Betrachtet wird ein Impuls $g(t)$ mit Spektrum $G(f)$ gemäß Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:
Betrachtet wird ein Impuls $g(t)$ mit Spektrum $G(f)$ gemäß der Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Der Realteil von $G(f)$ verläuft trapezförmig mit den beiden Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \, \rm kHz$. Im Bereich $|f| < f_{1}$ gilt ${\rm Re}[G(f)] = A = 10^{-4} \, \rm V/Hz$.
*Der Realteil von $G(f)$ ist trapezförmig mit den Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \, \rm kHz$. Im Bereich $|f| < f_{1}$ gilt:
*Der Imaginärteil von $G(f)$ wird für die Teilaufgaben (1) bis (5) stets zu ${\rm Im}[G(f)] =0$ angenommen. In diesem Fall ist $g(t)$ sicher ein Nyquistimpuls.
:$${\rm Re}\big[G(f)\big] = A = 10^{-4} \, \rm V/Hz.$$
*Ab der Teilaufgabe (6) hat der Imaginärteil ${\rm Im}[G(f)]$ im Bereich $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$ einen Dreiecksverlauf mit den Werten $\pm B$ bei den Dreieckspitzen.
*Der Imaginärteil von $G(f)$ wird für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(5)''' stets zu ${\rm Im}\big[G(f)\big] =0$ angenommen. In diesem Fall ist $g(t)$ sicher ein Nyquistimpuls.
*Ab der Teilaufgabe '''(6)''' hat der Imaginärteil ${\rm Im}[G(f)]$ im Bereich $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$ einen Dreiecksverlauf mit den Werten $\pm B$ bei den Dreieckspitzen.
Zu prüfen ist, ob der Impuls $g(t)$ auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
Zu prüfen ist, ob der Impuls $g(t)$ auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|"Eigenschaften von Nyquistsystemen"]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
*Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte $g(t)$ eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff–Faktor $r$:
*Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte $g(t)$ eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff–Faktor $r$:
t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot r \cdot
t}/{T}\right).$$
*Ein dreieckförmiges Tiefpass–Spektrum $G(f)$, das auf $| f | < f_{0}$ begrenzt ist und bei dem $G(f = 0) = B$ gilt, führt nach Fourierrücktransformation zur Zeitfunktion
*Ein dreieckförmiges Tiefpass–Spektrum $G(f)$, das auf $| f | < f_{0}$ begrenzt ist und bei dem $G(f = 0) = B$ gilt, führt nach der Fourierrücktransformation zu folgender Zeitfunktion:
:$$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} {\rm si} (x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$
:$$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0
t}\right)\hspace{0.05cm}.$$
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<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Für die ersten Teilfragen gelte $B = 0$. Wie groß ist die Nyquistfrequenz?
{Für die ersten Teilfragen gelte $B = 0$. Wie groß ist die Nyquistfrequenz?
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|type="{}"}
$f_{\rm Nyq} \ = \ $ { 5 3% } $\ \rm kHz$
$f_{\rm Nyq} \ = \ $ { 5 3% } $\ \rm kHz$
{Welcher Rolloff–Faktor liegt hier vor?
{Welcher Rolloff–Faktor $r$ liegt hier vor?
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$r \ = \ $ { 0.4 3% }
$r \ = \ $ { 0.4 3% }
{Berechnen Sie den Maximalwert $g_{0}$ des Nyquistimpulses $g(t)$.
{Berechnen Sie den Maximalwert $g_{0}$ des Nyquistimpulses $g(t)$.
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$g_{0} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm V$
$g_{0} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm V$
{Berechnen Sie $g(t)$ für die Zeitpunkte $t = 100\ \mu \rm s$ und $t = 200\ \mu \rm s$.
{Es gelte weiter $B=0$. Berechnen Sie $g(t)$ für die Zeitpunkte $t = 100\, µ \rm s$ und $t = 200\, µ \rm s$.
{Welche Aussagen treffen für $B \neq 0$ zu? $G(f)$ ist dann komplexwertig.
{Welche Aussagen treffen für $B \neq 0$ zu? $G(f)$ ist dann komplexwertig.
|type="[]"}
|type="[]"}
+Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen $3 \ \rm kHz$ und $7 \ \rm kHz$ liegt.
+Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen $3 \, \rm kHz$ und $7 \, \rm kHz$ liegt.
- Die Nyquistbedingung wird auch erfüllt, wenn die Dreieckfunktion zwischen $3 \ \rm kHz$ und $5 \ \rm kHz$ liegt.
- Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen $3 \, \rm kHz$ und $5 \, \rm kHz$ liegt.
+ Die Nyquistbedingung wird auch erfüllt, wenn die Dreieckfunktion zwischen $4.5 \ \rm kHz$ und $5.5 \ \rm kHz$ liegt
+ Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen $4.5 \, \rm kHz$ und $5.5 \, \rm kHz$ liegt.
{Berechnen Sie $g(t)$ für $t = 250\ \mu \rm s$ und $B = A = 10^{–4} \ \rm V/Hz$.
{Berechnen Sie $g(t)$ für $t = 250\, µ \rm s$ und $B = A = 10^{–4} \, \rm V/Hz$ ⇒ komplexe Spektralfunktion.
Diese Nullstelle ist auf den zweiten Term zurückzuführen und liegt nicht im Nyquist–Zeitraster $\nu T$
'''(6)''' Für die folgende Herleitung gelte $g(t)= g_{\rm R}(t) + g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$ wobei $g_{\rm R}(t)$ auf den Realteil und $g_{\rm I}(t)$ auf den Imaginärteil von $G(f)$ zurückgeht.
*Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt '''(4)''' berechnet:
*Mit den gegebenen Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$ liegen die beiden Dreiecke um $\pm 5\, \rm kHz$, so dass obige Gleichung erfüllt ist.
'''(4)''' Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand $T = 1/(2f_{\rm Nyq}) = 100 \ \rm \mu s$ auf. Daraus erhält man direkt:
Die Grafik zeigt die Veränderung der Zeitfunktion aufgrund des Imaginärteils (grüner Zeitverlauf):
wobei $g_{\rm R}(t)$ auf den Realteil und $g_{\rm I}(t)$ auf den Imaginärteil von $G(f)$ zurückgeht. Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt (4) berechnet:
*Es ergibt sich nun ein unsymmetrischer Funktionsverlauf $g(t)$, der blau dargestellt ist.
Zur Erfüllung des ersten Nyquistkriteriums muss für den Imaginärteil mit $1/T = 10 \ \rm kHz$ gelten:
:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} {\rm Im}\left[G \left ( f -
{k}/{T} \right)\right]= 0 \hspace{0.05cm}.$$
Mit den gegebenen Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \ \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$ liegen die beiden Dreiecke um $\pm 5\ \rm kHz$, so dass obige Gleichung erfüllt ist. Gleiches gilt für $f_{1} = 4.5\ \rm kHz$ und $f_{2} = 5.5 \ \rm kHz$. Dagegen liegen die Dreieckspitzen mit $f_{1} = 3\ \rm kHz$ und $f_{2} = 5 \ \rm kHz$ bei $\pm 4 \ \rm kHz$. In diesem Fall löschen sich die Dreieckfunktionen durch die periodische Fortsetzung nicht aus und die Nyquistbedingung ist nicht erfüllt.
Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
'''(7)''' Mit dem Ergebnis $g_{\rm R}(2.5t) = 0$ aus der Teilaufgabe (3) folgt $g(2.5T) = gI(2.5t)$, wobei $g_{\rm I}(t)$ die Fourierrücktransformierte von j $\cdot \ G_{\rm I}(f)$ ist. Es gilt:
\pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t )\cdot d(t)\hspace{0.05cm}.$$
Die Sinusfunktion erzwingt die erforderlichen Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T = 100 \ \rm \mu s$. $D(f)$ ist eine Dreieckfunktion um $f = 0$ mit $D(f = 0) = B$ und der einseitigen Breite $f_{0}= f_{2} – f_{\rm Nyq} = f_{\rm Nyq} – f_{1} = 2 \ \rm kHz$. Für die dazugehörige Zeitfunktion kann somit entsprechend der Angabe geschrieben werden:
Die nachfolgende Grafik zeigt die Veränderung der Zeitfunktion aufgrund des Imaginärteils (grüner Zeitverlauf). Es ergibt sich nun ein unsymmetrischer Funktionsverlauf $g(t)$, der blau dargestellt ist. Die Nulldurchgänge von $g_{\rm R}(t)$ im Abstand T bleiben jedoch erhalten.
Betrachtet wird ein Impuls $g(t)$ mit Spektrum $G(f)$ gemäß der Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:
Der Realteil von $G(f)$ ist trapezförmig mit den Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \, \rm kHz$. Im Bereich $|f| < f_{1}$ gilt:
$${\rm Re}\big[G(f)\big] = A = 10^{-4} \, \rm V/Hz.$$
Der Imaginärteil von $G(f)$ wird für die Teilaufgaben (1) bis (5) stets zu ${\rm Im}\big[G(f)\big] =0$ angenommen. In diesem Fall ist $g(t)$ sicher ein Nyquistimpuls.
Ab der Teilaufgabe (6) hat der Imaginärteil ${\rm Im}[G(f)]$ im Bereich $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$ einen Dreiecksverlauf mit den Werten $\pm B$ bei den Dreieckspitzen.
Zu prüfen ist, ob der Impuls $g(t)$ auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
Ein dreieckförmiges Tiefpass–Spektrum $G(f)$, das auf $| f | < f_{0}$ begrenzt ist und bei dem $G(f = 0) = B$ gilt, führt nach Fourierrücktransformation zur Zeitfunktion
$$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} {\rm si} (x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$
Diese Nullstelle ist auf den zweiten Term zurückzuführen und liegt nicht im Nyquist–Zeitraster $\nu T$
(6) Für die folgende Herleitung gelte $g(t)= g_{\rm R}(t) + g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$ wobei $g_{\rm R}(t)$ auf den Realteil und $g_{\rm I}(t)$ auf den Imaginärteil von $G(f)$ zurückgeht.
Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt (4) berechnet:
Mit den gegebenen Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$ liegen die beiden Dreiecke um $\pm 5\, \rm kHz$, so dass obige Gleichung erfüllt ist.
Gleiches gilt für $f_{1} = 4.5\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5.5 \, \rm kHz$.
Dagegen liegen die Dreieckspitzen mit $f_{1} = 3\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5 \, \rm kHz$ bei $\pm 4 \ \rm kHz$.
In diesem Fall löschen sich die Dreieckfunktionen durch die periodische Fortsetzung nicht aus und die Nyquistbedingung ist nicht erfüllt.
Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.
(7) Mit dem Ergebnis $g_{\rm R}(2.5T) = 0$ aus (3) folgt $g(2.5T) = g_{\rm I}(2.5T)$, wobei $g_{\rm I}(t)$ die Fourierrücktransformierte von ${\rm j}\cdot \ G_{\rm I}(f)$ ist. Es gilt:
