Aufgabe 2.6: Zyklisches Präfix: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Ein wesentlicher Vorteil von DSL/DMT ist die einfache Entzerrung von Kanalverzerrungen durch die Einfügung eines Guard–Intervalls und eines zyklischen Präfix. Die Grafik zeigt ein vereinfachendes Blockschaltbild, wobei die zur Entzerrung des Kanalfrequenzgangs | + | Ein wesentlicher Vorteil von $\rm DSL/DMT$ ist die einfache Entzerrung von Kanalverzerrungen durch die Einfügung eines Guard–Intervalls und eines zyklischen Präfix. Die Grafik zeigt ein vereinfachendes Blockschaltbild, wobei die zur Entzerrung des Kanalfrequenzgangs |
:$$H_{\rm K}(f) \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm K}(t)$$ | :$$H_{\rm K}(f) \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm K}(t)$$ | ||
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− | Für den ADSL/ | + | Für den $\rm ADSL/DMT$–Downstream gelten folgende Parameter: |
− | *Mit jedem Rahmen werden die Subkanäle $k = 64, ... , 255$ bei den Trägerfrequenzen $f_k = k \cdot f_0$ mit den QAM–Symbolen $D_k$ belegt. Wegen der Reservierung der untersten Frequenzen für ISDN und Upstream gilt $D_0 = ... D_{63} = 0$. | + | *Mit jedem Rahmen werden die Subkanäle $k = 64$, ... , $255$ bei den Trägerfrequenzen $f_k = k \cdot f_0$ mit den QAM–Symbolen $D_k$ belegt. Wegen der Reservierung der untersten Frequenzen für ISDN und für den Upstream gilt $D_0 =$ ... $= D_{63} = 0$. |
− | *Die Grundfrequenz ist zu $f_0 = 4.3125 \ \rm kHz$ gewählt und die Rahmendauer beträgt $T = 1/f_0 \approx 232 \ {\rm | + | *Die Grundfrequenz ist zu $f_0 = 4.3125 \ \rm kHz$ gewählt und die Rahmendauer beträgt $T = 1/f_0 \approx 232 \ {\rm µ s}$. Diese Werte ergeben sich aus der Forderung, dass pro Sekunde $4000$ Rahmen übertragen werden sollen und nach jedem $68$–ten Rahmen ein Synchronisationsrahmen eingefügt wird. |
− | *Nach Belegung der oberen Koeffizienten $(k = 257, ... , 448)$ gemäß $D_k = D_{ | + | *Nach Belegung der oberen Koeffizienten $(k = 257$, ... , $448)$ gemäß $D_k = D_{512-k}^{\ast}$ wird der gesamte Block $D_0$, ... , $D_{511}$ einer ''Inversen Diskreten Fouriertransformation'' $\rm (IDFT)$ zugeführt. Die Zeitkoeffizienten sind dann $s_0$, ... , $s_{511}$. |
− | *Um Impulsinterferenzen – auch Inter–Symbol–Interferenzen (ISI) genannt – zwischen benachbarten Rahmen zu vermeiden, wird zwischen zwei Rahmen ein Schutzabstand („Guard–Intervall”) der Dauer $T_{\rm G}$ eingefügt. Der Rahmenabstand muss dabei mindestens so groß sein wie die Länge $T_{\rm K}$der Impulsantwort. | + | *Um Impulsinterferenzen – auch ''Inter–Symbol–Interferenzen'' $\rm (ISI)$ genannt – zwischen benachbarten Rahmen zu vermeiden, wird zwischen zwei Rahmen ein Schutzabstand („Guard–Intervall”) der Dauer $T_{\rm G}$ eingefügt. Der Rahmenabstand muss dabei mindestens so groß sein wie die „Länge” $T_{\rm K}$ der Impulsantwort. |
− | *Zudem werden die IDFT–Ausgangswerte $(s_{480}, ... , s_{511})$ dupliziert, als $(s_{ | + | *Zudem werden die IDFT–Ausgangswerte $(s_{480}$, ... , $s_{511})$ dupliziert, als $(s_{-32}$, ... , $s_{-1})$ dem Ausgangsvektor $(s_0$, ... , $s_{511})$ vorangestellt und im Guard–Intervall übertragen. Man nennt dies das „zyklische Präfix”. Somit stören sich auch die Subträger eines Rahmens nicht, das heißt, es gibt nicht nur keine $\rm ISI$, sondern auch keine Inter–Carrier–Interferenzen $\rm (ICI)$. |
