Aufgaben:Aufgabe 3.10: Berechnung der Rauschleistungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachtet werden die Phasen– und Frequenzmodulation einer Cosinusschwingung mit der Frequenz $f_{\rm N}$. Zunächst gelte für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$ und der Modulationsindex (Phasenhub) sei $η = 5$.
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Betrachtet werden die Phasen– und Frequenzmodulation einer Cosinusschwingung mit der Frequenz  $f_{\rm N}$.  Zunächst gelte für die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$  und der Modulationsindex (Phasenhub) sei  $η = 5$.
  
Bei Vorhandensein von additivem Gaußschen Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$ ergibt sich nach dem PM–Demodulator eine konstante Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} }(f) = {\it \Phi}_0$, die auch vom Modulationsindex abhängt:
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Bei Vorhandensein von additivem Gaußschen Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$  ergibt sich nach dem PM–Demodulator eine konstante Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}PM} }(f) = {\it \Phi}_0$, die auch vom Modulationsindex  $η$  abhängt:
 
:$${\it \Phi}_0 = \frac{N_0}{\eta^2} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\it \Phi}_0 = \frac{N_0}{\eta^2} \hspace{0.05cm}.$$
Für die Berechnung der Rauschleistung $P_{\rm R}$ ist lediglich der Frequenzbereich von $±f_{\rm N}$ relevant (siehe Grafik).
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Für die Berechnung der Rauschleistung  $P_{\rm R}$  ist lediglich der Frequenzbereich von  $±f_{\rm N}$  relevant (siehe Grafik).
  
Die Rauschleistungsdichte nach der FM–Demodulation lautet mit dem Frequenzhub $Δf_{\rm A}$:
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Die Rauschleistungsdichte nach der FM–Demodulation lautet mit dem Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$:
 
:$${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f) = N_0 \cdot \left(\frac{f}{\Delta f_{\rm A}}\right)^2 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f) = N_0 \cdot \left(\frac{f}{\Delta f_{\rm A}}\right)^2 \hspace{0.05cm}.$$
*Gegeben ist der Rauschabstand $10 · \lg ρ_v = 50 \ \rm dB$ für Phasenmodulation und $f_N = 5 kHz$.  
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*Gegeben ist der Rauschabstand  $10 · \lg ρ_v = 50 \ \rm dB$  für Phasenmodulation und  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.  
*Gesucht sind in dieser Aufgabe der Rauschabstand bei FM für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$) sowie die sich ergebenden Rauschabstände von PM und FM für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = f_{10} = 10 \ \rm kHz$.
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*Gesucht sind in dieser Aufgabe der Rauschabstand bei FM für die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  sowie die sich ergebenden Rauschabstände von PM und FM für die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_{10} = 10 \ \rm kHz$.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation|Rauscheinfluss bei Winkelmodulation]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Modulationsverfahren/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation|Rauscheinfluss bei Winkelmodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation#Systemvergleich_von_AM.2C_PM_und_FM_hinsichtlich_Rauschen|Systemvergleich von AM, PM und FM hinsichtlich Rauschen]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  [[Modulationsverfahren/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation#Systemvergleich_von_AM.2C_PM_und_FM_hinsichtlich_Rauschen|Systemvergleich von AM, PM und FM hinsichtlich Rauschen]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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<quiz display=simple>
 
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{Welcher Rauschabstand ergibt sich bei Phasenmodulation und $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
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{Welcher Rauschabstand ergibt sich bei&nbsp; <u>Phasenmodulation</u>&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$?&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
 
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$10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 46.99 3% } $\ \rm dB$  
 
$10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 46.99 3% } $\ \rm dB$  
  
  
{Berechnen Sie den Rauschabstand bei Frequenzmodulation und $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$. Wie groß ist der Modulationsindex bei dieser Konstellation?
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{Berechnen Sie den Rauschabstand bei&nbsp; <u>Frequenzmodulation</u>&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.&nbsp; Wie groß ist der Modulationsindex bei dieser Konstellation?
 
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$10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 54.77 3% } $\ \rm dB$
 
$10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 54.77 3% } $\ \rm dB$
  
{Berechnen Sie den Rauschabstand bei Frequenzmodulation und $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zu (1) und (2).
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{Berechnen Sie den Rauschabstand bei&nbsp; <u>Frequenzmodulation</u>&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zu&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''.
 
