Aufgaben:Aufgabe 1.6: Cyclic Redundancy Check (CRC4): Unterschied zwischen den Versionen

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Die Synchronisation geschieht beim Primärmultiplexanschluss jeweils im Kanal $0$ – dem Synchronisationskanal – eines jeden Rahmens. Bei ungeraden Zeitrahmen (Nummer 1, 3, ... , 15) überträgt dieser das sog. Rahmenkennwort mit dem festen Bitmuster '''X001 1011''', während jeder gerade Rahmen (mit Nummer 2, 4, ... , 16) das ''Meldewort'' '''X1DN YYYY''' beinhaltet. Über das D–Bit und das N–Bit werden Fehlermeldungen signalisiert. Die vier Y–Bits sind für Service–Funktionen reserviert.
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Die Synchronisation geschieht beim Primärmultiplexanschluss jeweils im Synchronisationskanal  "$0$"   eines jeden Rahmens:
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* Bei ungeraden Zeitrahmen  (Nummer 1, 3, ... , 15)  überträgt dieser das so genannte „Rahmenkennwort” mit dem festen Bitmuster  $\rm X001\hspace{0.05cm} 1011$.
  
Das X–Bit wird jeweils durch das ''CRC4''–Verfahren gewonnen, dessen Realisierung in der Grafik dargestellt ist. Aus jeweils acht Eingangsbits – in der gesamten Aufgabe wird hierfür die Bitfolge '''1011 0110''' angenommen – werden durch Modulo–2–Additionen und Verschiebungen die vier Prüfbits CRC3, ... , CRC0 gewonnen, die dem Eingangswort in dieser Reihenfolge hinzugefügt werden.
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* Jeder gerade Rahmen  (mit Nummer 2, 4, ... , 16)   beinhaltet dagegen das „Meldewort”  $\rm X1DN\hspace{0.05cm}YYYY$.
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*Über das  $\rm D$–Bit und das   $\rm N$–Bit werden Fehlermeldungen signalisiert.  Ddie vier  $\rm Y$–Bits sind für Service–Funktionen reserviert.
  
Bevor das erste Bit in das Register geschoben wird, sind alle Register mit Nullen belegt:
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Das  $\rm X$–Bit wird jeweils durch das  '''CRC4–Verfahren'''  gewonnen,  dessen Realisierung in der Grafik dargestellt ist:
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*Aus jeweils acht Eingangsbits  – in der gesamten Aufgabe wird hierfür die Bitfolge  $\rm 1011\hspace{0.05cm} 0110$  angenommen –  werden durch Modulo–2–Additionen und Verschiebungen die vier Prüfbits  $\rm CRC3$, ... , $\rm CRC0$  gewonnen,  die dem Eingangswort in dieser Reihenfolge hinzugefügt werden.
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*Bevor das erste Bit in das Register geschoben wird,  sind alle Register mit Nullen belegt:
 
:$${\rm CRC3 = CRC2 =CRC1 =CRC0 = 0}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm CRC3 = CRC2 =CRC1 =CRC0 = 0}\hspace{0.05cm}.$$
Nach $8$ Schiebetakten steht in den vier Registern CRC3, ... , CRC0 die CRC4–Prüfsumme.
 
  
Die Anzapfungen des Schieberegisters sind $g_{0} = 1, g_{1} = 1, g_{2} = 0, g_{3} = 0$ und $g_{4} = 1$. Das dazugehörige Generatorpolynom lautet:
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*Nach acht Schiebetakten steht in den vier Registern  $\rm CRC3$, ... , $\rm CRC0$  die CRC4–Prüfsumme.
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Die Anzapfungen des Schieberegisters sind  $g_{0} = 1, \ g_{1} = 1, \ g_{2} = 0, \ g_{3} = 0$  und  $g_{4} = 1$.  
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*Das dazugehörige Generatorpolynom lautet:
 
:$$G(D) = D^4 + D +1 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$G(D) = D^4 + D +1 \hspace{0.05cm}.$$
Die sendeseitige CRC4–Prüfsumme erhält man auch als Rest der Polynomdivision
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*Die sendeseitige CRC4–Prüfsumme erhält man auch als  "'''Rest'''"  der Polynomdivision
 
