realteil $0$, aber nicht der Imaginärteil.
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*Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; treten die Nullstellen im Abstand&nbsp; $f_0 = 1/T$&nbsp; auf.  
*Bei den Argumenten $f \cdot T = 0.5, 1.5, 2.5, ... $ ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich $1$, und es gilt:
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*Bei&nbsp; $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$&nbsp; ist zwar der Realteil&nbsp; $0$, aber nicht der Imaginärteil.
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*Bei den Argumenten&nbsp; $f \cdot T = 0.5,\ 1.5,\ 2.5,\hspace{0.05cm}\text{ ... }$&nbsp; ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich&nbsp; $1$, und es gilt:
 
   
 
   
 
:$$\left| {X( f )} \right| = \frac{A}{ {{\rm{\pi }}\left| f \right|}} = X_{\rm S} ( f ).$$
 
:$$\left| {X( f )} \right| = \frac{A}{ {{\rm{\pi }}\left| f \right|}} = X_{\rm S} ( f ).$$
  
Bei anderen Frequenzen dient $X_{\rm S}(f)$ als obere Schranke, d. h. es gilt stets ($|Xf)| \geq X_{\rm S}(f)$. In obiger Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu $|X(f)|$ als violette Kurve eingezeichnet.
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*Bei anderen Frequenzen dient&nbsp; $X_{\rm S}(f)$&nbsp; als obere Schranke, das heißt, es gilt stets&nbsp; $|Xf)| \leq X_{\rm S}(f)$.  
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*In der Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; als violette Kurve eingezeichnet.
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:$$\varphi ( f ) =  - \arctan \frac{ { {\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{ { {\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$
 
:$$\varphi ( f ) =  - \arctan \frac{ { {\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{ { {\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$
  
Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe (1) gilt somit:
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*Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; gilt somit:
 
   
 
   
 
:$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ {1 - \cos ( {\omega T} )}}{ {\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$
 
:$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ {1 - \cos ( {\omega T} )}}{ {\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$
  
Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$. Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:
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*Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich&nbsp; $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$.&nbsp; Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:
 
   
 
   
 
:$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( { {\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$
 
:$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( { {\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$
  
Mit $f = 10\,\text{kHz}$  und $T = 50\,\text{µs}$  erhält man daraus den Phasenwinkel $\pi /2$ entsprechend $\underline{90^{\circ}}$ .
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*Mit&nbsp; $f = 10\,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $T = 50\,\text{µs}$&nbsp; erhält man daraus den Phasenwinkel&nbsp; $\pi /2$&nbsp; entsprechend&nbsp; $\underline{90^{\circ}}$ .
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
 
__NOEDITSECTION__
 
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]
 
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]

Aktuelle Version vom 23. April 2021, 09:46 Uhr

Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum

Betrachtet wird ein Rechteckimpuls  $x(t)$  der Dauer  $T = 50\,\text{µs}$  und der Höhe  $A = 2\,\text{V}$.  An den Sprungstellen bei  $t = 0$  und  $t = T$  ist der Signalwert jeweils  $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.

In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert.  Es gilt:

$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$

Der analytische Funktionsverlauf von  $X(f)$  soll ermittelt werden.




Hinweise:

  • Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:
$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \big( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \big),\hspace{0.5cm} \tan( {\alpha /2} ) = \frac{ {1 - \cos ( \alpha )}}{ {\sin ( \alpha )}}.$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion  $X(f)$.  Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz  $f=10\, \text{kHz}$?

${\rm Re}\big[X(f=10 \,\text{kHz})\big] \ = \ $

  $\text{mV/Hz}$
${\rm Im}\big[X(f=10\, \text{kHz})\big]\ = \ $

  $\text{mV/Hz}$

2

Berechnen Sie die Betragsfunktion  $|X(f)|$  allgemein.  Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen  $f = 0$  und  $f=20 \,\text{kHz}$?

$|X(f=0)|\ = \ $

  $\text{mV/Hz}$
$|X(f=20\, \text{kHz})|\ = \ $

  $\text{mV/Hz}$

3

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $|X(f)|$  zutreffend?

