Aufgaben:Aufgabe 3.3: Codesequenzberechnung über U(D) und G(D)

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Betrachtete Generatormatrix  $\mathbf{G}$

Nebenstehend ist für den betrachteten Faltungscode der linke obere Ausschnitt der Generatormatrix  $\mathbf{G}$  dargestellt. Daraus sollen unter der Randbedingung  $m ≤ 2$ die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$  extrahiert werden, womit dann die Übertragungsfunktionsmatrix entsprechend folgender Gleichung zusammengestellt werden kann:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \sum_{l = 0}^{m} {\boldsymbol{\rm G}}_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l= {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + \ \text{...} \ \hspace{0.05cm}+ {\boldsymbol{\rm G}}_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m\hspace{0.02cm}.$$

Gesucht werden die  $n$  Codesequenzen  $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{x}^{(n)}$, wobei von folgender Informationssequenz auszugehen ist:

$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}) $$

Diese Sequenz ist dabei in  $k$  Teilsequenzen  $\underline{u}^{(1)}, \ \underline{u}^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{u}^{(k)}$  aufzuspalten.

• Aus deren $D$–Transformierten

$${U}^{(1)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(1)},\hspace{0.25cm} ...\hspace{0.25cm},\hspace{0.05cm} {U}^{(k)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(k)} $$

wird der Vektor  $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ U^{(k)}(D))$  gebildet.

• Dann gilt für den Codesequenzvektor in  $D$–Darstellung:

$$\underline{X}(D) = \left (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(k)}(D)\hspace{0.05cm}\right ) = \underline{U}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D)\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Algebraische und polynomische Beschreibung.
• Der hier zugrunde liegende Codierer ist identisch mit dem von  Aufgabe 3.2.
• Nachdem auch  $\underline{u}$  gleich bleibt, muss sich hier die gleiche Codesequenz  $\underline{x}$  ergeben wie in Aufgabe 3.2, siehe  Musterlösung.
• Die Lösungswege beider Aufgaben unterscheiden sich allerdings grundlegend.

Fragebogen

1 Wie lauten die Codeparameter?   Hinweis:   Für das Gedächtnis gelte  $m ≤ 2$.

$n \hspace{0.25cm} = \ $

$k \hspace{0.28cm} = \ $

$m \hspace{0.13cm} = \ $

2 Welche Aussagen sind für die Übertragungsfunktionsmatrix  $\mathbf{G}(D)$  richtig?

	Das  $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 1, Spalte 1 ist „$1$”.
	Das  $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 2, Spalte 2 ist „$1 + D$”.
	Das  $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 3, Spalte 3 ist „$1 + D^2$”.

3 Welche Aussagen treffen für die  $D$–Transformierten der Eingangssequenzen zu?

	$U^{(1)}(D) = 1$,
	$U^{(2)}(D) = 1 + D$,
	$U^{(3)}(D) = D^2$.

4 Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz  $\underline{x}^{(1)}$?

	$\underline{x}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x}^{(1)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x}^{(1)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$.

5 Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz  $\underline{x}^{(2)}$?

	$\underline{x}^{(2)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x}^{(2)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$.

6 Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz  $\underline{x}^{(3)}$?

	$\underline{x}^{(3)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x}^{(3)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die Generatormatrix eines Faltungscodes hat die allgemeine Form:

$${ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & &\\ & & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ & & & \ddots & \ddots & & & \ddots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$

Aus der Grafik auf der Angabenseite lassen sich die $k × n$–Teilmatrizen ermitteln:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} { \boldsymbol{\rm G}}_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} { \boldsymbol{\rm G}}_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$

Die Codeparameter lauten somit:  $\underline{n = 4}$,       $\underline{k = 3}$,       $\underline{m = 2}$.

Hinweise:

• Der dargestellte Teil von $\mathbf{G}$ hätte für $m > 2$ das gleiche Aussehen wie für $m = 2$.
• Deshalb war die Zusatzangabe $m ≤ 2$ erforderlich.

(2)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig. Entsprechend dem Angabenblatt gilt

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + {\boldsymbol{\rm G}}_2 \cdot D^2 =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1+D & 1+D & 1 \\ 0 & D & 1+D^2 & 1+D^2 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Nach Aufteilung der Informationssequenz

$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm})$$

auf die drei Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}$, $\underline{u}^{(2)}$ und $\underline{u}^{(3)}$ und anschließender $D$–Transformation erhält man

$$\underline{u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad{U}^{(1)}(D) = D + D^2 \hspace{0.05cm},$$

$$\underline{u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad{U}^{(2)}(D) = 1+D \hspace{0.05cm},$$

$$\underline{u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad{U}^{(3)}(D) = 1 + D^2 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist demnach nur der Lösungsvorschlag 2.

(4)  In der ersten Spalte von $\mathbf{G}(D)$ steht nur eine Eins in Zeile 1, die zwei anderen Matrixelemente sind Null.

• Es handelt sich um einen systematischen Code  ⇒  $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1)$.
• Richtig ist  ⇒  Lösungsvorschlag 1.

(5)  Die $D$–Transformierte $X^{(2)}(D)$ ergibt sich als das Vektorprodukt

• aus der $D$–Transformierten der Informationssequenz  ⇒  $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \, U^{(2)}(D), \, U^{(3)}(D))$
• und der zweiten Spalte von $\mathbf{G}(D)$:

$$X^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 1 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot D\hspace{0.03cm}=D + D^2 +1 +D +D + D^2 +D + D^3 = 1+D^3\hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:   $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0)$. Da wir uns nur für die drei ersten Bit interessieren, ist der Beitrag $D^3$ nicht relevant.

(6)  Analog zur Teilaufgabe (5) erhält man hier:

$$X^{(3)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 0 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot ( 1+D^2)=1 + D + D + D^2 +1 + D^2 + D^2 + D^4 = D^2 + D^4\hspace{0.05cm}.$$

• Daraus ergibt sich $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1)$   ⇒   Lösungsvorschlag 3.

• Das gleiche Ergebnis erhält man auch für $\underline{x}^{(4)}$.
• Nach Zusammenfügen aller $n = 4$ Teilsequenzen erhält man (natürlich) das gleiche Ergebnis wie in der Aufgabe 3.2:

$$\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$