Aufgaben:Aufgabe 1.16Z: Schranken für die Gaußsche Fehlerfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit}}
 
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[[Datei:P_ID2415__KC_A_1_15.png|right|farme|Q(<i>x</i>) und verwandte Funktionen]]
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[[Datei:P_ID2415__KC_A_1_15.png|right|frame|${\rm Q}(x)$&nbsp; und verwandte Funktionen;<br>es gilt:&nbsp; ${\rm Q_u}(x)\le{\rm Q}(x)\le{\rm Q_o}(x)$]]
  
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße $n$ mit Streuung $\sigma$ Varianz $\sigma^2$ betragsmäßig größer ist als ein Wert $A$, ist gleich
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Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße&nbsp; $n$&nbsp; mit Streuung&nbsp; $\sigma$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Varianz&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert&nbsp; $A$,&nbsp; ist gleich
  
 
:$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) ={\rm Q}(A/\sigma) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) ={\rm Q}(A/\sigma) \hspace{0.05cm}.$$
 
   
 
   
Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik (in der Grafik rot eingezeichnet): [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|die Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]
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Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik&nbsp; (in der Grafik rot eingezeichnet): &nbsp;<br>die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"]]
  
:$$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int\limits_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$
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:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$
 
   
 
   
${\rm Q}(x)$ ist eine monoton fallende Funktion mit ${\rm Q}(0) = 0.5$. Für große Werte von $x$ tendiert ${\rm Q}(x)$ gegen Null.
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${\rm Q}(x)$ ist eine monoton fallende Funktion mit ${\rm Q}(0) = 0.5$. Für sehr große Werte von $x$ tendiert ${\rm Q}(x) \to 0$.
  
Das Integral der ${\rm Q}$–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben. Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungslösungen bzw. Schranken für positive $x$–Werte:
 
  
*die obere Schranke (obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für $x > 0$):
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Das Integral der&nbsp; ${\rm Q}$–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben.&nbsp; Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive&nbsp; $x$–Werte:
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*die&nbsp; "obere Schranke"&nbsp; $($obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für&nbsp; $x > 0)$:
 
   
 
   
:$$ \rm Q_o(\it x)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot \rm e^{-\it x^{\rm 2}/\rm 2}\hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} \rm Q (\it x) \hspace{0.05cm},$$
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:$$ {\rm Q_o}(x)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2}\hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$
  
*die untere Schranke (untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für $x > 1$):
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*die&nbsp; "untere Schranke"&nbsp; $($untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für&nbsp; $x > 1)$:
 
   
 
   
:$$ \rm Q_u(\it x)=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot \rm e^{-\it x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \le \hspace{0.15cm} \rm Q (\it x) \hspace{0.05cm},$$
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:$$ {\rm Q_u}(x)=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot \rm e^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \le \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$
  
*die Chernoff–Rubin–Schranke (grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für $K = 1$):
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*die&nbsp; "Chernoff–Rubin–Schranke&nbsp; $($grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für&nbsp; $K = 1)$:
 
   
 
   
:$$\rm Q_{CR}(\it x)=K \cdot \rm e^{-\it x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} \rm Q (\it x) \hspace{0.05cm}.$$
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:$${\rm Q_{CR}}(x)=K \cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm}.$$
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In der Aufgabe ist zu untersuchen,&nbsp; in wie weit diese Schranken als Näherungen für&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.
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Hinweise:
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* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|"Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit"]].
  
In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für ${\rm Q}(x)$ herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|"Gaußverteilte Zufallsgrößen"]]&nbsp; im Buch&nbsp; "Stochastische Signaltheorie".
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* Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.16:_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken_für_AWGN|"Aufgabe 1.16"]],&nbsp; in der die Funktion&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; zur Herleitung der&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|"Bhattacharyya–Schranke"]]&nbsp; für den AWGN–Kanal benötigt wird.
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*Weiter verweisen wir auf das interaktive HTML5/JavaScipt&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]].
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''Hinweise:''
 
* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]] dieses Buches sowie auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken|Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
 
* Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der [[Aufgaben:1.16_Schranken_für_AWGN|Aufgabe 1.16]], in der die Funktion ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ zur Herleitung der [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|Bhattacharyya–Schranke]] für den AWGN–Kanal benötigt wird.
 
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
* Weiter verweisen wir auf das folgende Interaktionsmodul:
 
# [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]
 
  
  
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<quiz display=simple>
  
{Welche Werte liefern die obere und die untere Schranke für $x = 4$?
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{Welche Werte liefern die obere und die untere Schranke für&nbsp; $x = 4$?
 
