Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation. Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar:
Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation.
Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar:
$V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird. Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (<i>Shadowing</i>) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
*$V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird.
*Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (<i>Shadowing</i>) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit folgender Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik):
* Die Empfangsleistung soll mindestens $P_{\rm E} = 10 \ \rm pW$ (umgerechnet: $–80 \ \rm dBm$) betragen.
* Die Empfangsleistung soll mindestens $P_{\rm E} = 10 \ \rm pW$ $($umgerechnet: $-80 \ \rm dBm)$ betragen.
''Hinweis:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]] dieses Buches.
''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]].
* Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende (grobe) Näherungen verwenden:
* Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende (grobe) Näherungen verwenden:
* Oder Sie benutzen unser Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
* Oder Sie benutzen das von LNTwww bereitgestellte [http://www.lntwww.de/cgi-bin/extern/swf-sitemap.pl?swf_id=280&swf=QFunction.swf&swf_hoehe=500&swf_breite=620| Flash–Modul].
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<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Wäre $P_{\rm E}$ ohne Berücksichtigung des Lognormal–Fadings ausreichend?
{Wäre $P_{\rm E}$ ohne Berücksichtigung des Lognormal–Fadings ausreichend?
|type="()"}
|type="()"}
+ Ja,
+ Ja,
- Nein.
- Nein.
{Die Lognormal–Parameter seien $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ und $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$. In wieviel Prozent der Zeit funktioniert das System?
{Die Lognormal–Parameter seien $m_{\rm S} = 20 \, \rm dB$ und $\sigma_{\rm S} = 0 \, \rm dB$. In wieviel Prozent der Zeit funktioniert das System?
Gefordert ist aber lediglich der Grenzwert $–80 \ \rm dBm$.
*Gefordert ist aber lediglich der Grenzwert $–80 \ \rm dBm$.
'''(2)''' Lognormal–Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangslestung $P_{\rm E}$. Gegenüber Teilaufgabe 1) ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner ⇒ $P_{\rm E} = \ –60 \ \rm dBm$. Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($–80 \ \rm dBm$). Daraus folgt: Das System ist zu <u>100% funktionsfähig</u>.
'''(2)''' Lognormal–Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangsleistung $P_{\rm E}$.
*Gegenüber der Teilaufgabe '''(1)''' ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner ⇒ $P_{\rm E} = \ –60 \ \rm dBm$.
*Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($-80 \ \rm dBm$).
*Daraus folgt: Das System ist (fast) zu <u>100% funktionsfähig</u>.
*„Fast” deshalb, weil es bei einer Gaußschen Zufallsgröße immer eine (kleine) Restunsicherheit gibt.
'''(3)''' Die Empfangsleistung ist dann zu gering (kleiner als $–80 \ \rm dBm$), wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal–Term $40 \ \rm dB$ oder mehr beträgt. Der veränderliche Anteil $V_{\rm S}$ darf also nicht größer sein als $20 \ \rm dB$. Daraus folgt:
Die Grafik verdeutlicht das Ergebnis. Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$ des Pfadverlustes durch Shadowing (Longnormal–Fading). Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, ist rot markiert:
[[Datei:P_ID2187__Mob_A_1_2c_v1.png|center|frame|Verlust durch Lognormal–Fading]]
'''(3)''' Die Empfangsleistung ist dann zu gering $($kleiner als $-80 \ \rm dBm)$, wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal–Term $40 \ \rm dB$ oder mehr beträgt.
[[Datei:P_ID2187__Mob_A_1_2c_v1.png|right|frame|Verlust durch das Lognormal–Fading]]
*Der veränderliche Anteil $V_{\rm S}$ darf also nicht größer sein als $20 \ \rm dB$.
'''(4)''' Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit $99.9 \%$ folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit $10^{\rm –3} \approx \ Q(3)$. Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ um $10 \ \rm dB$ auf $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn $V_{\rm S} ≥ 50 \ \rm dB$ ist. Damit wäre genau die geforderte Zuverlässigkeit erreicht, wie die folgende Rechnung zeigt:
*Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$ des Pfadverlustes durch ''Shadowing'' (Longnormal–Fading).
{\rm Q}\left ( \frac{120-70-20}{10}\right )
*Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, ist rot markiert:
= {\rm Q}(3) \approx 0.001 \hspace{0.05cm}.$$
<br clear=all>
'''(4)''' Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit $99.9 \%$ folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit $10^{\rm –3} \approx \ {\rm Q}(3)$.
*Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ um $10 \ \rm dB$ auf $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn $V_{\rm S} ≥ 50 \ \rm dB$ ist.
*Damit wäre genau die geforderte Zuverlässigkeit erreicht, wie die folgende Rechnung zeigt:
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Lognormal–Fadings
Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation.
Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar:
$V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird.
Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (Shadowing) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit folgender Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik):
Gefordert ist aber lediglich der Grenzwert $–80 \ \rm dBm$.
(2) Lognormal–Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangsleistung $P_{\rm E}$.
Gegenüber der Teilaufgabe (1) ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner ⇒ $P_{\rm E} = \ –60 \ \rm dBm$.
Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($-80 \ \rm dBm$).
Daraus folgt: Das System ist (fast) zu 100% funktionsfähig.
„Fast” deshalb, weil es bei einer Gaußschen Zufallsgröße immer eine (kleine) Restunsicherheit gibt.
(3) Die Empfangsleistung ist dann zu gering $($kleiner als $-80 \ \rm dBm)$, wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal–Term $40 \ \rm dB$ oder mehr beträgt.
Verlust durch das Lognormal–Fading
Der veränderliche Anteil $V_{\rm S}$ darf also nicht größer sein als $20 \ \rm dB$.
Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$ des Pfadverlustes durch Shadowing (Longnormal–Fading).
Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, ist rot markiert:
(4) Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit $99.9 \%$ folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit $10^{\rm –3} \approx \ {\rm Q}(3)$.
Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ um $10 \ \rm dB$ auf $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn $V_{\rm S} ≥ 50 \ \rm dB$ ist.
Damit wäre genau die geforderte Zuverlässigkeit erreicht, wie die folgende Rechnung zeigt:
