Die Seite wurde neu angelegt: „{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Soft–in Soft–out Decoder }} [[Datei:|right|]] ===Fragebogen=== <quiz display=simple> {Multiple-Choice Fr…“
Den Begriff „$S$–Wert” haben wir kreiert, um die folgenden Fragen griffiger formulieren zu können. In der Literatur findet man hierfür manchmal die Bezeichung „Soft Bit”.
Wie in Teilaufgabe '''(1)''' gezeigt werden soll, können $L(x)$ und $S(x)$ ineinander umgerechnet werden.
Anschließend sollen diese Funktionen zur Berechnung der folgenden Größen herangezogen werden, wobei stets von der Codelänge $n = 3$ ausgegangen wird:
* der extrinsische $L$–Wert für das dritte Symbol ⇒ $L_{\rm E}(x_3)$,
* der Aposteriori–$L$–Wert für das dritte Symbol ⇒ $L_{\rm APP}(x_3)$.
Die Berechnung soll für folgende Codes erfolgen:
* den Wiederholungscode [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes|$\text{RC (3, 1, 3)}$]] mit der Nebenbedingung $\sign {(x_1)} = \sign {(x_2)} = \sign {(x_3)}$,
* den Single Parity–Code ⇒ [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29|$\text{SPC (3, 2, 2)}$]] mit der Nebenbedingung $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = +1$.
}}
[[Datei:|right|]]
''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft–in Soft–out Decoder]].
* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio]].
* Zur Lösung benötigen Sie den <i>Tangens Hyperbolikus</i> entsprechend folgender Definition (diese Funktion ist oben in Tabellenform angegeben):
{Welcher Zusammenhang besteht zwischen $S$–Wert und $L$–Wert?
|type="[]"}
|type="[]"}
- Falsch
- $S(x) = \tanh {(L(x))}$,
+ Richtig
+ $S(x) = \tanh {(L(x)/2)}$,
+ $L(x) = 2 \cdot \tanh^{-1}{(S(x))}$.
{Betrachtet wird der $\text{RC (3, 1, 3)}$. Für die Apriori–$L$–Werte gelte $\underline{L}_{\rm A} = (+2, -1, +3)$. Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert für das Symbol $x_3$?
|type="{}"}
$L_{\rm E}(x_3) \ = \ ${ 1 3% }
{Input-Box Frage
{Wie groß ist in diesem Fall der Aposteriori–$L$–Wert für das Symbol $x_3$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
$L_{\rm APP}(x_3) \ = \ ${ 4 3% }
{Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert beim $\text{SPC (3, 2, 2)}$? Es gelte weiterhin $\underline{L}_{\rm A} = (+2, -1, +3)$.
|type="{}"}
$L_{\rm E}(x_3) \ = \ ${ -0.757256--0.713144 }
{Die Apriori–Wahrscheinlichkeiten seien nun $0.3, \ 0.8$ und $0.9$. Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert für den <i>Repetition Code</i>?
|type="{}"}
$L_{\rm E}(x_3) \ = \ ${ 0.535 3% }
{Welcher extrinsische $L$–Wert ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen wie in '''(5)''' für den <i>Single Parity–check Code</i>?
|type="{}"}
$L_{\rm E}(x_3) \ = \ ${ 0.49 3% }
</quiz>
</quiz>
===Musterlösung===
===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''1.'''
'''(1)''' Für die binäre Zufallsgröße $x ∈ \{+1, -1\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten
Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>. Die Tabelle zeigt den $L$–Wert $S$–Wert für einige Wahrscheinlichkeiten $p = {\rm Pr}(x=+1)$.
'''(2)''' Der extrinsische $L$–Wert für das Symbol $x_3$ berücksichtigt nur die Apriori–$L$–Werte $L_{\rm A}(x_1)$ und $L_{\rm A}(x_2)$, nicht jedoch $L_{\rm A}(x_3)$.
*Beim (3, 1) <i>Repetition Code</i> ergibt sich hierfür:
[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder
Benutzt wurden hierbei die $L$–Werte entsprechend der Tabelle zur Teilaufgabe (1), zum Beispiel ${\rm Pr}(x_1 = +1) = 0.3$ ⇒ $L_{\rm A}(x_1) = -0.847$.
'''(6)''' Nachdem hier anstelle der Apriori–$L$–Werte die Apriori–Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, kommt man gegenüber der Teilaufgabe (4) auf dem Umweg über den extrinsischen $S$–Wert schneller zum Erfolg.
*Die extrinsische Wahrscheinlichkeit für das dritte Symbol bezeichnen wir hier mit $P_{\rm E}(x_3)$. Für diese gilt:
Den Begriff „$S$–Wert” haben wir kreiert, um die folgenden Fragen griffiger formulieren zu können. In der Literatur findet man hierfür manchmal die Bezeichung „Soft Bit”.
Wie in Teilaufgabe (1) gezeigt werden soll, können $L(x)$ und $S(x)$ ineinander umgerechnet werden.
Anschließend sollen diese Funktionen zur Berechnung der folgenden Größen herangezogen werden, wobei stets von der Codelänge $n = 3$ ausgegangen wird:
der extrinsische $L$–Wert für das dritte Symbol ⇒ $L_{\rm E}(x_3)$,
der Aposteriori–$L$–Wert für das dritte Symbol ⇒ $L_{\rm APP}(x_3)$.
Die Berechnung soll für folgende Codes erfolgen:
den Wiederholungscode $\text{RC (3, 1, 3)}$ mit der Nebenbedingung $\sign {(x_1)} = \sign {(x_2)} = \sign {(x_3)}$,
den Single Parity–Code ⇒ $\text{SPC (3, 2, 2)}$ mit der Nebenbedingung $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = +1$.
Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 3. Die Tabelle zeigt den $L$–Wert $S$–Wert für einige Wahrscheinlichkeiten $p = {\rm Pr}(x=+1)$.
(2) Der extrinsische $L$–Wert für das Symbol $x_3$ berücksichtigt nur die Apriori–$L$–Werte $L_{\rm A}(x_1)$ und $L_{\rm A}(x_2)$, nicht jedoch $L_{\rm A}(x_3)$.
Benutzt wurden hierbei die $L$–Werte entsprechend der Tabelle zur Teilaufgabe (1), zum Beispiel ${\rm Pr}(x_1 = +1) = 0.3$ ⇒ $L_{\rm A}(x_1) = -0.847$.
(6) Nachdem hier anstelle der Apriori–$L$–Werte die Apriori–Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, kommt man gegenüber der Teilaufgabe (4) auf dem Umweg über den extrinsischen $S$–Wert schneller zum Erfolg.
Die extrinsische Wahrscheinlichkeit für das dritte Symbol bezeichnen wir hier mit $P_{\rm E}(x_3)$. Für diese gilt:
