|
|
| (Eine dazwischenliegende Version von einem anderen Benutzer wird nicht angezeigt) |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
|
| |
|
| {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien}}
| |
|
| |
| [[Datei:P_ID1465__Dig_A_3_10_95.png|right|frame|Signale und Baumdiagramm]]
| |
| Wie in [[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe A3.9]] betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers. Die möglichen Sendesignale $s_0(t), \ ... \ , \ s_7(t)$ seien bipolar. In der Grafik sind die Funktionen $s_0(t)$, $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ dargestellt. Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse.
| |
|
| |
| Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von $0$ bis $3T$ die Funktionen
| |
| :$$i_i(t) = \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
| |
| \tau \hspace{0.3cm}( i = 0, ... , 7)\hspace{0.05cm}.$$
| |
|
| |
| Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte $I_i = i_i(3T)$ miteinander und sucht den größtmöglichen Wert $I_j$. Das zugehörige Signal $s_j(t)$ ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum–Likelihood–Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.
| |
|
| |
| Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen $W_i = I_i \ – E_i/2$ trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale ($i = 0, \ ... \ , \ 7$) die genau gleiche Energie
| |
| :$$E_i = \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$
| |
|
| |
| aufweisen, liefern die Integrale $I_i$ genau die gleichen ML–Informationen wie die korrigierten Größen $W_i$.
| |
|
| |
| Die roten Signalverläufe $s_i(t)$ ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$. Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert. Die roten Funktionsverläufe weise Impulsinterferenzen auf.
| |
|
| |
| ''Hinweis:''
| |
| * Die Aufgabe gehört zum Themebgebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]].
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| ===Fragebogen===
| |
| <quiz display=simple>
| |
| {Geben Sie die folgenden normierten Endwerte $I_i/E_{\rm B}$ für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.
| |
| |type="{}"}
| |
| $I_0/E_{\rm B}$ = { -1.03--0.97 }
| |
| $I_2/E_{\rm B}$ = { 1 3% }
| |
| $I_4/E_{\rm B}$ = { -3.09--2.91 }
| |
| $I_6/E_{\rm B}$ = { -1.03--0.97 }
| |
|
| |
| {Welche Aussagen gelten bei Berücksichtigung eines Rauschenterms?
| |
| |type="[]"}
| |
| - Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
| |
| + Ist $I_3$ der maximale $I_i§ \, –Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
| |
| - Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen $I_0 = I_6$.
| |
|
| |
| {Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe (mit Impulsinterferenzen)?
| |
| |type="[]"}
| |
| - Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
| |
| + Die Signalenergien $E_i(i = 0, \ ... \, \ 7$) sind dann unterschiedlich.
| |
| - Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen $I_i$ als auch $W_i$ geeignet.
| |
|
| |
| {Wie sollte der Intergrationsbereich ($t_1$ bis $t_2$) gewählt werden?
| |
| |type="[]"}
| |
| + Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$, $t_2 = 3T$ bestmöglich.
| |
| - Mit Impulsinterferenzen (rot) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| ===Musterlösung===
| |
| {{ML-Kopf}}
| |
| '''(1)''' Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ –1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt – das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein – und dann über zwei Bitdauern abfällt.
| |
|
| |
| [[Datei:P_ID1466__Dig_A_3_10.png|center|frame|Baumdiagramm des Korrelationsempfängers]]
| |
|
| |
| Die richtigen Ergebnisse lauten somit:
| |
| :$$I_0/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}, \hspace{0.2cm}I_2/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, \hspace{0.2cm}I_4/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= -3}, \hspace{0.2cm}I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}
| |
| \hspace{0.05cm}.$$
| |
|
| |
|
| |
| '''(2)''' Bei Vorhandensein von (Rausch–) Störungen nehmen die Funktionen $i_i(t)$ nicht mehr linear zu bzw. ab, sondern haben einen Verlauf wie in der oberen Grafik dargestellt. Solange $I_3 > I_{\it i≠3}$ ist, entscheidet der Korrelationsempfänger richtig. Bei Vorhandensein von Störungen gilt stets $I_0 ≠ I_6$ im Gegensatz zum störungsfreien Baumdiagramm. Richtig ist also nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
| |
|
| |
|
| |
| '''(3)''' Auch hier ist nur die <u>zweite Aussage</u> zutreffend. Da nun die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ nicht mehr aus horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können, besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken. Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind – dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ – müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden. Die Verwendung der reinen Korrelationswerte $I_i$ kann bereits ohne Störungen zu Fehlentscheidungen führen.
| |
|
| |
|
| |
| '''(4)''' Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt. Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar. Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ ... \ 3T$. Richtig ist <u>Antwort 1</u>.
| |
|
| |
| Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs. Wählt man $t_1 = \ –T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ ... \ 3T$ weiter verringert.
| |
| {{ML-Fuß}}
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.7 Optimale Empfängerstrategien^]]
| |
