Aufgaben:Aufgabe 1.16: Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken für AWGN: Unterschied zwischen den Versionen
Wael (Diskussion | Beiträge) |
|||
(35 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
− | {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit | + | {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit}} |
− | + | [[Datei:P_ID2414__KC_A_1_15.png|right|frame|Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$ und Näherungen;<br>es gilt: ${\rm Q_u}(x)\le{\rm Q}(x)\le{\rm Q_o}(x)$ ]] | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | [[Datei:P_ID2414__KC_A_1_15.png|right|frame| | ||
Wir gehen von der folgenden Konstellation aus: | Wir gehen von der folgenden Konstellation aus: | ||
+ | *Ein linearer Blockcode mit Coderate $R = k/n$ und Distanzspektrum $\{W_i\}, \ i = 1, \ \text{...} \ , n$, | ||
− | *ein | + | *ein AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch $E_{\rm B}/N_{0}$ ⇒ umrechenbar in die Rauschleistung $\sigma^2$, |
− | *ein | + | *ein Empfänger, basierend auf "Soft Decision" sowie dem "Maximum–Likelihood–Kriterium". |
− | |||
− | Unter der für die gesamte Aufgabe gültigen Annahme, dass stets das Nullwort $\underline{x}_{1} = (0, 0, ... , 0)$ gesendet wird, gilt für die [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit| | + | Unter der für die gesamte Aufgabe gültigen Annahme, dass stets das Nullwort $\underline{x}_{1} = (0, 0, \text{...} \ , 0)$ gesendet wird, gilt für die [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|"paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit"]] mit einem anderen Codewort $\underline{x}_{l} (l = 2,\ \text{...} \ , 2^k)$: |
:$$ {\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = {\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ {\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = {\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die Herleitung dieser Beziehung finden Sie in [Liv10]. In dieser Gleichung | + | Die Herleitung dieser Beziehung finden Sie in "[Liv10]". In dieser Gleichung werden verwendet: |
+ | *die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|"komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"]] ${\rm Q}(x)$, | ||
− | * | + | *das [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|"Hamming–Gewicht"]] $w_{\rm H}(\underline{x}_{l})$ des Codewortes $\underline{x}_{l}$, |
− | * | + | *die [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Leistungsbegrenzung|"AWGN–Rauschleistung"]] $\sigma^2 = (2 · R · E_{\rm B}/N_{0})^{–1}.$ |
− | |||
Damit lassen sich verschiedene Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit angeben: | Damit lassen sich verschiedene Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit angeben: | ||
− | *die | + | *die so genannte [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|"Union Bound"]] $\rm (UB)$: |
− | :$$p_1 = \sum_{l = 2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = \sum_{l = 2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$ | + | :$$p_1 = \sum_{l = 2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = \sum_{l \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$ |
− | *die so genannte [ | + | *die so genannte [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Schranken_f.C3.BCr_den_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Code_beim_AWGN.E2.80.93Kanal|"Truncated Union Bound"]] $\rm (TUB)$: |
:$$p_2 = W_{d_{\rm min}} \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{d_{\rm min}/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$ | :$$p_2 = W_{d_{\rm min}} \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{d_{\rm min}/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | *die [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|Bhattacharyya–Schranke | + | *die [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|"Bhattacharyya–Schranke"]]: |
− | :$$p_3 = W(\beta) - 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm} \beta = {\rm | + | :$$p_3 = W(\beta) - 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm} \beta = {\rm e}^{ - 1/(2\sigma^2) } \hspace{0.05cm}.$$ |
− | In diesem Fall ist das Distanzspektrum | + | :In diesem Fall ist das Distanzspektrum $\{W_i\}$ durch die Gewichtsfunktion zu ersetzen: |
:$$\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot X^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot X^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Beim Übergang von der | + | Beim Übergang von der "Union Bound" $p_{1}$ zur ungenaueren Schranke $p_{3}$ wird unter Anderem |
+ | *die Funktion ${\rm Q}(x)$ durch die [https://de.wikipedia.org/wiki/Chernoff-Ungleichung "Chernoff–Rubin–Schranke"] ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ ersetzt. | ||
− | In der [[Aufgaben: | + | *Beide Funktionen sind in obigerer Grafik dargestellt (rote bzw. grüne Kurve). |
+ | |||
+ | |||
+ | In der [[Aufgaben:Aufgabe_1.16Z:_Schranken_für_die_Gaußsche_Fehlerfunktion|"Aufgabe 1.16Z"]] wird der Zusammenhang zwischen diesen Funktionen numerisch ausgewertet und zu den Schranken ${\rm Q}_{o}(x)$ und ${\rm Q}_{u}(x)$ Bezug genommen, die in obiger Grafik ebenfalls eingezeichnet sind. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Hinweise: | ||
+ | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|"Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit"]]. | ||
+ | |||
+ | * Die oben zitierte Literaturstelle "[Liv10]" verweist auf das Vorlesungsmanuskript: <br>"Liva, G.: Channel Coding. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010". | ||
+ | |||
+ | * Weiter verweisen wir auf das interaktive HTML5/JavaScript–Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen| "Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]]. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | { | + | {Welche Gleichung gilt für die "Union Bound"? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - | + | - $p_{1} = \sum_{l\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}2}^{2^k} W_{l} · {\rm Q}\big[(l/\sigma^2)^{0.5}\big],$ |
− | + | + | + $p_{1} = \sum_{i\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}1}^{n} W_{i} · {\rm Q}\big[(i/\sigma^2)^{0.5}\big].$ |
+ | {Geben Sie die Union Bound für den $(8, 4, 4)$–Code und verschiedene $\sigma$ an. | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $\sigma = 1.0 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{1} \ = \ $ { 32.15 3% } $\ \%$ | ||
+ | $\sigma = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{1} \ = \ $ { 0.0444 3% } $\ \%$ | ||
− | { | + | {Was liefert die "Truncated Union Bound" bei gleichen Randbedingungen? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ | + | $\sigma = 1.0 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{2} \ = \ $ { 31.92 3% } $\ \%$ |
+ | $\sigma = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{2} \ = \ $ { 0.044 3% } $\ \%$ | ||
+ | |||
+ | {Welche Aussage gilt immer (für alle Konstellationen)? | ||
+ | |type="[]"} | ||
+ | + Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist nie größer als $p_{1}$. | ||
+ | - Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist nie größer als $p_{2}$. | ||
+ | {Wie kommt man von $p_{1}$ zur Bhattacharyya–Schranke $p_{3}$? Dadurch, dass man | ||
+ | |type="[]"} | ||
+ | + die Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$ durch die Funktion ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ ersetzt, | ||
+ | - den Bhattacharyya–Parameter $\beta = 1/\sigma$ setzt, | ||
+ | + statt $\{W_i\}$ die Gewichtsfunktion $W(X)$ verwendet. | ||
+ | {Geben Sie die Bhattacharyya–Schranke für $\sigma = 1$ und $\sigma = 0.5$ an. | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $\sigma = 1.0 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{3} \ = \ $ { 191.3 3% } $\ \%$ | ||
+ | $\sigma = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{3} \ = \ $ { 0.47 3% } $\ \%$ | ||
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''1 | + | '''(1)''' Richtig ist die <u>Antwort 2</u>. |
− | '''2 | + | |
− | '''3 | + | Das Distanzspektrum $\{W_i\}$ ist definiert für $i = 0, \ \text{...} \ , \ n$: |
− | '''4 | + | |
− | '''5 | + | *$W_{1}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = 1$ auftritt. |
− | '''6 | + | |
− | + | *$W_{n}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = n$ auftritt. | |
− | {{ | + | |
+ | |||
+ | Damit lautet die "Union Bound": | ||
+ | |||
+ | :$$p_1 = {\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)}= \sum_{i = 1}^{n}\hspace{0.05cm}W_i \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{i/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(2)''' Das Distanzspektrum des $(8, 4, 4)$–Codes wurde mit $W_{0} = 1 , \ W_{4} = 14, \ W_{8} = 1$ angegeben. | ||
+ | *Somit erhält man für $\sigma = 1$: | ||
+ | :$$p_1 = W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) + W_8 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \cdot \sqrt{2} \right ) | ||
+ | = 14 \cdot 2.28 \cdot 10^{-2}+ 1 \cdot 0.23 \cdot 10^{-2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 32.15\%}\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | |||
+ | *Und für $\sigma = 0.5$: | ||
+ | :$$p_1 = 14 \cdot {\rm Q}\left ( 4 \right ) + {\rm Q}\left ( 4 \cdot \sqrt{2} \right ) | ||
+ | = 14 \cdot 3.17 \cdot 10^{-5}+ 1.1 \cdot 10^{-8} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.0444 \%}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(3)''' Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 4$ erhält man: | ||
+ | |||
+ | :$$\sigma = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) \hspace{0.15cm}\underline{= 31.92\%}\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | :$$\sigma = 0.5\text{:} \hspace{0.4cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 4 \right ) \approx p_1 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.0444 \%}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(4)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | ||
+ | *Die "Union Bound" – hier mit $p_{1}$ bezeichnet – ist in jedem Fall eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit. | ||
+ | |||
+ | *Für die Schranke $p_{2}$ ("Truncated Union Bound") trifft das nicht immer zu. | ||
+ | |||
+ | *Beispielsweise erhält man beim $(7, 4, 3)$–Hamming–Code ⇒ $W_{3} = W_{4} = 7, \ W_{7} = 1$ mit der Streuung $\sigma = 1$: | ||
+ | |||
+ | :$$p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{3} \right ) = 7 \cdot 4.18 \cdot 10^{-2} \approx 0.293\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | :$$p_1 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} p_2 + 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4} \right )+ 1 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{7} \right ) \approx 0.455 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Die tatsächliche Blockfehlerwahrscheinlichkeit wird wahrscheinlich zwischen $p_{2} = 29.3\%$ und $p_{1} = 45.5\%$ liegen (wurde allerdings von uns nicht nachgeprüft). <br>Das heißt: $p_{2}$ ist keine obere Schranke. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(5)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>, wie die folgende Rechnung für den $(8, 4, 4)$–Code zeigt: | ||
+ | |||
+ | *Es gilt ${\rm Q}(x) ≤ {\rm Q_{CR}}(x) = {\rm e}^{-x^2/2}$. Damit kann für die Union Bound | ||
+ | |||
+ | :$$p_1 = W_4 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4/\sigma^2} \right ) +W_8 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{8/\sigma^2} \right )$$ | ||
+ | |||
+ | :eine weitere obere Schranke angegeben werden: | ||
+ | |||
+ | :$$p_1 \le W_4 \cdot {\rm e}^{ - {4}/(2 \sigma^2) } +W_8 \cdot {\rm e}^{ - {8}/(2 \sigma^2) } \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Mit $\beta = {\rm e}^{–1/(2\sigma^2)}$ kann hierfür auch geschrieben werden (das vorgegebene $\beta = 1/\sigma$ ist also falsch): | ||
+ | |||
+ | :$$p_1 \le W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Die Gewichtsfunktion des $(8, 4, 4)$–Codes lautet: | ||
+ | |||
+ | :$$W(X) = 1 + W_4 \cdot X^4 + W_8 \cdot X^8 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W(\beta) - 1 = W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8\hspace{0.3cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_3 = W(\beta) - 1 \ge p_1\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(6)''' Mit $\sigma = 1$ lautet der Bhattacharyya–Parameter $\beta = {\rm e}^{–0.5} = 0.6065$ und man erhält damit für die Bhattacharyya–Schranke: | ||
+ | |||
+ | :$$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 0.135 + 0.018= 1.913 \hspace{0.15cm}\underline{= 191.3%}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | *Berücksichtigt man, dass $p_{3}$ (eine Schranke für) eine Wahrscheinlichkeit angibt, so ist $p_{3} = 1.913$ nur eine triviale Schranke. | ||
+ | |||
+ | *Für $\sigma = 0.5$ ergibt sich dagegen $\beta = {\rm e}^{–2} \approx 0.135.$ Dann gilt: | ||
+ | |||
+ | :$$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 3.35 \cdot 10^{-4} + 1.1 \cdot 10^{-7} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.47 \%}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | Ein Vergleich mit der Teilaufgabe '''(2)''' zeigt, dass im vorliegenden Beispiel die Bhattacharyya–Schranke $p_{3}$ um den Faktor | ||
+ | :$$(0.47 · 10^{–2})/(0.044 · 10^{–2}) > 10$$ | ||
+ | oberhalb der "Union Bound" $p_{1}$ liegt. | ||
+ | *Der Grund für diese große Abweichung ist die Chernoff–Rubin–Schranke, die deutlich oberhalb der ${\rm Q}$–Funktion liegt. | ||
+ | |||
+ | *In der [[Aufgaben:Aufgabe_1.16Z:_Schranken_für_die_Gaußsche_Fehlerfunktion|"Aufgabe 1.16Z"]] wird die Abweichung zwischen ${\rm Q}_{\rm CR}$ und ${\rm Q}(x)$ auch quantitativ berechnet: | ||
+ | |||
+ | :$${{\rm Q_{CR}}( x )}/{{\rm Q}( x )} \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {{\rm Q_{CR}}( x = 4 )}/{{\rm Q}( x = 4)} \approx 10 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | {{ML-Fuß}} | ||
− | |||
− | ^]] | + | [[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^1.6 Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken^]] |
Aktuelle Version vom 5. August 2022, 15:40 Uhr
Wir gehen von der folgenden Konstellation aus:
- Ein linearer Blockcode mit Coderate $R = k/n$ und Distanzspektrum $\{W_i\}, \ i = 1, \ \text{...} \ , n$,
- ein AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch $E_{\rm B}/N_{0}$ ⇒ umrechenbar in die Rauschleistung $\sigma^2$,
- ein Empfänger, basierend auf "Soft Decision" sowie dem "Maximum–Likelihood–Kriterium".
