Aufgaben:Aufgabe 3.09: Korrelationsempfänger für unipolare Signalisierung: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von $N = 3$ Binärsymbolen (Bit) mittels des Korrelationsempfängers. Die $M = 8$ möglichen Quellensymbolfolgen $Q_i$ besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt: | + | Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von $N = 3$ Binärsymbolen ("Bit") mittels des Korrelationsempfängers. Die $M = 8$ möglichen Quellensymbolfolgen $Q_i$ besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt: |
:$$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011 | :$$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011 | ||
− | \hspace{0.05cm}, | + | \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} |
− | + | Q_4 = 100, \hspace{0.15cm}Q_5 = 101,\hspace{0.15cm}Q_6 = 110,\hspace{0.15cm}Q_7 = 111 | |
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− | *Die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ – jeweils mit der Dauer $3T$ – sind alle rechteckförmig mit Ausnahme von $s_0(t) \equiv 0$. | + | *Die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ – jeweils mit der Dauer $3T$ – sind alle rechteckförmig mit Ausnahme von $s_0(t) \equiv 0$. |
− | *Die Signale $s_1(t)$, $s_2(t)$ | + | |
+ | *Die Signale $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_4(t)$ mit nur jeweils einer „$1$” besitzen die Signalenergie $E_{\rm B}$ $($steht für „Energie pro Bit”$)$, während zum Beispiel die Energie von $s_7(t)$ gleich $3E_{\rm B}$ ist. | ||
− | Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal $r(t) = s(t) + n(t)$ insgesamt $2^3 = 8$ Entscheidungsgrößen (Metriken) | + | Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal $r(t) = s(t) + n(t)$ insgesamt $2^3 = 8$ Entscheidungsgrößen $($"Metriken"$)$ |
:$$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} | :$$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} | ||
I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t | I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t | ||
− | \hspace{0.3cm}( i = 0, ... , 7)$$ | + | \hspace{0.3cm}( i = 0,\text{...} , 7)$$ |
− | und setzt die Sinkensymbolfolge $V = Q_j$, falls $W_j$ größer ist als alle anderen $W_{i \ne j}$. Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood. | + | und setzt die Sinkensymbolfolge $V = Q_j$, falls $W_j$ größer ist als alle anderen $W_{i \ne j}$. Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood. |
− | In der Tabelle sind die (unkorrigierten) Korrelationswerte $I_0, \ ... \ , I_7$ für drei verschiedene Systeme angegeben, die sich hinsichtlich der Störungen $n(t)$ unterscheiden und mit | + | In der Tabelle sind die (unkorrigierten) Korrelationswerte $I_0, \ \text{...} \ , I_7$ für drei verschiedene Systeme angegeben, die sich hinsichtlich der Störungen $n(t)$ unterscheiden und mit $\rm A$, $\rm B$ oder $\rm C$ bezeichnet werden. |
− | *Eine dieser Spalten steht für „keine | + | *Eine dieser Spalten steht für „keine Störungen”, |
*eine für „geringe Störungen” und | *eine für „geringe Störungen” und | ||
*eine weitere für „starke Störungen”. | *eine weitere für „starke Störungen”. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Bei welchem System gibt es keine Störungen $n(t)$? Bei | + | {Bei welchem System gibt es keine Störungen $n(t)$? Bei |
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- $\rm System \ A$, | - $\rm System \ A$, | ||
+ $\rm System \ B$, | + $\rm System \ B$, | ||
- $\rm System \ C$. | - $\rm System \ C$. | ||
− | {Welche Quellensymbolfolge $Q_k ∈ {Q_0, \ ... \ , Q_7}$ wurde tatsächtlich gesendet? | + | {Welche Quellensymbolfolge $Q_k ∈ {Q_0, \ \text{...} \ , Q_7}$ wurde tatsächtlich gesendet? |
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$k \ = \ $ { 2 } | $k \ = \ $ { 2 } | ||
− | {Welcher Entscheidungswert $W_j$ ist bei System A am größten? | + | {Welcher Entscheidungswert $W_j$ ist bei System $\rm A$ am größten? |
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${\rm System \ A} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $ { 2 } | ${\rm System \ A} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $ { 2 } | ||
− | {Welcher Entscheidungswert $W_j$ ist beim System C am größten? | + | {Welcher Entscheidungswert $W_j$ ist beim System $\rm C$ am größten? |
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${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $ { 6 } | ${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $ { 6 } | ||