:$$(D^{11} +D^{9} +D^{8}+D^{6}+D^{5})/G(D) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$(D^{11} +D^{9} +D^{8}+D^{6}+D^{5})/G(D) \hspace{0.05cm}.$$
Das Divisorpolynom ergibt sich aus der Eingangsfolge und vier angehängten Nullen: '''1011 0110 0000'''.
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*Das Divisorpolynom ergibt sich aus der Eingangsfolge und vier angehängten Nullen:  "$\rm 1011\hspace{0.09cm} 0110\hspace{0.09cm} 0000$".
Auch die CRC4–Überprüfung beim Empfänger (siehe Teilaufgabe 4) kann durch eine Polynomdivision dargestellt werden. Sie lässt sich durch eine Schieberegisterstruktur in ähnlicher Weise realisieren wie die sendeseitige Gewinnung der CRC4–Prüfsumme.
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Auch die CRC4–Überprüfung beim Empfänger entsprechend Teilaufgabe  '''(4)'''  kann durch eine Polynomdivision dargestellt werden.  Sie lässt sich durch eine Schieberegisterstruktur in ähnlicher Weise realisieren wie die sendeseitige Gewinnung der CRC4–Prüfsumme.
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/ISDN–Primärmultiplexanschluss|"ISDN–Primärmultiplexanschluss"]].
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*Zur Lösung der Aufgabe werden einige Grundkenntnisse der  [[Kanalcodierung|"Kanalcodierung"]]  vorausgesetzt.
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''Hinweis:''
 
  
Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/ISDN–Primärmultiplexanschluss|ISDN–Primärmultiplexanschluss]] des vorliegenden Buches. Zur Lösung der Aufgabe werden einige Grundkenntnisse der [[Kanalcodierung (CRC4)|Kanalcodierung]] vorausgesetzt.
 
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{Welches Ergebnis E und welchen Rest R liefert die Polynomdivision
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{Welches Ergebnis&nbsp; $E(D)$&nbsp; und welchen Rest&nbsp; $R(D)$&nbsp; liefert die Polynomdivision
$(D^{11} + D^{9} + D^{8} + D^{6} + D^{5}) : (D^{4} + D + 1)?
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$(D^{11} + D^{9} + D^{8} + D^{6} + D^{5}) : (D^{4} + D + 1)$&nbsp;?
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+
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- $E(D) = D^{5} + D^{3} + 1, R(D) = D^{3} + D$,
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- $E(D) = D^{5} + D^{3} + 1, \hspace{2.13cm}R(D) = D^{3} + D$,
+ $E(D) = D^{7} + D^{5} + D^{3} + 1, R(D) = D^{3} + D + 1$,
+
+ $E(D) = D^{7} + D^{5} + D^{3} + 1, \hspace{1cm}R(D) = D^{3} + D + 1$,
- $E(D) = D^{7} + D^{5} + D^{3} + 1, R(D) = 0$.
+
- $E(D) = D^{7} + D^{5} + D^{3} + 1, \hspace{1cm}R(D) = 0$.
  
{Wie lautet die CRC–Prüfsumme?
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{Wie lautet die CRC–Prüfsumme im vorliegenden Fall?
 
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$CRC0 \ = \ $ { 1 3% }  
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$\rm CRC0 \ = \ $ { 1 3% }  
$CRC1 \ = \ $ { 1 3% }  
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$\rm CRC1 \ = \ $ { 1 3% }  
$CRC2 \ = \ $ { 0 3% }  
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$\rm CRC2 \ = \ $ { 0. }  
$CRC3 \ = \ $ { 1 3% }  
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$\rm CRC3 \ = \ $ { 1 3% }  
  
{Am Empfänger kommen folgende Bitfolgen an, jeweils 8 Informationsbits + (CRC3, CRC2, CRC1,CRC0). Wann liegt kein Bitfehler vor?
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{Am Empfänger kommen folgende Bitfolgen an,&nbsp; jeweils acht Informationsbits plus&nbsp; $\text{(CRC3, CRC2, CRC1,CRC0)}$. <br>Welche dieser Bitfolgen zeigen an,&nbsp; dass kein Bitfehler vorliegt?
 
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- '''1011 0010 1011''',
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- $1011 \hspace{0.1cm}0010\hspace{0.08cm} 1011$,
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- '''1011 0110 1001'''.
+
- $1011 \hspace{0.1cm}0110\hspace{0.08cm} 1001$.
  
{Welche empfangene Bitfolgen wurden bei der Übertragung verfälscht?
+
{Welche der empfangenen Bitfolgen wurden bei der Übertragung verfälscht?
 
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+ '''0000 0111 0010''',
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- $0000 \hspace{0.1cm}1111\hspace{0.1cm} 0010$,  
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+ $0000\hspace{0.1cm} 1111\hspace{0.1cm} 1010$.
  
 
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'''(1)'''&nbsp;
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>der Lösungsvorschlag 2</u>:
'''(2)'''&nbsp;
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*Aufgrund des größten Zählerexponenten&nbsp; $(D^{11})$&nbsp; und des höchsten Nennerexponenten&nbsp; $(D^{4})$&nbsp; kann der erste Vorschlag&nbsp; $E(D) = D^{5} + D^{3} + 1$&nbsp; als Ergebnis ausgeschlossen werden &nbsp; &rArr; &nbsp; $E(D) = D^{7} + D^{5} + D^{3} + 1$.
'''(3)'''&nbsp;
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'''(4)'''&nbsp;
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*Die Modulo–2–Multiplikation von&nbsp; $E(D)$&nbsp; mit dem Generatorpolynom&nbsp; $G(D) = D^{4} + D + 1$&nbsp; liefert:
'''(5)'''&nbsp;
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:$$E(D) \cdot G(D) \ = \ (D^7+ D^5+D^3+1)\cdot (D^4+ D+1) \ = D^{11}+D^8+D^7+D^9+D^6+D^5+D^7+D^4+D^3+D^4+ D+1 \hspace{0.05cm}.$$
'''(6)'''&nbsp;
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'''(7)'''&nbsp;
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*Zu berücksichtigen ist hierbei,&nbsp; dass bei Modulo–2–Rechnungen&nbsp; $D^{4} + D^{4} = 0$&nbsp; gilt.&nbsp; Damit ergibt sich der folgende Rest:
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:$$R(D) = D^{11}+D^9+D^8+D^6+D^5- E(D) \cdot G(D) = D^3+D+1 \hspace{0.05cm}.$$
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[[Datei:P_ID1628__Bei_A_1_6b.png|right|frame|Registerbelegungen bei CRC4]]
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'''(2)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; folgt:
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:$${\rm CRC0 = 1},\hspace{0.2cm}{\rm CRC1 = 1},\hspace{0.2cm}{\rm CRC2 = 0},\hspace{0.2cm}{\rm CRC3 = 1}\hspace{0.05cm}.$$
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*Die Tabelle zeigt einen zweiten Lösungsweg auf.
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* Sie enthält die Registerbelegungen der gegebenen Schaltung zu den Zeiten&nbsp; $0$, ... , $8$.
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist nur der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
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*Der Empfänger teilt das Polynom&nbsp; $P(D)$&nbsp; der Empfangsfolge durch das Generatorpolynom&nbsp; $G(D)$.
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*Liefert diese Modulo–2–Division den Rest&nbsp; $R(D) = 0$,&nbsp; so wurden alle&nbsp; $12$&nbsp; Bit richtig übertragen.
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*Dies trifft für den zweiten Lösungsvorschlag zu,&nbsp; wie ein Vergleich mit den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; zeigt.&nbsp; Es gilt ohne Rest:
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:$$(D^{11}+D^9+D^8+D^6+D^5+D^3+D+1) : (D^4+ D+1)= D^7+D^5+D^3+1 \hspace{0.05cm}.$$
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*Hinweis:&nbsp; Bei Lösungsvorschlag 1 wurde das 6. Informationsbit verfälscht, beim Lösungsvorschlag 3  das CRC1–Bit.
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[[Datei:P_ID1629__Bei_A_1_6d.png|right|frame|Polynomdivision der drei Empfangsfolgen]]
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp;  <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
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*Die Grafik verdeutlicht die Modulo–2–Divisionen für die gegebenen Empfangsfolgen in vereinfachter Form&nbsp; (mit Nullen und Einsen):
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*Man erkennt,&nbsp; dass nur bei der Folge 2 die Division ohne Rest möglich ist.
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*In ausgeschriebener Form lauten die Polynomdivisionen:
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$$\ (1) \ \hspace{0.2cm}(D^6+D^5+D^4+1) : (D^4+ D+1)$$
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:$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{Rest:}\hspace{0.15cm}D^3+ D+1\hspace{0.05cm},$$
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$$\ (2) \ \hspace{0.2cm}(D^7+D^6+D^5+D^4+1) : (D^4+ D+1)$$
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:$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{Rest:}\hspace{0.15cm}0\hspace{0.05cm},$$
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$$\ (3) \ \hspace{0.2cm}(D^7+D^6+D^5+D^4+D^3+1) : (D^4+ D+1)$$
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:$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{Rest:}\hspace{0.15cm}D^3\hspace{0.05cm}.$$
 
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Aktuelle Version vom 28. Oktober 2022, 16:22 Uhr


Bildung der CRC4-Prüfsumme

Die Synchronisation geschieht beim Primärmultiplexanschluss jeweils im Synchronisationskanal  "$0$"  eines jeden Rahmens:

  • Bei ungeraden Zeitrahmen  (Nummer 1, 3, ... , 15)  überträgt dieser das so genannte „Rahmenkennwort” mit dem festen Bitmuster  $\rm X001\hspace{0.05cm} 1011$.
  • Jeder gerade Rahmen  (mit Nummer 2, 4, ... , 16)  beinhaltet dagegen das „Meldewort”  $\rm X1DN\hspace{0.05cm}YYYY$.
  • Über das  $\rm D$–Bit und das   $\rm N$–Bit werden Fehlermeldungen signalisiert.  Ddie vier  $\rm Y$–Bits sind für Service–Funktionen reserviert.


Das  $\rm X$–Bit wird jeweils durch das  CRC4–Verfahren  gewonnen,  dessen Realisierung in der Grafik dargestellt ist:

  • Aus jeweils acht Eingangsbits  – in der gesamten Aufgabe wird hierfür die Bitfolge  $\rm 1011\hspace{0.05cm} 0110$  angenommen –  werden durch Modulo–2–Additionen und Verschiebungen die vier Prüfbits  $\rm CRC3$, ... , $\rm CRC0$  gewonnen,  die dem Eingangswort in dieser Reihenfolge hinzugefügt werden.
  • Bevor das erste Bit in das Register geschoben wird,  sind alle Register mit Nullen belegt:
$${\rm CRC3 = CRC2 =CRC1 =CRC0 = 0}\hspace{0.05cm}.$$
  • Nach acht Schiebetakten steht in den vier Registern  $\rm CRC3$, ... , $\rm CRC0$  die CRC4–Prüfsumme.


Die Anzapfungen des Schieberegisters sind  $g_{0} = 1, \ g_{1} = 1, \ g_{2} = 0, \ g_{3} = 0$  und  $g_{4} = 1$.

  • Das dazugehörige Generatorpolynom lautet:
$$G(D) = D^4 + D +1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Die sendeseitige CRC4–Prüfsumme erhält man auch als  "Rest"  der Polynomdivision
$$(D^{11} +D^{9} +D^{8}+D^{6}+D^{5})/G(D) \hspace{0.05cm}.$$
  • Das Divisorpolynom ergibt sich aus der Eingangsfolge und vier angehängten Nullen:  "$\rm 1011\hspace{0.09cm} 0110\hspace{0.09cm} 0000$".


Auch die CRC4–Überprüfung beim Empfänger entsprechend Teilaufgabe  (4)  kann durch eine Polynomdivision dargestellt werden.  Sie lässt sich durch eine Schieberegisterstruktur in ähnlicher Weise realisieren wie die sendeseitige Gewinnung der CRC4–Prüfsumme.



Hinweise:

  • Zur Lösung der Aufgabe werden einige Grundkenntnisse der  "Kanalcodierung"  vorausgesetzt.



Fragebogen

1

Welches Ergebnis  $E(D)$  und welchen Rest  $R(D)$  liefert die Polynomdivision $(D^{11} + D^{9} + D^{8} + D^{6} + D^{5}) : (D^{4} + D + 1)$ ?

$E(D) = D^{5} + D^{3} + 1, \hspace{2.13cm}R(D) = D^{3} + D$,
$E(D) = D^{7} + D^{5} + D^{3} + 1, \hspace{1cm}R(D) = D^{3} + D + 1$,
$E(D) = D^{7} + D^{5} + D^{3} + 1, \hspace{1cm}R(D) = 0$.

2

Wie lautet die CRC–Prüfsumme im vorliegenden Fall?

$\rm CRC0 \ = \ $

$\rm CRC1 \ = \ $

$\rm CRC2 \ = \ $

$\rm CRC3 \ = \ $

3

Am Empfänger kommen folgende Bitfolgen an,  jeweils acht Informationsbits plus  $\text{(CRC3, CRC2, CRC1,CRC0)}$.
Welche dieser Bitfolgen zeigen an,  dass kein Bitfehler vorliegt?

$1011 \hspace{0.1cm}0010\hspace{0.08cm} 1011$,
$1011 \hspace{0.1cm}0110 \hspace{0.08cm}1011$,
$1011 \hspace{0.1cm}0110\hspace{0.08cm} 1001$.

4

Welche der empfangenen Bitfolgen wurden bei der Übertragung verfälscht?

$0000 \hspace{0.1cm}0111 \hspace{0.1cm}0010$,
$0000 \hspace{0.1cm}1111\hspace{0.1cm} 0010$,
$0000\hspace{0.1cm} 1111\hspace{0.1cm} 1010$.


Musterlösung

(1)  Richtig ist  der Lösungsvorschlag 2:

  • Aufgrund des größten Zählerexponenten  $(D^{11})$  und des höchsten Nennerexponenten  $(D^{4})$  kann der erste Vorschlag  $E(D) = D^{5} + D^{3} + 1$  als Ergebnis ausgeschlossen werden   ⇒   $E(D) = D^{7} + D^{5} + D^{3} + 1$.
  • Die Modulo–2–Multiplikation von  $E(D)$  mit dem Generatorpolynom  $G(D) = D^{4} + D + 1$  liefert:
$$E(D) \cdot G(D) \ = \ (D^7+ D^5+D^3+1)\cdot (D^4+ D+1) \ = D^{11}+D^8+D^7+D^9+D^6+D^5+D^7+D^4+D^3+D^4+ D+1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Zu berücksichtigen ist hierbei,  dass bei Modulo–2–Rechnungen  $D^{4} + D^{4} = 0$  gilt.  Damit ergibt sich der folgende Rest:
$$R(D) = D^{11}+D^9+D^8+D^6+D^5- E(D) \cdot G(D) = D^3+D+1 \hspace{0.05cm}.$$


Registerbelegungen bei CRC4

(2)  Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe  (1)  folgt:

$${\rm CRC0 = 1},\hspace{0.2cm}{\rm CRC1 = 1},\hspace{0.2cm}{\rm CRC2 = 0},\hspace{0.2cm}{\rm CRC3 = 1}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Tabelle zeigt einen zweiten Lösungsweg auf.
  • Sie enthält die Registerbelegungen der gegebenen Schaltung zu den Zeiten  $0$, ... , $8$.


(3)  Richtig ist nur der  Lösungsvorschlag 2:

  • Der Empfänger teilt das Polynom  $P(D)$  der Empfangsfolge durch das Generatorpolynom  $G(D)$.
  • Liefert diese Modulo–2–Division den Rest  $R(D) = 0$,  so wurden alle  $12$  Bit richtig übertragen.
  • Dies trifft für den zweiten Lösungsvorschlag zu,  wie ein Vergleich mit den Teilaufgaben  (1)  und  (2)  zeigt.  Es gilt ohne Rest:
$$(D^{11}+D^9+D^8+D^6+D^5+D^3+D+1) : (D^4+ D+1)= D^7+D^5+D^3+1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Hinweis:  Bei Lösungsvorschlag 1 wurde das 6. Informationsbit verfälscht, beim Lösungsvorschlag 3 das CRC1–Bit.


Polynomdivision der drei Empfangsfolgen

(4)  Richtig sind  die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Die Grafik verdeutlicht die Modulo–2–Divisionen für die gegebenen Empfangsfolgen in vereinfachter Form  (mit Nullen und Einsen):
  • Man erkennt,  dass nur bei der Folge 2 die Division ohne Rest möglich ist.
  • In ausgeschriebener Form lauten die Polynomdivisionen:

$$\ (1) \ \hspace{0.2cm}(D^6+D^5+D^4+1) : (D^4+ D+1)$$

$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{Rest:}\hspace{0.15cm}D^3+ D+1\hspace{0.05cm},$$

$$\ (2) \ \hspace{0.2cm}(D^7+D^6+D^5+D^4+1) : (D^4+ D+1)$$

$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{Rest:}\hspace{0.15cm}0\hspace{0.05cm},$$

$$\ (3) \ \hspace{0.2cm}(D^7+D^6+D^5+D^4+D^3+1) : (D^4+ D+1)$$

$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{Rest:}\hspace{0.15cm}D^3\hspace{0.05cm}.$$