Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Mehrwege-Szenario: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2169__Mob_Z_2_5.png|right|frame|Mobilfunk–Szenario mit 3 Pfaden]]
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In [[Aufgaben:2.5_Scatter-Funktion| Aufgabe A2.5]] war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben. Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren. Die Vorgabe für die Scatterfunktion $s(\tau_0, f_{\rm D})$ lautete:
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In  [[Aufgaben:2.5_Scatter-Funktion| Aufgabe 2.5]]  war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben.  Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren.  Die Vorgabe für die Scatterfunktion  $s(\tau_0, f_{\rm D})$  lautete:
:$$s(\tau_0, f_{\rm D}) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})$$
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:$$s(\tau_0,\ f_{\rm D}) =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \ - \ $$
:$$\hspace{-0.2cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz})$$
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:$$\hspace{-0.2cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D}\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz})  
 
 
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''Hinweis:'' In unserem Lerntutorial wird $s(\tau_0, f_{\rm D})$ auch mit $\eta_{\rm VD}(\tau_0, f_{\rm D})$ bezeichnet.
 
  
Wir haben hier die Verzögerungsvariable $\tau$ durch $\tau_0$ ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable $\tau_0$ die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit $\tau_1$ des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch $\tau_0 = 0$ gekennzeichnet.
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''Hinweis:''   In unserem Lerntutorial wird  $s(\tau_0, \hspace{0.1cm}  f_{\rm D})$  auch mit  $\eta_{\rm VD}(\tau_0, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$  bezeichnet.  
  
Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich dieses Scatterfunktion auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:
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Wir haben hier die Verzögerungsvariable  $\tau$  durch  $\tau_0$  ersetzt.  Dabei beschreibt die neue Variable  $\tau_0$  die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit  $\tau_1$  des Hauptpfades.  Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch  $\tau_0 = 0$  gekennzeichnet.
* Gesendet wird eine einzige Frequenz $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
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* Der mobile Empfänger (E) ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender (S) zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
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Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich diese Scatterfunktion auftreten würde.  Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:
* Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger. Reflexionen an denHindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um $\pi$.
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* Gesendet wird eine einzige Frequenz  $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
* ${\rm S}_2$ und ${\rm S}_3$ sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel $\alpha_2$ und $\alpha_3$ der Nebenpfade ermittelt werden können.
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* Der mobile Empfänger  $\rm (E)$  ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt.  Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender  $\rm (S)$  zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
* Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz $f_{\rm S}$, dem Winkel $\alpha$, der Geschwindigkeit $\upsilon$ und der Lichtgeschwindigkeit $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:
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* Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger.  Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um  $\pi$.
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* ${\rm S}_2$  und  ${\rm S}_3$  sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel  $\alpha_2$  und  $\alpha_3$  der Nebenpfade ermittelt werden können.
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* Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz  $f_{\rm S}$, dem Winkel  $\alpha$, der Geschwindigkeit  $v$  und der Lichtgeschwindigkeit  $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:
 
:$$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha)
 
:$$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha)
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
* Die Dämpfungsfaktoren $k_1$, $k_2$ und $k_3$ sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen $d_1$, und $d_2$ und $d_3$. Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$: Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz $d$ ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit $d$.
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* Die Dämpfungsfaktoren  $k_1$,  $k_2$  und  $k_3$  sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen  $d_1$,  $d_2$  und  $d_3$.  Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten  $\gamma = 2$.
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*Das bedeutet:   Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz  $d$  ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit  $d$.
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS–Kanalmodell]] und bezieht sich auf das [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung#Gebr.C3.A4uchliches_Pfadverlustmodell| Pfadverlustmodell]] und den [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh-Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| Dopplereffekt]].
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS–Kanalmodell]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf das  [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung#Gebr.C3.A4uchliches_Pfadverlustmodell| Pfadverlustmodell]]  und den  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh-Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| Dopplereffekt]].
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
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{Multiple-Choice
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{Betrachten Sie zunächst nur die Diracfunktion bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$.&nbsp; Welche Aussagen gelten für den Empfänger?
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- Der Empfänger steht.
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+ Der Empfänger fährt direkt auf den Sender zu.
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- Der Empfänger entfernt sich in Gegenrichtung zum Sender.
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{Wie groß ist die Fahrzeuggeschwindigkeit?
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$v \ = \ ${ 54 3% } $\ \rm km/h$
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{Welche Aussagen gelten für den Dirac bei&nbsp; $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; und&nbsp;  $f_{\rm D} = +50 \ \rm Hz$?
 
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+
+ Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad.
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- Der Winkel&nbsp; beträgt&nbsp; $30^\circ$.
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{Input-Box Frage
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{Welche Aussagen gelten für den grünen Pfad?
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+ Für diesen gilt&nbsp; $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm D} = \, &ndash;50 \ \rm Hz$.
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- Der Winkel&nbsp; $\alpha_3$&nbsp; (siehe Grafik) beträgt&nbsp; $60^\circ$.
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+ Der Winkel&nbsp; $\alpha_3$&nbsp; beträgt&nbsp; $240^\circ$.
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 +
{Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Nebenpfaden?
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+ Es gilt&nbsp; $d_3 = d_2$.
 +
+ Es gilt&nbsp; $k_3 = k_2$.
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+ Es gilt&nbsp; $\tau_3 = \tau_2$.
 +
 
 +
{Wie groß ist die Laufzeitdifferenz&nbsp; $\Delta d = d_2 - d_1$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$xyz \ = \ ${ 5.4 3% } $ab$
+
$\Delta d \ = \ ${ 300 3% } $\ \rm m$
 +
 
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{Welches Verhältnis besteht zwischen&nbsp; $d_2$&nbsp; und&nbsp; $d_1$?
 +
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 +
$d_2/d_1 \ = \ ${ 1.414 3% }
 +
 
 +
{Geben Sie die Distanzen&nbsp; $d_1$&nbsp; und&nbsp; $d_2$&nbsp; an.
 +
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$d_1 \ = \ ${ 724 3% } $\ \rm m$
 +
$d_2 \ = \ ${ 1024 3% } $\ \rm m$
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  
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'''(1)'''&nbsp; Die Dopplerfrequenz ist für&nbsp; $\tau_0$&nbsp; positiv.&nbsp; Das heißt, dass sich der Empfänger auf den Sender zu bewegt &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Aussage 2</u>.
'''(2)'''&nbsp;  
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'''(3)'''&nbsp;  
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'''(4)'''&nbsp;  
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'''(5)'''&nbsp;  
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'''(2)'''&nbsp; Die Gleichung für die Dopplerfrequenz lautet allgemein bzw. für den Winke&nbsp;l $\alpha = 0$:
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:$$f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha)
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\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\alpha = 0 \hspace{0.05cm}{\rm :} \hspace{0.15cm}f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S}\hspace{0.05cm}.$$
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*Daraus erhält man für die Geschwindigkeit:
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:$$v = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot c = \frac{10^2\,{\rm Hz}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}} \cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s} = 15\,{\rm m/s}
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  \hspace{0.05cm}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
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*Die Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$&nbsp; rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender&nbsp; ${\rm S}_2$&nbsp; (beim Reflexionspunkt)&nbsp; zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung.
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*Der Winkel&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie&nbsp; ${\rm S_2 - E}$&nbsp; beträgt&nbsp; $60^\circ$:
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:$$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}}  = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2
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  \hspace{0.1cm} \underline {= 60^{\circ} }
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  \hspace{0.05cm}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:
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*Aus&nbsp; $f_{\rm D} = \, &ndash;50 \ \rm Hz$&nbsp; folgt&nbsp; $\alpha_3 = \alpha_2 &plusmn; \pi$,&nbsp; also&nbsp; $\alpha_3 \ \underline {= 240^\circ}$.
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'''(5)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen stimmen</u>:
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*Die beiden Diracfunktionen bei&nbsp; $&plusmn; 50 \ \rm Hz$&nbsp; haben die gleiche Laufzeit.&nbsp; Für beide Laufzeiten gilt&nbsp; $\tau_3 = \tau_2 = \tau_1 + \tau_0$.
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*Aus der gleichen Laufzeit folgt aber auch&nbsp; $d_3 = d_2$&nbsp; und bei gleicher Länge auch die gleichen Dämpfungsfaktoren.
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'''(6)'''&nbsp; Die Laufzeitdifferenz ist&nbsp; $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$, wie aus der Gleichung für&nbsp; $s(\tau_0,\ f_{\rm D})$&nbsp; hervorgeht.
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* Damit ergibt sich die Längendifferenz:
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:$$\Delta d = \tau_0 \cdot c = 10^{&ndash;6} {\rm s} \cdot 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s \ \underline {= 300 \ \rm m}.$$
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'''(7)'''&nbsp; Der Pfadverlustexponent wurde für diese Aufgabe zu&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; vorausgesetzt.
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*Dann gilt&nbsp; $k_1 = K/d_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2 = K/d_2$.
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*Das Minuszeichen berücksichtigt hierbei die&nbsp; $180^\circ$&ndash;Phasendrehung auf den Nebenpfaden.
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*Aus den Gewichten der Diracfunktionen kann man&nbsp; $k_1 = \sqrt{0.5}$&nbsp; und&nbsp; $k_2 = -0.5$&nbsp; ablesen.&nbsp; Daraus folgt:
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*Die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; ist lediglich eine Hilfsgröße, die nicht weiter betrachtet werden muss.
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'''(8)'''&nbsp; Aus&nbsp; $d_2/d_1 = 2^{-0.5}$&nbsp; und&nbsp; $\Delta d = d_2 \, - d_1 = 300 \ \rm m$&nbsp; folgt schließlich:
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:$$\sqrt{2} \cdot d_1 - d_1 = 300\,{\rm m} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
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  d_1 = \frac{300\,{\rm m}}{\sqrt{2}  - 1}  \hspace{0.15cm} \underline {= 724\,{\rm m}}
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  \hspace{0.05cm}. $$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 25. Mai 2020, 14:56 Uhr

Mobilfunk–Szenario mit drei Pfaden

In  Aufgabe 2.5  war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben.  Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren.  Die Vorgabe für die Scatterfunktion  $s(\tau_0, f_{\rm D})$  lautete:

$$s(\tau_0,\ f_{\rm D}) =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \ - \ $$
$$\hspace{1.5cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm µ s}) \cdot \delta (f_{\rm D} \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \ - \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm µ s}) \cdot \delta (f_{\rm D}\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$


Hinweis:   In unserem Lerntutorial wird  $s(\tau_0, \hspace{0.1cm} f_{\rm D})$  auch mit  $\eta_{\rm VD}(\tau_0, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$  bezeichnet.

Wir haben hier die Verzögerungsvariable  $\tau$  durch  $\tau_0$  ersetzt.  Dabei beschreibt die neue Variable  $\tau_0$  die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit  $\tau_1$  des Hauptpfades.  Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch  $\tau_0 = 0$  gekennzeichnet.

Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich diese Scatterfunktion auftreten würde.  Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:

  • Gesendet wird eine einzige Frequenz  $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
  • Der mobile Empfänger  $\rm (E)$  ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt.  Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender  $\rm (S)$  zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
  • Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger.  Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um  $\pi$.
  • ${\rm S}_2$  und  ${\rm S}_3$  sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel  $\alpha_2$  und  $\alpha_3$  der Nebenpfade ermittelt werden können.
  • Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz  $f_{\rm S}$, dem Winkel  $\alpha$, der Geschwindigkeit  $v$  und der Lichtgeschwindigkeit  $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:
$$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Dämpfungsfaktoren  $k_1$,  $k_2$  und  $k_3$  sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen  $d_1$,  $d_2$  und  $d_3$.  Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten  $\gamma = 2$.
  • Das bedeutet:   Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz  $d$  ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit  $d$.






Hinweise:



Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst nur die Diracfunktion bei  $\tau = 0$  und  $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$.  Welche Aussagen gelten für den Empfänger?

Der Empfänger steht.
Der Empfänger fährt direkt auf den Sender zu.
Der Empfänger entfernt sich in Gegenrichtung zum Sender.

2

Wie groß ist die Fahrzeuggeschwindigkeit?

$v \ = \ $

$\ \rm km/h$

3

Welche Aussagen gelten für den Dirac bei  $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$  und  $f_{\rm D} = +50 \ \rm Hz$?

Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad.
Dieser Dirac stammt vom grünen Pfad.
Der Winkel  beträgt  $30^\circ$.
Der Winkel  beträgt  $60^\circ$.

