Aufgaben:Aufgabe 3.13: Nochmals zu den Pfadgewichtsfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2711__KC_A_3_13.png|right|Zur Reduktion des Zustandsübergangsdiagramms]]
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[[Datei:P_ID2711__KC_A_3_13.png|right|frame|Zur Reduktion des Zustandsübergangsdiagramms]]
Auf der [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms|Seite 4c]] des Theorieteils zu Kapitel 3.5 wurde für das Beispiel unseres Rate–1/2–Standardcodes mit Gedächtnis $m = 2$ und der Übertragungsfunktionsmatrix
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Auf der Seite  [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms|Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms]]  wurde für das Beispiel unseres Rate–1/2–Standardcodes mit Gedächtnis  $m = 2$  und der Übertragungsfunktionsmatrix
 
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1  + D^2 \hspace{0.05cm}\big )$$
 
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1  + D^2 \hspace{0.05cm}\big )$$
  
 
die Berechnung der Pfadgewichtsfunktionen sehr ausführlich beschrieben. Als Ergebnisse wurden genannt:
 
die Berechnung der Pfadgewichtsfunktionen sehr ausführlich beschrieben. Als Ergebnisse wurden genannt:
:$$T_{\rm enh}(X, U) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}  \frac{U\hspace{-0.05cm} X^5}{1- 2U\hspace{-0.05cm}X}  =$$
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:$$T_{\rm enh}(X, U) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}  \frac{U\hspace{-0.05cm} X^5}{1- 2U\hspace{-0.05cm}X}  =U\hspace{-0.05cm}X^5 \cdot \big [ 1 + (2U\hspace{-0.08cm}X) + (2U\hspace{-0.08cm}X)^2 + \text{...} \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.01cm},$$
:$$\ = \ \hspace{-0.2cm} U\hspace{-0.05cm}X^5 \cdot \left [ 1 + (2U\hspace{-0.08cm}X) + (2U\hspace{-0.08cm}X)^2 + ...  \hspace{0.05cm} \right ] \hspace{0.01cm},$$
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:$$T(X) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}  \frac{X^5}{1- 2X}  =  X^5 \cdot \big [ 1 + (2X) + (2X)^2 + \text{...} \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
:$$T(X) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}  \frac{X^5}{1- 2X}  =$$
 
:$$\ = \ \hspace{-0.2cm} X^5 \cdot \left [ 1 + (2X) + (2X)^2 + ... \hspace{0.05cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
 
  
Nun sollen die gleichen Berechnungen für den [[äquivalenten systematischen Code]] mit der Übertragungsfunktionsmatrix
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Nun sollen die gleichen Berechnungen für den  [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes|äquivalenten systematischen Code]]  mit der Übertragungsfunktionsmatrix
 
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} (1  + D^2)/(1 + D + D^2) \hspace{0.05cm}\big )$$
 
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} (1  + D^2)/(1 + D + D^2) \hspace{0.05cm}\big )$$
  
 
durchgeführt werden.
 
durchgeführt werden.
  
Die Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm (A) und die Struktur des reduzierten Diagramms (B), wobei die Übergänge mit $A(X, \, U), \ ... \ , \ G(X, \, U)$ allgemein bezeichnet sind. In der Teilaufgabe (1) sollen diese Abkürzungen an das Zustandsübergangsdiagramm (A) angepasst werden.
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*Die Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm  $\rm (A)$  und die Struktur des reduzierten Diagramms  $\rm (B)$, wobei die Übergänge mit  $A(X, \, U), \ \text{...}\ , \ G(X, \, U)$  allgemein bezeichnet sind.  
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*In der Teilaufgabe '''(1)''' sollen diese Abkürzungen an das Zustandsübergangsdiagramm  $\rm (A)$  angepasst werden.
  
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* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].  
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* Zur Lösung der Teilaufgaben (b) und (c) verweisen wir hier nochmals auf die [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms| Seite 4c]] im Theorieteil.
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* Die Aufgabegehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].  
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* Zur Lösung der Teilaufgaben '''(2)''' und '''(3)''' verweisen wir hier nochmals auf die Seite  [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms|Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms]] im Theorieteil.
  
  
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- $T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^5 \ / \ (1 \, –2UX)$.
 
- $T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^5 \ / \ (1 \, –2UX)$.
- $T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^5 + 2 U^2X^6 + 4U^3X^7 + 8U^4X^8 + \ ... $,
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- $T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^5 + 2 U^2X^6 + 4U^3X^7 + 8U^4X^8 + \ \text{...}$,
 
+ Keiner der Vorschläge ist richtig.
 
+ Keiner der Vorschläge ist richtig.
  
{Welcher Ausdruck gilt für die „einfache” Pfadgewichtsfunktion?
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{Welche Ausdrücke gelten für die „einfache” Pfadgewichtsfunktion?
 
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+ $T(X) = X^5 \ / \ (1 \, –2X)$.
 
+ $T(X) = X^5 \ / \ (1 \, –2X)$.
+ $T(X) = X^5 + 2X^6 + 4X^7 + 8X^8 + \ ... $
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+ $T(X) = X^5 + 2X^6 + 4X^7 + 8X^8 + \ \text{...} $
 
- Keiner der Vorschläge ist richtig.
 
- Keiner der Vorschläge ist richtig.
 
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'''(1)'''&nbsp; Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist durch &bdquo;$1 \ | \ 11$&rdquo; gekennzeichnet. Die Ausgangssequenz $\underline{x}_i = (11)$ wird durch $X^2$ ausgedrückt, das Eingangsbit $u_i = 1$ durch $U$. Gleiches Ergebnis erhält man für $G(X, \, U)$:
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'''(1)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig. Im angepassten Diagramm &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; sind alle Übergänge eingezeichnet:
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[[Datei:P_ID2712__KC_A_3_13a.png|right|frame|Zur Reduktion des Zustandsübergangsdiagramms]]
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*Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist durch &bdquo;$1 \ | \ 11$&rdquo; gekennzeichnet.  
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*Die Ausgangssequenz $\underline{x}_i = (11)$ wird durch $X^2$ ausgedrückt, das Eingangsbit $u_i = 1$ durch $U$.  
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*Das gleiche Ergebnis erhält man für $G(X, \, U)$:
 
:$$A(X, U) = G(X, U)= UX^2
 
:$$A(X, U) = G(X, U)= UX^2
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
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Ausgangssequenzen $\underline{x}_i = (01)$ sowie $\underline{x}_i = (10)$ werden beide mit $X$ markiert. Unter Berücksichtigung der Eingangsbits erhält man somit:
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*Die Ausgangssequenzen $\underline{x}_i = (01)$ sowie $\underline{x}_i = (10)$ werden beide mit $X$ markiert.  
:$$u_i = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} B(X, U) = D(X, U)= UX\hspace{0.05cm},\hspace{0.35cm}
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*Unter Berücksichtigung der Eingangsbits erhält man somit:
u_i = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} C(X, U) = E(X, U)= X
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:$$u_i = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} B(X, U) = D(X, U)= UX\hspace{0.05cm},$$
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:$$u_i = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} C(X, U) = E(X, U)= X
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Der Übergang &bdquo;0 | 00&rdquo; von $S_2$ nach $S_1$ wird durch $F(X, \, U) = 1$ ausgedrückt. Im angepassten Diagramm (B) sind alle Übergänge eingezeichnet. Man erkennt, dass <u>alle Lösungsvorschläge</u> richtig sind.
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*Der Übergang &bdquo;$0 \ | \ 00$&rdquo; von $S_2$ nach $S_1$ wird durch $F(X, \, U) = 1$ ausgedrückt.  
  
[[Datei:P_ID2712__KC_A_3_13a.png|center|frame|Zur Reduktion des Zustandsübergangsdiagramms]]
 
  
  
'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der Vorgehensweise auf [[Seite 4c]] im Theorieteil wird zunächst der Übergang von $S_1$ nach $S_2$ via $S_3$ durch einen <i>Ring</i> zusammengefasst.
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der Vorgehensweise auf der Seite [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms|Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms]] im Theorieteil wird zunächst der Übergang von $S_1$ nach $S_2$ via $S_3$ durch einen <i>Ring</i> zusammengefasst.
* Man erhält für die rote Hinterlegung im Diagramm (B):
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* Man erhält für die rote Hinterlegung im Diagramm &nbsp;$\rm (B)$:
 
:$$T_1(X, U) =  \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} = \frac{X \cdot X}{1- U \cdot X}  
 
:$$T_1(X, U) =  \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} = \frac{X \cdot X}{1- U \cdot X}  
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
* Die beiden <i>parallelen Übergänge</i> entsprechend der blauen Hinterlegung im Diagramm (C) können wie folgt zusammengefasst werden:
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* Die beiden <i>parallelen Übergänge</i> entsprechend der blauen Hinterlegung im Diagramm &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; können wie folgt kombiniert werden:
 
:$$T_2(X, U) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  T_1(X, U) + B(X, U) =\frac{X^2}{1- U  X}+ U  X =
 
:$$T_2(X, U) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  T_1(X, U) + B(X, U) =\frac{X^2}{1- U  X}+ U  X =
 
