Aufgaben:Aufgabe 4.06Z: Signalraumkonstellationen: Unterschied zwischen den Versionen
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Hierzu ist anzumerken: | Hierzu ist anzumerken: | ||
− | * ${\rm Q}(x)$ bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion (Definition und Approximation): | + | * ${\rm Q}(x)$ bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion (Definition und Approximation): |
:$${\rm Q}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u | :$${\rm Q}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u | ||
− | \approx | + | \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} |
− | |||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | * $d$ gibt den Abstand der beiden Sendesignalpunkte $s_0$ und $s_1$ im | + | * $d$ gibt den Abstand der beiden Sendesignalpunkte $s_0$ und $s_1$ im Vektorraum an: |
:$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | * $\sigma_n^2$ ist die Varianz des AWGN–Rauschens nach dem Detektor, der zum Beispiel als Matched–Filter realisiert sein kann. Es gelte $\sigma_n^2 = N_0/2$. | + | * $\sigma_n^2$ ist die Varianz des AWGN–Rauschens nach dem Detektor, der zum Beispiel als Matched–Filter realisiert sein kann. <br>Es gelte $\sigma_n^2 = N_0/2$. |
+ | Durch die Grafik sind drei unterschiedliche Signalraumkonstellationen gegeben, nämlich | ||
+ | * Variante $\rm A$: $s_0 = (+1, \, +5), \hspace{0.4cm} s_1 = (+4, \, +1)$, | ||
+ | * Variante $\rm B$: $s_0 = (-1.5, \, +2), \, s_1 = (+1.5, \, -2)$, | ||
+ | * Variante $\rm C$: $s_0 = (-2.5, \, 0), \hspace{0.45cm} s_1 = (+2.5, \, 0)$. | ||
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− | + | Die jeweils mittlere Energie pro Symbol $(E_{\rm S})$ kann wie folgt berechnet werden: | |
− | + | :$$E_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot || \boldsymbol{ s }_0||^2 + | |
− | + | {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot || \boldsymbol{ s }_1||^2\hspace{0.05cm}.$$ | |
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− | * Die Aufgabe gehört zum | + | Hinweise: |
− | * Wenn | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]]. |
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+ | * Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden. | ||
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+ | * Wenn keine anderslautende Angabe gemacht ist, so kann von gleichwahrscheinlichen Symbolen ausgegangen werden: | ||
:$${\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) = 0.5\hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) = 0.5\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | { | + | {Welche Voraussetzungen müssen unbedingt (auf jeden Fall) erfüllt sein, damit die angegebene Fehlerwahrscheinlichkeitsgleichung gilt? |
+ | |type="[]"} | ||
+ | + Additives weißes Gaußsches Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$. | ||
+ | + Optimaler Binärempfänger. | ||
+ | + Entscheidungsgrenze in der Mitte zwischen den Symbolen. | ||
+ | - Gleischwahrscheinliche Symbole $s_0$ und $s_1$. | ||
+ | |||
+ | {Welche Aussage gilt für die Fehlerwahrscheinlichkeit mit $\sigma_n^2 = E$? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | - Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante $\rm A$ auf. | |
− | - | + | - Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante $\rm B$ auf. |
+ | - Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante $\rm C$ auf. | ||
+ | + Alle Varianten zeigen gleiches Fehlerverhalten. | ||
− | { | + | {Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Variante $\rm A$ mit $\sigma_n^2 = E$ an. Sie können ${\rm Q}(x)$ entsprechend der Näherung berechnen. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$ |
+ | |||
+ | {Es gelte $N_0 = 2 \cdot 10^{\rm –6} \ {\rm W/Hz}$, $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$. Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Variante $\rm C$ bei gleichwahrscheinlichen Symbolen? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$ | ||
+ | |||
+ | {Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen für die Variante $\rm B$? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$ | ||
+ | |||
+ | {Wie groß ist bei der Variante $\rm A$ die mittlere Energie pro Symbol $(E_{\rm S})$ zu wählen, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei System $\rm C$ zu erhalten? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $E_{\rm S} \ = \ $ { 21.5 3% } $\ \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$ | ||
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' | + | '''(1)''' Die <u>drei erstgenannten Voraussetzungen</u> müssen auf jeden Fall erfüllt sein: |
− | '''(2)''' | + | *Die Gleichung gilt dann unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten. |
− | '''(3)''' | + | *Im Fall ${\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_0) ≠ {\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_1)$ kann durch eine Verschiebung der Entscheiderschwelle eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden. |
− | '''(4)''' | + | |
− | '''(5)''' | + | |
+ | |||
+ | '''(2)''' Der Rauscheffektivwert $\sigma_n$ und damit auch die Signalenergie $E = \sigma_n^2$ sind für alle drei betrachteten Varianten gleich. Gleiches gilt für die Distanz der Signalraumpunkte. Für die Variante $\rm A$ gilt zum Beispiel: | ||
+ | :$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} = \sqrt{ E \cdot (4-1)^2 + E \cdot (1-5)^2} = 5 \cdot \sqrt{E}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ nichts (Variante $\rm B$), und auch bei Variante $\rm C$ (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand. | ||
+ | |||
+ | *Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 4</u>. Kommentar: | ||
+ | #Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann man bei einem Binärsystem $(M = 2)$ stets mit einer Basisfunktion $(N = 1)$ auskommen. | ||
+ | #Da das zweidimensionale Rauschen zirkulär symmetrisch ist ⇒ gleiche Streuung $\sigma_n$ in alle Richtungen, kann auch der Rauschterm wie im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]] eindimensional beschrieben werden. | ||
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+ | '''(3)''' Für alle hier betrachteten Varianten gilt, also auch für die Variante $\rm A$: | ||
+ | :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )= {\rm Q} \left ( \frac{5/2 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right ) | ||
+ | = {\rm Q}(2.5)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | *Mit der angegebenen Näherung erhält man | ||
+ | :$$p_{\rm S} = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 2.5} \cdot {\rm e}^{-2.5^2/2} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | '''(4)''' Bei der Variante $\rm C$ ergibt sich für die mittlere Energie pro Symbol: | ||
+ | :$$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot (-2.5 \cdot \sqrt{E})^2 + | ||
+ | {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot (+ 2.5 \cdot \sqrt{E})^2 = | ||
+ | \left [ {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \right ] \cdot 6.25 \cdot E = 6.25 \cdot E$$ | ||
+ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} E = \frac {E_{\rm S}}{6.25} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{E}= \frac {\sqrt{E_{\rm S}}}{2.5} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Setzt man dieses Ergebnis in die unter '''(3)''' gefundene Gleichung ein, so erhält man mit $\sigma_n^2 = N_0/2$: | ||
+ | :$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{\sigma_n} \right ) | ||
+ | = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{2 \cdot E_{\rm S}}}{N_0} \right ) ={\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{ 2 \cdot 6.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm W/Hz}}} \right ) | ||
+ | ={\rm Q}(2.5) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}. $$ | ||
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+ | '''(5)''' Durch Drehung des Koordinatensystems ändert sich nichts an den Energieverhältnissen. Deshalb erhält man wieder $p_{\rm S} \ \underline {\approx 0.7\%}$. | ||
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+ | '''(6)''' Bei der Variante $\rm A$ ist die mittlere Energie pro Symbol | ||
+ | :$$E_{\rm S} = {1}/{2} \cdot \left [ (1^2 + 5^2) \cdot E + (4^2 + 1^2) \cdot E \right ] = 21.5 \cdot E | ||
+ | \hspace{0.05cm}. $$ | ||
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+ | *Der Abstand von der Schwelle, die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ liegen sollte, ist wie bei den anderen Varianten $d/2 = 2.5 \cdot E^{\rm 1/2}$. Mit $\sigma_n^2 = N_0/2$ erhält man somit die Bestimmungsgleichung: | ||
+ | :$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ 2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sqrt{N_0/2}} \right ) | ||
+ | ={\rm Q}(2.5)\approx 0.7 \cdot 10^{-2} \hspace{0.3cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{\frac {2E}{N_0}} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {E}{N_0} = 0.5 | ||
+ | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {E_{\rm S}}{21.5 \cdot N_0} = 0.5$$ | ||
+ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm S}} = 0.5 \cdot {21.5 \cdot N_0} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 21.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Das bedeutet: Bei der Variante $\rm A$ ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor $3.44$ größere mittlere Symbolenergie $E_{\rm S}$ erforderlich, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 0.7%$ zu erzielen. Kommentar: | ||
+ | #Diese Signalraumkonstellation ist sehr ungünstig. Es ergibt sich ein sehr großes $E_{\rm S}$, ohne dass gleichzeitig der Abstand $d$ vergrößert wird. | ||
+ | #Mit $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$ würde sich dagegen $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$ ergeben. | ||
+ | #Das heißt: Die Fehlerwahrscheinlichkeit würde um mehr als eine Zehnerpotenz größer. | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 28. Juli 2022, 13:57 Uhr
Die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Binärsystems lautet:
- $$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )\hspace{0.05cm}.$$
Hierzu ist anzumerken:
- ${\rm Q}(x)$ bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion (Definition und Approximation):
- $${\rm Q}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
- $d$ gibt den Abstand der beiden Sendesignalpunkte $s_0$ und $s_1$ im Vektorraum an:
- $$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} \hspace{0.05cm}.$$
- $\sigma_n^2$ ist die Varianz des AWGN–Rauschens nach dem Detektor, der zum Beispiel als Matched–Filter realisiert sein kann.
Es gelte $\sigma_n^2 = N_0/2$.
Durch die Grafik sind drei unterschiedliche Signalraumkonstellationen gegeben, nämlich
- Variante $\rm A$: $s_0 = (+1, \, +5), \hspace{0.4cm} s_1 = (+4, \, +1)$,
- Variante $\rm B$: $s_0 = (-1.5, \, +2), \, s_1 = (+1.5, \, -2)$,
- Variante $\rm C$: $s_0 = (-2.5, \, 0), \hspace{0.45cm} s_1 = (+2.5, \, 0)$.
Die jeweils mittlere Energie pro Symbol $(E_{\rm S})$ kann wie folgt berechnet werden:
- $$E_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot || \boldsymbol{ s }_0||^2 + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot || \boldsymbol{ s }_1||^2\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit".
- Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden.
- Wenn keine anderslautende Angabe gemacht ist, so kann von gleichwahrscheinlichen Symbolen ausgegangen werden:
- $${\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) = 0.5\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- Die Gleichung gilt dann unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten.
- Im Fall ${\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_0) ≠ {\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_1)$ kann durch eine Verschiebung der Entscheiderschwelle eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden.
(2) Der Rauscheffektivwert $\sigma_n$ und damit auch die Signalenergie $E = \sigma_n^2$ sind für alle drei betrachteten Varianten gleich. Gleiches gilt für die Distanz der Signalraumpunkte. Für die Variante $\rm A$ gilt zum Beispiel:
- $$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} = \sqrt{ E \cdot (4-1)^2 + E \cdot (1-5)^2} = 5 \cdot \sqrt{E}\hspace{0.05cm}.$$
- Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ nichts (Variante $\rm B$), und auch bei Variante $\rm C$ (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand.
- Richtig ist also der Lösungsvorschlag 4. Kommentar:
- Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann man bei einem Binärsystem $(M = 2)$ stets mit einer Basisfunktion $(N = 1)$ auskommen.
- Da das zweidimensionale Rauschen zirkulär symmetrisch ist ⇒ gleiche Streuung $\sigma_n$ in alle Richtungen, kann auch der Rauschterm wie im Kapitel "Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung" eindimensional beschrieben werden.
(3) Für alle hier betrachteten Varianten gilt, also auch für die Variante $\rm A$:
- $$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )= {\rm Q} \left ( \frac{5/2 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q}(2.5)\hspace{0.05cm}.$$
- Mit der angegebenen Näherung erhält man
- $$p_{\rm S} = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 2.5} \cdot {\rm e}^{-2.5^2/2} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Bei der Variante $\rm C$ ergibt sich für die mittlere Energie pro Symbol:
- $$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot (-2.5 \cdot \sqrt{E})^2 + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot (+ 2.5 \cdot \sqrt{E})^2 = \left [ {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \right ] \cdot 6.25 \cdot E = 6.25 \cdot E$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} E = \frac {E_{\rm S}}{6.25} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{E}= \frac {\sqrt{E_{\rm S}}}{2.5} \hspace{0.05cm}.$$
- Setzt man dieses Ergebnis in die unter (3) gefundene Gleichung ein, so erhält man mit $\sigma_n^2 = N_0/2$:
- $$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{2 \cdot E_{\rm S}}}{N_0} \right ) ={\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{ 2 \cdot 6.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm W/Hz}}} \right ) ={\rm Q}(2.5) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}. $$
(5) Durch Drehung des Koordinatensystems ändert sich nichts an den Energieverhältnissen. Deshalb erhält man wieder $p_{\rm S} \ \underline {\approx 0.7\%}$.
(6) Bei der Variante $\rm A$ ist die mittlere Energie pro Symbol
- $$E_{\rm S} = {1}/{2} \cdot \left [ (1^2 + 5^2) \cdot E + (4^2 + 1^2) \cdot E \right ] = 21.5 \cdot E \hspace{0.05cm}. $$
- Der Abstand von der Schwelle, die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ liegen sollte, ist wie bei den anderen Varianten $d/2 = 2.5 \cdot E^{\rm 1/2}$. Mit $\sigma_n^2 = N_0/2$ erhält man somit die Bestimmungsgleichung:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ 2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sqrt{N_0/2}} \right ) ={\rm Q}(2.5)\approx 0.7 \cdot 10^{-2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{\frac {2E}{N_0}} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {E}{N_0} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {E_{\rm S}}{21.5 \cdot N_0} = 0.5$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm S}} = 0.5 \cdot {21.5 \cdot N_0} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 21.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
- Das bedeutet: Bei der Variante $\rm A$ ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor $3.44$ größere mittlere Symbolenergie $E_{\rm S}$ erforderlich, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 0.7%$ zu erzielen. Kommentar:
- Diese Signalraumkonstellation ist sehr ungünstig. Es ergibt sich ein sehr großes $E_{\rm S}$, ohne dass gleichzeitig der Abstand $d$ vergrößert wird.
- Mit $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$ würde sich dagegen $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$ ergeben.
- Das heißt: Die Fehlerwahrscheinlichkeit würde um mehr als eine Zehnerpotenz größer.