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$10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 45.74 3% } $\ \rm kHz$  
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$10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 45.74 3% } $\ \rm dB$  
  
 
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp; Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (Sinken–SNR) $ \rho_{v }$ ist der Quotient aus der Nutzleistung $P_{\rm S}$ und der Rauschleistung $P_{\rm S}$. Speziell bei der Phasenmodulation gilt:
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'''(1)'''&nbsp; Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis&nbsp; (Sinken–SNR)&nbsp; $ \rho_{v }$&nbsp; ist der Quotient aus Nutzleistung&nbsp; $P_{\rm S}$&nbsp; und Rauschleistung&nbsp; $P_{\rm R}$.&nbsp; Für die  Phasenmodulation gilt:
 
:$$ \rho_{v } = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm R}} = \frac{P_{\rm S}}{{\it \Phi}_0 \cdot 2 f_{\rm N} } =\frac{\eta^2}{2} \cdot \frac{P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N} }\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ \rho_{v } = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm R}} = \frac{P_{\rm S}}{{\it \Phi}_0 \cdot 2 f_{\rm N} } =\frac{\eta^2}{2} \cdot \frac{P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N} }\hspace{0.05cm}.$$
*Die Messung mit $f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$ hat das SNR $ \rho_{v } = 10^5$ (entsprechend $10 · \lg ρ_v  =50 dB$) ergeben.  
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*Die Messung mit&nbsp; $f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$&nbsp; hat das SNR&nbsp; $ \rho_{v } = 10^5$&nbsp; $($entsprechend&nbsp; $10 · \lg ρ_v  =50\ \rm dB)$&nbsp; ergeben.  
 
*Die doppelte Nachrichtenfrequenz führt zum halben SNR, da nun die doppelte Rauschleistung wirksam ist:
 
*Die doppelte Nachrichtenfrequenz führt zum halben SNR, da nun die doppelte Rauschleistung wirksam ist:
 
:$$ \rho_{v }= 0.5 \cdot 10^5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}\underline {\approx 46.99\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ \rho_{v }= 0.5 \cdot 10^5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}\underline {\approx 46.99\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
  
Dieses Ergebnis lässt sich auch über die Beziehung $ρ_v = η^2/2 · ξ$ herleiten.  
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Dieses Ergebnis lässt sich auch über die Beziehung &nbsp;$ρ_v = η^2/2 · ξ$&nbsp; herleiten.  
*Bei Phasenmodulation ist $η$ unabhängig von der Nachrichtenfrequenz.  
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*Bei Phasenmodulation ist&nbsp; $η$&nbsp; unabhängig von der Nachrichtenfrequenz.  
*Der SNR–Verlust geht darauf zurück, dass nun die Leistungskenngröße $ξ = P_{\rm S}/(N_0 · f_{\rm N})$ halbiert wird.
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*Der SNR–Verlust geht darauf zurück, dass nun die Leistungskenngröße &nbsp;$ξ = P_{\rm S}/(N_0 · f_{\rm N})$&nbsp; halbiert wird.
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'''(2)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation und der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$ erhält man für die Rauschleistung
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'''(2)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation und der Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; erhält man für die Rauschleistung:
 
:$$P_{\rm R} = \int_{-f_{\rm N}}^{ + f_{\rm N}} {\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f)\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0}{\Delta f_{\rm A}^{\hspace{0.1cm}2}} \cdot \int_{0}^{ f_{\rm N}} f^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}^{\hspace{0.1cm}3}}{3 \cdot \Delta f_{\rm A}^2} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$P_{\rm R} = \int_{-f_{\rm N}}^{ + f_{\rm N}} {\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f)\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0}{\Delta f_{\rm A}^{\hspace{0.1cm}2}} \cdot \int_{0}^{ f_{\rm N}} f^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}^{\hspace{0.1cm}3}}{3 \cdot \Delta f_{\rm A}^2} \hspace{0.05cm}.$$
Unter Berücksichtigung des Frequenzhubs  $Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N}$ ergibt sich somit:
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*Unter Berücksichtigung des Frequenzhubs&nbsp; $Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N}$&nbsp; ergibt sich somit:
 
:$$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}}{3 \cdot \eta^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v }= \frac{3 \cdot \eta^2 \cdot P_{\rm S}}{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}} = 3 \cdot \rho_{v {\rm , \hspace{0.08cm}PM}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}}{3 \cdot \eta^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v }= \frac{3 \cdot \eta^2 \cdot P_{\rm S}}{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}} = 3 \cdot \rho_{v {\rm , \hspace{0.08cm}PM}}\hspace{0.05cm}.$$
Das heißt: Die Frequenzmodulation ist um den Faktor $3$ (oder $4.77 \ \rm dB$) besser als die Phasenmodulation:
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*Das heißt:&nbsp; Die Frequenzmodulation ist um den Faktor&nbsp; $3$&nbsp; $($oder $4.77 \ \rm dB)$&nbsp; besser als die Phasenmodulation:
 
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}{3}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 54.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}{3}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 54.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(3)'''&nbsp; Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man mit $f_{10} = 10 \ \rm kHz$:
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'''(3)'''&nbsp; Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man mit&nbsp; $f_{10} = 10 \ \rm kHz$:
 
:$$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 10}}{3 \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}} = \frac{ f_{\rm 10} \cdot \eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}}{ 3 \cdot f_{\rm 5} \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}}\cdot \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 5}}{\eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 10}}{3 \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}} = \frac{ f_{\rm 10} \cdot \eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}}{ 3 \cdot f_{\rm 5} \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}}\cdot \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 5}}{\eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}} \hspace{0.05cm}.$$
Der zweite Term gibt die Rauschleistung des Vergleichssystems (PM, $f_{\rm N} = f_5$) an, die zum Ergebnis $10 · \lg ρ_v = 50\ \rm  dB$ geführt hat.
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*Der zweite Term gibt die Rauschleistung des Vergleichssystems&nbsp; $($PM, $f_{\rm N} = f_5)$&nbsp; an,&nbsp; die zum Ergebnis&nbsp; $10 · \lg ρ_v = 50\ \rm  dB$&nbsp; geführt hat.
  
Bei Frequenzmodulation ist nun jedoch der Modulationsindex $η$ umgekehrt proportional zur Nachrichtenfrequenz, so dass der Quotient $η_5^2/η_{10}^2 = 4$ ist. Somit ergibt sich für den Vorfaktor $8/3$. Aufgrund der größeren Rauschleistung ist das SNR kleiner:
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*Bei Frequenzmodulation ist nun jedoch der Modulationsindex&nbsp; $η$&nbsp; umgekehrt proportional zur Nachrichtenfrequenz, so dass der Quotient&nbsp; $η_5^2/η_{10}^2 = 4$&nbsp; ist.  
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*Somit ergibt sich für den Vorfaktor&nbsp; $8/3$.&nbsp; Aufgrund der größeren Rauschleistung ist das SNR kleiner:
 
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}({8}/{3})\hspace{0.15cm}\underline {\approx 45.74\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}({8}/{3})\hspace{0.15cm}\underline {\approx 45.74\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
Bei gleicher Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$ ist nun die FM um $1.25 \ \rm dB$ schlechter als die PM, da sich nun die Halbierung von $η$ – nach Quadrierung der Faktor $4$ – stärker auswirkt als der systembedingte Faktor $3$, um den die FM gegenüber der PM überlegen ist.
 
  
*Der Vergleich der Teilaufgaben (2) und (3) zeigt einen Unterschied um den Faktor $8$ bzw. $9.03 \ \rm dB$.  
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*Der ungünstigere Wert für die größere Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$ ergibt sich durch den nur halb so großen Modulationsindex – nach Quadrierung Faktor $4$ – und die doppelte Rauschbandbreite.
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Bei gleicher Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$&nbsp; ist nun die FM um&nbsp; $1.25 \ \rm dB$&nbsp; schlechter als die PM, da sich nun die Halbierung von&nbsp; $η$&nbsp; – nach Quadrierung der Faktor&nbsp; $4$&nbsp; –&nbsp; stärker auswirkt als der systembedingte Faktor&nbsp; $3$, um den die FM gegenüber der PM überlegen ist.
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*Der Vergleich der Teilaufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; zeigt einen Unterschied um den Faktor&nbsp; $8$&nbsp; bzw.&nbsp; $9.03 \ \rm dB$.  
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*Der ungünstigere Wert für die größere Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$&nbsp; ergibt sich durch den nur halb so großen Modulationsindex – nach Quadrierung Faktor&nbsp; $4$&nbsp; – und die doppelte Rauschbandbreite.
  
 
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Aktuelle Version vom 28. März 2020, 17:47 Uhr

Rauschleistungsdichten von PM und FM

Betrachtet werden die Phasen– und Frequenzmodulation einer Cosinusschwingung mit der Frequenz  $f_{\rm N}$.  Zunächst gelte für die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$  und der Modulationsindex (Phasenhub) sei  $η = 5$.

Bei Vorhandensein von additivem Gaußschen Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$  ergibt sich nach dem PM–Demodulator eine konstante Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}PM} }(f) = {\it \Phi}_0$, die auch vom Modulationsindex  $η$  abhängt:

$${\it \Phi}_0 = \frac{N_0}{\eta^2} \hspace{0.05cm}.$$

Für die Berechnung der Rauschleistung  $P_{\rm R}$  ist lediglich der Frequenzbereich von  $±f_{\rm N}$  relevant (siehe Grafik).

Die Rauschleistungsdichte nach der FM–Demodulation lautet mit dem Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$:

$${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f) = N_0 \cdot \left(\frac{f}{\Delta f_{\rm A}}\right)^2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Gegeben ist der Rauschabstand  $10 · \lg ρ_v = 50 \ \rm dB$  für Phasenmodulation und  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.
  • Gesucht sind in dieser Aufgabe der Rauschabstand bei FM für die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  sowie die sich ergebenden Rauschabstände von PM und FM für die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_{10} = 10 \ \rm kHz$.