  \frac{X^2 + U- U^2X^2}{1- U  X}  
 
  \frac{X^2 + U- U^2X^2}{1- U  X}  
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
* Die erweiterte Pfadgewichtsfunktion ergibt sich entsprechend Diagramm (D) als <i>Rückkopplung</i>:
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* Die erweiterte Pfadgewichtsfunktion ergibt sich entsprechend Diagramm &nbsp;$\rm (D)$&nbsp; als <i>Rückkopplung</i>:
 
:$$T_{\rm enh}(X, U) =  \frac{A(X, U) \cdot G(X, U)\cdot T_2(X, U)}{1- F(X, U) \cdot T_2(X, U)}  
 
:$$T_{\rm enh}(X, U) =  \frac{A(X, U) \cdot G(X, U)\cdot T_2(X, U)}{1- F(X, U) \cdot T_2(X, U)}  
 
=  \frac{UX^2 \cdot UX^2\cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U  X}}{1- 1 \cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U  X}}\hspace{0.05cm}.$$
 
=  \frac{UX^2 \cdot UX^2\cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U  X}}{1- 1 \cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U  X}}\hspace{0.05cm}.$$
  
Dem Autor ist es auch nach mehreren Versuchen nicht gelungen, diesen Ausdruck zielführend weiter zu vereinfachen. Er tendiert zum <u>Lösungsvorschlag 3</u> mit dem Zusatz &bdquo;ohne Gewähr&rdquo;. Dieses Ergebnis würde jedoch bedeuten, dass sich die erweiterte Pfadgewichtsfunktion des äquivalenten systematischen Codes von der des nichtsystematischen Codes unterscheidet. Wir werden diese Frage noch mit einem Fachmann klären.
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Dem Autor ist es auch nach mehreren Versuchen nicht gelungen, diesen Ausdruck zielführend weiter zu vereinfachen. Er tendiert zum <u>Lösungsvorschlag 3</u> mit dem Zusatz &bdquo;ohne Gewähr&rdquo;.  
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*Dieses Ergebnis würde jedoch bedeuten, dass sich die erweiterte Pfadgewichtsfunktion des äquivalenten systematischen Codes von der des nichtsystematischen Codes unterscheidet.  
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*Wir werden diese Frage noch mit einem Fachmann klären.
  
  
'''(3)'''&nbsp; Setzt man in der erweiterten Funktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$ den Formalparameter $U = 1$, so erhält man  
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
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*Setzt man in der erweiterten Funktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$ den Formalparameter $U = 1$, so erhält man den Lösungsvorschlag 1:
 
:$$T(X) =  \frac{X^4 \cdot  \frac{X^2 + X- X^2}{1- X}}{1- \frac{X^2 + X- X^2}{1- X}}=
 
:$$T(X) =  \frac{X^4 \cdot  \frac{X^2 + X- X^2}{1- X}}{1- \frac{X^2 + X- X^2}{1- X}}=
 
\frac{X^5 }{1- X - X} =
 
\frac{X^5 }{1- X - X} =
 
\frac{X^5 }{1- 2X} \hspace{0.05cm}.$$
 
\frac{X^5 }{1- 2X} \hspace{0.05cm}.$$
  
Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u> und mit der Reihenentwicklung $1/(1 \, &ndash;x) = 1 + x + x^2 + \ ... \ $ auch der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Das heißt: Die einfache Pfadgewichtsfunktion stimmt bei beiden Codes überein.
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*Mit der Reihenentwicklung $1/(1 \, &ndash;x) = 1 + x + x^2 + \ \text{...}\ $ kommt man zum Lösungsvorschlag 2.  
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*Das heißt: Die einfache Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ stimmt bei beiden Codes überein.
 
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.5 Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken^]]
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.5 Distanzeigenschaften^]]

Aktuelle Version vom 1. Juli 2019, 16:59 Uhr

Zur Reduktion des Zustandsübergangsdiagramms

Auf der Seite  Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms  wurde für das Beispiel unseres Rate–1/2–Standardcodes mit Gedächtnis  $m = 2$  und der Übertragungsfunktionsmatrix

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big )$$

die Berechnung der Pfadgewichtsfunktionen sehr ausführlich beschrieben. Als Ergebnisse wurden genannt:

$$T_{\rm enh}(X, U) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{U\hspace{-0.05cm} X^5}{1- 2U\hspace{-0.05cm}X} =U\hspace{-0.05cm}X^5 \cdot \big [ 1 + (2U\hspace{-0.08cm}X) + (2U\hspace{-0.08cm}X)^2 + \text{...} \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.01cm},$$
$$T(X) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{X^5}{1- 2X} = X^5 \cdot \big [ 1 + (2X) + (2X)^2 + \text{...} \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}.$$

Nun sollen die gleichen Berechnungen für den  äquivalenten systematischen Code  mit der Übertragungsfunktionsmatrix

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} (1 + D^2)/(1 + D + D^2) \hspace{0.05cm}\big )$$

durchgeführt werden.