4

Welche Aussagen gelten für den grünen Pfad?

Für diesen gilt  $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$  und  $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$.
Der Winkel  $\alpha_3$  (siehe Grafik) beträgt  $60^\circ$.
Der Winkel  $\alpha_3$  beträgt  $240^\circ$.

5

Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Nebenpfaden?

Es gilt  $d_3 = d_2$.
Es gilt  $k_3 = k_2$.
Es gilt  $\tau_3 = \tau_2$.

6

Wie groß ist die Laufzeitdifferenz  $\Delta d = d_2 - d_1$?

$\Delta d \ = \ $

$\ \rm m$

7

Welches Verhältnis besteht zwischen  $d_2$  und  $d_1$?

$d_2/d_1 \ = \ $

8

Geben Sie die Distanzen  $d_1$  und  $d_2$  an.

$d_1 \ = \ $

$\ \rm m$
$d_2 \ = \ $

$\ \rm m$


Musterlösung

(1)  Die Dopplerfrequenz ist für  $\tau_0$  positiv.  Das heißt, dass sich der Empfänger auf den Sender zu bewegt   ⇒   Aussage 2.


(2)  Die Gleichung für die Dopplerfrequenz lautet allgemein bzw. für den Winke l $\alpha = 0$:

$$f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\alpha = 0 \hspace{0.05cm}{\rm :} \hspace{0.15cm}f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S}\hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus erhält man für die Geschwindigkeit:
$$v = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot c = \frac{10^2\,{\rm Hz}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}} \cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s} = 15\,{\rm m/s} \hspace{0.1cm} \underline {= 54 \,{\rm km/h}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

  • Die Dopplerfrequenz  $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$  rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender  ${\rm S}_2$  (beim Reflexionspunkt)  zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung.
  • Der Winkel  $\alpha_2$  zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie  ${\rm S_2 - E}$  beträgt  $60^\circ$:
$$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 60^{\circ} } \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

  • Aus  $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$  folgt  $\alpha_3 = \alpha_2 ± \pi$,  also  $\alpha_3 \ \underline {= 240^\circ}$.



(5)  Alle Aussagen stimmen:

  • Die beiden Diracfunktionen bei  $± 50 \ \rm Hz$  haben die gleiche Laufzeit.  Für beide Laufzeiten gilt  $\tau_3 = \tau_2 = \tau_1 + \tau_0$.
  • Aus der gleichen Laufzeit folgt aber auch  $d_3 = d_2$  und bei gleicher Länge auch die gleichen Dämpfungsfaktoren.



(6)  Die Laufzeitdifferenz ist  $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$, wie aus der Gleichung für  $s(\tau_0,\ f_{\rm D})$  hervorgeht.

  • Damit ergibt sich die Längendifferenz:
$$\Delta d = \tau_0 \cdot c = 10^{–6} {\rm s} \cdot 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s \ \underline {= 300 \ \rm m}.$$


(7)  Der Pfadverlustexponent wurde für diese Aufgabe zu  $\gamma = 2$  vorausgesetzt.

  • Dann gilt  $k_1 = K/d_1$  und  $k_2 = K/d_2$.
  • Das Minuszeichen berücksichtigt hierbei die  $180^\circ$–Phasendrehung auf den Nebenpfaden.
  • Aus den Gewichten der Diracfunktionen kann man  $k_1 = \sqrt{0.5}$  und  $k_2 = -0.5$  ablesen.  Daraus folgt:
$$\frac{d_2}{d_1} = \frac{k_1}{-k_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{0.5} = \sqrt{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.414} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Konstante  $K$  ist lediglich eine Hilfsgröße, die nicht weiter betrachtet werden muss.


(8)  Aus  $d_2/d_1 = 2^{-0.5}$  und  $\Delta d = d_2 \, - d_1 = 300 \ \rm m$  folgt schließlich:

$$\sqrt{2} \cdot d_1 - d_1 = 300\,{\rm m} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_1 = \frac{300\,{\rm m}}{\sqrt{2} - 1} \hspace{0.15cm} \underline {= 724\,{\rm m}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_2 = \sqrt{2} \cdot d_1 \hspace{0.15cm} \underline {= 1024\,{\rm m}} \hspace{0.05cm}. $$