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${\rm Q}_{o}(x = 4)$ = { 3.346 3% }$\ \cdot 10^{-5} $
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{Welche Aussagen gelten für die Funktionen&nbsp; ${\rm Q_{o}}(x)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Q_{u}}(x)$?
{Welche Aussagen gelten für die Funktionen ${\rm Q}_{o}(x = 4)$ und ${\rm Q}_{u}(x = 4)$?
 
 
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+ Für $x ≥ 2$ sind die beiden Schranken brauchbar.
+
+ Für&nbsp; $x ≥ 2$&nbsp; sind die beiden Schranken brauchbar.
+ Für $x < 1$ ist ${\rm Q}_{u}(x)$ unbrauchbar (wegen ${\rm Q}_{u}(x) < 0$).
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+ Für&nbsp; $x < 1$&nbsp; ist&nbsp; ${\rm Q_{u}}(x)$&nbsp; unbrauchbar&nbsp; $($wegen&nbsp; ${\rm Q_{u}}(x)< 0)$.
- Für $x < 1$ ist ${\rm Q}_{o}(x)$ unbrauchbar (wegen ${\rm Q}_{o}(x) > 1$).
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- Für&nbsp; $x < 1$&nbsp; ist&nbsp; ${\rm Q_{o}}(x)$&nbsp; unbrauchbar&nbsp; $($wegen&nbsp; ${\rm Q_{o}}(x)> 1)$.
  
  
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{Um welchen Faktor liegt die Chernoff–Rubin–Schranke oberhalb von&nbsp; ${\rm Q_{o}}(x)$?
Um welchen Faktor liegt die Chernoff–Rubin–Schranke oberhalb von ${\rm Q}_{o}(x)$?
 
 
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$\ {\rm Q}_{\rm CR}(x)/{\rm Q}_{o}(x) \ : \ \ \ x =2$ = { 5 3% }
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${\rm Q}_{\rm CR}(x = 2)/{\rm Q_{o}}(x = 2 ) \ = \ $ { 5 3% }
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+
${\rm Q}_{\rm CR}(x = 4)/{\rm Q_{o}}(x = 4 )  \ = \  $ { 10 3% }
$\ x =6$ = { 15 3% }
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${\rm Q}_{\rm CR}(x = 6)/{\rm Q_{o}}(x = 6 )  \ = \  $ { 15 3% }
  
{Bestimmen Sie $K$ derart, dass $K \ \cdot \ {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ möglichst nahe bei ${\rm Q}(x)$ liegt und gleichzeitig im gesamten Bereich ${\rm Q}(x) \ \ K · \ {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ eingehalten wird.
+
{Bestimmen Sie&nbsp; $K$&nbsp; so,&nbsp; dass&nbsp; $K \cdot {\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; möglichst nahe bei&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; liegt und gleichzeitig&nbsp; ${\rm Q}(x) ≤ K · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; für alle &nbsp;$x > 0$&nbsp; eingehalten wird.
 
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$\ K$ = { 0.5 3% }
+
$K \ = \ $ { 0.5 3% }
 
 
 
 
 
 
 
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:$${\rm Q_o}(x)=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_o}(4 )=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{-8 }\hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.346 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Q_o}(x)=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_o}(4 )=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{-8 }\hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.346 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
 
   
 
   
Die untere Schranke kann wie folgt umgewandelt werden:
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*Die untere Schranke kann wie folgt umgewandelt werden:
 
   
 
   
 
:$${\rm Q_u}( x)=(1-1/x^2) \cdot {\rm Q_o}(x) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_u}(4 ) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.137 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Q_u}( x)=(1-1/x^2) \cdot {\rm Q_o}(x) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_u}(4 ) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.137 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
  
Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert ${\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5}$ sind $+5%$ bzw. $–1%.$
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*Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert&nbsp; ${\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5}$&nbsp; sind&nbsp; $+5\%$&nbsp; bzw.&nbsp; $–1\%$.
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'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge  1 und 2</u>:
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*Für&nbsp; $x = 2$&nbsp; wird der tatsächliche Funktionswert&nbsp; ${\rm Q}(x) = 2.275 · 10^{–2}$&nbsp; begrenzt durch&nbsp; ${\rm Q_{o}}(x) = 2.7 · 10^{–2}$&nbsp; bzw.&nbsp; ${\rm Q_u}(x) = 2.025 · 10^{–2}$.
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*Die relativen Abweichungen betragen demzufolge&nbsp;  $18.7\%$&nbsp; bzw.&nbsp; $–11\%.$
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*Die letzte Aussage ist falsch: &nbsp; Erst für&nbsp; $x < 0.37$&nbsp; gilt&nbsp; ${\rm Q_o}(x) > 1.$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind <u>Antwort 1 und 2</u>. Für $x = 2$ wird der tatsächliche Funktionswert ${\rm Q}(x) = 2.275 · 10^{–2}$ begrenzt durch ${\rm Q}_{o}(x) = 2.7 · 10^{–2}$ bzw. ${\rm Q}_{u}(x) = 2.025 · 10^{–2}$. Die relativen Abweichungen betragen $18.7%$ bzw. $–11%.$ Die letzte Aussage ist falsch. Erst für $x < 0.37$ gilt ${\rm Q}_{o}(x) > 1.$
 
  
  
'''(3)'''&nbsp; Für den Quotienten aus ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ und ${\rm Q}_{o}(x)$ gilt nach den vorgegebenen Gleichungen:
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'''(3)'''&nbsp; Für den Quotienten aus&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Q_o}(x)$&nbsp; gilt nach den vorgegebenen Gleichungen:
  
 
:$$q(x) = \frac{{\rm Q_{CR}}(x)}{{\rm Q_{o}}(x)} = \frac{{\rm exp}(-x^2/2)}{{\rm exp}(-x^2/2)/({\sqrt{2\pi} \cdot x})} = {\sqrt{2\pi} \cdot x}$$
 
:$$q(x) = \frac{{\rm Q_{CR}}(x)}{{\rm Q_{o}}(x)} = \frac{{\rm exp}(-x^2/2)}{{\rm exp}(-x^2/2)/({\sqrt{2\pi} \cdot x})} = {\sqrt{2\pi} \cdot x}$$
 
    
 
    
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x) \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x =2) = 5\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =4) = 10\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =6) = 15\hspace{0.05cm}.$$
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:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x) \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x =2) \hspace{0.15cm}\underline{=5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =4)\hspace{0.15cm}\underline{=10}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =6) \hspace{0.15cm}\underline{=15}\hspace{0.05cm}.$$
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*Je größer der Abszissenwert&nbsp; $x$&nbsp; ist,&nbsp; um so ungenauer wird&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; durch&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; angenähert.
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*Bei Betrachtung der Grafik auf der Angabenseite kann man den Eindruck haben,&nbsp; dass&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; sich aus&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; durch Verschieben nach rechts bzw.  nach oben ergibt.&nbsp; Das ist aber nur eine optische Täuschung und entspricht nicht dem Sachverhalt.
  
Je größer der Abszissenwert x, um so ungenauer wird ${\rm Q}(x)$ durch ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ angenähert. Bei Betrachtung der Grafik auf der Angabenseite hat man (hatte ich) den Eindruck, dass ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ sich aus ${\rm Q}(x)$ durch Verschieben nach unten bzw. Verschieben nach oben ergibt. Das ist aber nur eine optische Täuschung und entspricht nicht dem Sachverhalt.
 
  
  
'''(4)'''&nbsp; Mit <u>K = 0.5</u> stimmt die neue Schranke $0.5 · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ für $x = 0$ exakt mit ${\rm Q}(x=0) = 0.500$ überein. Für größere Abszissenwerte wird damit auch die Verfälschung $q = 1.25 · x$ nur halb so groß.
 
  
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'''(4)'''&nbsp; Mit&nbsp; $\underline{K = 0.5}$&nbsp; stimmt die neue Schranke&nbsp; $0.5 · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; für&nbsp; $x = 0$&nbsp; exakt mit&nbsp; ${\rm Q}(x=0) = 0.500$&nbsp; überein.
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*Für größere Abszissenwerte wird damit auch die Verfälschung&nbsp; $q \approx 1.25 · x$&nbsp; nur halb so groß.
 
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.6 Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.6 Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken^]]
 
 
 
 
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Aktuelle Version vom 6. August 2022, 10:36 Uhr

${\rm Q}(x)$  und verwandte Funktionen;
es gilt:  ${\rm Q_u}(x)\le{\rm Q}(x)\le{\rm Q_o}(x)$

Die Wahrscheinlichkeit,  dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße  $n$  mit Streuung  $\sigma$   ⇒   Varianz  $\sigma^2$  betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert  $A$,  ist gleich

$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) ={\rm Q}(A/\sigma) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik  (in der Grafik rot eingezeichnet):  
die  "Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"

$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$

${\rm Q}(x)$ ist eine monoton fallende Funktion mit ${\rm Q}(0) = 0.5$. Für sehr große Werte von $x$ tendiert ${\rm Q}(x) \to 0$.


Das Integral der  ${\rm Q}$–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben.  Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive  $x$–Werte:

  • die  "obere Schranke"  $($obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für  $x > 0)$:
$$ {\rm Q_o}(x)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2}\hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$
  • die  "untere Schranke"  $($untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für  $x > 1)$:
$$ {\rm Q_u}(x)=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot \rm e^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \le \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$
  • die  "Chernoff–Rubin–Schranke  $($grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für  $K = 1)$:
$${\rm Q_{CR}}(x)=K \cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm}.$$

In der Aufgabe ist zu untersuchen,  in wie weit diese Schranken als Näherungen für  ${\rm Q}(x)$  herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.



Hinweise:

  • Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der  "Aufgabe 1.16",  in der die Funktion  ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$  zur Herleitung der  "Bhattacharyya–Schranke"  für den AWGN–Kanal benötigt wird.



Fragebogen

1

Welche Werte liefern die obere und die untere Schranke für  $x = 4$?

${\rm Q_{o}}(x = 4) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5} $
${\rm Q_{u}}(x = 4) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5} $

2

Welche Aussagen gelten für die Funktionen  ${\rm Q_{o}}(x)$  und  ${\rm Q_{u}}(x)$?

Für  $x ≥ 2$  sind die beiden Schranken brauchbar.
Für  $x < 1$  ist  ${\rm Q_{u}}(x)$  unbrauchbar  $($wegen  ${\rm Q_{u}}(x)< 0)$.
Für  $x < 1$  ist  ${\rm Q_{o}}(x)$  unbrauchbar  $($wegen  ${\rm Q_{o}}(x)> 1)$.

3

Um welchen Faktor liegt die Chernoff–Rubin–Schranke oberhalb von  ${\rm Q_{o}}(x)$?

${\rm Q}_{\rm CR}(x = 2)/{\rm Q_{o}}(x = 2 ) \ = \ $

${\rm Q}_{\rm CR}(x = 4)/{\rm Q_{o}}(x = 4 ) \ = \ $

${\rm Q}_{\rm CR}(x = 6)/{\rm Q_{o}}(x = 6 ) \ = \ $

4

Bestimmen Sie  $K$  so,  dass  $K \cdot {\rm Q}_{\rm CR}(x)$  möglichst nahe bei  ${\rm Q}(x)$  liegt und gleichzeitig  ${\rm Q}(x) ≤ K · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$  für alle  $x > 0$  eingehalten wird.

$K \ = \ $


Musterlösung

(1)  Die obere Schranke lautet:

$${\rm Q_o}(x)=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_o}(4 )=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{-8 }\hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.346 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die untere Schranke kann wie folgt umgewandelt werden:
$${\rm Q_u}( x)=(1-1/x^2) \cdot {\rm Q_o}(x) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_u}(4 ) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.137 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert  ${\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5}$  sind  $+5\%$  bzw.  $–1\%$.


(2)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Für  $x = 2$  wird der tatsächliche Funktionswert  ${\rm Q}(x) = 2.275 · 10^{–2}$  begrenzt durch  ${\rm Q_{o}}(x) = 2.7 · 10^{–2}$  bzw.  ${\rm Q_u}(x) = 2.025 · 10^{–2}$.
  • Die relativen Abweichungen betragen demzufolge  $18.7\%$  bzw.  $–11\%.$
  • Die letzte Aussage ist falsch:   Erst für  $x < 0.37$  gilt  ${\rm Q_o}(x) > 1.$



(3)  Für den Quotienten aus  ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$  und  ${\rm Q_o}(x)$  gilt nach den vorgegebenen Gleichungen:

$$q(x) = \frac{{\rm Q_{CR}}(x)}{{\rm Q_{o}}(x)} = \frac{{\rm exp}(-x^2/2)}{{\rm exp}(-x^2/2)/({\sqrt{2\pi} \cdot x})} = {\sqrt{2\pi} \cdot x}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x) \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x =2) \hspace{0.15cm}\underline{=5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =4)\hspace{0.15cm}\underline{=10}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =6) \hspace{0.15cm}\underline{=15}\hspace{0.05cm}.$$
  • Je größer der Abszissenwert  $x$  ist,  um so ungenauer wird  ${\rm Q}(x)$  durch  ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$  angenähert.
  • Bei Betrachtung der Grafik auf der Angabenseite kann man den Eindruck haben,  dass  ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$  sich aus  ${\rm Q}(x)$  durch Verschieben nach rechts bzw. nach oben ergibt.  Das ist aber nur eine optische Täuschung und entspricht nicht dem Sachverhalt.



(4)  Mit  $\underline{K = 0.5}$  stimmt die neue Schranke  $0.5 · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$  für  $x = 0$  exakt mit  ${\rm Q}(x=0) = 0.500$  überein.

  • Für größere Abszissenwerte wird damit auch die Verfälschung  $q \approx 1.25 · x$  nur halb so groß.