Unter der für die gesamte Aufgabe gültigen Annahme, dass stets das Nullwort $\underline{x}_{1} = (0, 0, \text{...} \ , 0)$ gesendet wird, gilt für die "paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit" mit einem anderen Codewort $\underline{x}_{l} (l = 2,\ \text{...} \ , 2^k)$:
- $$ {\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = {\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
Die Herleitung dieser Beziehung finden Sie in "[Liv10]". In dieser Gleichung werden verwendet:
- die "komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion" ${\rm Q}(x)$,
- das "Hamming–Gewicht" $w_{\rm H}(\underline{x}_{l})$ des Codewortes $\underline{x}_{l}$,
- die "AWGN–Rauschleistung" $\sigma^2 = (2 · R · E_{\rm B}/N_{0})^{–1}.$
Damit lassen sich verschiedene Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit angeben:
- die so genannte "Union Bound" $\rm (UB)$:
- $$p_1 = \sum_{l = 2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = \sum_{l \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$
- die so genannte "Truncated Union Bound" $\rm (TUB)$:
- $$p_2 = W_{d_{\rm min}} \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{d_{\rm min}/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$
- $$p_3 = W(\beta) - 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm} \beta = {\rm e}^{ - 1/(2\sigma^2) } \hspace{0.05cm}.$$
- In diesem Fall ist das Distanzspektrum $\{W_i\}$ durch die Gewichtsfunktion zu ersetzen:
- $$\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot X^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.$$
Beim Übergang von der "Union Bound" $p_{1}$ zur ungenaueren Schranke $p_{3}$ wird unter Anderem
- die Funktion ${\rm Q}(x)$ durch die "Chernoff–Rubin–Schranke" ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ ersetzt.
- Beide Funktionen sind in obigerer Grafik dargestellt (rote bzw. grüne Kurve).
In der "Aufgabe 1.16Z" wird der Zusammenhang zwischen diesen Funktionen numerisch ausgewertet und zu den Schranken ${\rm Q}_{o}(x)$ und ${\rm Q}_{u}(x)$ Bezug genommen, die in obiger Grafik ebenfalls eingezeichnet sind.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit".
- Die oben zitierte Literaturstelle "[Liv10]" verweist auf das Vorlesungsmanuskript:
"Liva, G.: Channel Coding. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010".
- Weiter verweisen wir auf das interaktive HTML5/JavaScript–Applet "Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen".
Fragebogen
Musterlösung
Das Distanzspektrum $\{W_i\}$ ist definiert für $i = 0, \ \text{...} \ , \ n$:
- $W_{1}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = 1$ auftritt.
- $W_{n}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = n$ auftritt.
Damit lautet die "Union Bound":
- $$p_1 = {\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)}= \sum_{i = 1}^{n}\hspace{0.05cm}W_i \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{i/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
(2) Das Distanzspektrum des $(8, 4, 4)$–Codes wurde mit $W_{0} = 1 , \ W_{4} = 14, \ W_{8} = 1$ angegeben.