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+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Verfahren_zur_Senkung_der_Bitfehlerrate_bei_DSL|Verfahren zur Senkung der Bitfehlerrate bei DSL]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Verfahren_zur_Senkung_der_Bitfehlerrate_bei_DSL#Einf.C3.BCgen_von_Guard.E2.80.93Intervall_und_zyklischem_Pr.C3.A4fix|Einfügen von Guard–Intervall und zyklischem Präfix]]. | ||
+ | *Im Fragebogen bezeichnet $s_k(t)$ den (zeitkontinuierlichen) Signalverlauf, wenn allein der Koeffizient $D_k$ des Trägers bei $f_k = k \cdot f_0$ von Null verschieden ist. | ||
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− | {Wie groß ist die Dauer des Guard–Intervalls zu wählen? | + | {Wie groß ist die Dauer $T_{\rm G}$ des Guard–Intervalls zu wählen? |
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− | {Welche Ausdehnung darf die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$ haben, damit es keine Intersymbolinterferenzen gibt? | + | {Welche Ausdehnung $(T_{\rm K, \ max} )$ darf die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$ haben, damit es keine Intersymbolinterferenzen gibt? |
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− | $T_{\rm K, \ max} \ = \ ${ 14.5 3% } $ \ \rm | + | $T_{\rm K, \ max} \ = \ ${ 14.5 3% } $ \ \rm µ s$ |
{Welche Eigenschaften besitzt das DMT–System mit zyklischem Präfix? Der Einfluss des Rauschens soll hier unberücksichtigt bleiben. | {Welche Eigenschaften besitzt das DMT–System mit zyklischem Präfix? Der Einfluss des Rauschens soll hier unberücksichtigt bleiben. | ||
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− | - Alle Spektralkoeffizienten nach der DFT $(D_k')$ sind gleich $D_k$. | + | - Alle Spektralkoeffizienten nach der DFT $(D_k\hspace{0.01cm}')$ sind gleich $D_k$. |
− | + Die Koeffizienten nach Entzerrung ($ | + | + Die Koeffizienten nach Entzerrung $(\hat{D}_k)$ sind gleich $D_k$. |
- Das Guard–Intervall hat keine Auswirkung auf die Datenrate. | - Das Guard–Intervall hat keine Auswirkung auf die Datenrate. | ||
{Was wäre, wenn man das Guard–Intervall unbelegt lässt? | {Was wäre, wenn man das Guard–Intervall unbelegt lässt? | ||
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- Das würde nichts verbessern. | - Das würde nichts verbessern. | ||
+ Daten verschiedener Rahmen stören sich nicht gegenseitig. | + Daten verschiedener Rahmen stören sich nicht gegenseitig. | ||
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{Auf welchem Prinzip beruht das zyklische Präfix? | {Auf welchem Prinzip beruht das zyklische Präfix? | ||
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− | + Der Einfluss von $h_K(t)$ wird auf $t < 0$ begrenzt. | + | + Der Einfluss von $h_K(t)$ wird auf den Bereich $t < 0$ begrenzt. |
− | + Für $0 ≤ t ≤ T$ stellt $s_k(t)$ eine harmonische Schwingung dar. | + | + Für $0 ≤ t ≤ T$ stellt $s_k(t)$ eine harmonische Schwingung dar. |
− | - $h_{\rm K}(t)$ hat keinen Einfluss auf Betrag und Phase von $s_k(t)$. | + | - $h_{\rm K}(t)$ hat keinen Einfluss auf Betrag und Phase von $s_k(t)$. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''(1)''' Innerhalb des Guard–Intervalls müssen beim Sender $32$ zusätzliche Abtastwerte $s_{ | + | '''(1)''' Innerhalb des Guard–Intervalls müssen beim Sender $32$ zusätzliche Abtastwerte $s_{-32}$, ... , $s_{-1}$ eingefügt werden. Damit gilt: |
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− | :$$D_k' = D_k \cdot H_{\rm K} ( f = f_k), \hspace{0.2cm} f_k = k \cdot f_0 \hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$T_{\rm K,\hspace{0.08cm} max} \le T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline{= 14.5\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm}.$$ |
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+ | :$$D_k\hspace{0.01cm}' = D_k \cdot H_{\rm K} ( f = f_k), \hspace{0.2cm} f_k = k \cdot f_0 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | *Die einzelnen Subkanäle können einzeln durch Multiplikation mit $H_{\rm K}^{-1}(f = f_k)$ entzerrt werden. Damit gilt für alle $k = 1$, ... , $K$: | ||
:$$\hat{D}_k = D_k \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\hat{D}_k = D_k \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | *Aussage 3 ist falsch: Die Rate ist vielmehr um den Faktor $T/(T + T_{\rm G}) = 16/17$ geringer als ohne Guard–Intervall und zyklischem Präfix. | ||
+ | *Dieser geringe Verlust wird aber gerne in Kauf genommen, da die einfache Entzerrung diesen Nachteil mehr als ausgleicht. | ||
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+ | *Nicht verhindert würden dadurch so genannte Inter–Carrier–Interferenzen, das heißt, die Subträger eines Rahmens wären dann nicht mehr orthogonal zueinander, da die Faltung der zeitlich auf $T$ begrenzten harmonischen Schwingung mit der Impulsantwort keine si–Funktion ergibt, wie dies bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#Grundlagen_von_DMT_.E2.80.93_Discrete_Multitone_Transmission|idealem Kanal]] der Fall ist. | ||
+ | *Damit beeinflusst der Koeffizient $D_k$ bei $k \cdot f_0$ auch die Spektralwerte bei $\kappa \cdot f_0$ in der Umgebung $(\kappa \neq k)$. | ||
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− | '''(5)''' Richtig sind <u> | + | '''(5)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: |
+ | *Betrag und Phase von $s_k(t)$ wird sehr wohl durch $h_{\rm K}(t)$ verändert, und zwar entsprechend dem Wert $H_{\rm K}(f = f_k)$ des Frequenzgangs. | ||
+ | *Durch den Entzerrer auf der Empfängerseite lässt sich dieser Fehler aber in einfacher Weise (und unabhängig von den anderen Subkanälen) korrigieren. | ||
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Aktuelle Version vom 5. August 2019, 16:26 Uhr
Ein wesentlicher Vorteil von $\rm DSL/DMT$ ist die einfache Entzerrung von Kanalverzerrungen durch die Einfügung eines Guard–Intervalls und eines zyklischen Präfix. Die Grafik zeigt ein vereinfachendes Blockschaltbild, wobei die zur Entzerrung des Kanalfrequenzgangs
- $$H_{\rm K}(f) \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm K}(t)$$
erforderlichen Komponenten rot hervorgehoben sind.
Für den $\rm ADSL/DMT$–Downstream gelten folgende Parameter:
- Mit jedem Rahmen werden die Subkanäle $k = 64$, ... , $255$ bei den Trägerfrequenzen $f_k = k \cdot f_0$ mit den QAM–Symbolen $D_k$ belegt. Wegen der Reservierung der untersten Frequenzen für ISDN und für den Upstream gilt $D_0 =$ ... $= D_{63} = 0$.
- Die Grundfrequenz ist zu $f_0 = 4.3125 \ \rm kHz$ gewählt und die Rahmendauer beträgt $T = 1/f_0 \approx 232 \ {\rm µ s}$. Diese Werte ergeben sich aus der Forderung, dass pro Sekunde $4000$ Rahmen übertragen werden sollen und nach jedem $68$–ten Rahmen ein Synchronisationsrahmen eingefügt wird.
- Nach Belegung der oberen Koeffizienten $(k = 257$, ... , $448)$ gemäß $D_k = D_{512-k}^{\ast}$ wird der gesamte Block $D_0$, ... , $D_{511}$ einer Inversen Diskreten Fouriertransformation $\rm (IDFT)$ zugeführt. Die Zeitkoeffizienten sind dann $s_0$, ... , $s_{511}$.
- Um Impulsinterferenzen – auch Inter–Symbol–Interferenzen $\rm (ISI)$ genannt – zwischen benachbarten Rahmen zu vermeiden, wird zwischen zwei Rahmen ein Schutzabstand („Guard–Intervall”) der Dauer $T_{\rm G}$ eingefügt. Der Rahmenabstand muss dabei mindestens so groß sein wie die „Länge” $T_{\rm K}$ der Impulsantwort.
- Zudem werden die IDFT–Ausgangswerte $(s_{480}$, ... , $s_{511})$ dupliziert, als $(s_{-32}$, ... , $s_{-1})$ dem Ausgangsvektor $(s_0$, ... , $s_{511})$ vorangestellt und im Guard–Intervall übertragen. Man nennt dies das „zyklische Präfix”. Somit stören sich auch die Subträger eines Rahmens nicht, das heißt, es gibt nicht nur keine $\rm ISI$, sondern auch keine Inter–Carrier–Interferenzen $\rm (ICI)$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verfahren zur Senkung der Bitfehlerrate bei DSL.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Einfügen von Guard–Intervall und zyklischem Präfix.
- Im Fragebogen bezeichnet $s_k(t)$ den (zeitkontinuierlichen) Signalverlauf, wenn allein der Koeffizient $D_k$ des Trägers bei $f_k = k \cdot f_0$ von Null verschieden ist.
Fragebogen
Musterlösung
- $$T_{\rm G} = \frac{32}{512} \cdot T = \frac{232\,{\rm µ s}}{16} \hspace{0.15cm}\underline{= 14.5\,{\rm µ s} }\hspace{0.05cm}.$$
(2) Intersymbolinterferenzen (ISI) und Intercarrierinterferenzen (ICI) werden vermieden, so lange die Länge $T_{\rm K}$ der Kanalimpulsantwort nicht größer ist als die Länge $T_{\rm G}$ des Guard–Intervalls:
- $$T_{\rm K,\hspace{0.08cm} max} \le T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline{= 14.5\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.
- Für die Ausgangskoeffizienten der DFT gilt im rauschfreien Fall:
- $$D_k\hspace{0.01cm}' = D_k \cdot H_{\rm K} ( f = f_k), \hspace{0.2cm} f_k = k \cdot f_0 \hspace{0.05cm}.$$
- Die einzelnen Subkanäle können einzeln durch Multiplikation mit $H_{\rm K}^{-1}(f = f_k)$ entzerrt werden. Damit gilt für alle $k = 1$, ... , $K$:
- $$\hat{D}_k = D_k \hspace{0.05cm}.$$
- Aussage 3 ist falsch: Die Rate ist vielmehr um den Faktor $T/(T + T_{\rm G}) = 16/17$ geringer als ohne Guard–Intervall und zyklischem Präfix.
- Dieser geringe Verlust wird aber gerne in Kauf genommen, da die einfache Entzerrung diesen Nachteil mehr als ausgleicht.
(4) Richtig ist hier nur der Lösungsvorschlag 2:
- Nicht verhindert würden dadurch so genannte Inter–Carrier–Interferenzen, das heißt, die Subträger eines Rahmens wären dann nicht mehr orthogonal zueinander, da die Faltung der zeitlich auf $T$ begrenzten harmonischen Schwingung mit der Impulsantwort keine si–Funktion ergibt, wie dies bei idealem Kanal der Fall ist.
- Damit beeinflusst der Koeffizient $D_k$ bei $k \cdot f_0$ auch die Spektralwerte bei $\kappa \cdot f_0$ in der Umgebung $(\kappa \neq k)$.
(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Betrag und Phase von $s_k(t)$ wird sehr wohl durch $h_{\rm K}(t)$ verändert, und zwar entsprechend dem Wert $H_{\rm K}(f = f_k)$ des Frequenzgangs.
- Durch den Entzerrer auf der Empfängerseite lässt sich dieser Fehler aber in einfacher Weise (und unabhängig von den anderen Subkanälen) korrigieren.