$|X(f)|$  hat Nullstellen bei Vielfachen von  $f_0 = 1/T$.
$|X(f)|$  hat Nullstellen bei Vielfachen von  $f_0 = 1/(2T)$.
In der Mitte zwischen zwei Nullstellen gilt  $|X(f)| = |A/(\pi f)|$.

4

Berechnen Sie die Phasenfunktion  $\varphi (f)$.  Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz  $f=10\, \text{kHz}$?

$\varphi (f=10\, \text{kHz})\ = \ $

  $\text{Grad}$


Musterlösung

(1)  Mit der Abkürzung  $\omega = 2\pi f$  lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:

$$X( f ) = \int_0^T {A \cdot {\rm{e}}^{-{\rm{j}}\omega t} \hspace{0.05cm}{\rm d}t = } \int_0^T {A \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.05cm}{\rm d}t }\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} {\rm{j}} \cdot \int_{\rm{0}}^T {A \cdot \sin ( {\omega t} )} \hspace{0.05cm}{\rm d}t.$$
  • Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:
$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$
$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega T}) - 1} \right) = - \frac{A}{\omega } \cdot\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$
  • Für die Frequenz  $f = 1/(2T) = 10\, \text{kHz}$   ⇒   $\omega \cdot T = \pi$  erhält man:
$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$
$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{ { - A}}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \big( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \big) = - \frac{ { A}}{{ {\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{= - 0.0637 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$


(2)  Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:

$$\left| {X( f )} \right|^2 = \frac{ {A^2 }}{ {\omega ^2 }}\big[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \big].$$
  • Wegen  $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$  kann hierfür auch geschrieben werden:
$$\left| {X( f )} \right|^2 = \frac{ {2A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \big( {1 - \cos ( {\omega T} )} \big) = \frac{ {4A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$
  • Setzt man für  $\omega = 2\pi f$  und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung  $A > 0$:
$$\left| {X( f )} \right| = \left| \frac{A}{ {\rm\pi }f} \cdot \sin ( {\rm \pi }fT ) \right| = A \cdot T \cdot \left| \frac{\sin ( {\rm\pi }fT )}{ {\rm \pi}fT} \right|.$$
  • Mit der Abkürzung  $\text{si}(x) = \sin(x)/x$  lautet das Ergebnis:
$$\left| {X( f)} \right| = A \cdot T \cdot\left|{\rm si} ( { {\rm{\pi }}fT} ) \right|.$$
  • Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 1/T = \text{20 kHz}$  ergibt sich zu
$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{ {A \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
  • Bei der Berechnung des Wertes für  $f = 0$  erscheint der Quotient  $\text{0 durch 0}$.  Durch Anwendung der  l'Hospitalschen Regel  kann der Grenzwert berechnet werden:
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{ {\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$
  • Daraus folgt:
$$\left| {X( {f = 0} )} \right| = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.1 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
  • Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei  $f = 0$  genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.


Betragsspektrum des Rechteckimpulses

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe  (2)  treten die Nullstellen im Abstand  $f_0 = 1/T$  auf.
  • Bei  $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$  ist zwar der Realteil  $0$, aber nicht der Imaginärteil.
  • Bei den Argumenten  $f \cdot T = 0.5,\ 1.5,\ 2.5,\hspace{0.05cm}\text{ ... }$  ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich  $1$, und es gilt:
$$\left| {X( f )} \right| = \frac{A}{ {{\rm{\pi }}\left| f \right|}} = X_{\rm S} ( f ).$$
  • Bei anderen Frequenzen dient  $X_{\rm S}(f)$  als obere Schranke, das heißt, es gilt stets  $|Xf)| \leq X_{\rm S}(f)$.
  • In der Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu  $|X(f)|$  als violette Kurve eingezeichnet.


(4)  Nach der Definition auf der Angabenseite kann man die Phasenfunktion wie folgt berechnen:

$$\varphi ( f ) = - \arctan \frac{ { {\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{ { {\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$
  • Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe  (1)  gilt somit:
$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ {1 - \cos ( {\omega T} )}}{ {\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$
  • Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich  $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$.  Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:
$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( { {\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$
  • Mit  $f = 10\,\text{kHz}$  und  $T = 50\,\text{µs}$  erhält man daraus den Phasenwinkel  $\pi /2$  entsprechend  $\underline{90^{\circ}}$ .