- Somit erhält man für $\sigma = 1$:
- $$p_1 = W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) + W_8 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \cdot \sqrt{2} \right ) = 14 \cdot 2.28 \cdot 10^{-2}+ 1 \cdot 0.23 \cdot 10^{-2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 32.15\%}\hspace{0.05cm},$$
- Und für $\sigma = 0.5$:
- $$p_1 = 14 \cdot {\rm Q}\left ( 4 \right ) + {\rm Q}\left ( 4 \cdot \sqrt{2} \right ) = 14 \cdot 3.17 \cdot 10^{-5}+ 1.1 \cdot 10^{-8} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.0444 \%}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 4$ erhält man:
- $$\sigma = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) \hspace{0.15cm}\underline{= 31.92\%}\hspace{0.05cm},$$
- $$\sigma = 0.5\text{:} \hspace{0.4cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 4 \right ) \approx p_1 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.0444 \%}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Die "Union Bound" – hier mit $p_{1}$ bezeichnet – ist in jedem Fall eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
- Für die Schranke $p_{2}$ ("Truncated Union Bound") trifft das nicht immer zu.
- Beispielsweise erhält man beim $(7, 4, 3)$–Hamming–Code ⇒ $W_{3} = W_{4} = 7, \ W_{7} = 1$ mit der Streuung $\sigma = 1$:
- $$p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{3} \right ) = 7 \cdot 4.18 \cdot 10^{-2} \approx 0.293\hspace{0.05cm},$$
- $$p_1 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} p_2 + 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4} \right )+ 1 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{7} \right ) \approx 0.455 \hspace{0.05cm}.$$
- Die tatsächliche Blockfehlerwahrscheinlichkeit wird wahrscheinlich zwischen $p_{2} = 29.3\%$ und $p_{1} = 45.5\%$ liegen (wurde allerdings von uns nicht nachgeprüft).
Das heißt: $p_{2}$ ist keine obere Schranke.
(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3, wie die folgende Rechnung für den $(8, 4, 4)$–Code zeigt:
- Es gilt ${\rm Q}(x) ≤ {\rm Q_{CR}}(x) = {\rm e}^{-x^2/2}$. Damit kann für die Union Bound
- $$p_1 = W_4 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4/\sigma^2} \right ) +W_8 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{8/\sigma^2} \right )$$
- eine weitere obere Schranke angegeben werden:
- $$p_1 \le W_4 \cdot {\rm e}^{ - {4}/(2 \sigma^2) } +W_8 \cdot {\rm e}^{ - {8}/(2 \sigma^2) } \hspace{0.05cm}.$$
- Mit $\beta = {\rm e}^{–1/(2\sigma^2)}$ kann hierfür auch geschrieben werden (das vorgegebene $\beta = 1/\sigma$ ist also falsch):
- $$p_1 \le W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8 \hspace{0.05cm}.$$
- Die Gewichtsfunktion des $(8, 4, 4)$–Codes lautet:
- $$W(X) = 1 + W_4 \cdot X^4 + W_8 \cdot X^8 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W(\beta) - 1 = W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_3 = W(\beta) - 1 \ge p_1\hspace{0.05cm}.$$
(6) Mit $\sigma = 1$ lautet der Bhattacharyya–Parameter $\beta = {\rm e}^{–0.5} = 0.6065$ und man erhält damit für die Bhattacharyya–Schranke:
- $$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 0.135 + 0.018= 1.913 \hspace{0.15cm}\underline{= 191.3%}\hspace{0.05cm}.$$
- Berücksichtigt man, dass $p_{3}$ (eine Schranke für) eine Wahrscheinlichkeit angibt, so ist $p_{3} = 1.913$ nur eine triviale Schranke.
- Für $\sigma = 0.5$ ergibt sich dagegen $\beta = {\rm e}^{–2} \approx 0.135.$ Dann gilt:
- $$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 3.35 \cdot 10^{-4} + 1.1 \cdot 10^{-7} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.47 \%}\hspace{0.05cm}.$$
Ein Vergleich mit der Teilaufgabe (2) zeigt, dass im vorliegenden Beispiel die Bhattacharyya–Schranke $p_{3}$ um den Faktor
- $$(0.47 · 10^{–2})/(0.044 · 10^{–2}) > 10$$
oberhalb der "Union Bound" $p_{1}$ liegt.
- Der Grund für diese große Abweichung ist die Chernoff–Rubin–Schranke, die deutlich oberhalb der ${\rm Q}$–Funktion liegt.
- In der "Aufgabe 1.16Z" wird die Abweichung zwischen ${\rm Q}_{\rm CR}$ und ${\rm Q}(x)$ auch quantitativ berechnet:
- $${{\rm Q_{CR}}( x )}/{{\rm Q}( x )} \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {{\rm Q_{CR}}( x = 4 )}/{{\rm Q}( x = 4)} \approx 10 \hspace{0.05cm}.$$