Die Berechnung erfolgt für den [[AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. Dieser Quotient lässt sich über die Beziehung
in das [[BSC–Modell]] übeführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$) und ${\rm Q}(x)$ und [[komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]] angibt. Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\epsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des [[m–BSC–Modells]] gilt:
soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|"Bounded Distance Decoding"]] $\rm (BDD)$ gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:
wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (3 Bit pro Codesymbol).
⇒ Die Berechnung erfolgt für den [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|"AWGN–Kanal"]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist.
Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind alle Ergebnisse bereits in obiger Tabelle eingetragen. Die gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert.
*Der Quotient $E_{\rm B}/{N_0}$ lässt sich über die Beziehung
* Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\epsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Der einfachste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über das Kompliment:
* Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\epsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term und man erhält
In dieser Aufgabe sollen Sie für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$ und $10 \ \rm dB$) die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
*Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\varepsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden.
*Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|"''m''–BSC–Modells"]] gilt, wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):
Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der [[Zusatzaufgabe Z2.15]]. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{\upsilon} ≠ \underline{u})$ für $\epsilon_{\rm S} = 10\%$ und $0.1\%$ berechnet. In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Größe $\epsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.
⇒ Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:
* Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:
:*In den Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' sollen Sie den Zusammenhang zwischen den Größen $\varepsilon_{\rm S}$ und $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.
<u>Hinweise:</u>
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete| "Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete"]].
* Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktiven HTML5/JavaScript– Applets
*Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.
:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$
*Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] zu $x = 1.82$. Damit erhält man weiter:
[[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png|right|frame|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]
Die Grafik zeigt
*den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$
*sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle.
Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:
# Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.
# Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat.
# Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei "Bounded Distance Decoding" $\rm (BDD)$ demonstrieren zu können.
{{ML-Fuß}}
[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^2.6 Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete^]]
[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^2.6 RSC–Fehlerwahrscheinlichkeit^]]
Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\varepsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden.
Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des "m–BSC–Modells" gilt, wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):
⇒ Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:
Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:
Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term, und man erhält:
⇒ Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$, $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der "Aufgabe 2.15Z". Dort wird ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$ für $\varepsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ $0.1\%$ berechnet.
In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen den Größen $\varepsilon_{\rm S}$ und $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.
Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.
Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung
Die Grafik zeigt
den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$
sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle.
Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:
Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.
Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat.
Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei "Bounded Distance Decoding" $\rm (BDD)$ demonstrieren zu können.