− | {Bei welchem System treten die größten Störungen auf? Bei | + | {Bei welchem System treten die größten Störungen auf? Bei |
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- $\rm System \ A$, | - $\rm System \ A$, | ||
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+ $\rm System \ C$. | + $\rm System \ C$. | ||
− | {Welche Aussagen gelten unter der Annahme, dass $Q_2$ gesendet wurde und der Korrelationsempfänger sich normalerweise auch für $Q_2$ entscheidet? | + | {Welche Aussagen gelten unter der Annahme, dass $Q_2$ gesendet wurde und der Korrelationsempfänger sich normalerweise auch für $Q_2$ entscheidet? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Die Differenz zwischen $W_2$ und dem nächstgrößten Wert $W_{i \ne 2}$ ist um so kleiner, je stärker die Störungen sind. | + | + Die Differenz zwischen $W_2$ und dem nächstgrößten Wert $W_{i \ne 2}$ ist um so kleiner, je stärker die Störungen sind. |
− | - Wenn es zu einer Verfälschung kommt, dann entscheidet sich der Empfänger am wahrscheinlichsten für die Symbolfolge $Q_6$. | + | - Wenn es zu einer Verfälschung kommt, dann entscheidet sich der Empfänger am wahrscheinlichsten für die Symbolfolge $Q_6$. |
− | + Die Wahrscheinlichkeiten für fehlerhafte Entscheidungen zugunsten von $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ sind gleich. | + | + Die Wahrscheinlichkeiten für fehlerhafte Entscheidungen zugunsten von $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ sind gleich. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | + | '''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: |
− | *Beim | + | *Beim System $\rm B$ treten viermal die Metrik $0$ und viermal die Metrik $1$ auf. |
− | *Dies weist auf $n(t) = 0$ hin, da sich sonst – wie bei den Systemen A und C – alle $I_i$ unterscheiden müssten. | + | *Dies weist auf $n(t) = 0$ hin, da sich sonst – wie bei den Systemen $\rm A$ und $\rm C$ – alle $I_i$ unterscheiden müssten. |
− | '''(2)''' Beim | + | '''(2)''' Beim System $\rm B$ ergeben sich folgende Entscheidungswerte $W_i = I_i \ – E_i/2$, jeweils normiert auf $E_{\rm B}$: |
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− | Der maximale Wert $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$. Der Korrelationsempfänger entscheidet sich also für $V = Q_2$. Da keine Störungen auftreten, wurde tatsächtlich auch $Q_2 =$ „$\rm 010$” gesendet ⇒ $\underline { k= 2}$. | + | *Der maximale Wert $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$. |
+ | *Der Korrelationsempfänger entscheidet sich also für $V = Q_2$. | ||
+ | *Da keine Störungen auftreten, wurde tatsächtlich auch $Q_2 =$ „$\rm 010$” gesendet ⇒ $\underline { k= 2}$. | ||
− | '''(3)''' Für die Entscheidungswerte von | + | '''(3)''' Für die Entscheidungswerte von System $\rm A$ gilt: |
:$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -0.07 - 0.50 = -0.57, $$ | :$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -0.07 - 0.50 = -0.57, $$ | ||
:$$W_2 = 1.13 - 0.50 = 0.63, \hspace{0.2cm}W_3 = 1.06 - 1.00 = 0.06 \hspace{0.05cm},$$ | :$$W_2 = 1.13 - 0.50 = 0.63, \hspace{0.2cm}W_3 = 1.06 - 1.00 = 0.06 \hspace{0.05cm},$$ | ||
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:$$W_6 = 1.18 - 1.00 = 0.18, \hspace{0.2cm}W_7 = 1.11 - 1.50 = -0.39 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$W_6 = 1.18 - 1.00 = 0.18, \hspace{0.2cm}W_7 = 1.11 - 1.50 = -0.39 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Das Maximum ist $W_j = W_2$ ⇒ $\underline { j= 2}$. | + | *Das Maximum ist $W_j = W_2$ ⇒ $\underline { j= 2}$. |
− | *Das heißt, dass der Korrelationsempfänger auch bei System | + | *Das heißt, dass der Korrelationsempfänger auch bei System $\rm A$ die richtige Entscheidung $V = Q_2$ trifft. |
− | *Ohne den Korrekturterm $(– E_i/2)$ hätte der Empfänger allerdings die falsche Entscheidung $V = Q_6$ getroffen. | + | *Ohne den Korrekturterm $(– E_i/2)$ hätte der Empfänger allerdings die falsche Entscheidung $V = Q_6$ getroffen. |
− | '''(4)''' Der Korrelationsempfänger | + | '''(4)''' Der Korrelationsempfänger $\rm C$ hat folgende Werte zu vergleichen: |
:$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -1.31 - 0.50 = | :$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -1.31 - 0.50 = | ||
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− | Die Maximierung ergibt hier $\underline {j = 6}$ ⇒ $V = Q_6$. | + | Die Maximierung ergibt hier $\underline {j = 6}$ ⇒ $V = Q_6$. |
− | *Da aber $Q_2$ gesendet wurde, entscheidet hier der Korrelationsempfänger falsch. | + | *Da aber $Q_2$ gesendet wurde, entscheidet hier der Korrelationsempfänger falsch. Die Störungen sind zu stark. |
− | *Die Störungen sind | + | |
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+ | '''(5)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: | ||
+ | *Die Störungen sind bei System $\rm C$ am größten und für die aktuellen Empfangswerte sogar so groß, dass der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung trifft. | ||
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+ | '''(6)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>: | ||
+ | *Im fehlerfreien Fall $($System $\rm B)$ ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.5$ und den nächstgrößten Werten $W_0 = W_3 = W_6 = 0$ jeweils gleich $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} =0.5$. | ||
+ | |||
+ | *Bei System $\rm A$ (leichte Störungen) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.63$ und dem nächstgrößeren Wert $W_6 = 0.18$ immerhin noch $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.45$. | ||
+ | |||
+ | *Erhöht man die Rauschleistung um den Faktor $50$, so entscheidet der Korrelationsempfänger immer noch richtig, doch ist dann die minimale Differenz $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.16$ deutlich kleiner. | ||
− | + | *Für das System $\rm C$, bei dem der Korrelationsempfänger überfordert ist ⇒ Teilaufgabe '''(4)''', wurde eine gegenüber dem System $\rm A$ um den Faktor $400$ größere Rauschleistung zugrundegelegt. | |
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− | + | *Entscheidet der Korrelationsempfänger die gesendete Folge $Q_2$ falsch, so ist eine Verfälschung zu den Folgen $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ am wahrscheinlichsten, da sich alle diese drei Folgen von $Q_2$ nur jeweils in einem Bit unterscheiden. | |
− | + | ||
− | *Entscheidet der Korrelationsempfänger die gesendete Folge $Q_2$ falsch, so ist eine Verfälschung zu den Folgen $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ am wahrscheinlichsten, da sich alle diese drei Folgen von $Q_2$ nur jeweils in einem Bit unterscheiden. Dass bei der beschriebenen Simulation $W_6$ stets größer ist als $W_0$ bzw. $W_3$, ist „Zufall” und sollte nicht überinterpretiert werden. | + | *Dass bei der beschriebenen Simulation $W_6$ stets größer ist als $W_0$ bzw. $W_3$, ist „Zufall” und sollte nicht überinterpretiert werden. |
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Aktuelle Version vom 1. Juli 2022, 12:55 Uhr
Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von $N = 3$ Binärsymbolen ("Bit") mittels des Korrelationsempfängers. Die $M = 8$ möglichen Quellensymbolfolgen $Q_i$ besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt:
- $$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011 \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} Q_4 = 100, \hspace{0.15cm}Q_5 = 101,\hspace{0.15cm}Q_6 = 110,\hspace{0.15cm}Q_7 = 111 \hspace{0.05cm}.$$
Weiter gilt:
- Die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ – jeweils mit der Dauer $3T$ – sind alle rechteckförmig mit Ausnahme von $s_0(t) \equiv 0$.
- Die Signale $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_4(t)$ mit nur jeweils einer „$1$” besitzen die Signalenergie $E_{\rm B}$ $($steht für „Energie pro Bit”$)$, während zum Beispiel die Energie von $s_7(t)$ gleich $3E_{\rm B}$ ist.
Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal $r(t) = s(t) + n(t)$ insgesamt $2^3 = 8$ Entscheidungsgrößen $($"Metriken"$)$
- $$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t \hspace{0.3cm}( i = 0,\text{...} , 7)$$
und setzt die Sinkensymbolfolge $V = Q_j$, falls $W_j$ größer ist als alle anderen $W_{i \ne j}$. Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood.
In der Tabelle sind die (unkorrigierten) Korrelationswerte $I_0, \ \text{...} \ , I_7$ für drei verschiedene Systeme angegeben, die sich hinsichtlich der Störungen $n(t)$ unterscheiden und mit $\rm A$, $\rm B$ oder $\rm C$ bezeichnet werden.
- Eine dieser Spalten steht für „keine Störungen”,
- eine für „geringe Störungen” und
- eine weitere für „starke Störungen”.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Optimale Empfängerstrategien".
- Zur Bestimmung der Metriken für die drei Systemvarianten wurde stets die gleiche Quellensymbolfolge gesendet.
Fragebogen
Musterlösung
- Beim System $\rm B$ treten viermal die Metrik $0$ und viermal die Metrik $1$ auf.
- Dies weist auf $n(t) = 0$ hin, da sich sonst – wie bei den Systemen $\rm A$ und $\rm C$ – alle $I_i$ unterscheiden müssten.
(2) Beim System $\rm B$ ergeben sich folgende Entscheidungswerte $W_i = I_i \ – E_i/2$, jeweils normiert auf $E_{\rm B}$:
- $$W_0 = 0 - 0 = 0, \hspace{0.2cm}W_1 = 0 - 0.5 = -0.5 \hspace{0.05cm},$$
- $$W_2 = 1 - 0.5 = 0.5, \hspace{0.2cm}W_3 = 1 - 1 = 0 \hspace{0.05cm},$$
- $$W_4 = 0 - 0.5 = -0.5, \hspace{0.2cm}W_5 = 0 - 1 = -1 \hspace{0.05cm}.$$
- $$W_6 = 1 - 1 = 0, \hspace{0.2cm}W_7 = 1 - 1.5 = -0.5 \hspace{0.05cm}.$$
- Der maximale Wert $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$.
- Der Korrelationsempfänger entscheidet sich also für $V = Q_2$.
- Da keine Störungen auftreten, wurde tatsächtlich auch $Q_2 =$ „$\rm 010$” gesendet ⇒ $\underline { k= 2}$.
(3) Für die Entscheidungswerte von System $\rm A$ gilt:
- $$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -0.07 - 0.50 = -0.57, $$
- $$W_2 = 1.13 - 0.50 = 0.63, \hspace{0.2cm}W_3 = 1.06 - 1.00 = 0.06 \hspace{0.05cm},$$
- $$W_4 = 0.05 - 0.50 = -0.45, \hspace{0.2cm}W_5 = -0.02 - 1.00 = -1.02\hspace{0.05cm},$$
- $$W_6 = 1.18 - 1.00 = 0.18, \hspace{0.2cm}W_7 = 1.11 - 1.50 = -0.39 \hspace{0.05cm}.$$
- Das Maximum ist $W_j = W_2$ ⇒ $\underline { j= 2}$.
- Das heißt, dass der Korrelationsempfänger auch bei System $\rm A$ die richtige Entscheidung $V = Q_2$ trifft.
- Ohne den Korrekturterm $(– E_i/2)$ hätte der Empfänger allerdings die falsche Entscheidung $V = Q_6$ getroffen.
(4) Der Korrelationsempfänger $\rm C$ hat folgende Werte zu vergleichen:
- $$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -1.31 - 0.50 = -1.81 \hspace{0.05cm},$$
- $$W_2 = 3.59 - 0.50 = 3.09, \hspace{0.2cm}W_3 = 2.28 - 1.00 = 1.28 \hspace{0.05cm},$$
- $$W_4 = 0.97 - 0.50 = 0.47, \hspace{0.2cm}W_5 = -0.34 - 1.00 = -1.34 \hspace{0.05cm},$$
- $$W_6 = 4.56 - 1.00 = 3.56, \hspace{0.2cm}W_7 = 3.25 - 1.50 = 1.75 \hspace{0.05cm}.$$
Die Maximierung ergibt hier $\underline {j = 6}$ ⇒ $V = Q_6$.
- Da aber $Q_2$ gesendet wurde, entscheidet hier der Korrelationsempfänger falsch. Die Störungen sind zu stark.
(5) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Die Störungen sind bei System $\rm C$ am größten und für die aktuellen Empfangswerte sogar so groß, dass der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung trifft.
(6) Richtig sind die Aussagen 1 und 3:
- Im fehlerfreien Fall $($System $\rm B)$ ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.5$ und den nächstgrößten Werten $W_0 = W_3 = W_6 = 0$ jeweils gleich $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} =0.5$.
- Bei System $\rm A$ (leichte Störungen) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.63$ und dem nächstgrößeren Wert $W_6 = 0.18$ immerhin noch $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.45$.
- Erhöht man die Rauschleistung um den Faktor $50$, so entscheidet der Korrelationsempfänger immer noch richtig, doch ist dann die minimale Differenz $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.16$ deutlich kleiner.
- Für das System $\rm C$, bei dem der Korrelationsempfänger überfordert ist ⇒ Teilaufgabe (4), wurde eine gegenüber dem System $\rm A$ um den Faktor $400$ größere Rauschleistung zugrundegelegt.
- Entscheidet der Korrelationsempfänger die gesendete Folge $Q_2$ falsch, so ist eine Verfälschung zu den Folgen $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ am wahrscheinlichsten, da sich alle diese drei Folgen von $Q_2$ nur jeweils in einem Bit unterscheiden.
- Dass bei der beschriebenen Simulation $W_6$ stets größer ist als $W_0$ bzw. $W_3$, ist „Zufall” und sollte nicht überinterpretiert werden.