  • Die Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm  $\rm (A)$  und die Struktur des reduzierten Diagramms  $\rm (B)$, wobei die Übergänge mit  $A(X, \, U), \ \text{...}\ , \ G(X, \, U)$  allgemein bezeichnet sind.
  • In der Teilaufgabe (1) sollen diese Abkürzungen an das Zustandsübergangsdiagramm  $\rm (A)$  angepasst werden.





Hinweise:


Fragebogen

1

Für welche Ausdrücke stehen die nachfolgenden Abkürzungen?

$A(X, \, U) = UX^2$,
$B(X, \, U) = UX$,
$C(X, \, U) = X$,
$D(X, \, U) = UX$,
$E(X, \, U) = X$,
$F(X, \, U) = 1$,
$G(X, \, U) = UX^2$.

2

Welche Ausdrücke gelten für die erweiterte Pfadgewichtsfunktion?

$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^5 \ / \ (1 \, –2UX)$.
$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^5 + 2 U^2X^6 + 4U^3X^7 + 8U^4X^8 + \ \text{...}$,
Keiner der Vorschläge ist richtig.

3

Welche Ausdrücke gelten für die „einfache” Pfadgewichtsfunktion?

$T(X) = X^5 \ / \ (1 \, –2X)$.
$T(X) = X^5 + 2X^6 + 4X^7 + 8X^8 + \ \text{...} $
Keiner der Vorschläge ist richtig.


Musterlösung

(1)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig. Im angepassten Diagramm  $\rm (B)$  sind alle Übergänge eingezeichnet:

Zur Reduktion des Zustandsübergangsdiagramms
  • Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist durch „$1 \ | \ 11$” gekennzeichnet.
  • Die Ausgangssequenz $\underline{x}_i = (11)$ wird durch $X^2$ ausgedrückt, das Eingangsbit $u_i = 1$ durch $U$.
  • Das gleiche Ergebnis erhält man für $G(X, \, U)$:
$$A(X, U) = G(X, U)= UX^2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Ausgangssequenzen $\underline{x}_i = (01)$ sowie $\underline{x}_i = (10)$ werden beide mit $X$ markiert.
  • Unter Berücksichtigung der Eingangsbits erhält man somit:
$$u_i = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} B(X, U) = D(X, U)= UX\hspace{0.05cm},$$
$$u_i = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} C(X, U) = E(X, U)= X \hspace{0.05cm}.$$
  • Der Übergang „$0 \ | \ 00$” von $S_2$ nach $S_1$ wird durch $F(X, \, U) = 1$ ausgedrückt.


(2)  Entsprechend der Vorgehensweise auf der Seite Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms im Theorieteil wird zunächst der Übergang von $S_1$ nach $S_2$ via $S_3$ durch einen Ring zusammengefasst.

  • Man erhält für die rote Hinterlegung im Diagramm  $\rm (B)$:
$$T_1(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} = \frac{X \cdot X}{1- U \cdot X} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die beiden parallelen Übergänge entsprechend der blauen Hinterlegung im Diagramm  $\rm (C)$  können wie folgt kombiniert werden:
$$T_2(X, U) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} T_1(X, U) + B(X, U) =\frac{X^2}{1- U X}+ U X = \frac{X^2 + U- U^2X^2}{1- U X} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die erweiterte Pfadgewichtsfunktion ergibt sich entsprechend Diagramm  $\rm (D)$  als Rückkopplung:
$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot G(X, U)\cdot T_2(X, U)}{1- F(X, U) \cdot T_2(X, U)} = \frac{UX^2 \cdot UX^2\cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U X}}{1- 1 \cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U X}}\hspace{0.05cm}.$$

Dem Autor ist es auch nach mehreren Versuchen nicht gelungen, diesen Ausdruck zielführend weiter zu vereinfachen. Er tendiert zum Lösungsvorschlag 3 mit dem Zusatz „ohne Gewähr”.

  • Dieses Ergebnis würde jedoch bedeuten, dass sich die erweiterte Pfadgewichtsfunktion des äquivalenten systematischen Codes von der des nichtsystematischen Codes unterscheidet.
  • Wir werden diese Frage noch mit einem Fachmann klären.


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Setzt man in der erweiterten Funktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$ den Formalparameter $U = 1$, so erhält man den Lösungsvorschlag 1:
$$T(X) = \frac{X^4 \cdot \frac{X^2 + X- X^2}{1- X}}{1- \frac{X^2 + X- X^2}{1- X}}= \frac{X^5 }{1- X - X} = \frac{X^5 }{1- 2X} \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit der Reihenentwicklung $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 + \ \text{...}\ $ kommt man zum Lösungsvorschlag 2.
  • Das heißt: Die einfache Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ stimmt bei beiden Codes überein.