Hinweise:


Fragebogen

1

Welcher Rauschabstand ergibt sich bei  Phasenmodulation  und  $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$?  Interpretieren Sie das Ergebnis.

$10 · \lg ρ_v \ = \ $

$\ \rm dB$

2

Berechnen Sie den Rauschabstand bei  Frequenzmodulation  und  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.  Wie groß ist der Modulationsindex bei dieser Konstellation?

$10 · \lg ρ_v \ = \ $

$\ \rm dB$

3

Berechnen Sie den Rauschabstand bei  Frequenzmodulation  und  $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zu  (1)  und  (2).

$10 · \lg ρ_v \ = \ $

$\ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis  (Sinken–SNR)  $ \rho_{v }$  ist der Quotient aus Nutzleistung  $P_{\rm S}$  und Rauschleistung  $P_{\rm R}$.  Für die Phasenmodulation gilt:

$$ \rho_{v } = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm R}} = \frac{P_{\rm S}}{{\it \Phi}_0 \cdot 2 f_{\rm N} } =\frac{\eta^2}{2} \cdot \frac{P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N} }\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Messung mit  $f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$  hat das SNR  $ \rho_{v } = 10^5$  $($entsprechend  $10 · \lg ρ_v =50\ \rm dB)$  ergeben.
  • Die doppelte Nachrichtenfrequenz führt zum halben SNR, da nun die doppelte Rauschleistung wirksam ist:
$$ \rho_{v }= 0.5 \cdot 10^5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}\underline {\approx 46.99\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis lässt sich auch über die Beziehung  $ρ_v = η^2/2 · ξ$  herleiten.

  • Bei Phasenmodulation ist  $η$  unabhängig von der Nachrichtenfrequenz.
  • Der SNR–Verlust geht darauf zurück, dass nun die Leistungskenngröße  $ξ = P_{\rm S}/(N_0 · f_{\rm N})$  halbiert wird.



(2)  Bei Frequenzmodulation und der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  erhält man für die Rauschleistung:

$$P_{\rm R} = \int_{-f_{\rm N}}^{ + f_{\rm N}} {\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f)\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0}{\Delta f_{\rm A}^{\hspace{0.1cm}2}} \cdot \int_{0}^{ f_{\rm N}} f^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}^{\hspace{0.1cm}3}}{3 \cdot \Delta f_{\rm A}^2} \hspace{0.05cm}.$$
  • Unter Berücksichtigung des Frequenzhubs  $Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N}$  ergibt sich somit:
$$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}}{3 \cdot \eta^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v }= \frac{3 \cdot \eta^2 \cdot P_{\rm S}}{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}} = 3 \cdot \rho_{v {\rm , \hspace{0.08cm}PM}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Das heißt:  Die Frequenzmodulation ist um den Faktor  $3$  $($oder $4.77 \ \rm dB)$  besser als die Phasenmodulation:
$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}{3}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 54.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  erhält man mit  $f_{10} = 10 \ \rm kHz$:

$$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 10}}{3 \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}} = \frac{ f_{\rm 10} \cdot \eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}}{ 3 \cdot f_{\rm 5} \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}}\cdot \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 5}}{\eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Der zweite Term gibt die Rauschleistung des Vergleichssystems  $($PM, $f_{\rm N} = f_5)$  an,  die zum Ergebnis  $10 · \lg ρ_v = 50\ \rm dB$  geführt hat.
  • Bei Frequenzmodulation ist nun jedoch der Modulationsindex  $η$  umgekehrt proportional zur Nachrichtenfrequenz, so dass der Quotient  $η_5^2/η_{10}^2 = 4$  ist.
  • Somit ergibt sich für den Vorfaktor  $8/3$.  Aufgrund der größeren Rauschleistung ist das SNR kleiner:
$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}({8}/{3})\hspace{0.15cm}\underline {\approx 45.74\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


Bei gleicher Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$  ist nun die FM um  $1.25 \ \rm dB$  schlechter als die PM, da sich nun die Halbierung von  $η$  – nach Quadrierung der Faktor  $4$  –  stärker auswirkt als der systembedingte Faktor  $3$, um den die FM gegenüber der PM überlegen ist.

  • Der Vergleich der Teilaufgaben  (2)  und  (3)  zeigt einen Unterschied um den Faktor  $8$  bzw.  $9.03 \ \rm dB$.
  • Der ungünstigere Wert für die größere Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$  ergibt sich durch den nur halb so großen Modulationsindex – nach Quadrierung Faktor  $4$  – und die doppelte Rauschbandbreite.